专题01 旋转中的三种常见模型（高效培优专项训练）数学人教版九年级上册

专题01 旋转中的三种常见模型 模型一：“手拉手”模型 模型二：“半角”模型 模型三：“鸡爪”模型 模型一：“手拉手”模型 1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD 即∠BCD＝∠ACE， 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD． （2）连接DE， 由（1）的结论知AE＝BD， ∵BD＝5， ∴AE＝5， 由旋转可知∠DCE＝60°， ∴△DCE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∵∠ADC＝30° ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°， 在Rt△ADE中，， ∵△CDE是等边三角形， ∴CD＝DE＝4 2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ、PB、PC． （1）求证：CP＝BQ； （2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求∠APB的度数． 【答案】（1）证明见解析； （2）150°． 【解答】（1）证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴AC＝AB，∠CAB＝60°， 由旋转可知 AP＝AQ，∠PAQ＝60°' ∴∠CAB＝∠PAQ， ∴∠CAP＝∠BAQ， 在△CAP和△BAQ中， ， ∴△CAP≌△BAQ（SAS）， ∴CP＝BQ； （2）解：如图，连接PQ， ∵AP＝AQ，∠PAQ＝60° ∴△APQ是等边三角形，则∠APQ＝60°，） ∵PA＝6， ∴PQ＝AP＝6， ∵CP＝BQ，PC＝10， ∴BQ＝PC＝10， ∵PB＝8， ∴PB2+PQ2＝BQ2， ∴∠BPQ＝90°， ∴∠APB＝∠BPQ+∠APQ＝150°． 3．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长． 【答案】（1）见解答． （2）8． 【解答】（1）证明：由旋转得，∠DCE＝60°，CD＝CE， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE． 在△BCD和△ACE中， ， ∴△BCD≌△ACE（SAS）， ∴AE＝BD． （2）解：由（1）知AE＝BD， ∴AE＝BD＝10． 由旋转得，∠DCE＝60°，CD＝CE， ∴△CDE是等边三角形， ∴∠CDE＝60°， ∵∠ADC＝30°， ∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°． 在Rt△ADE中，由勾股定理得，． 4．“感知”：如图①△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． “探究”：如图②将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由． “应用”：如图③将△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE，若，CD＝2，求线段DE的长． 【答案】“探究”：BD＝CE成立，证明见解答； “应用”：线段DE的长为2． 【解答】解：“探究”：BD＝CE成立， 证明：如图②，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE． “应用”：如图③，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，CD＝2， ∴BCAC24，∠B＝∠ACB＝45°， ∴BD＝BC+CD＝4+2＝6， 由“探究”得△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE＝6，∠B＝∠ACE＝45°， ∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝45°+45°＝90°， ∴∠DCE＝90°， ∴DE2， ∴线段DE的长为2． 5．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A1B1C1D1的顶点A1与点O重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知A1D1，A1B1与正方形ABCD的边分别交于M，N两点． （1）如图1，若A1D1⊥DC，则重叠部分四边形OMCN的面积是 　　 ． （2）当正方形A1B1C1D1绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形OMCN的面积是否发生变化？证明你的结论． 【答案】（1）； （2）面积不发生变化．理由见解答． 【解答】解：（1）如图1，∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都为正方形， ∴∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∠D1OB1＝90°， ∵A1D1⊥DC， ∴∠OMC＝90°， ∴∠ONC＝90°， 在△OMC和△ONB中， ， ∴△OMC≌△ONB（AAS）， ∴S△OMC＝S△ONB， ∴重叠部分四边形OMCN的面积＝S△OBCS正方形ABCD1×1； 故答案为：； （2）四边形OMCN的面积不发生变化． 理由如下： ∵四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都为正方形， ∴∠OBC＝∠OCD＝45°，OB＝OC，∠BOC＝90°，∠D1OB1＝90°， ∵∠BON+∠CON＝90°，∠CON+∠COM＝90°， ∴∠BON＝∠COM， 在△COM和△BON中， ， ∴△COM≌△BON（ASA）， ∴S△OMC＝S△ONB， ∴重叠部分四边形OMCN的面积＝S△OBCS正方形ABCD1×1； 即四边形OMCN的面积不发生变化． 6．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，作出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形． 【操作发现】 在图1中出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系：CE＝DB，CE⊥DB ； 【探究理由】 如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC＝9，BD＝3，则 ①∠DAE＝ 　80　 °； ②线段EF的长是 　6　 ． 【答案】（1）画图见解析，CE＝DB，CE⊥DB； （2）CE＝DB，CE⊥DB，理由见解析； （3）①80，②6． 【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求，CE＝DB，CE⊥DB， 设CE、AC分别与BD交于点F、G， 由旋转性质可知△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠ACE＝∠ADB， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （2）CE＝DB，CE⊥DB；理由如下： 由旋转性质可知△ADB≌△ACE， ∴CE＝DB，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠C＝∠D， 在△ADG和△FCG中，∠AGD＝∠FGC， ∴∠CFG＝∠CAD＝90°， ∴CE⊥DB， 故答案为：CE＝DB，CE⊥DB； （3）①由条件可知∠DAF＝∠DAB＝40°， ∴∠BAC＝80°， 由旋转的性质可知，∠DAE＝∠BAC＝80°， 故答案为：80； ②由旋转的性质可知，BC＝DE＝9， ∵BD＝DF＝3， ∴EF＝DE﹣DF＝9﹣3＝6， 故答案为：6． 7．已知△ABC和△ADE都是等边三角形． 【模型感知】（1）如图1，求证：BE＝CD； 【模型应用】（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE； 【类比探究】（3）如图3，当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．猜想线段AB，BF与BD之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）答案见解答过程； （2）答案见解答过程； （3）AB＝BD+2BF，证明见解答过程． 【解答】解：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+60°，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴BE＝CD； （2）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°，AE＝AD，∠DAE＝60°， ∴∠BAE＝∠DAE+∠BAD＝60°+∠BAD，∠CAD＝∠BAC+∠BAD＝60°+∠BAD， ∴∠BAE＝∠CAD， 在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE＝CD， ∵CD＝CB+BD＝AB+BD， ∴AB+BD＝BE； （3）线段AB，BF与BD之间存在的数量关系是：AB＝BD+2BF，证明如下： 方法一：设DE与AB交于点K，在AB上截取AT＝BD，如图所示： ∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴∠ABC＝∠AED＝60°，AE＝DE， ∴∠EAT+∠AKE＝180°﹣∠AED＝120°，∠EDB+∠BKD＝180°﹣∠ABC＝120°， 又∵∠AKE＝∠BKD， ∴∠EAT＝∠EDB， 在△EAT和△EDB中， ， ∴△EAT≌△EDB（SAS）， ∴ET＝EB， ∵EF⊥AB， ∴TF＝BF， ∴BT＝2BF， ∴AB＝AT+BT＝BD+2BF． （3）方法二：∵△ABC和△ADE均为等边三角形， ∴AC＝AB＝BC，∠CAB＝60°，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠CAB＝∠DAE， 即∠CAD+∠DAB＝∠DAB+∠BAE， ∴∠CAD＝∠BAE， 在△CAD和△BAE中， ， ∴△CAD≌△BAE（SAS）， ∴BE＝CD，∠C＝∠ABE＝60°， ∵EF⊥AB， ∴∠FEB＝90°﹣∠ABE＝30°， ∵BE＝2BF， ∴CB＝CD+BD＝2BF+BD， 即AB＝2BF+BD． 模型二：“半角”模型 1．如图所示，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM． （1）证明：△DEF≌△DMF． （2）若AE＝1，求FM的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠A＝∠BCD＝90°， ∵∠DCM＝∠A＝90°，∠EDM＝90°，DE＝DM， ∴∠FCD+∠DCM＝180°， ∴F、C、M三点共线， ∵∠EDF＝45°， ∴∠FDM＝∠EDM﹣∠EDF＝45°＝∠EDF， 在△DEF和△DMF中， ， ∴△DEF≌△DMF（SAS）； （2）解：∵AE＝CM＝1，正方形ABCD的边长为3， ∴BE＝3﹣1＝2， ∵△DEF≌△DMF， ∴EF＝MF， 设EF＝MF＝x， 则BF＝BM﹣MF＝4﹣x， ∵EB2+BF2＝EF2， ∴22+（4﹣x）2＝x2， ∴， ∴． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N，连接AC． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求证：△ANC≌△BMC； （3）求△AMN的周长的最小值． 【答案】（1）＝2； （2）证明过程见解答过程； （3）2． 【解答】（1）解：在△ABC中，AB＝BC＝2，∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝2， ∴四边形ABCD是菱形， 如图，过点A作AE⊥BC于点E， ∴∠AEB＝90°，∠BAE＝30°， ∴BE＝1，AE， ∴平行四边形ABCD的面积为22； （2）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD，AD∥BC，AB＝BC， ∴∠B+∠BAD＝180°， ∵∠B＝60°， ∴∠BAD＝120°， ∴∠BAC＝∠DAC＝60°， ∵AB＝BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC， ∴△ANC≌△BMC（SAS）； （3）解：∵△ANC≌△BMC， ∴NC＝MC，∠ACN＝∠BCM， ∵AD∥CB， ∴∠BCM+∠ACM＝∠DAC＝60°， ∴∠ACN+∠ACM＝60°， ∴△CMN是等边三角形， 当CM⊥AB时CM最短，由△CMN是等边三角形， ∴MN也是最短的． ∵CM是边长为2等边△ABC的高， ∴CM，MN， 所以AM+AN+MN＝2+． ∴△AMN周长的最小值为：2． 3．正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△DEF≌△DMF； （2）若AE＝1，求EF的长． 【答案】（1）见解答． （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ADC＝90°． ∵∠EDF＝45°， ∴∠EDA+∠CDF＝45°． 由旋转得，DM＝DE，∠MDC＝∠EDA， ∴∠MDC+∠CDF＝∠MDF＝45°， ∴∠MDF＝∠EDF． ∵DF＝DF， ∴△DEF≌△DMF（SAS）． （2）解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC＝4， ∴BE＝AB﹣AE＝3． 由旋转得，CM＝AE＝1， ∵△DEF≌△DMF， ∴EF＝FM． 设EF＝FM＝x，则CF＝FM﹣CM＝x﹣1， ∴BF＝BC﹣CF＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x． 在Rt△BEF中，由勾股定理得，EF2＝BF2+BE2， 即x2＝（5﹣x）2+32， 解得x． ∴EF的长为． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 【答案】B 【解答】解：在正方形ABCD中，AD＝AB，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， 将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，G、B、E三点共线，如图所示： 则AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE＝45°， 在△GAE和△FAE中， ， ∴△GAE≌△FAE（SAS）， ∴∠AEF＝∠AEG， ∵∠BAE＝α， ∴∠AEB＝90°﹣α， ∴∠AEF＝∠AEB＝90°﹣α， ∴∠FEC＝180°﹣∠AEF﹣∠AEB＝180°﹣2×（90°﹣α）＝2α， ∴∠EFC＝180°﹣90°﹣∠FEC＝90﹣2a， 故选：B． 5．（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．求证：EF＝BE+DF． （2）如图②，当点E，F分别在线段BC和CD的延长线上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见解答；（2）EF＝BE﹣DF，理由见解析． 【解答】（1）证明∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠ABG＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∵BG＝DF， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠BAE＝45°＝∠EAF， ∴∠GAE＝∠EAF＝45°， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝GB+BE＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； （2）解：EF＝BE﹣DF，理由如下： 如图2，在BC上截取BG＝DF，连接AG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB，∠ABG＝∠ADC＝∠ADF＝90°， ∵BG＝DF， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAE+∠DAF＝45°， ∴∠BAG+∠DAE＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF＝45°， 在△AGE和△AFE中， ， ∴△AGE≌△AFE（SAS）， ∴GE＝EF， ∵GE＝BE﹣BG＝BE﹣DF， ∴EF＝BE﹣DF． 6．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上，连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，则MN的长是 　10　 ； ②已知DM＝3，CM＝2，求BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 【答案】（1）①10；② （2）． 【解答】解：（1）①在正方形ABCD中，∠C＝90°， ∴△CMN是直角三角形， 在Rt△CMN中，CM＝6，CN＝8， 由勾股定理得：MN10， 故答案为：10； ②延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE，如图1所示， ∵DM ＝3，CM＝2， ∵CD＝DM+CM＝5， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝ADBC＝CD＝5，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠ABE＝∠D＝90°， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴∠BAE＝∠DAM，AE ＝AM， ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝∠BAD﹣∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠BAE＝45°， 即∠EAN＝45°， ∴∠EAN＝∠MAN＝45°， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， 设BN＝x， ∴MN＝EN＝BN+BE＝x+3，CN＝BC﹣BN＝5﹣x， 在Rt△CMN中，由勾股定理得：CN2+CM2＝MN2， ∴（5﹣x）2+22＝（x+3）2， 解得：， ∴BN＝x； （2）延长AN、DC交于点H，如图2所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥DH， ∴∠H＝∠BAN， ∵∠AMD＝2∠BAN， ∴∠AMD＝2∠H， ∵∠AMD是△AMH的外角， ∴∠AMD＝∠H+∠MAH＝2∠H， ∴∠MAH＝∠H， ∴AM＝HM， ∴AN＝6，AM＝8， ∴AM＝HM＝8， ∵点N为BC的中点， ∴CN＝BN， 在△CHN和△BAN中， ∠H＝∠BAN，∠CNH＝∠BNA，CN＝BN， ∴△CHN≌△BAN（AAS）， ∴HN＝AN＝6， ∴AH＝HN+AN＝12， 设DM＝a，则DH＝DM+HM＝a+8， 在△ADM和△ADH中，由勾股定理得：AD2＝AM2﹣DM2＝AH2﹣DH2， ∴82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴DM＝x＝1， ∴AD． 模型三：“鸡爪”模型 1．如图，点P是等边三角形ABC内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则AB2＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：作等边三角形BPM，连接CM，作BN⊥CM交CM的延长线于点N， ∵△BPM，△ABC为等边三角形， ∴AB＝BC，BM＝PM＝BP＝4，∠ABC＝∠PBM＝60°， ∴∠ABP＝∠CBM， 在△ABP和△CBM中， ， ∴△ABP≌△CBM（SAS）， ∴CM＝PA＝3， ∵PC＝5， ∴CM2+PM2＝PC2， ∴△PCM是直角三角形，且∠CMP＝90°， ∴∠BMN＝180°﹣90°﹣60°＝30°， ∵∠BNM＝90°，∠BMN＝30°， ∴， ∴， ∴， ∵∠BNC＝90°， ∴， ∵AB＝BC， ∵， 故答案为：． 2．如图，P是等边三角形ABC中的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，试利用图形的旋转求出∠APB的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，将△APB绕着点B逆时针旋转60度后得到△CQB，连接PQ， 由题意可知△ABP≌△CBQ， 则QB＝PB＝4，PA＝QC＝3，∠ABP＝∠CBQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ABP+∠PBC＝60°， ∴∠PBQ＝∠CBQ+∠PBC＝60°， ∴△BPQ为等边三角形， ∴PQ＝PB＝BQ＝4， 又∵PQ＝4，PC＝5，QC＝3， ∴PQ2+QC2＝PC2， ∴∠PQC＝90°， ∵△BPQ为等边三角形， ∴∠BQP＝60°， ∴∠BQC＝∠BQP+∠PQC＝150°， ∴∠APB＝∠BQC＝150°． 3．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断 （1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B； （2）试判断△AP1P的形状，并说明理由； （3）试判断△BP1P的形状，并说明理由； （4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝　150°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，△AP1B为所作； （2）连接PP1，如图， △AP1P为等边三角形．理由如下： ∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B， ∴AP1＝AP，∠PAP1＝60°， ∴△AP1P为等边三角形； （3）△BP1P为直角三角形． 理由如下： ∵△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B， ∴BP1＝PC＝5， ∵△AP1P为等边三角形， ∴PP1＝AP＝3， ∵PB2， ∴△BP1P为直角三角形，∠BPP1＝90°； （4）∵△AP1P为等边三角形， ∴∠APP1＝60°， 而∠BPP1＝90°； ∴∠APB＝90°+60°＝150°， 故答案为：150°． 4．构造模型问题： 问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2． 小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明； （1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数； （2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 　18　 （不必证明）． 【答案】问题背景：证明见解析； （1）150°； （2）18． 【解答】问题背景： 证明：如图1，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，得到△P′AC，连接PP′， 则AP＝AP′，∠PAP′＝60°， ∴△PAP′是等边三角形， ∴PP′＝PA，∠PP′A＝60°， 由旋转的性质得：∠APB＝∠AP′C＝30°，PB＝P′C， ∴∠PP′C＝∠PP′A+∠AP′C＝60°+30°＝90°， ∴PC2＝PP′2+P′C2， ∵PP′＝PA，P′C＝PB， ∴PA2+PB2＝PC2； （1）迁移应用： 解：如图2，把△PBC绕点B逆时针旋转60°，得到△P′BA，连接PP′， 由旋转的性质得：BP＝BP'，∠PBP'＝60°，PC＝P'A，∠BPC＝∠BP'A， ∴△PBP'是等边三角形， ∴∠BP'P＝60°，PP'＝BP， ∵PC2+PB2＝PA2， ∴P'A2+P'P2＝PA2， ∴△APP'是直角三角形，∠AP'P＝90°， ∴∠BPC＝∠BP'A＝∠AP′P+∠BP′P＝90°+60°＝150°； （2）拓展提升： 解：如图3，过点B作BM⊥BP交PC的延长线于点M，连接AM， 则∠PBM＝90°， ∵∠BPC＝45°， ∴△BPM为等腰直角三角形， ∴BP＝BM，∠BMP＝45°， ∵∠MBA+∠MBC＝∠ABC＝90°，∠PBM＝∠PBC+∠MBC＝90°， ∴∠PBC＝∠MBA， 在△PBC和△MBA中， ， ∴△PBC≌△MBA（SAS）， ∴PC＝MA，∠BPC＝∠BMA＝45°， ∴∠AMP＝∠BMP+∠BMA＝45°+45°＝90°， ∴S△APCPC×MAPC262＝18， 故答案为：18． 5．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中∠APB的度数等于　150°　 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PD，求∠APB的度数和正方形的边长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图2，把△APB绕点A逆时针旋转60°得到△ACP′， 由旋转的性质，P′A＝PA＝3，P′D＝PB＝4，∠PAP′＝60°， ∴△APP′是等边三角形， ∴PP′＝PA＝3，∠AP′P＝60°， ∵PP′2+P′C2＝32+42＝25，PC2＝52＝25， ∴PP′2+P′C2＝PC2， ∴∠PP′C＝90°， ∴∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°； 故∠APB＝∠AP′C＝150°； 故答案为150°． （2）如图3，把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△ADP′， 由旋转的性质，P′A＝PA＝2，P′D＝PB＝1，∠PAP′＝90°， ∴△APP′是等腰直角三角形， ∴PP′PA24，∠AP′P＝45°， ∵PP′2+P′D2＝42+12＝17，PD2＝（）2＝17， ∴PP′2+P′D2＝PD2， ∴∠PP′D＝90°， ∴∠AP′D＝∠AP′P+∠PP′D＝45°+90°＝135°， 故∠APB＝∠AP′D＝135°， ∵∠APB+∠APP′＝135°+45°＝180°， ∴点P′、P、B三点共线， 过点A作AE⊥PP′于E， 则AE＝PEPP′4＝2， ∴BE＝PE+PB＝2+1＝3， 在Rt△ABE中，AB． 6．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？ （1）请写出常见四组勾股数：　3，4，5　 、　5，12，13　 、　7，24，25　 、　6，8，10　 ． （2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP绕A逆时针旋转60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝　150°　 ．请写出解题过程． （3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题： 如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）． 【答案】（1）3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10； （2）150°． （3）EF． 【解答】解：（1）勾股数：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10； 故答案为：3，4，5；5，12，13，7，24，25；6，8，10； （2）如图1，将△ABP绕顶点A逆时针旋转60°到△ACP′处，则△ACP′≌△ABP， ∵三角形ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴PA＝P′A＝3，PB＝P′C＝4，∠BAP＝∠CAP′， ∴∠P′AP＝∠PAC+∠CAP′＝∠PAC+∠BAP＝∠BAC＝60°， ∴△PAP′是等边三角形， ∴PP′＝P′A＝3， 在△PP′C中，PP'2+P′C2＝9+16＝25＝PC2， ∴△PP′C是直角三角形， ∴∠PP′C＝90°， ∴∠APB＝∠AP′C＝60°+90°＝150°． 故答案为150°． （3）如图2中，将△ABE绕顶点A逆时针旋转90°到△ACE′处，则△ACE′≌△ABE， ∴AE＝AE′，BE＝CE′，∠E′AC＝∠BAE， ∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°， ∴∠BAE+∠CAF＝45°， ∠FAE′＝∠E′AC+∠FAC＝∠BAE+∠FAC＝45°＝∠EAF， 在△AEF和△AE′F中， ， ∴△AEF≌△AE′F（SAS）， ∴FE＝FE′， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝45°， ∴∠E′CA＝∠B＝45°， ∴∠E′CF＝45°+45°＝90°， 在Rt△E′FC中，E′C2+FC2＝E′F2， ∴EF2＝BE2+CF2＝m2+n2， ∴EF． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 旋转中的三种常见模型 模型一：“手拉手”模型 模型二：“半角”模型 模型三：“鸡爪”模型 模型一：“手拉手”模型 1．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，求CD的长． 2．如图，P是等边三角形ABC内一点，将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ，连接BQ、PB、PC． （1）求证：CP＝BQ； （2）若PA＝6，PB＝8，PC＝10．求∠APB的度数． 3．如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE． （1）求证：AE＝BD； （2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长． 4．“感知”：如图①△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点B在线段AD上，点C在线段AE上，我们很容易得到BD＝CE，不需证明． “探究”：如图②将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），连接BD和CE，此时BD＝CE是否依然成立？若成立，写出证明过程，若不成立，说明理由． “应用”：如图③将△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接CE，若，CD＝2，求线段DE的长． 5．正方形ABCD的对角线相交于点O，正方形A1B1C1D1的顶点A1与点O重合，而且这两个正方形的边长都是1．已知A1D1，A1B1与正方形ABCD的边分别交于M，N两点． （1）如图1，若A1D1⊥DC，则重叠部分四边形OMCN的面积是 　　 ． （2）当正方形A1B1C1D1绕点O旋转到如图2所示的位置时，四边形OMCN的面积是否发生变化？证明你的结论． 6．【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，作出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形． 【操作发现】 在图1中出△ACE以点A为旋转中心，逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： ； 【探究理由】 如图2，将△ACE绕点A逆时针旋转90°得到△ADB，设CE、AC分别与BD交于点F、G，试判断CE与BD的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F．若△ABD与△AFD关于直线AD对称，且BC＝9，BD＝3，则 ①∠DAE＝ 　 °； ②线段EF的长是 　 　 ． 7．已知△ABC和△ADE都是等边三角形． 【模型感知】（1）如图1，求证：BE＝CD； 【模型应用】（2）如图2，当点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD＝BE； 【类比探究】（3）如图3，当点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F．猜想线段AB，BF与BD之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 模型二：“半角”模型 1．如图所示，已知正方形ABCD的边长为3，E，F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM． （1）证明：△DEF≌△DMF． （2）若AE＝1，求FM的长． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠B＝60°．将一个60°的∠PCQ的顶点放在点C处，并绕点C旋转，当CP与AB交于点M，CQ同时与AD交于点N，连接AC． （1）求平行四边形ABCD的面积； （2）求证：△ANC≌△BMC； （3）求△AMN的周长的最小值． 3．正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB，BC边上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM． （1）求证：△DEF≌△DMF； （2）若AE＝1，求EF的长． 4．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°．若∠BAE＝α，则∠EFC—定等于（　　） A．2α B．90°﹣2α C．45°﹣α D．90°﹣α 5．（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°，延长CB到点G，使BG＝DF，连接AG．求证：EF＝BE+DF． （2）如图②，当点E，F分别在线段BC和CD的延长线上，连接AE，AF，EF，且∠EAF＝45°时，试探究BE，EF，DF之间的数量关系，并说明理由． 6．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上，连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，则MN的长是 　 　 ； ②已知DM＝3，CM＝2，求BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 模型三：“鸡爪”模型 1．如图，点P是等边三角形ABC内一点，若PA＝3，PB＝4，PC＝5，则AB2＝　 　 ． 2．如图，P是等边三角形ABC中的一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5，试利用图形的旋转求出∠APB的度数． 3．数学探究课上老师处这样一道题：“如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，试求∠APB的度数．”小明和小军探讨时发现了一种求∠APB度数的方法，下面是这种方法的一部分思路，请按照下列思路要求画图或判断 （1）在图中画出△APC绕点A顺时针旋转60°后的△AP1B； （2）试判断△AP1P的形状，并说明理由； （3）试判断△BP1P的形状，并说明理由； （4）由（2）、（3）两问可知：∠APB＝　 　 ． 4．构造模型问题： 问题背景：如图1，P是等边△ABC外一点，∠APB＝30°，则PA2+PB2＝PC2． 小明为了证明这个结论，将△PAB绕点A逆时针旋转60°，请根据此思路完成这个证明； （1）迁移应用：如图2，P是等边△ABC内一点，且PC2+PB2＝PA2；求∠BPC的度数； （2）拓展提升：如图3，在等腰直角△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点P在△ABC外部，且∠BPC＝45°，若PC＝6，则△APC的面积是 　 　 （不必证明）． 5．阅读下面材料： 小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决． （1）请你回答：图1中∠APB的度数等于　 　 ． 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题： （2）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PD，求∠APB的度数和正方形的边长． 6．问题：如图1，在等边△ABC内部有一点P，已知PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数？ （1）请写出常见四组勾股数：　 、　 　 、　 　 、　 　 ． （2）解决方法：通过观察发现PA，PB，PC的长度符合勾股数，但由于PA，PB，PC不在一个三角形中，想法将这些条件集中在一个三角形，于是可将△ABP绕A逆时针旋转60°到△AP′C，此时△ABP≌△ACP'，这样利用等边三角形和全等三角形知识，便可求出∠APB＝　150°　 ．请写出解题过程． （3）应用：请你利用（2）题的思路，解答下面的问题： 如图2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC的点，且∠EAF＝45°，若BE＝m，FC＝n，请求出线段EF的长度（用m、n的代数式表示）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$