精品解析：黑龙江省七台河市勃利县部分学校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期12月月考 数学试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 7. 今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 8. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向上 B. 其顶点坐标为 C. 其图象的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 如图，在四边形中，，，E、F分别是，的中点，连接，，．若的面积为，则四边形的面积与（ ） A. 8 B. 7 C. D. 6 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 二、填空题(每小题3分，共30分) 11. 文化和旅游部2月5 日公布2025年春节假期文化和旅游市场情况，春节假期8天期间全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%，将数据5.01亿用科学记数法表示为________． 12. 函数 中，自变量x的取值范围是_______． 13. 如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 14. 外出旅游是假期休闲的一种方式，它可以陶冶人的情操．今年五一节期间，小明一家三口计划外出旅游，妈妈让小明从杭州、西安、北京、上海四个城市中选择两个城市，小明选择西安和上海的概率是________． 15. 关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是_______． 16. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，若，，则的度数为__________． 17. 若圆锥的底面半径是3，它的侧面展开后的扇形圆心角的度数是，则这个圆锥的全面积是_______．(结果保留π) 18. 如图，已知中， ，，，，垂足为D，E是延长线上一点，O是的中点，则线段的最小值为________． 19. 平行四边形中，，，，P 是平行四边形边上的一个动点，连接，，当是直角三角形时，则的长是________． 20. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是________． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； （3）在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 23. 如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 24. “五四”青年节来临之际，朝阳中学举办了“勿忘国耻，铭记历史”知识竞赛，刘老师随机抽取了部分同学的成绩(满分100分)，按成绩划分为A，B，C，D四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： 等级 成绩（m ） 人数 A 24 B 18 C D     （1）本次抽取的学生共有 人，表中的值为 ； （2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级(填“A”“B”“C”或“D”)； （3）该校共组织了1 200名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生人数． 25. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 26. 如图，菱形中，，的两边分别与，边所在的直线交于点 E 和点 F，且． （1）当的两边分别与，边垂直时，如图①，易证：； （2）将绕着点 D 旋转至不垂直时，如图②，请直接写出线段，和之间有怎样的数量关系，不需证明； （3）将绕着点D旋转至，分别和射线，相交时，如图③，请写出线段，和之间有怎样的数量关系，并证明． 27. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． （1）求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? （3）若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 28. 如图，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点D，连接．    （1）求直线的解析式； （2）动点P从点A出发，沿折线方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）当，求点P的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期12月月考 数学试题 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查整式的乘除运算，包括单项式乘单项式、幂的乘方、整式除法和平方差公式的应用，根据相关的运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、，正确； B、，错误； C、，错误； D、，错误； 故选：A． 2. 未来将是一个可以预见的时代，下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此进行判断即可． 【详解】解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故符合题意； B、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意； D、该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故不符合题意； 故选：A 3. 由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和左视图如图所示，要使它的主视图与左视图不变，则最多需要拿走的小正方体的个数为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，由几何体的主视图与左视图可以得到要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个，从而得出结果． 【详解】解：由几何体的主视图与左视图可知想要组成该几何体最少需要小正方体5个，底层3个，第二层2个， 则由10个完全相同的小正方体搭成的几何体，最多需要拿走的小正方体的个数为个， 故选：B． 4. 为了推动中华传统文化进校园，光华中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”的传统文化知识竞赛，9年4班5名参赛选手的得分如下：，，，，，这组数据的方差是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是解决问题的关键．结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可． 【详解】解：平均数为： ； ． 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的值可以是（ ） A. 1 B. C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零求出m的取值范围即可．． 【详解】∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得， ∴ 且 ． 故选B． 6. 若关于的分式方程无解，则需满足的条件是（ ） A. 和 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解的情况，分式方程无解可能由于化简后的整式方程无解，或解为增根（使分母为零）．先简化方程，再讨论参数的取值． 【详解】解：， ， 即 ， ， 整理得， 当，即时，方程左边为，右边为，矛盾， 整式方程无解，原方程无解， 当时，，若此解使分母为零，则原方程无解，当时，即 ， 解得， 当或时，原方程无解， 故选：A． 7. 今年3月12日是我国第47个植树节，为了履行植树义务，共建美丽中国，秋实中学计划用300元购买A，B两种型号铁锹（两种均购买）参加植树活动，A种型号铁锹单价为8元，B种型号铁锹单价10元，则不同的购买方式有（ ） A. 6种 B. 7种 C. 8种 D. 9种 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的正整数解，熟练掌握根据实际问题的数量关系列方程，并结合正整数条件确定方程的解是解题的关键．设购买A、B型铁锹的数量为未知数，根据总价列出方程，化简后结合正整数条件确定未知数的取值，进而得到购买方式的数量． 【详解】解：设购买A型铁锹把，B型铁锹把，则 ， 解得， ∵为正整数， ∴是5的倍数，即是5的倍数． 设（为正整数），代入得， 解得， ∵，， ∴， 解得． 为正整数， 可以取， 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，； 时，，． 共有7种购买方式． 故选：B． 8. 由二次函数可知（ ） A. 其图象的开口向上 B. 其顶点坐标为 C. 其图象的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式可以确定函数图象的开口方向，对称轴，顶点坐标和函数的增减性． 【详解】解：∵二次函数y=-3（x+4）2-2， ∴图象开口向下，对称轴为直线x=-4，顶点是（-4，-2）， 当x＞3时，y随x的增大而减小， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质，关键是对函数性质的应用． 9. 如图，在四边形中，，，E、F分别是，的中点，连接，，．若的面积为，则四边形的面积与（ ） A. 8 B. 7 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握三角形中位线定理是解题的关键．连接，根据等腰直角三角形的性质求出的面积，根据三角形中位线定理分别求出、，计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ， 设四边形的面积为S， ∴， 、分别是，的中点， ，， ∴，且相似比为， ，， ∵的面积为， ， 解得： 故选：D． 10. 如图，在正方形中，对角线与相交于点O，点E在的延长线上，连接，点F是的中点，连接交于点G，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到的距离为．其中正确的结论是（ ） A. ①②③④ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作，交的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，故①符合题意； ∴点G是的中点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故②符合题意； 由①得，， 则，故③符合题意； ∵点G是的中点， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴ ∴， 即 故④不符合题意； 过点D作，交的延长线于点H，如图所示： ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 即 设， 则， 在中，， 解得：， ∴（负值已舍去），故⑤符合题意； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选：C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 二、填空题(每小题3分，共30分) 11. 文化和旅游部2月5 日公布2025年春节假期文化和旅游市场情况，春节假期8天期间全国国内出游5.01亿人次，同比增长5.9%，将数据5.01亿用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 ，其中 ， 为整数，将 5.01 亿转换为科学记数法时，需确定和的值， 【详解】解：因为“亿”表示 ， 所以 5.01 亿 ， 其中，5.01 满足 ，且 ， 故答案为 . 12. 函数 中，自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，函数表达式包含分式和二次根式，需满足分母不为零且被开方数非负，联立不等式求解自变量取值范围； 【详解】解：由题意得：，且； 解得：； 故答案为： 13. 如图，在平行四边形中，，在不添加任何辅助线的前提下，若使平行四边形 是正方形，则需添加的一个条件是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、正方形的判定，因为平行四边形中，，根据对角线相等的平行四边形可证四边形是矩形，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，再添加一组邻边相等即可证明四边形是正方形． 【详解】解：平行四边形中，， 四边形是矩形， 当时， 根据有一组邻边相等的矩形是正方形， 可知四边形是正方形． 故答案为：(答案不唯一)． 14. 外出旅游是假期休闲的一种方式，它可以陶冶人的情操．今年五一节期间，小明一家三口计划外出旅游，妈妈让小明从杭州、西安、北京、上海四个城市中选择两个城市，小明选择西安和上海的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明选择西安和上海的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设A、B、C、D分别表示杭州，西安，北京，上海这四个城市， 列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明选择西安和上海的结果数有2种， ∴小明选择西安和上海的概率为， 故答案为：． 15. 关于的不等式组有个整数解，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解，先解不等式组，得到解集，再根据有个整数解的条件，确定参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 不等式组有4个整数解，且 整数解为，，，， ， 解得， 故答案为：． 16. 如图，在中，直径与弦相交于点P，连接，，若，，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．先根据同弧或等弧所对的圆周角相等求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17. 若圆锥的底面半径是3，它的侧面展开后的扇形圆心角的度数是，则这个圆锥的全面积是_______．(结果保留π) 【答案】 【解析】 【分析】通过圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，求出母线长，再计算全面积． 本题考查了圆锥的侧面展开，全面积，熟练掌握展开图，求面积公式是解题的关键． 【详解】解：圆锥的底面半径 ， 则底面积 ； 底面周长 ； 侧面展开扇形的圆心角 ，设母线长为 ，则扇形弧长 ， 由 ， 得 ， 解得 ， 侧面积 ， 全面积 ， 故答案为 ：． 18. 如图，已知中， ，，，，垂足为D，E是延长线上一点，O是的中点，则线段的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，推出当时，有最小值，则有最小值是解题的关键． 利用三角函数及面积法先后求得，，，，延长到点F，使，当时，有最小值，则有最小值，据此求解即可． 【详解】解：中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴，，， 延长到点F，使，连接， 则， ∵，O是中点， ∴，要使有最小值，则有最小值， 当时，有最小值， ∵， ∴，即， ∴， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 19. 平行四边形中，，，，P 是平行四边形边上的一个动点，连接，，当是直角三角形时，则的长是________． 【答案】4或 或 【解析】 【分析】根据直角顶点的位置，分三种情况讨论：当在上，且时，当在上，时，当在上，当时，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，当在上，且时： ∵，，， ∴， ∴； 当在上，时，如图， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当在上，当时，如图，过作于，则， 设，则，而， ∴， 整理得：， 解得：或， 当时，，与第一种情况相同，舍去， 当时，． 当在边上，不符合题意，舍去． 综上：的长为或或． 故答案为：或或 【点睛】本题考查了锐角三角函数，勾股定理，平行四边形的性质，正确作图和掌握相关的性质和定理进行分类讨论是解题的关键． 20. 如图，点，是正方形的两个顶点，以对角线为边作正方形，再以对角线为边作正方形，……依此规律，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标类规律探索，正方形的性质，勾股定理，先求出，，，，，，，，，…，从而可得（为自然数），再结合即可得解，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵点，是正方形的两个顶点， ∴，， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， ∵以对角线为边作正方形， ∴， ∴， 同理可得：，，，，，，…， ∴（为自然数）， ∵， ∴点的坐标是，即， 故答案为：． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值问题，解题的关键是注意计算的准确性．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据求值即可． 【详解】解： ， ， ∴原式 ． 22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度．在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，， （1）画出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （2）画出绕点O顺时针旋转后得到的并写出点的坐标； （3）在(2)的条件下，求线段所扫过的面积(结果保留)． 【答案】（1） 所作如图所示： ∴由坐标系可知：点的坐标为； （2）所作如图所示；点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式，熟练掌握轴对称与坐标、旋转的性质及扇形面积公式是解题的关键； （1）先得出点A、B、C关于y轴的对称点，然后问题可求解； （2）根据旋转的性质可进行作图； （3）根据（2）及扇形面积公式可进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴， ∴线段所扫过的面积为． 23. 如图，抛物线 与x轴交于点，，与y轴交于点 C，P为第四象限内抛物线上一点，过点 P作轴于点 M，连接，交y轴于点D． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，待定指数法求函数解析式，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法将，代入，即可求解； （2）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式，联立方程组可求出点P的坐标． 【小问1详解】 解：将，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为； 联立，得， 解得，（不符合题意，舍去），， 点P的坐标为． 24. “五四”青年节来临之际，朝阳中学举办了“勿忘国耻，铭记历史”知识竞赛，刘老师随机抽取了部分同学的成绩(满分100分)，按成绩划分为A，B，C，D四个等级，并制作了如下不完整的统计表和统计图． 请根据图中提供的信息，解答下列问题： 等级 成绩（m ） 人数 A 24 B 18 C D     （1）本次抽取的学生共有 人，表中的值为 ； （2）所抽取学生成绩的中位数落在 等级(填“A”“B”“C”或“D”)； （3）该校共组织了1 200名学生参加知识竞赛活动，请估计其中竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生人数． 【答案】（1）60，12 （2）B （3）估计其中竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有840人 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、统计表、由样本估计总体、中位数，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用等级的学生人数除以所占的比例即可得出本次抽取的学生人数，再求出等级的学生人数，即可得解； （2）根据中位数的定义判断即可得解； （3）用乘以样本中、两个等级的学生人数所占的比例即可得解． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生共有人， 等级的学生人数为人， 故等级的学生人数为； 【小问2详解】 解：∵， ∴将学生成绩按照从高到低排列处在第、位的学生的成绩在等级， 故所抽取学生成绩的中位数落在等级； 【小问3详解】 解：（人）， 故估计其中竞赛成绩达到80分以上(含80分)的学生有840人． 25. 甲、乙两人从A，B两地同时出发，甲前往B地，乙前往A地，途经休息区时甲休息1小时后加速行驶，而乙没有休息继续原速行驶，结果甲比乙早到达目的地0.5小时，甲、乙两人离各自出发地的路程y（千米）与乙出发的时间x（小时）的函数图象如图所示，请结合图象解答下列问题： （1）求甲休息前的速度和乙的速度； （2）求加速后甲离出发地的路程y与乙出发的时间x之间的函数关系式； （3）请直接写出乙出发多少小时两人相距30千米． 【答案】（1）甲休息前的速度为75千米/时，乙的速度为60千米/时 （2） （3）乙车出发2小时或3小时，相距30千米 【解析】 【分析】本题考查函数图象，一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，是解题的关键． （1）根据甲车出发2小时，甲车的路程为150千米，乙车出发2.5小时，乙车的路程为150千米，利用路程除以时间，即可得解； （2）先求出C、E的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （3）设乙车出发x小时后两车相距30千米，由两车相向而行，故分相遇之前和相遇之后，两种情况讨论求解． 【小问1详解】 解：根据题意，得：甲休息前的速度为千米/时；乙的速度为千米/时； 【小问2详解】 解：乙车从B地到A地所用的时间为小时， ∵甲比乙早到达目的地0.5小时， ∴， 又， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴； 【小问3详解】 解：两车相遇前， 根据题意，得， 解得； 两车相遇后， 根据题意，得， 解得， 答：乙车出发2小时或3小时，相距30千米 26. 如图，菱形中，，的两边分别与，边所在的直线交于点 E 和点 F，且． （1）当的两边分别与，边垂直时，如图①，易证：； （2）将绕着点 D 旋转至不垂直时，如图②，请直接写出线段，和之间有怎样的数量关系，不需证明； （3）将绕着点D旋转至，分别和射线，相交时，如图③，请写出线段，和之间有怎样的数量关系，并证明． 【答案】（1） 证明：∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴， ∵的两边分别与，边垂直， ∴，， ∴； （2） （3） 解：，证明如下： ∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明和均为等边三角形，得出，再由等边三角形的性质可得，，即可得证； （2）先证明和均为等边三角形，得出，，再证明，得出，从而可得，即可得证； （3）先证明和均为等边三角形，得出，，再证明，得出，从而可得，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵菱形中，， ∴，， ∴和均为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 27. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．端午节前夕某超市打算购进甲、乙两种畅销的粽子，已知购买2箱甲种粽子和1箱乙种粽子用元，购买1箱甲种粽子和4箱乙种粽子用元． （1）求甲种粽子每箱的进价和乙种粽子每箱的进价各是多少元； （2）商店计划用不超过元的资金购进甲、乙两种粽子共箱，其中甲种粽子的数量不低于乙种粽子数量的，该商店有几种进货方案（不用写出具体方案）? （3）若商店将甲种粽子每箱售价定为元，乙种粽子每箱售价定为元，在（2）的条件下，商品全部售出，哪种进货方案获利最大?最大利润为多少元? 【答案】（1）甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元 （2）该商店有6种进货方案 （3）购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组一次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键； （1）设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元．根据题意，得 即可求解； （2）设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱．根据题意，得 即可求解； （3）设商品全部售出后获得的总利润为w元，根据题意，得．即可求解； 【小问1详解】 解：设甲种粽子每箱的进价是x元，则乙种粽子每箱的进价是y元． 根据题意，得 解得 答：甲种粽子每箱的进价是元，乙种粽子每箱的进价是元． 【小问2详解】 解：设购进甲种粽子m箱，则购进乙种粽子箱． 根据题意，得 解得． 又∵m为正整数， ∴m可以取， ∴该商店有6种进货方案． 【小问3详解】 解：设商品全部售出后获得的总利润为w元， 根据题意，得． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最大值为元， ∴． 答：购进甲种粽子箱，乙种粽子箱时，获利最大，最大利润为元． 28. 如图，四边形是菱形，点A的坐标为，点C在x轴的正半轴上，直线交y轴于点M，边交y轴于点D，连接．    （1）求直线的解析式； （2）动点P从点A出发，沿折线方向以1个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设的面积为，点P的运动时间为t秒，直接写出S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）当，求点P的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由点的坐标，利用勾股定理和菱形的性质易得点的坐标，由，的坐标可得直线的解析式； （2）设点到的距离为，由的面积易得，利用分类讨论的思想，三角形的面积公式①当在直线上运动；②当运动到直线上时分别得的面积； （3）理解题意，进行分类讨论，且逐个情况作图，运用数形结合思想以及菱形的性质，直角三角形的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：点的坐标为， ， ∵四边形是菱形， ， 即点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 【小问2详解】 解：由（1）得直线的解析式为：， 令得：， 即， ∵点A的坐标为， ∴ ； 设点到的距离为， 由， 即， ， ①当在直线上运动时， 则的面积为与的运动时间为秒关系为：， 即； ②当运动到直线上时， 的面积为与的运动时间为秒关系为：， 即； 综上：； 【小问3详解】 解：四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∵ ∴ ∴， 当点在线段上时， 则 ∵ ∴． ； 当P点在边上运动时，如图所示， 由（2）得， ∴ 同理，证明， ∴， 同理得， ∵ 得， 即， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴， 过点P作于点N， ∵四边形是菱形， ∴， 则， ∴， 即， 解得， 则， ∴， ∴， 综上：或． 【点睛】本题考查的是解直角三角形，一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点、菱形的性质及勾股定理等知识，在解答（2）（3）时要注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $