精品解析：内蒙古赤峰市翁牛特旗2025-2026学年八年级上学期数学12月 月考试题

2025年12月阶段性学情诊断 八年级数学试卷 数学考试范围：第十三章~第十七章 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B. 3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） C. m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1） D. x2＋2xy﹣y2＝（x﹣y）2 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，这是利用了三角形的_____． 10. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 11. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是____________． 12. 已知，，则的值为________． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）． 14. 先化简，再求值：，其中， 15. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 16. 作图题： （1）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D； ②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①______．∴． ∵，∴，． ∴．∴②______．（③________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． （2）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． ①在图中作出关于y轴对称的； ②写出点A关于x轴的对称点的坐标______； ③点P是y轴上一个动点，当的值最小时的点P的坐标为______； ④如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点D（不与点A重合）的坐标为______． 17. 阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 18. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年12月阶段性学情诊断 八年级数学试卷 数学考试范围：第十三章~第十七章 注意事项： 1．本试卷共4页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可． 【详解】解：根据轴对称图形的概念可知： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了幂的乘方，解题关键是熟记：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 若的计算结果中不含x的一次项，则a的值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式与多项式的乘法；首先将展开，然后根据题意得到求解即可，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解决此题的关键． 【详解】解： ， 计算结果不含x的一次项， ， 解得， 故选：D． 4. 下列多项式分解因式正确的是（ ） A. a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3 B. 3ax2﹣6ax＝3（ax2﹣2ax） C. m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1） D. x2＋2xy﹣y2＝（x﹣y）2 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用十字相乘法以及公式法分别分解因式得出答案． 【详解】A、a2﹣2a﹣3＝a（a﹣2）﹣3，不符合因式分解的定义，故此选项错误； B、3ax2﹣6ax＝3ax（x﹣2），故此选项错误； C、m3﹣m＝m（m﹣1）（m＋1），正确； D、x2＋2xy﹣y2，无法运用完全平方公式分解因式，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了十字相乘法以及提取公因式法、公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 5. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ） A. 带①去 B. 带②去 C. 带③去 D. 带①和②去 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据题意配制的三角形与原三角形应该全等，故带去的碎块必须要保留原三角形的三个完整条件，通过观察即可发现：第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃． 【详解】解：A、带①去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不能得到与原来一样的三角形，故A选项错误； B、带②去，仅保留了原三角形的一部分边，也是不能得到与原来一样的三角形，故B选项错误； C、带③去，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一条边，符合ASA判定，故C选项正确； D、带①和②去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，同样不能得到与原来一样的三角形，故D选项错误． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴负半轴于点M，交y轴负半轴于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第三象限交于点P．若点P的坐标为，则a与b的数量关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据作图方法可得点P在第三象限的角平分线上，根据角平分线的性质和第三象限内点的坐标符号可得答案． 【详解】解：根据作图方法可得点P在第三象限角平分线上；点P到x轴、y轴的距离相等； ∴a-b=0． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及坐标与图形的性质，得出P点位置是解题关键． 7. 如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 8. 如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，现有下列结论：①；②；③平分；④；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键． 由角平分线的性质可知正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明正确；若平分，则，从而得到为直角三角形，条件不足，不能确定，故错误；连接、，然后证明，从而得到，再证明，得，从而可证明． 【详解】解：平分，，， ， 正确； ，平分， ， ， ， ， 同理：， ， 正确； 由题意可知：． 假设平分，则，则， 又， ， ， 的角度未知， 不能判定平分， 故错误； ④连接、， 是的垂直平分线， ， 在和中，， ≌， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ， 故正确． 故选：C． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 在生活中，我们经常会看见如图所示的情况，这是利用了三角形的_____． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】此题考查三角形的稳定性，解题关键在于掌握三角形的结构特点，据此即可求解． 【详解】解：如图所示的情况，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 10. 在○处填入一个整式，使关于的多项式可以因式分解，则○可以为________．（写出一个即可） 【答案】2x 【解析】 【分析】可根据完全平方公式或提公因数法分解因式求解即可． 【详解】解：∵， ∴○可以为2x、－2x、2x－1等，答案不唯一， 故答案为：2x． 【点睛】本题考查因式分解，熟记常用公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． 11. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法和幂的乘方的逆用等知识．根据得到，把转化为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，共64分） 13. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了整式的乘除运算，正确运用幂的运算法则和整式的运算法则（去括号、合并同类项）是解题的关键． （1）先算乘方（幂的乘方、积的乘方），再算单项式乘单项式（系数、同底数幂分别相乘）； （2）先算幂的乘方，再去括号（注意符号），最后合并同类项； （3）先展开多项式乘多项式，合并同类项后，再算多项式除以单项式（逐项相除）． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ． 14. 先化简，再求值：，其中， 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算及求值，先计算正式的混合运算，求出结果，最后把和代入求出即可． 【详解】解： ， 当，时，原式． 15. 如图，若，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件． （1）证明，由全等三角形的性质可得出结论； （2）由全等三角形的性质可得出，由三角形内角和定理可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16. 作图题： （1）小红发现，任意一个直角三角形都可以被分割成两个等腰三角形． 已知：在中，． 求作：直线，使得直线将分割成两个等腰三角形． 下面是小红设计的尺规作图过程． 作法：①作的垂直平分线，交斜边于点D； ②作直线，则直线就是所求作的直线． 根据小红设计的尺规作图过程，请使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹），并完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①______．∴． ∵，∴，． ∴．∴②______．（③________）（填推理的依据） ∴和都是等腰三角形． （2）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． ①在图中作出关于y轴对称的； ②写出点A关于x轴的对称点的坐标______； ③点P是y轴上一个动点，当的值最小时的点P的坐标为______； ④如果要使以B、C、D为顶点的三角形与全等，所有符合条件的点D（不与点A重合）的坐标为______． 【答案】（1）；；等角对等边 （2） ①如图所示． ②点关于轴的对称点的坐标；③；④，，． 【解析】 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，等腰三角形的证明，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）按照题目所给的作法作图即可；根据垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质与判定定理求解即可． （2）①分别作三个顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可； ②根据①中的图形结合轴对称的性质得出坐标即可； ③根据轴对称最短路径的方法作图即可； ④利用勾股定理确定的位置，作出图形，再写出的坐标即可． 【小问1详解】 解：①如图所示，即为所求； 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴． ∴． ∵， ∴. ∴． ∴．（等角对等边） ∴和都是等腰三角形． 故答案为：；；等角对等边 【小问2详解】 解：① 略 ②点关于轴的对称点的坐标； ③点关于轴的对称点，连接交轴于点，则点即为所求点的位置， 此时； ④以为一边，使另外两边长为，，分别确定点，，，可知这两个三角形全等， 则，，． 17. 阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法，公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫作分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：； （2）若多项式利用分组分解法可分解为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查分组分解法分解因式．解题关键是正确分组，使得分组后可以分别进行因式分解，并且分解后能出现新的公因式，进而提取公因式完成整个多项式的因式分解． （1）进行分组为，通过提取公因式，乘法分配律的逆运算进行因式分解； （2）先用整式乘法还原，再由对应项系数相等得出、的值，进而求出． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ， 而 比较系数可得， ． 18. 【教材呈现】 活动2 用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点A，B，C是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）小文得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，．求证：． 证明： （3）如图3，连结筝形的对角线，交于点O．请用文字语言写出筝形对角线的一条性质，并给出证明． 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点D、E分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接与出的度数． 【答案】 【教材呈现】 如图， 猜想筝形的角、对角线有的性质：，垂直平分，平分和， 证明：∵，，， ∴， ∴，，， 即平分和， ∴垂直平分． 〖概念理解〗（1）如图1，四边形即为所求； 〖性质探究〗（2）如图2，连接， 在与中， ， ∴， ∴； （3）有一条对角线平分一组对角(答案不唯一)， 证明∶ 在与中， ， ∴， ∴，， 即平分、． 〖拓展应用〗（4）或 【解析】 【分析】〖教材呈现〗利用证明，即可得出结论； （1）取格点B的关于对称格点D，连接、即可； （2）连接，利用证明，即可得出结论； （3）利用证明，即可得出结论； （4）分两种情况：①当筝形中，时，②当筝形中，时，分别求解即可． 【详解】解：〖教材呈现〗略 〖概念理解〗（1）略 〖性质探究〗 （2）略 （3）略 〖拓展应用〗 （4）分两种情况：①当筝形中，时，如图4-1， ∴； ②当筝形中，时，如图4-2， ∵ ∴ ∴ 综上，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，网格作图，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $