专题03 基本不等式 期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义以基本不等式为单元核心，通过基础知识与核心考点双思维导图系统构建知识体系，清晰呈现“一正、二定、三相等”的使用条件及直接法、“1”的活用等四大基础题型，用层级框架图梳理公式结构与应用场景的内在联系，突出重难点分布。 讲义特色在于分层递进的练习设计与方法创新，每个题型配套典型例题与变式突破，如“1的活用”通过常数代换解决最值问题，培养数学思维的逻辑性。分式型问题引入“赋t法”转化变量关系，引导学生用数学的眼光发现规律。易错点模块聚焦等号条件误区，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供有力支持。

专题03 基本不等式 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 直接法（基本不等式的“三要”） 方法点拨： 1.基本不等式：，，，当且仅当时，等号成立． “一正”：， “三相等”：当且仅当时，等号成立 “二定”： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值，即 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值,即 . 例题解析： 例1.（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 例2.（25-26高三上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 例3.（25-26高三上·安徽·期中）若，，且，则的最大值为 ． 例4.（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，则函数有（    ） A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9 例5.（25-26高一上·天津·月考）当时，的最小值为 例6.（25-26高一上·安徽·期中）已知，当取最小值时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 例7..（25-26高三上·宁夏·期中）已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例8.（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 例9.（25-26高三上·全国·月考）设正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例10.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 例11.（25-26高三上·重庆·月考）已知正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 2.（24-25高一上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 3.(多选)（25-26高一上·江苏南京·开学考试）下列函数中最小值不小于6的是（ ） A． B． C． D． 4.（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为 . 5.（2026高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 6.（25-26高一上·广东中山·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)已知，且，求的最大值. (3)当时，求的最大值. 9.（多选）（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知为正实数，且，则（ ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C． D． 题型二 “1”的活用 方法点拨： “1”的活用本质是通过常数代换或构造“1”的表达式，将目标式与已知条件关联，创造使用基本不等式的条件。 例题解析： 例1.（25-26高一上·广东东莞·期中）若正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 例2.（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 例3.（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4.（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 例5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例6.（24-25高一上·安徽·月考）若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·湖南株洲·期中）设正实数，满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值 2.（25-26高三上·天津河西·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 3.（25-26高一上·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 4.（25-26高一上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 5.（25-26高一上·福建莆田·期中）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6.（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 7.（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 8.（25-26高一上·河南·期中）已知正数，满足，则（   ） A．的最小值为4 B．当时，的最小值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为 题型三 分式型-赋t法 方法点拨： 当目标式为分子分母均含变量的分式，且变量次数不同或结构复杂时，通过设 t=某个整式或分式t=某个整式或分式，将原式转化为关于 t 的二次函数或可直接用基本不等式的形式，实现“降次”或“去分母”的目的。 例题解析： 例1.（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（   ） 例2.函数的值域是 ． 例3.当时，函数的最小值是 ． 例4.已知函数，则的最大值为 ． 例5.已知，且，则最大值为 ． 例6.若正实数，满足，则的最大值为 ． 变式突破： 1.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 2.（25-26高一上·山东菏泽·期中）函数的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 3.函数在上的最大值为 ． 4.设，则函数的最大值为 ． 5.已知，，，则的最大值为 . 6.已知，则的最小值为 . 7.已知，则的最小值为 . 8.（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 题型四 用基本不等式比较大小 方法点拨： 对数式：通过“换底公式”统一底数，然后使用基本不等式进行放缩，达到比较对数式大小的目的 例题解析： 例1.（25-26高三上·安徽·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 变式突破： 1.（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·安徽·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2026高三·全国·专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 题型五 基本不等式的实际应用 方法点拨： 翻译题意：将文字描述转化为数学式子→找约束条件：明确已知的“定值”，区分“目标函数”→运用基本不等式解决最值问题 例题解析： 例1.（25-26高一上·山西大同·期中）做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2.（25-26高一上·福建宁德·期中）秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 例3.（25-26高一上·云南文山·月考）为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 变式突破： 1.（25-26高一上·江苏连云港·期中）若直角三角形的面积为72，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B． C．24 D．20 2.（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 3.（25-26高一上·山东济宁·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为5台时，需另投入成本225万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 易错点 1. 等号条件不成立 核心问题：若使用基本不等式时，等号取不到，需用函数单调性求最值 1．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 2．（多选）（22-23高一下·山西大同·月考）下列函数中，的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 2.多次使用基本不等式时等号条件需一致 1.已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 基本不等式 基础知识（思维导图） 核心考点（思维导图） 基础题型 题型一 直接法（基本不等式的“三要”） 方法点拨： 1.基本不等式：，，，当且仅当时，等号成立． “一正”：， “三相等”：当且仅当时，等号成立 “二定”： ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值，即 ； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值,即 . 例题解析： 例1.（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 例2.（25-26高三上·湖南长沙·月考）下列说法正确的是（    ） A．当时，的最小值为2 B．当时，的最小值为4 C．的最小值为 D．当时，的最大值为1 【答案】D 【分析】根据题意，利用对勾函数的单调性，可得判定A、B错误，由不是定值，可判定C错误；结合基本不等式，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，单调递减，所以，所以A错误； 对于B，当时，可得，令， 则在上单调递减，时，函数取得最小值5，所以B错误； 对于C，由不是定值，所以不是的最小值，所以C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号，所以D正确． 故选：D. 例3.（25-26高三上·安徽·期中）若，，且，则的最大值为 ． 【答案】81 【分析】根据基本不等式可解 【详解】因为，，所以， 当且仅当时等号成立，即，故． 故答案为：81 例4.（25-26高一上·江苏苏州·期中）已知，则函数有（    ） A．最大值1 B．最小值9 C．最小值1 D．最大值9 【答案】B 【分析】利用基本不等式求最小值，则可得函数有最小值9. 【详解】因为，所以，根据基本不等式可知：， 当且仅当，即取等号，故. 即函数有最小值9. 故选：B. 例5.（25-26高一上·天津·月考）当时，的最小值为 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】当时，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最小值为. 故答案为：. 例6.（25-26高一上·安徽·期中）已知，当取最小值时，实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】先将原式变形为，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由得， 所以， 当且仅当，即时取最小值. 所以,取最小值时，实数. 故选：B. 例7..（25-26高三上·宁夏·期中）已知命题：，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数，将不等式化为，利用基本不等式求的最小值即可求出答案． 【详解】根据题意可得，因为，则， 利用基本不等式得，当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 例8.（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意参变分离得，再根据对勾函数求最值即可． 【详解】由时，有解， 所以， 又在上单调递减，在上单调递增， 且时，，时， 所以． 故选：C． 例9.（25-26高三上·全国·月考）设正数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基本不等式得出，即可得出的最小值. 【详解】因为， 当且仅当时，即当，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：B． 例10.（25-26高一上·河北邯郸·期中）已知，且，则的最小值与最大值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用基本不等式得求的范围，注意端点值的取值条件，即可得. 【详解】由，有，有，得， 当时，， 当时，， 所以的最小值为，最大值为2， 所以的最小值与最大值之和为. 故选：D 例11.（25-26高三上·重庆·月考）已知正实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于AB选项可用基本不等式可判断，对于C选项举反例即可，对于D选项则根据条件进行消元转化为二次函数值域问题可得. 【详解】对于A：因为，所以， 即，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C：举例，满足，但，故C不正确； 对于D：由，， 当且仅当时取等号，故D成立； 故选：ABD. 变式突破： 1.（25-26高三上·福建泉州·期中）下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，分和两种情况利用基本不等式即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C，由，利用二次函数即可判断，对于D，由利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立， 当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故A错误； 对于B，，当且仅当时，即时，等号成立，故B正确； 对于C，由，当时，等号成立，故C正确； 对于D，由， 当且仅当，即不成立，所以等号不成立， 所以，故D正确， 故选：BCD. 2.（24-25高一上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】用作差法可判断A，由基本不等式及取等号的条件逐一判断选项B、C、D. 【详解】对A，，当且仅当时等号成立； 对B，∵，∴，， 当且仅当时等号成立； 对C，∵，则，所以，， 则，当且仅当时等号成立； 对D，∵，∴， 当且仅当，即时等号成立， 而，因此中的等号取不到． 故选：ABC. 3.(多选)（25-26高一上·江苏南京·开学考试）下列函数中最小值不小于6的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A选项：当时，得到不符合题意；对于B和C选项：利用基本不等式的一正二定三相等这三个条件分别验证各选项；对于D选项：利用基本不等式，验证三相等时不成立，进而转换使用对勾函数进行验证即可. 【详解】对于A：当时，，故A不符合题意； 对于B：，当且仅当，即时，等号成立，故B符合题意； 对于C：，当且仅当，即时，等号成立，故C符合题意； 对于D：，当且仅当时，等号成立，解方程，得，无实数解，故， 又设，则为对勾函数，在上时增函数，在处取最小值为，故D符合题意. 故选：BCD. 4.（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知为正数，且，则的最大值为 . 【答案】/0.125 【分析】结合已知条件，利用基本不等式即可求解. 【详解】因为， ，即，可得， 当且仅当且，即时等号成立. 故答案为：. 5.（2026高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 6.（25-26高一上·广东中山·月考）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用基本不等式和充分条件、必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，，当且仅当时，即时取等号，故充分性成立； 当时，也成立，不满足，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：. 7.（25-26高三上·云南玉溪·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的函数，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【详解】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 故选：. 8.（25-26高一上·海南省直辖县级单位·月考）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)已知，且，求的最大值. (3)当时，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据题意结合不等式求最值，注意对齐形式； （3）根据题意结合基本不等式求最值，注意符号的处理. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （2）因为，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 则，所以的最大值为. 9.（多选）（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知为正实数，且，则（ ） A．的最大值为4 B．的最小值为 C． D． 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式计算可判断AB，由，可得，进而计算可判断C；利用赋值法判断D. 【详解】由，，，可得， 所以，所以， 解得，又，，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的取值范围为，故A正确； 由，可得， 所以，解得或（舍去）， 当且仅当时取等号，故B正确； 因为，可得，因为，所以， 即，解得，所以，所以， 所以 恒成立，所以 ，故C正确； 取，，满足，但，故D错误. 故选：ABC. 题型二 “1”的活用 方法点拨： “1”的活用本质是通过常数代换或构造“1”的表达式，将目标式与已知条件关联，创造使用基本不等式的条件。 例题解析： 例1.（25-26高一上·广东东莞·期中）若正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据基本不等式中“1”的妙用即可求解. 【详解】由题意， 当且仅当，结合，即时取等号， 所以的最小值为8. 故选：B 例2.（25-26高一上·安徽六安·期中）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】利用将原式化为，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：D. 例3.（25-26高一上·河南洛阳·期中）设实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得，再通过同号，和异号，利用基本不等式即可求解. 【详解】由，则， 当同号时，由，当且仅当时，取等号， 当异号时，由，当且仅当时，取等号， 综上的范围为， 故选：A 例4.（2025·浙江台州·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】D 【分析】可利用配凑法与“1的妙用”，结合基本不等式进行求解. 【详解】由题可知，，又因为, 则 , 当且仅当时，即当时，等号成立. 因此的最小值为4， 故的最小值为3. 故选：D. 例5.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，故，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 例6.（24-25高一上·安徽·月考）若正数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用基本不等式以及常见变式逐个选项求解即可 【详解】由题知正数，则： 对于A，，得，得，当且仅当时取等号，故A错误； 对于B，由，得，所以，当且仅当时取等号，故B正确； 对于C， 由题干和选项A知，当且仅当时取等号，故C正确； 对于D，由得，等式两边同时平方得，即，因为，所以，当且仅当时取等号， 故D正确. 故选：BCD 变式突破： 1.（25-26高一上·湖南株洲·期中）设正实数，满足，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值 D．有最大值 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解即得. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当即时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由B得，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，，当且仅当时取等号， 所以有最小值，D错误. 故选：BC 2.（25-26高三上·天津河西·月考）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当且，即时等号成立， 故答案为：. 3.（25-26高一上·陕西西安·期中）已知，，，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】灵活运用“1”，构造齐次式结合基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当时，等号成立. 故选：D 4.（25-26高一上·天津·期中）已知，，且，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件将所求式子变为，利用“1”的代换结合基本不等式求解. 【详解】因为，且， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 5.（25-26高一上·福建莆田·期中）已知 且，若恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式恒成立的性质，以及基本不等式性质，求出的最小值，从而可求实数m的取值范围. 【详解】∵，且， ∴， 当且仅当时取等号，∴， 由恒成立可得，即，解得， 所以实数m的取值范围是. 故选：C. 6.（25-26高一上·福建三明·月考）若不等式对恒成立，则实数的最大值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】借助基本不等式“1”的活用可得，则可得. 【详解】当时，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 即恒成立，则，故， 故实数的最大值为. 故选：A. 7.（多选）（2025高三·全国·专题练习）已知正数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，求得，，，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设，可得，，，且， 则， 因为，可得，所以，所以， 又因为，所以，所以. 故选：AD. 8.（25-26高一上·河南·期中）已知正数，满足，则（   ） A．的最小值为4 B．当时，的最小值为2 C．的最小值为6 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对于A，方法一：由题得，利用常数代换技巧求解最值；方法二：对变形为，然后利用基本不等式求解最值；对于    B：由得，利用求得；对于C，方法一：，结合换元法利用基本不等式求解最值；方法二：，利用常数代换技巧求解最值；对于D，，由得，即可求解最值. 【详解】由得， 整理得， 因为，，所以，两边同时除以得. 对A，方法一：， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为4； 方法二：由得， 即，所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立； 所以的最小值为4，故A正确； 对B，由得，因为，均为正数，所以， 即，所以，又因为，所以， 因为，所以，即，即的最小值为2，所以B正确； 对C，方法一：因为，所以，令，即， 因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为， 方法二：，当且仅当即，时等号成立，所以选项C错误； 对于D，，又因为， 所以， 因为，所以，则，所以， 所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 所以选项D正确. 故选：ABD. 题型三 分式型-赋t法 方法点拨： 当目标式为分子分母均含变量的分式，且变量次数不同或结构复杂时，通过设 t=某个整式或分式t=某个整式或分式，将原式转化为关于 t 的二次函数或可直接用基本不等式的形式，实现“降次”或“去分母”的目的。 例题解析： 例1.（25-26高一上·福建厦门·期中）已知，则的最小值为（   ） A．4 B．7 C．11 D．24 【答案】B 【分析】对所求的式子进行适当的变形再利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为7. 故选：B 例2.函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 例3.当时，函数的最小值是 ． 【答案】 【分析】先将函数变形为，再利用基本不等式即可求出． 【详解】， ，当且仅当，即时取等号． 函数的最小值是． 故答案为：． 例4.已知函数，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】由三角函数的有界性得：设，则，由“对勾函数”的单调性得：，在为减函数，在为增函数，可得结果． 【详解】解：设，则， 则， 则， 由“对勾函数”的性质可得： 在为减函数，在为增函数，又，， 所以，故答案为1 例5.已知，且，则最大值为 ． 【答案】 【分析】由且，可得，可得，再将化为后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由且，可得，代入， 又， 当且仅当，即， 又，可得，时，不等式取等， 即的最大值为， 故答案为：． 例6.若正实数，满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由已知得a＝，代入＝＝＝﹣2 （）2+，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】 因为正实数a，b满足b+3a＝2ab，所以a＝， 则＝＝＝﹣2 （）2+， 当，即b＝2 时取得最大值． 故答案为：． 变式突破： 1.（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】依题意利用基本不等式计算可得. 【详解】因为 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号， 故答案为： 2.（25-26高一上·山东菏泽·期中）函数的最大值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】令，结合基本不等式即可求解. 【详解】令，得， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以函数的最大值为， 故选：D 3.函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 4.设，则函数的最大值为 ． 【答案】 【详解】试题分析：因为，， 函数，当且仅当等号成立．故最大值为． 考点：1．基本不等式；2．同角的基本关系． 5.已知，，，则的最大值为 . 【答案】 【解析】由已知可得，令，则原式，利用基本不等式即可解决. 【详解】由已知，所以，故， 令，原式 ，当且仅当，即，时，等号成立. 故答案为： 6.已知，则的最小值为 . 【答案】 【分析】将变形为，换元，令，构造均值不等式求解即可. 【详解】，令，所以， 则， 当且仅当，即，时取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 7.已知，则的最小值为 . 【答案】16 【分析】将目标式化为，结合及二次函数性质求最大值即可. 【详解】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 8.（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知得，然后对目标式变形为，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】因为，显然，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立，即的最小值为. 故选：C 题型四 用基本不等式比较大小 方法点拨： 对数式：通过“换底公式”统一底数，然后使用基本不等式进行放缩，达到比较对数式大小的目的 例题解析： 例1.（25-26高三上·安徽·月考）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数单调性计算判断，再结合基本不等式及对数运算判断. 【详解】，则， 因为，所以且不能取等号， 所以， 所以，所以， 所以. 故选：A. 变式突破： 1.（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【详解】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 2.（24-25高二下·安徽·月考）已知，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式，作差法结合基本不等式，可比较的大小；在利用函数的单调性比较的大小. 【详解】因为，所以.又因为，所以， 而，所以. 综上. 故选：A 3.（2026高三·全国·专题练习）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法，结合换底公式、基本不等式、对数的运算性质、对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】由 ，则， 由 ，则， 所以. 故选：A 题型五 基本不等式的实际应用 方法点拨： 翻译题意：将文字描述转化为数学式子→找约束条件：明确已知的“定值”，区分“目标函数”→运用基本不等式解决最值问题 例题解析： 例1.（25-26高一上·山西大同·期中）做一个体积为，高为的长方体包装箱，则所用材料的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设底面的长和宽分别为，，由题意得，再由长方体的表面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设底面的长和宽分别为，（，）， 因为体积为，高为，所以底面积为，即， 所用材料的面积， 当且仅当时取等号， 所以当底面的长和宽均为时，所用的材料表面积最少，其最小值为. 故选：B. 例2.（25-26高一上·福建宁德·期中）秋季流感高发，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产.生产口罩的固定成本为万元，每生产万箱，需另投入成本万元.当产量不足万箱时，；当产量不小于万箱时，.若每箱口罩售价元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完. (1)求口罩销售利润（单位：万元）关于产量（单位：万箱）的函数关系式.（销售利润销售总价固定成本生产成本） (2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)当产量为万箱时，最大利润是万元. 【分析】（1）分、两种情况分析，利用销售利润销售总价固定成本生产成本可得出口罩销售利润关于产量的函数关系式； （2）分别求出在、上的最大值及其对应的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）当时，；     当时， ，     所以. （2）当时，， 所以当时，取得最大值万元；    当时，，     当且仅当，即时，等号成立，所以取得最大值万元.     综上，当产量为万箱时，该口罩生产厂获得的利润最大，最大利润是万元. 例3.（25-26高一上·云南文山·月考）为打好扶贫攻坚战，落实帮扶措施，某村为帮扶对象建设猪圈，购置猪崽，帮助养猪致富.现在要建完全一样的长方体猪圈两间（每间留一个面积为1平方米的门），一面利用原有的墙（墙长米，），其他各面用砖砌成（如图）.若每间猪圈的面积为24平方米，高2米，如果砌砖每平方米造价100元（猪圈的地面和顶部不计费用），砖的宽度忽略不计；每个门造价200元，设每间猪圈靠墙一边长为米（），猪圈的总造价为元.    (1)求关于的关系式，并求出的取值范围； (2)当为多少米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低？并求出最低造价. 【答案】(1). (2)当为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低造价为5000元. 【分析】（1）根据题意计算砌砖面积和门的面积，结合造价求出关于的关系式及的取值范围. （2）利用基本不等式求出总造价的最小值及对应的值. 【详解】（1）每间猪圈靠墙一边长为米，猪圈的总造价为元， 由题意可得，门面积平方米，墙长米，则， 故，. （2）因为，，故，当且仅当时等号成立， 故，为6米时，可使建成的两间猪圈的总造价最低，且最低总造价为5000元. 变式突破： 1.（25-26高一上·江苏连云港·期中）若直角三角形的面积为72，则两条直角边的和的最小值是（    ） A． B． C．24 D．20 【答案】C 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】设直角三角形的两条直角边长为，则，， 直角三角形的面积为，故， 则两条直角边的和，当且仅当时等号成立， 故两条直角边的和的最小值是24. 故选：C. 2.（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【分析】（1）设，根据十字形地域的面积得出的关系式，即可求解； （2）由（1）可求得，从而可求出各个图形的面积，将花坛、地坪、草坪的各个区域造价相加，求得总造价，再利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 3.（25-26高一上·山东济宁·期中）由于我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持着持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台．每生产台该产品，需另投入成本万元，且，当年产量为5台时，需另投入成本225万元．由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． (1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)； (2)当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 【分析】（1）利用利润销售收入-成本公式列式求解即可； （2）利用二次函数性质和基本不等式计算求解即可． 【详解】（1）由题意可得，当时，，故， 故当时，； 当时，． 故年利润关于年产量的函数关系式为 ； （2）由（1）得当时，； 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，． 而，故当时，年利润最大，最大年利润是900万元． 综上所述，当年产量为50台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是900万元． 易错点 1. 等号条件不成立 核心问题：若使用基本不等式时，等号取不到，需用函数单调性求最值 1．（多选）（23-24高一上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 2．（多选）（22-23高一下·山西大同·月考）下列函数中，的最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合基本不等式判断ABC，结合根式性质，二次函数性质判断D. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时等号成立， 当时，，当且仅当时等号成立，无最小值，故A错误； 对于B，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确；； 对于C，当时，，， 当且仅当，即，所以的最小值是4，故C正确； 对于D，，当时等号成立， 所以的最小值为，故D错误； 故选：BC 2. 多次使用基本不等式时等号条件需一致 1.已知，则的最小值是（       ） A．2 B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件利用均值不等式直接计算作答. 【详解】因，则， 当且仅当且，即时取“=”， 所以当时，取最小值. 故选：B 2．已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以， 当且仅当且，即时，取等号，所以的最小值为2. 选：D. 学科网（北京）股份有限公司 $