3.2 双曲线 第二课时 课件-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线及离心率等核心性质，通过伦敦奥运会自行车赛车场双曲线屋顶设计导入，结合椭圆知识对比（如椭圆在矩形内与双曲线范围x≥a或x≤-a的差异），搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，如“双曲线是否有顶点”“离心率如何影响开口”等，培养数学思维。通过奥运场馆实例渗透数学眼光，例题从性质求解到方程推导再到位置关系讨论，强化数学语言表达。小结系统梳理知识，助力学生构建结构，教师可高效开展教学。

3.2 双曲线 第二课时 伦敦奥运会自行车赛车场独特的双曲线型屋顶设计让人耳目一新，策略性屋顶设计能让室内拥有充足的自然光线，减少照明能耗;建筑外壁穿孔覆层能让室内拥有良好的自然通风;收集的雨水可作建筑它用。那么双曲线到底有些什么几何性质呢？我们以 为例来研究一下. (a＞0，b＞0) 双曲线上点 (x, y)都满足 双曲线在不等式x≥a与x≤－a所表示的区域内. a －a y O F1 F2 [问题]：通过前面的学习我们知道椭圆的图象分布在一个矩形内，那么双曲线的图象是否也分布在一个有限的范围之内呢？ 1.范围 2.对称性 双曲线关于y轴、x轴、原点都是对称的 坐标轴是双曲线的对称轴 原点是双曲线的对称中心 双曲线的对称中心叫做双曲线的中心 y O x F1 F2 [问题]：观察双曲线的图象，双曲线是对称图形吗？如果是的话你能找到它的对称轴和对称中心吗？ 3.顶点 令y＝0，得x＝±a，∴双曲线和x轴有两个交点A1(－a, 0)、A2(a, 0) 双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点 令x＝0，得y2＝－b2，这个方程没有实数根，则双曲线和y轴无交点 特殊点B1(0,－b)、B2(0, b) O x A1 A2 F1 F2 y=b y=-b B2 B1 3.顶点 [问题]：我们知道椭圆有四个顶点，双曲线有顶点吗？如果有的话有几个顶点呢？ [注意]：双曲线与坐标轴的交点只有两个，因此，双曲线只有两个顶点，B1,B2不能看作是双曲线的顶点. 3.顶点 线段A1A2 叫做双曲线的实轴 线段B1B2叫做双曲线的虚轴 实轴的长等于2a 虚轴的长等于2b a叫做双曲线的实半轴长 b叫做双曲线的虚半轴长 实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线 y O x A1 A2 F1 F2 y=b y=-b B2 B1 4.渐近线 经过A2、A1作y轴的平行线 x＝±a， 经过B2、B1作x 轴的平行线y＝±b，四 条直线围成一个矩形 (如图). 两条直线 的渐近线. 叫做双曲线 y O x A1 A2 B2 B1 F1 F2 a b [结论]：在讨论双曲线范围的时候我们发现: 4.渐近线 (a＞0, b＞0)的渐近线为 y O x A1 A2 B2 B1 a b [问题]：焦点在y轴的双曲线的渐近线和焦点在x轴的双曲线的渐近线一样吗？ 4.渐近线 当a＝b时，实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线. 这时双曲线方程为x2－y2＝a2，渐近线方程为x＝±y，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角. 5.离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 ,叫做双曲线的离心率. ∵ c ＞a＞0， ∴e＞1． [问题]：椭圆的离心率可以反应椭圆的圆扁程度，那么双曲线的离心率呢？ 5.离心率 双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔. 由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔. 例1. 求双曲线 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率，并画出该双曲线的草图. [分析]：画草图时先画出渐近线，然后找到顶点坐标，再依次近似的取几个点坐标， 最后用光滑的曲线连接即可. 例2. 已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，虚半轴长为2 ,离心率为3，求该双曲线的标准方程. 2+b2=c2 解得 a2=1，b2=8 故所求双曲线的标准方程为 例3. 讨论直线y=x+b与双曲线x2-y2=1的公共点的个数. [分析]：在讨论直线与圆锥曲线焦点问题中，用代数法联立方程组求解的个数永远是可靠的方法，另外数形结合的方法也可以很好的解决问题. 1.范围 2.对称性 3.顶点 4.渐近线 5.离心率 课堂小结 布置作业: 谢谢观看 $