2.5.2 圆的一般方程 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦“圆的一般方程”，基于上节圆的标准方程，通过复习回顾标准方程并引导学生展开化简，建立新旧知识联系，以问题链为学习支架，帮助学生发现圆方程的新形式。 亮点在于以问题驱动探究，引导学生通过配方将一般方程转化为标准方程，培养逻辑推理能力；典例分析中用待定系数法与数形结合法解题，提升数学运算与直观想象素养，助力学生深化数形结合思想，教师使用可高效落实核心素养，优化教学效果。

2.5 圆的方程 第2课时教学设计 一、内容分析 本节课以上节所学的圆的标准方程为基础，通过将圆的标准方程展开并分析，得到了圆的一般方程，从另一个角度来揭示圆的方程所具有的特点. 圆的一般方程为，一方面说明任意一个圆的方程都是二元二次方程的形式（形式上很有特点，没有xy项，的系数均相等），这对我们后续研究直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、圆锥曲线等内容有很大的帮助；另一方面需要注意，圆的一般方程中仍然含有三个参数D、E、F，而且对参数有要求，只有满足的二元二次方程才能表示圆，其中圆心坐标与D、E有关，半径则与D、E、F均相关. 本节内容通过引导学生探究圆的一般方程的形式，进行圆的一般方程与标准方程间的互化，进一步培养他们逻辑推理的能力，并学会用联系的观点看待数学问题；求解圆的方程时，可以用待定系数法，设圆的方程为一般方程或者标准方程，也可以根据“圆心在弦的垂直平分线上”这一事实采用数形结合法，让学生领会不同方法的优势，再次体会代数与几何有机结合的魅力，进一步提高对解析几何的感性和理性认识. 二、教学目的 明确圆的一般方程的形式特点，掌握D、E、F三个参数与圆心坐标和半径之间的关系，经历并熟悉“已知圆上三点坐标求圆的方程”、“已知圆上两点坐标，及圆心所在直线方程求圆的方程”这两种题型，理解坐标法在确定圆的大小和位置方面的便捷之处，进一步感受解析几何数形结合的思想方法. 三、重点难点 重点：掌握圆的一般方程在方程形式上的特点；根据圆的一般方程求出圆心和半径；用待定系数法或数形结合法由已知条件求出圆的一般方程. 难点：用待定系数法或数形结合法由已知条件求出圆的一般方程. 四、核心素养 ●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模. 五、教学准备 课件. 六、教学流程 复习引入→新知探索→提炼总结→练习巩固→典例分析→练习巩固→归纳小结→课后作业 七、教学过程 教学 环节 教学内容 师生活动 设计 意图 分配 一、 复习 引入 给定⊙C的标准方程：. 回顾：圆心和半径分别是什么？ 思考：（1）尝试对上述方程进行代数式化简，看看它的庐山真面目； （2）化简后的结果也能表示圆吗？如果可以的话表示什么样的圆？ 1. 开始语：前面学习了圆的标准方程，从中能够明确看出圆心和半径.老师给了一个圆的标准方程，请同学们来思考一下三个小问题. 2. 引导学生交流讨论，请同学起来作答. 通过对圆的标准方程进行展开与化简，引导学生发现圆的方程的不同表示形式. 3 分 钟 二、 新知 探索 问题：二元二次方程叫做⊙C的一般方程，如果直接给出这个方程，怎么看出⊙C的圆心和半径？ 引导：对x和y分别进行配方. 试试：（1）已知表示圆，求出圆心和半径； （2）已知表示圆，求出圆心和半径. 思考：观察上述三个方程的特点，所有的二元二次方程都能表示圆吗？ 判断：下列二元二次方程能够表示圆吗？ （1） （2） （3） 圆的一般方程无法直接体现圆心和半径，求解圆心与半径，需要进行配方处理，转化为圆的标准方程. 引导学生注意观察圆的一般方程的结构特点，不是所有的二元二次方程都能表示一个圆. 让学生大胆猜测需要满足的条件，逐步引导他们说出：不能有xy项、配方化成标准方程后保证大于0、与的系数相等（不必强制要求均为1）. 引导学生明白，若已知一个二元二次方程表示圆，应该通过配方化为标准方程，从而求出圆心和半径，为后续推导一般情况做铺垫； 通过提问与示例判断，让学生发现二元二次方程能够表示圆是有条件的，引导他们大胆猜测. 10 分 钟 三、 提炼 总结 将圆的标准方程拆平方并移项得：. 记， 方程可改写成：.① 配方得：. 结论： (1)当时，方程①表示圆，圆心，半径； (2)当时，方程①表示一个点； (3)当时，方程①无解，不表示任何图形. 下定义：将如下方程叫做圆的一般方程. 师生一起推导、总结、归纳，明确二元二次方程需要满足何种条件才能表示圆，掌握圆的一般方程的结构特点：①与的系数相等，且不为0；②没有xy项；③. 注意圆的一般方程中圆心坐标与参数D、E有关，半径与参数D、E、F均有关. 通过总结一般情况，再次强化二元二次方程不同情况下表示何种图形；明晰圆的一般方程在方程形式上的特点以及三个参数D、E、F的作用. 5 分 钟 四、 练习 巩固 练1．判断下列方程表示什么图形，如果是圆，求出圆心坐标与半径. （1） （2） 练2．讨论表示何种曲线. 给学生时间课堂练习，老师下去查看学生做题情况并加以指导； 请学生回答练1，并请学生在平台板书练2，老师给予点评. 小试牛刀，加深对圆的一般方程概念的理解与运用. 5 分 钟 五、 典例 分析 例1．已知，求的外接圆的圆心坐标和半径. 方法：待定系数法或数形结合法. 储备知识：①不在同一直线上的三个点可以确定一个圆；②圆心在弦的垂直平分线上. 思路1：设出圆的一般方程，用待定系数法求解（也可设圆的标准方程，感受不同设法计算量的不同）； 思路2：通过求AB和AC的垂直平分线的交点找出圆心坐标，然后用距离公式求半径. 引导学生采用不同的思路与解法解决“已知圆上三点坐标求圆的方程”这种题型，体会并比较不同方法的优势，拓展学生思维. 8 分 钟 六、 练习 巩固 练3： 已知圆心为C的圆经过两点，且圆心C在直线上，求此圆的一般方程. （选取一种方法即可） 请学生选择一种方法在学案上写出过程，然后利用授课助手或者平台投影，依次展示学生的不同方法，老师进行总结点评. 通过练习，再次巩固用待定系数法或数形结合法求解圆的一般方程的步骤及方法. 5 分 钟 七、 归纳 小结 回顾本节课你学到了什么？ 提问学生，先让学生回答，由老师对学生描述进行评价，并进行归纳、强调关键点： 1、圆的一般方程为： ，其中圆心，半径. 注意：圆的一般方程中与的系数相等，且不为0；没有xy项. 2、确定圆的一般方程有两种方法，推荐使用待定系数法：先设出所求圆的一般方程，根据已知条件建立关于D、E、F的方程组，消元求解出D、E、F的值，带回原先所设方程. 让学生对所学知识进行反思总结，有利于理清知识结构，提高归纳概括能力，加强对圆的一般方程概念的掌握. 3 分 钟 八、 课后 作业 课本P89 练习T3； 课本P89 习题2.5 T4、T5、T6; 课本P90 习题2.5 T7. （写在作业本上，认真书写过程） 复习巩固本节课知识. 1 分 钟 八、板书设计 大致板书如下： （练2结果） （例1两种不同解法的关键过程） （圆的一般方程及其结构特点） （用待定系数法求解圆的一般方程的步骤） 学科网（北京）股份有限公司 $