第2章 2.5.2 圆的一般方程（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（湘教版）

本讲义聚焦圆的一般方程核心知识点，从圆的标准方程展开切入，通过配方推导其表示圆的条件（D²+E²-4F>0），进而掌握化为标准方程求圆心半径的方法，最终应用待定系数法及解决实际问题，构建完整学习支架。 该资料以问题链驱动探究，从二元二次方程引入培养数学眼光，通过推理条件发展数学思维，结合赵州桥等实例强化数学语言表达。课中助力教师引导学生主动建构知识，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

2.5.2　圆的一般方程 学习目标　1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程. 导语 在平面直角坐标系中，我们用二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0(A，B不同时为0)代表直线，实现了代数与几何的相互融合，那么，我们不禁要问，对于二元二次方程的一般形式Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0(A，B，C不同时为0)，它是否也代表什么曲线类型呢？事实上，圆的方程就是其中一类二元二次方程，仔细想想，它的系数A，B，C有什么要求吗？ 一、圆的一般方程的辨析 问题1　圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，能否化为二元二次方程的一般形式？ 提示　展开(x-a)2+(y-b)2=r2为x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0，令D=-2a，E=-2b，F=a2+b2-r2，则x2+y2+Dx+Ey+F=0，它是二元二次方程的一般形式. 问题2　如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0能表示圆的方程，需满足什么条件？ 提示　将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方可得，+=，当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆. 知识梳理 1.当D2+E2-4F>0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫作圆的一般方程. 2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形 条件 图形 D2+E2-4F<0 不表示任何图形 D2+E2-4F=0 表示一个点 D2+E2-4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 注意点： (1)二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项，且+-4·>0，即A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0. (2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0. 例1　若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆. (1)求实数m的取值范围； (2)写出圆心坐标和半径. 解　(1)由表示圆的充要条件， 得(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0， 解得m<，即实数m的取值范围为. (2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0写成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m，故圆心坐标为(-m，1)，半径r=. 反思感悟　方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的两种判断方法 (1)配方法：将方程配方后，根据圆的标准方程的特征，观察是否表示圆. (2)由圆的一般方程的定义，判断D2+E2-4F是否为正，确定它是否表示圆. 跟踪训练1　(1)当圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时，m的值为(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　D 解析　因为圆C：x2+y2-4x-2my+2m=0，所以圆C的标准方程为(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4，从而对于圆C的半径r有r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3，所以当m=1时，r2取得最小值，从而圆C的面积在m=1时取得最小值. (2)点M，N在圆x2+y2+kx+2y-4=0上，且点M，N关于直线x-y+1=0对称，则该圆的面积为　　　　.  答案　9π 解析　圆x2+y2+kx+2y-4=0的圆心坐标是， 由圆的性质，知直线x-y+1=0经过圆心， ∴-+1+1=0，得k=4， 圆x2+y2+4x+2y-4=0的半径为 =3，∴该圆的面积为9π. 二、求圆的一般方程 例2　(课本例4) 　已知A(0，0)，B(6，0)，C(-1，7)，求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径. 解　设外接圆的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0. ① 将圆上三点的坐标依次代入方程①，得到一个关于D，E，F的三元一次方程组 解这个方程组，得D=-6，E=-8，F=0. 因此，外接圆的方程为x2+y2-6x-8y=0. 整理得(x-3)2+(y-4)2=52. 所以外接圆的圆心坐标为(3，4)，半径为5. 例2　已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，-1). (1)求△ABC的外接圆的一般方程； (2)若点M(a，2)在△ABC的外接圆上，求a的值. 解　(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意，得 解得 即△ABC的外接圆的一般方程为x2+y2-8x-2y+12=0. (2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0， ∵点M(a，2)在△ABC的外接圆上， ∴a2+22-8a-2×2+12=0， 即a2-8a+12=0，解得a=2或a=6. 反思感悟　求圆的方程的策略 (1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程. (2)待定系数法：选择圆的一般方程或标准方程，根据条件列关于D，E，F或a，b，r的方程组解出系数得到圆的方程. 跟踪训练2　已知圆C：x2+y2+Dx+Ey+3=0，圆心在直线x+y-1=0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程. 解　圆心C， ∵圆心在直线x+y-1=0上，∴---1=0， 即D+E=-2. ① 又∵半径长r==， ∴D2+E2=20. ② 由①②可得或 又∵圆心在第二象限， ∴-<0，即D>0.则 故圆的一般方程为x2+y2+2x-4y+3=0. 三、圆的一般方程的实际应用 例3　赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有1 400多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量.2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为16 m，拱高为4 m，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系. (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽10 m，水面以上高3 m，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.(≈1.732) 解　(1)设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，D2+E2-4F>0， 因为该拱圆过A(-8，0)，B(8，0)，C(0，4)， 所以解得 所以拱圆的一般方程为x2+y2+12y-64=0， 即x2+(y+6)2=100. (2)当x=5时，52+(y+6)2=100， 得y=5-6≈2.66<3， 所以该景区游船不能从桥下通过. 反思感悟　解应用题的步骤 (1)建模. (2)转化为数学问题求解. (3)回归实际问题，给出结论. 跟踪训练3　如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m.建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01 m). 解　建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，由题意知， P(0，4)，B(10，0)，A(-10，0)， 设圆拱所在圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，因为点A，B，P在圆上， 所以解得 故圆拱所在圆的方程为x2+y2+21y-100=0， 将P2的横坐标x=-2代入圆的方程得y≈3.86. 故支柱A2P2的高度约为3.86 m. 1.知识清单： (1)圆的一般方程. (2)圆的一般方程的实际应用. 2.方法归纳：待定系数法、几何法、定义法、代入法. 3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件. 1.若x2+y2-x+y-2m=0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　根据题意，得(-1)2+12-4×(-2m)>0， 所以m>-. 2.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2，3)，则D，E分别为(　　) A.4，-6 B.-4，-6 C.-4，6 D.4，6 答案　A 解析　圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为， 又已知该圆的圆心坐标为(-2，3)， ∴-=-2，-=3，∴D=4，E=-6. 3.(多选)圆x2+y2-4x-1=0(　　) A.关于点(2，0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 答案　ABC 解析　x2+y2-4x-1=0⇒(x-2)2+y2=5， 即圆心为(2，0). 圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2，0)是圆心，故A正确； 圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y=0，x+3y-2=0过圆心，直线x-y+2=0不过圆心，故B，C正确，D不正确. 4.过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的一般方程为　　　　　　　　.  答案　x2+y2-8x+6y=0 解析　设过三点O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 则解得 故所求圆的一般方程为x2+y2-8x+6y=0. 课时对点练　 [分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.若方程x2+y2+2ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆，则a的取值范围为(　　) A.R B.a≤1 C.a<1 D.a>1 答案　C 解析　根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0，解得a<1. 2.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为(　　) A.8π B.4π C.2π D.π 答案　C 解析　原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2， ∴半径r=，∴圆的面积为S=πr2=2π. 3.圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x-y-6=0的最大距离是(　　) A.36 B.8 C.6 D.18 答案　C 解析　圆x2+y2-4x-4y-10=0，即(x-2)2+(y-2)2=18，其圆心为(2，2)，半径为3， 则圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x-y-6=0的最大距离是+3=6. 4.已知直线l：x+my+2=0，若圆C：x2+y2-6x+4y-3=0上存在两点P，Q关于直线l对称，则m的值为(　　) A. B. C. D.5 答案　A 解析　因为圆C：x2+y2-6x+4y-3=0，所以圆C的圆心为(3，-2)，又圆C上存在两点P，Q关于直线l对称，所以直线l经过圆C的圆心，从而3-2m+2=0，解得m=. 5.一辆卡车宽1.6 m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6 m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面高度不得超过(　　) A.1.4 m B.3.5 m C.3.6 m D.2.0 m 答案　B 解析　建立如图所示的平面直角坐标系，设篷顶距地面的高度为h，则A(0.8，h)，半圆所在圆的方程为x2+y2=3.62， 把点A的坐标代入上式可得，0.82+h2=3.62， 解得h=4≈3.5(m). 6.(多选)若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2，-4)为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是(　　) A.的最大值为9 B.圆关于直线y=-2x对称 C.F=4 D.圆与y轴相切 答案　ABC 解析　表示圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离，因为圆心(2，-4)到点(2，1)的距离为5，所以圆上动点(x，y)到定点(2，1)的距离的最大值为5+4=9，A正确； 因为圆心(2，-4)在直线y=-2x上， 所以圆关于直线y=-2x对称，B正确； 由题知 解得D=-4，E=8，F=4，C正确； 由题知圆心纵坐标的绝对值等于半径， 故该圆与x轴相切，与y轴相交，D错误. 7.(5分)若方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆，则a+b+c=　　　　　　.  答案　2 解析　根据题意，得方程x2+y2-ax+by+c=0表示圆心为(1，2)，半径为1的圆， 则解得 ∴a+b+c=2. 8.(5分)已知函数y=1+loga(2-x)(a>0且a≠1)的图象恒过定点P，且点P在圆x2+y2+mx+m=0外，则符合条件的整数m的取值可以为　　　　　　.(写出一个值即可)  答案　5(不唯一，取m>4的整数即可) 解析　因为函数y=1+loga(2-x)的图象恒过定点(1，1)，所以P(1，1)，因为点P在圆x2+y2+mx+m=0外， 所以12+12+m+m>0且m2-4m>0， 解得-1<m<0或m>4， 又m为整数，所以m的取值可以为5，6，7，…. 9.(10分)已知方程x2+y2-2(t+3)x+2(1-4t2)y+16t4+9=0表示一个圆. (1)求t的取值范围；(3分) (2)求这个圆的圆心坐标和半径；(3分) (3)求该圆半径r的最大值及此时圆的标准方程.(4分) 解　(1)圆的方程可化为[x-(t+3)]2+[y+(1-4t2)]2=1+6t-7t2. 由7t2-6t-1<0，得-<t<1. 故t的取值范围是. (2)由(1)知，圆的圆心坐标为(t+3，4t2-1)，半径为. (3)r==≤. 所以当t=时，r的最大值为， 此时圆的标准方程为 +=. 10.(11分)已知△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(2，4)，直线l过点B且与直线x-y+1=0平行，点A和点C关于直线l对称. (1)求直线l的方程；(4分) (2)求△ABC外接圆的方程.(7分) 解　(1)设直线l的方程为x-y+c=0， ∵直线l经过点B(2，4)， ∴2-4+c=0，∴c=2， 即直线l的方程为x-y+2=0. (2)设C(x0，y0)，则kAC·kl=-1， 即=-1， ① 又∵线段AC的中点D在直线l上， 即-+2=0， ② 由①②可得，x0=-1，y0=3， ∴C(-1，3)， 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， ∵A(1，1)，B(2，4)，C(-1，3)都在圆上， ∴ 解得 故△ABC外接圆的方程为x2+y2-x-y+5=0. 11.若曲线C：x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为(　　) A.(-∞，-2) B.(-∞，-1) C.(1，+∞) D.(2，+∞) 答案　D 解析　由题意得，曲线C的标准方程为(x+a)2+(y-2a)2=4， 因此曲线C是圆心为(-a，2a)，半径为2的圆. ∵曲线C上所有的点均在第二象限内， ∴解得a>2， ∴a的取值范围是(2，+∞). 12.(多选)已知三角形的三个顶点分别为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)，则(　　) A.边MN的垂直平分线的方程是3x+y-9=0 B.△OMN的面积为1 C.△OMN外接圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25 D.△OMN外接圆的圆心坐标为(-4，3) 答案　ABC 解析　对于A，因为O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)， 所以kMN==，MN的中点为， 所以边MN的垂直平分线的方程为y-=-3，即3x+y-9=0，故A正确； 对于B，|MN|==， 边MN所在直线方程为y-1=(x-1)，即x-3y+2=0， 则顶点O到边MN的距离为d==， 所以△OMN的面积为|MN|·d=××=1，故B正确； 对于C，D，设△OMN外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 所以解得 所以△OMN外接圆的方程为x2+y2-8x+6y=0，化为标准方程得(x-4)2+(y+3)2=25， 所以△OMN外接圆的圆心坐标为(4，-3)，故C正确，D错误. 13.(5分)圆C：x2+y2-4x+2y=0关于直线y=x+1对称的圆的一般方程为　　　　　　　　 .  答案　x2+y2+4x-6y+8=0 解析　把圆C的方程化为标准方程为(x-2)2+(y+1)2=5，∴圆心C(2，-1). 设圆心C关于直线y=x+1的对称点为 C'(x0，y0)，则 解得故C'(-2，3)， ∴圆C关于直线y=x+1对称的圆的方程为(x+2)2+(y-3)2=5，即x2+y2+4x-6y+8=0. 14.(5分)已知圆C经过点(4，2)，(1，3)和(5，1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为　　　　.  答案　-2 解析　设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 将(4，2)，(1，3)，(5，1)代入方程中， 得 解得 所以圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0. 令x=0，则y2+4y-20=0， 由根与系数的关系得y1+y2=-4； 令y=0，则x2-2x-20=0， 由根与系数的关系得x1+x2=2， 故圆C与两坐标轴的四个截距之和为 y1+y2+x1+x2=-4+2=-2. 15.由曲线x2+y2=|x|+|y|(x，y不同时为0)围成的图形面积为(　　) A.π+2 B.π+4 C. D.π 答案　A 解析　当x>0，y>0时，曲线为+=， 当x>0>y时，曲线为+=， 当x<0，y<0时，曲线为+=， 当x<0<y时，曲线为+=， 同时点(±1，0)，(0，±1)均在曲线上，如图所示， 所以曲线围成的图形是由4个半径均为的半圆与1个边长为的正方形组成， 故图形面积为4××π×+=π+2. 16.(12分)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围；(4分) (2)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论.(8分) 解　(1)令x=0得f(x)的图象与y轴的交点是(0，b)， 令f(x)=x2+2x+b=0， 由题意b≠0，且Δ=4-4b>0，解得b<1，且b≠0. 即实数b的取值范围为{b|b<1，且b≠0}. (2)设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0， 由题意得函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0和坐标轴的交点， 令y=0得，x2+Dx+F=0，由题意可得，这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b. 令x=0得，y2+Ey+F=0，由题意可得，此方程有一个根为b，代入此方程得E=-b-1， 所以圆C的方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0(b<1，且b≠0). 把圆C的方程改写为x2+y2+2x-y-b(y-1)=0，令 解得或故圆C过定点(0，1)和(-2，1). 学科网（北京）股份有限公司 $