精品解析：河北省唐山市/迁安市第一初级中学2025-2026学年 上学期期中考试八年级数学试卷

2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，下列分式化简后等于的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各数是无理数是（　　） A. B. C. 3.1415926 D. 4. 某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A. 准确数只有5 B. 近似数是12.5和28 C. 楼梯的总高是准确数字 D. 楼梯的总高，结果精确到十分位 5. 如图，下列三角形中是全等三角形的一组是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 1是1平方根 D. 1的平方根是1 7. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，如果，且点在上，那么下列说法错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 规定一种新运算，若，则的值（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 10. 用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形如图，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 11. 现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（　　） A. 嘉嘉对，琪琪错 B. 嘉嘉错，琪琪对 C. 嘉嘉、琪琪都对 D. 嘉嘉、琪琪都错 12. 数学社团活动课上，甲、乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对和的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者获胜，若不能判定与全等，则当轮另一人获胜．下面的表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） 轮次 行动者 添加的条件 1 甲 2 乙 3 甲 ．．． ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲获胜； ③若第3轮甲添加，则甲获胜． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. 只有② 二、填空题（本大题共4小题，每空3分；共12分．第16题，第一空2分，第二空1分，把答案写在题中横线上）． 13. 若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 14. 已知正数x的两个平方根是和，则________． 15. 如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 16. 在学习实数时，所有的循环小数都可以化成分数，以下是循环节是一位的小数转化为分数的过程，类比循环节是一位数的小数转化成分数的过程． （1）把转化成分数___________； （2）把转化为分数___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 19. 下面是琪琪同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以___________，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将系数化为1，得． 所以，原方程的解为． （1）这位同学解题过程中的横线处应该填___________，解题过程缺少的步骤是___________； （2）其他同学发现琪琪的解题过程出现多处错误，请你写出正确的解答过程． 20. 琪琪把一个面积是的正方形放到数轴上，使点与表示的点重合，设点表示的数为，如图所示． （1）___________； （2）___________； （3）求． 21. 在学习完命题后，甲、乙、丙三名同学写出了关于分式的三个命题： 甲：如果分式中，那么； 乙：如果分式中，那么； 丙：如果分式中，那么； （1）直接判断甲、乙两名同学的命题中真命题是___________； （2）丙同学的命题是真命题还是假命题，如果是真命题给予证明，如果是假命题请举反例． 22. 琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）猜想与的位置关系，并证明． 23. 为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； （1）根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； （2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 24. 中，，点在直线上运动，点在的延长线上，点在平面内，且． 问题解决：如图1，若点运动到边的延长线上时，当时，___________； 类比探究：如图2，若点在线段上，猜想的关系并证明； 拓展延伸：如图3，若点在线段的延长线上，当时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中教学质量监测 八年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上． 3．考生务必将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 一、选择题：（本大题有12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1. 若分式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：要使分式有意义， 则， 解得， 故选：A． 2. 若，下列分式化简后等于的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是明确分式的分子分母需同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值才不变． 【详解】解：A、分式的分子分母同时加2，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； B、分式的分子分母同时减3，不符合分式基本性质，此选项不符合题意； C、当、时，（因），此选项不符合题意； D、分式的分子分母同时除以（），得，此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列各数是无理数的是（　　） A. B. C. 3.1415926 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，区分有理数和无理数的概念是解题关键． 无理数无限不循环小数，选项A、C、D均为有理数，选项B中是无理数，除以有理数5后仍为无理数． 详解】解： A．是分数，属于有理数； B．中，是无理数，除以有理数5后结果仍为无理数； C．是有限小数，属于有理数； D．是整数，属于有理数． 故选：B． 4. 某教学楼共5层楼梯，每层楼梯都有28级台阶，经测量，每级台阶高为，下列说法正确的是（　　） A. 准确数只有5 B. 近似数是12.5和28 C. 楼梯的总高是准确数字 D. 楼梯的总高，结果精确到十分位 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查准确数与近似数的概念．5层和28级台阶均为准确计数，是准确数；为测量值，是近似数．总高由计算得出，受的精度影响，结果为近似数，且精确到十分位． 【详解】∵楼层数5和每层台阶数28均为准确计数，是准确数； 每级台阶高为测量值，近似数； 总高； ∵是近似数（精确到）， ∴总高也为近似数，且结果精确到十分位（即分米）． 选项A错误，因准确数包括5和28； 选项B错误，因28是准确数； 选项C错误，因17.5是近似数； 选项D正确． 故选：D． 5. 如图，下列三角形中是全等三角形的一组是（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，根据三角形的边、角条件判断是否满足全等判定规则是解题关键． 逐一分析每组三角形的边、角，对照全等判定定理判断是否全等． 【详解】解： A．的两边是和，夹角为，的两边为和，夹角为，两边对应不相等，不全等； B．的两边是和，夹角为，的两边为和，由三角形内角和定理得这两边的夹角为，满足的判定规则，因此和全等； C．的两边为和，的两边为和，边不对应相等，不全等； D．的两边为和，夹角为，的两边为和，但不是两边的夹角，不全等． 故选：B． 6. 下列说法正确的是（　　） A. 的平方根是 B. 的平方根是 C. 1是1的平方根 D. 1的平方根是1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是明确负数没有平方根，一个正数的平方根有两个且互为相反数． 【详解】解：A、负数没有平方根，无平方根，此选项不符合题意； B、，的平方根是，此选项不符合题意； C、，故是的平方根，此选项符合题意； D、的平方根是，此选项不符合题意． 故选：C． 7. 公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的一个成员发现了一个新数——无理数．他的发现，在当时的数学界掀起了一场巨大风暴，导致西方数学史上的“第一次数学危机”．请估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，掌握夹逼法估算无理数的方法是解题的关键； 根据，可得，即可得到答案 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在1和2之间， 故选：A 8. 如图，如果，且点在上，那么下列说法错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，准确识图，熟练掌握全等三角形的性质是解决问题的关键． 对于选项，根据△△得，由此可对选项进行判断； 对于选项，根据△△得，，，进而得，则，再根据三角形内角和定理得，则，再根据得，由此可对选项进行判断； 对于选项，从现有条件不能推导出，由此可对结论进行判断； 对于选项，根据全等三角形的性质对选项进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：对于选项， △△， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， △△， ，，， ， ， ， 在△中，， ， ， ， ， 故选项正确，不符合题意； 对于选项， 从现有条件不能推导出， 故结论不正确，符合题意； 对于选项， ， ， 故选项正确，不符合题意． 故选：． 9. 规定一种新运算，若，则的值（　　） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数的新定义运算及解分式方程，根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 经检验，时分母不为零，符合题意． 故选：B． 10. 用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形如图，则大正方形的边长最接近的整数是（　　） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查算术平方根的几何意义，无理数大小估计，正确掌握算术平方根的定义是解题关键．根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长，进而得出答案． 【详解】解：用边长为5的两个小正方形拼成一个大正方形， 大正方形的面积为：， 则大正方形的边长为：， ， ， 大正方形的边长最接近的整数是7． 故选：A． 11. 现用甲、乙两种型号机器人搬运物资，甲型机器人比乙型机器人每小时多搬运物资，甲型机器人搬运物资所用时间与乙型机器人搬运物资所用时间相等．问乙型机器人每小时搬运多少千克物资？两个人分别列方程如下： 嘉嘉：设甲型机器人搬运物资用时小时，可列方程为． 琪琪：设乙型机器人每小时搬运物资，可列方程为． 下列判断正确的是（　　） A. 嘉嘉对，琪琪错 B. 嘉嘉错，琪琪对 C. 嘉嘉、琪琪都对 D. 嘉嘉、琪琪都错 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．嘉嘉设时间为变量，方程正确；琪琪设乙的速度为变量，但方程中甲的速度表示错误，应为乙的速度加，而非减． 【详解】解：∵甲型机器人比乙型每小时多搬运，且甲搬时间等于乙搬时间．嘉嘉设甲搬用时小时，则甲速度为，乙速度为，由速度差得方程：，化简为，解得，验证：甲速度，乙速度，差，符合题意，∴嘉嘉正确． 琪琪设乙每小时搬运，则甲速度应为，但琪琪列方程为，其中甲速度误为，解该方程得，不合理，∴琪琪错误． 故嘉嘉对、琪琪错． 故选：A． 12. 数学社团活动课上，甲、乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对和的对应边或对应角添加一组等量条件（点分别是点的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者获胜，若不能判定与全等，则当轮另一人获胜．下面的表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（　　） 轮次 行动者 添加的条件 1 甲 2 乙 3 甲 ．．． ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲获胜； ③若第3轮甲添加，则甲获胜． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. 只有② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是根据已有的边的条件，结合全等判定定理（、、、）判断添加条件后是否能判定全等． 【详解】解：已知前两轮条件为，． ①添加，此时是“”，不能判定，甲不获胜，此说法错误； ②添加，此时满足“”，能判定全等，甲获胜，此说法正确； ③添加，此时是“”，不能判定全等，甲不获胜，此说法错误． 综上，只有②正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每空3分；共12分．第16题，第一空2分，第二空1分，把答案写在题中横线上）． 13. 若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 14. 已知正数x的两个平方根是和，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，则，进而得到，再由平方根的定义可得． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，为一条射线，，若．则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用直角三角形的特殊判定方法“”求解更加简便．根据垂直的定义可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，即可解决问题． 【详解】解：，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：2． 16. 在学习实数时，所有的循环小数都可以化成分数，以下是循环节是一位的小数转化为分数的过程，类比循环节是一位数的小数转化成分数的过程． （1）把转化成分数是___________； （2）把转化为分数是___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了无限循环小数化为分数的过程，理解例题的转化过程是解题的关键． （1）依照例题方法解答即可； （2）依照例题方法解答即可． 【详解】解：（1）， 所以 ， 故答案为：； （2）， 所以 ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ；4 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通分计算括号内的分式减法，再将除法转化为乘法并因式分解约分，最后代入求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 答：化简结果为,原式的值为． 18. 【生活背景】村口有一条小河，小明想测量河宽，如图． 【测量操作】 ①把河两岸近似看作两平行的直线和，在河岸上取点； ②在河岸的另一侧取一点，使； ③在上取两点，使； ④作，且在同一条直线上； 【结论】测得的长就是河宽的长度． 【解决问题】按照操作获得的结论正确吗？如果正确，请给予证明，如果不正确，请说明理由． 【答案】正确，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的应用；解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，做题时要注意寻找所求线段与已知线段之间的等量关系．本题是测量两点之间的距离方法中的一种，符合全等三角形全等的条件，方案的操作性强，只要测量的线段和角度在陆地一侧即可实施． 【详解】解：，， ， 又直线与交于点， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 即测得的长就是，两点间的距离， 正确，因为得出， 所以测得的长就是，两点间的距离． 19. 下面是琪琪同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同时乘以___________，得． 去括号，得． 移项，合并同类项，得． 将系数化为1，得． 所以，原方程的解为． （1）这位同学解题过程中的横线处应该填___________，解题过程缺少的步骤是___________； （2）其他同学发现琪琪的解题过程出现多处错误，请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）；检验 （2） 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解法，解分式方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，最后必须检验． （1）解分式方程时，需通过乘以最简公分母化为整式方程求解，之后必须检验解是否使原方程分母为零．琪琪的解题过程中，乘以公分母后计算错误，且缺少检验步骤； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，最后必须检验． 【小问1详解】 解：这位同学解题过程中的横线处应该填，解题过程缺少的步骤是检验； 故答案为：；检验； 【小问2详解】 解： 方程两边同时乘以，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 将系数化为1，得． 经检验，是原方程的解， 所以，原方程的解为． 20. 琪琪把一个面积是的正方形放到数轴上，使点与表示的点重合，设点表示的数为，如图所示． （1）___________； （2）___________； （3）求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的面积，数轴的有关知识，绝对值的性质，零指数幂，立方根，准确运用知识点计算是解题的关键． （1）根据正方形的面积求出正方形边长即可得解； （2）根据数轴上两点之间的距离可求出的值； （3）把的代入计算，并利用绝对值和立方根的性质计算即可； 【小问1详解】 正方形的面积为， ， ； 故答案是：． 【小问2详解】 ，点表示，点表示， ， ； 故答案为：． 【小问3详解】 原式 ． 21. 在学习完命题后，甲、乙、丙三名同学写出了关于分式的三个命题： 甲：如果分式中，那么； 乙：如果分式中，那么； 丙：如果分式中，那么； （1）直接判断甲、乙两名同学的命题中真命题是___________； （2）丙同学的命题是真命题还是假命题，如果是真命题给予证明，如果是假命题请举反例． 【答案】（1）甲 （2）丙同学的命题是真命题，证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、分式的加减运算、命题真假的判断等知识点，掌握分式的基本性质是解题的关键． （1）根据分式的基本性质进行解答即可； （2）通过作差可得，由，可得，，，即，则，从而证明结论． 【小问1详解】 解：对于甲同学命题，由，则，即命题成立，为真命题． 对于乙同学的命题，当时，无意义，而有意义，故不成立，为假命题． 故答案为：甲． 【小问2详解】 证明：丙同学的命题是真命题，证明如下： ， ∵， ∴，，， ∴ ∴ ，故为真命题． 22. 琪琪将两个大小不同的含角的直角三角板如图所示放置在桌面上如图1．从图中抽象出的几何图形如图2．已知在同一直线上，连接． （1）求证：； （2）猜想与的位置关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）求出，再利用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，求出即可解答． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； （1）根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； （2）补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【答案】（1）x的实际意义是足球的数量 （2）足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）由嘉嘉所列方程知是足球的单价，是排球的单价，结合足球的数量比排球数量多40个可得x的实际意义是足球的数量； （2）设排球的单价为元/个，根据足球的单价比排球单价高可得足球的单价为元/个，依据足球的数量比排球数量多40个可列方程，再解答即可． 【小问1详解】 解：由嘉嘉所列方程知：是足球的单价，是排球的单价， 又足球的数量比排球数量多40个， 所以， x的实际意义是足球的数量； 【小问2详解】 解：设排球的单价为元/个，足球的单价为元/个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元／个） ∴排球的购买数量为（个）， 答：足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个． 24. 中，，点在直线上运动，点在的延长线上，点在平面内，且． 问题解决：如图1，若点运动到边的延长线上时，当时，___________； 类比探究：如图2，若点在线段上，猜想的关系并证明； 拓展延伸：如图3，若点在线段的延长线上，当时，请直接写出的面积． 【答案】问题解决：；类比探究：，理由见解析；拓展延伸： 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； 问题解决：先证，再由证得，得出，，即可得出结论； 类比探究：先证，再由证得，得出，，即可得出结论； 拓展延伸：先证，再由证得，进一步证明为直角三角形，即可求解． 【详解】问题解决： 解：，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：3； 类比探究：线段、与之间是，理由如下： ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 拓展延伸：，， ， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 为直角三角形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $