期末重难点检测卷（提高卷）（考试范围：24～26章 九年级上册部内容）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期末重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间100分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24 ~ 26章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，， 直线 与 分别相交于 和 ． 若 ， ， 则 的长为（   ） A． B． C．14 D． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 5．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图．在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数和的图象交于、两点，则大小的变化趋势为（    ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．保持不变 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题4分，共48分） 7．（25-26九年级上·上海松江·月考）在中，，若，则的值为 ． 8．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，线段，点为线段的黄金分割点，则 ． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m n．（填“>”、“=”或“<”） 10．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为 ． 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 12．（25-26九年级上·上海长宁·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 13．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，是一块三角形木板，边，要把它加工成一个边长为的正方形凳子面，且正方形的一边在上，其余两个顶点P，N分别在，上，则这个三角形木板的面积是 ． 14．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为 ． 16．（25-26九年级上·上海静安·期中）已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 ．          17．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，这是二次函数在之间的图象，则函数值的最大值与最小值的差为 ． 18．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在“探索二次函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，，如图所示．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）方方画出过点，，时的二次函数图象，对应的二次项系数记为，圆圆画出过点，，时的二次函数图象，对应的二次项系数记为，则与的大小关系是 ． （2）的最小值为 ． 三、解答题（7小题，共78分） 19．（25-26九年级上·上海宝山·期中）计算、化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中满足． 20．（24-25九年级上·上海闵行·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 22．（25-26九年级上·上海静安·期中）用硬纸板复制视力表中 0.1，0.2，0.3，0.5，1.0 所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤．    取编号为①②的两个“E”，按图（1）的方式把它们放置在水平桌面上． (1)如图（2），将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点 O 看去，点，，O 在一条直线上为止，这时我们说在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．我们知道，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同，请你利用图（2）写出理论依据． (2)由标准视力表中的，为，可计算出时， ______． 23．（25-26九年级上·上海松江·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 24．（2025·上海嘉定·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 25．（25-26九年级上·上海闵行·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线的对称轴且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求出点B的坐标； (2)求抛物线解析式． (3)求的面积． (4)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（提高卷） （满分150分，考试时间100分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24 ~ 26章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等于（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理、等边对等角、余弦的定义等知识点，发现是解题的关键． 由勾股定理可得、，易得，由等边对等角可得，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：由勾股定理可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 2．（25-26九年级上·上海闵行·期中）一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了“一次函数的图象与系数的关系”“二次函数的图象与系数的关系”，根据图象判断出系数和常数项的正负是解题关键． 根据一次函数的图象，a决定直线的方向，b决定直线与y轴交点的位置，判断a与b的正负，再通过a和b的正负判断二次函数的图象即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴二次函数的开口方向向下，与y轴的交点在y轴的负半轴， 四个选项中，符合要求的只有D选项， 故选：D ． 3．（25-26九年级上·上海虹口·月考）如图，， 直线 与 分别相交于 和 ． 若 ， ， 则 的长为（   ） A． B． C．14 D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，掌握相关知识是解决问题的关键．因为，所以，因为 ，则可求，进而题目可解． 【详解】解：∵， ， ∵， ∴ ∴， ． 故选：C． 4．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为6，则的周长为（   ） A．9 B．15 C．12 D．18 【答案】B 【分析】此题主要考查了位似变换，正确得出和的周长比是解题关键． 直接利用位似图形的性质得出和的周长比，进而求出答案． 【详解】解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， 和的周长比等于位似比是， 的周长为6， 的周长为15． 故选：B． 5．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图．在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数和的图象交于、两点，则大小的变化趋势为（    ） A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．先变大再变小 D．保持不变 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，反比例函数的应用，过点作轴于点，过点作轴于，，得出，设，，则，，，，求出，由，，得出，为定值，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由①②可得，，为定值， 故选：D． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题4分，共48分） 7．（25-26九年级上·上海松江·月考）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，线段，点为线段的黄金分割点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割点的定义，若C为线段AB的黄金分割点，则，熟练应用黄金分割的性质列出方程是解题的关键． 利用黄金分割的定义计算即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴ ∴， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海·期中）已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是：m n．（填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征． 根据二次函数的性质，由于0，函数图象开口向上，对称轴为轴．点和点的横坐标均为负数，且位于对称轴左侧，在此区域内函数值随的增大而减小．由于，因此． 【详解】解：由二次函数，可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为轴， 当时，随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海静安·期中）如图，四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质． 根据线段比等于相似比作答即可． 【详解】解：∵四边形四边形，且四边形与四边形的相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，，从B测得船C在北偏东的方向，则船C离海岸线l的距离（即的长） ． 【答案】 【详解】本题考查直角三角形的边角关系，掌握直角三角形的边角关系、角平分线的性质是正确解答的前提．通过作垂线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和角平分线的性质得出答案． 【解答】解：由题意可得， ∴， 过点B作，垂足为E， 在中，， 由题意可得， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海长宁·期中）二次函数与一次函数的图象如图所示，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系；根据函数图象写出抛物线在直线下方部分的的取值范围即可． 【详解】解：观察图象得：当时，， 即当时，，此时， 所以当时，自变量的取值范围是． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，是一块三角形木板，边，要把它加工成一个边长为的正方形凳子面，且正方形的一边在上，其余两个顶点P，N分别在，上，则这个三角形木板的面积是 ． 【答案】1200 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．设的高与交于点，先证出，，，再设，则，证出，根据相似三角形的性质可得的值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：如图，设的高与交于点， ∵正方形的边长为， ∴，，，， ∵， ∴四边形是矩形，， ∴， 设，则， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ∴， ∴这个三角形木板的面积是． 故答案为：1200． 14．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，扶梯的坡度为，滑梯的坡度为．滑梯的高，设米，米，一男孩从扶梯走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，他经过的路程为 米．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】此题考查的是解直角三角形的应用，掌握坡比的定义是解决此题的关键．根据坡度和已知条件即可求出和，再根据勾股定理即可求出和，从而得出结论． 【详解】解：∵扶梯的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∵米，的坡度（与长度之比）为，米， ∴米， ∴米， ∴经过的路程米． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，有一个，，，直角边在y轴正半轴上，点A在第一象限，且，将 绕原点逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍（即）．得到，同理，将绕原点O逆时针旋转，同时把各边长扩大为原来的两倍，得到…，依此规律，得到三角形，则的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标变化规律，解直角三角形；根据余弦的定义求出，可分别求出，，……，找出规律，得到，根据规律解答即可，正确得到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， ∴； ∴，，…， 一般地，； ∵，， ∴在x轴正半轴上， ∴的横坐标为，即； 故答案为：． 16．（25-26九年级上·上海静安·期中）已知二次函数，当b取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是 ．          【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，首先得出的顶点坐标是，设得出即可得到所求抛物线的解析式． 【详解】解：∵的顶点坐标是 设 ∴ 所求解析式为：． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·上海徐汇·期中）如图，这是二次函数在之间的图象，则函数值的最大值与最小值的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由解析式可得二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大，据此求出函数值的最大值与最小值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，图象上的点离对称轴的距离越远函数值越大， ∵， ∴当，函数值取最小值为；当时，函数值取最大值为， ∴函数值的最大值与最小值的差为， 故答案为：． 18．（25-26九年级上·上海闵行·期中）在“探索二次函数的系数，，与图象的关系”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，，如图所示．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，并得到对应的函数表达式． （1）方方画出过点，，时的二次函数图象，对应的二次项系数记为，圆圆画出过点，，时的二次函数图象，对应的二次项系数记为，则与的大小关系是 ． （2）的最小值为 ． 【答案】 / 1 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，掌握待定系数法是解本题的关键； （1）分别求解抛物线的解析式，再比较二次项的系数即可； （2）先求解过，，的抛物线的解析式，再结合（1）的解析式，进一步可得结论． 【详解】解：（1）设过点，，时的二次函数图象解析式为， 将，，代入，得：， 解得， 过点，，时的二次函数图象解析式为， 同理可得，过点，，时的二次函数图象解析式为， ，， ； （2）同上可得，过点，，的二次函数图象的解析式为， 此时，； 由（1）得：过点，，时，， 过点，，时，， 过点，，不能画抛物线， 综上可知，的最小值为1， 故答案为：；1． 三、解答题（7小题，共78分） 19．（25-26九年级上·上海宝山·期中）计算、化简求值： (1)； (2)先化简，再求值：，其中满足． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角三角函数值、分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则以及负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行求解． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算求值即可； （2）先根据分式的加减计算括号内的，然后将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，根据负整数指数幂，特殊角的三角函数值，求得的值，最后将代入化简结果即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ， 即， 原式． 20．（24-25九年级上·上海闵行·期末）已知线段a，b，c满足，且． (1)求线段a，b，c的长； (2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键． （1）设，，，再代入求解得到，即可得到a、b、c的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长． 【详解】（1）解：设，，， ∴，即， 解得：， ∴，，； （2）由（1）知，，又因为m是a，b的比例中项， ∴，即， ∴， ∵， ∴． 21．（24-25九年级上·上海普陀·期中）求下列抛物线对应的函数解析式： (1)顶点在原点，且过点； (2)过点，，； (3)过点，，； (4)当时，函数值取得最小值为，且此函数图象与轴交于点． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）设抛物线解析式为，再然后把代入求出a即可； （2）设抛物线解析式为，然后把，，代入得三元一次方程组，解方程组即可； （3）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可； （4）设抛物线解析式为，然后把代入求出a即可． 【详解】（1）解：∵顶点在原点， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， ∴抛物线解析式为； （2）解：设抛物线解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得：，，， ∴抛物线解析式为； （3）解：∵抛物线过过点，， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为； （4）解：∵当时，函数值取得最小值为， ∴顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 22．（25-26九年级上·上海静安·期中）用硬纸板复制视力表中 0.1，0.2，0.3，0.5，1.0 所对应的“E”，并依次编号为①②③④⑤．    取编号为①②的两个“E”，按图（1）的方式把它们放置在水平桌面上． (1)如图（2），将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从右侧点 O 看去，点，，O 在一条直线上为止，这时我们说在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．我们知道，用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同，请你利用图（2）写出理论依据． (2)由标准视力表中的，为，可计算出时， ______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用， （1）根据题意证明，从而得到，即可得到即可证明； （2）把，为，代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， ， ， ∴用①号“E”测得的视力和②号“E”测得的视力相同； （2）解：∵，为， ， ． 23．（25-26九年级上·上海松江·期中）二次函数的图象如图所示． (1)写出关于x的一元二次方程的两个根； (2)写出关于x的不等式的解集； (3)若关于x的一元二次方程有两个不等的实数根，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．也考查了根的判别式和抛物线与x轴的交点问题． （1）根据抛物线与x轴的交点问题求解； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的取值范围即可； （3）利用直线与抛物线有两个交点确定k的取值范围． 【详解】（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为，即或时，， 关于x的一元二次方程的两个根为； （2）∵当或时，， 关于x的不等式的解集为或； （3）∵抛物线顶点的纵坐标为2， 直线与抛物线只有一个交点， 当时，直线与抛物线有两个交点， 即时，关于x的一元二次方程有两个不等的实数根， 的取值范围为 24．（2025·上海嘉定·一模）如图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架，托盘器外沿．支架可绕点A转动，，．经调研发现，当时，操作人员手势自然． (1)当点D和点E重合时，求的度数； (2)若一圆形盘盘口的直径为，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)此时操作人员取盘手势不自然 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形是解题的关键． （1）根据题意连接，结合图形，分别在和中，求出、的度数，从而得到结果； （2）连接，过A点作于点H，在中，求出的度数，从而得到的度数，即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， ∵在中，，， ， ． 同理可得，， 点D，E重合， ． （2）解：如图，连接，过A点作于点H， ，， ， 在中， ， ， ， ， 此时操作人员取盘手势不自然． 25．（25-26九年级上·上海闵行·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线的对称轴且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B． (1)求出点B的坐标； (2)求抛物线解析式． (3)求的面积． (4)若点P为直线上方的抛物线上的一点，连接，．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)5 (4)的面积的最大值为， 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先求出直线与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标； （2）设抛物线的解析式为，然后将点C的坐标代入即可求得a的值； （3）是以为底，为高，通过A，B，C三点坐标可得和的长度，进而算出的面积； （4）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段，然后利用三角形的面积公式可求得，然后利用配方法可求得的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵，当时，，当时，， ∴，， 由抛物线的对称性可知：点A与点B关于对称， ∴点B的横坐标为， ∴点B的坐标为． （2）解：∵抛物线过，， ∴可设抛物线解析式为， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ，， ， 故答案为5； （4）解：设． 过点P作轴交于点Q， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴当时，的面积有最大值是4， 此时． 学科网（北京）股份有限公司 $