期末重难点检测卷（培优卷）（考试范围：24～26章 九年级上册全部内容）-2025-2026学年沪教版（五四制）九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期末重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间100分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24 ~ 26章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质，是解题的关键．直接利用比例的性质进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．由平行线分线段成比例定理，得，代入已知线段得长度求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴即， ∴． ∴ 故选：D． 3．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用计算器求角度，熟练掌握计算器的使用方法是解题的关键． 根据计算器的使用方法进行分析即可． 【详解】解：用科学计算器求这条斜坡倾斜角的度数时，按键顺序为: ． 故选：A． 4．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质与一次函数的图象性质，熟练掌握二次函数中、、的符号判断方法以及一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据二次函数图象的开口方向、与轴交点以及对称轴位置确定、、的符号，再据此分析一次函数的图象特征，从而确定选项． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， 二次函数图象的对称轴，且， 二次函数图象与轴的交点在正半轴， ， 对于一次函数，，， 其图象经过第一、二、三象限． 观察选项，只有选项的图象符合． 故选： 5．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形——坡度、坡比问题，熟练掌握坡比等于垂直距离与水平距离的比是解题关键．根据正弦的定义得出，，解直角三角形得出，根据坡比的定义逐一判断即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，即路线的坡角是，故A选项正确，不符合题意， ∴，故C选项正确，不符合题意， ∴路线的坡度是，故B选项错误，符合题意，D选项正确，不符合题意． 故选：B． 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题4分，共48分） 7．（25-26九年级上·上海崇明·期中）已知二次函数的图象向右平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“”）； 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据函数图象平移规律“左加右减，上加下减”写出平移后抛物线的解析式，然后利用抛物线的增减性即可得到结论． 【详解】解：原函数， 向右平移两个单位后的解析式为， 则抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∵点，在抛物线上，， 且在对称轴左侧时，随的增大而减小， ． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·上海静安·期中）若，且，则与的周长比为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质. 根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 9．（25-26九年级上·上海长宁·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，多边形内角和定理，由于四边形四边形，则，然后通过多边形内角和定理求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角函数里的正切函数，解题的关键在于掌握正切函数所对应的边，易错点在于混淆正切函数和余切函数；在直角三角形中，，根据网格图找到相应的边即可． 【详解】如图，过点作于， 在中， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，与交于点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据两个角相等可得到，然后根据相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正弦值，勾股定理，坐标与图形，过点A作轴于B，则，利用勾股定理求出的长，再根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于B， ∵点A的坐标是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，抛物线经过原点，那么a的值是 ． 【答案】 【分析】本题二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 依据题意，由抛物线经过原点，从而，可得a的值，结合抛物线开口向下，可以判断得解． 【详解】解：抛物线经过原点， 又抛物线开口向下， 故答案为： 14．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： 则表中的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由表可知当时，，当时，；当时，，当时，，从而得出抛物线的对称轴为直线，然后求出的值即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， 又当时，，当时，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，解得：， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，小明和小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置上升时，这时小红离地面的高度是 ． 【答案】35 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明，利用全等三角形的性质进行线段等量代换． 先证明，得出，再结合支点到地面的距离，计算出小红离地面的高度为． 【详解】解：跷跷板的支点是中点， ． 又，（对顶角相等）， ． 由全等三角形的性质可知，． 已知小明上升了，即， ． 支点到地面的距离是， 小红离地面的高度为． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，五边形与五边形是位似图形，位似中心为点O，且，那么 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了位似变换的定义、相似图形的性质等知识点，掌握位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比是解题的关键． 根据已知条件求得两个图形的位似比，然后由位似图形的面积之比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴五边形是将五边形放大到原来的4倍， ∴． 故答案为：4． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，掌握图像与字母的关系是解题关键． ①根据图像开口朝下，对称轴为直线，抛物线与轴正半轴相交可进行判断． ②根据图像与轴有两个交点，由可进行判断． ③当，有，当，有，由可进行判断． ④对称轴为直线，有，再由可进行判断． 【详解】①抛物线开口向下， ， 对称轴为直线， ，， 抛物线与轴正半轴相交， ， ． 故①正确． ②抛物线与轴有两个交点， ， ， 故②正确． ③当，有， 当，有， ， ， ， 故③不正确． ④对称轴为直线， ， ， ， ， 故④正确． 故答案为：①②④． 18．（2025九年级上·上海松江·模拟预测）如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是面积及等积变换，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，能根据题意得出，再由相似三角形的性质得出答案是解答此题的关键．先根据为正三角形，边长为，且得出，，再求出及的面积，由相似三角形的性质可求出的面积，进而可得出答案． 【详解】解：如图， 过点作于点， ∴，， ∴ 在中， 为正三角形，边长为， ，，， ， ，， ，其相似比为， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（7小题，共78分） 19．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)0 (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解决本题的关键． （1）首先把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混运算，即可求得结果； （2）首先把特殊角的三角函数值代入，再进行二次根式的混运算，即可求得结果． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 20．（24-25九年级上·上海嘉定·月考）已知，且，求的值． 【答案】 【分析】本题考查比例的性质．利用设参法，得，再代入代数式求值即可． 【详解】解：设，则：， ∵， ∴ ． 21．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用两组对角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答． （2）根据，得，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）得， 则， ∵且， ∴， ∴． 22．（24-25九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【详解】（1）①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； （2）由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 23．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）某市为避免施工路段交通事故的发生，交警队在主要路口设立交通警示牌．如图所示，警示牌地面，从处测得警示牌顶端的仰角，测得警示牌底端的仰角，且米．（参考数据：，，，，，） (1)求警示牌顶端距地面的高度（的长）； (2)由于气象台预报12级台风即将登陆该市区，为固定警示牌的牌面，需要从点，处分别拉一根钢丝绳固定在点处，已知相关部门准备了6米长的钢丝绳，请通过计算判断准备的钢丝绳是否够用． 【答案】(1)警示牌顶端距地面的高度为米 (2)准备的钢丝绳够用 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先解求出的长，再解求出的长即可得到答案； （2）先解求出的长，再解求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：， ． 在中，米， 在中，米． 答：警示牌顶端距地面的高度为米； （2）解：在中，米． 在中，米， （米）． ， 准备的钢丝绳够用． 24．（25-26九年级上·上海宝山·期中）综合与实践 【问题情境】 在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】 (1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解直角三角形和解方程，能通过解直角三角形求出和的长是解此题的关键． （1）作，解得，解得，联立方程组求解即可． （2）过点D作于点G．分别作，求出，，解求出，可求出，再解，求出即可． 【详解】（1）解：表示冬季的光线，表示夏季的光线．分别作， ∴，． 在中，可得． 在中，可得． 联立方程组． 解得，，； （2）解：过点D作于点G．分别作， ∴，，． 由（1）中的结论，可得：． ． 在中，得． ∴． 在中，得． 25．（25-26九年级上·上海普陀·月考）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米． (1)求小明传球的抛物线的函数解析式． (2)抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离． (3)在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2)5米 (3) 【分析】本题考查二次函数与实际问题，待定系数法求解析式，二次函数的图象及性质． （1）根据题意得到抛物线的顶点为，且过点，运用待定系数法求解即可； （2）把代入抛物线：，求出点F的坐标为，再把点代入抛物线，求出k的值，得到抛物线的解析式为，令，可求出点G的坐标，根据点F，G的坐标即可求解； （3）由抛物线可得篮球反弹后的最大高度为米，小于米，当时，，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是． 【详解】（1）解：当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米， ∴抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为， ∵小明传出球时球的起点处高度为2米， ∴抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：对于抛物线：，令，则， 解得，， ∴点F的坐标为， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ∴点G的坐标为， ∴， ∴篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离为5米． （3）解：对于抛物线，顶点坐标为， ∴篮球反弹后的最大高度为米，小于米． 当时，， 解得， ∴当时，， ∴小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（培优卷） （满分150分，考试时间100分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：24 ~ 26章（九年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题4分，共24分） 1．（25-26九年级上·上海宝山·月考）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海金山·月考）如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（   ） A．9 B．3 C．5 D．14 3．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）小明骑自行车沿着斜坡向上骑行了，其铅垂高度上升了，在用科学计算器求坡角的度数时，其按键顺序是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·上海闵行·期中）已知函数的图象如图所示，则函数的图象是（  ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，体育公园设置了一段爬坡路线，已知这段路线相关数据，，则下列说法错误的是（    ） A．路线的坡角是 B．路线的坡度是 C．的长度为 D．路线的坡比是 6．（25-26九年级上·上海奉贤·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题4分，共48分） 7．（25-26九年级上·上海崇明·期中）已知二次函数的图象向右平移两个单位得到抛物线，点，在抛物线上，则 （填“”或“”）； 8．（25-26九年级上·上海静安·期中）若，且，则与的周长比为 9．（25-26九年级上·上海长宁·期中）如图，四边形四边形，若，，，则 ． 10．（25-26九年级上·上海宝山·期中）如图，的三个顶点分别在正方形网格的格点上，则 ． 11．（25-26九年级上·上海松江·期中）如图，与交于点，，，，，则的长为 ． 12．（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是，已知与x轴正半轴的夹角为，那么的值是 ． 13．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）如图所示，抛物线经过原点，那么a的值是 ． 14．（25-26九年级上·上海杨浦·期中）在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表： 则表中的值是 ． 15．（25-26九年级上·上海金山·期中）如图，小明和小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是，当小明从水平位置上升时，这时小红离地面的高度是 ． 16．（25-26九年级上·上海崇明·期中）如图，五边形与五边形是位似图形，位似中心为点O，且，那么 ． 17．（25-26九年级上·上海宝山·期中）已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，有以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论的序号是 ． 18．（2025九年级上·上海松江·模拟预测）如图，设为正三角形，边长为，，，分别在，，边上，且．连，，两两相交得到，则的面积是 ． 三、解答题（7小题，共78分） 19．（25-26九年级上·上海闵行·阶段练习）计算： (1) (2) 20．（24-25九年级上·上海嘉定·月考）已知，且，求的值． 21．（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，在中，，点在上，于点． (1)求证：； (2)且，求的长． 22．（24-25九年级上·上海松江·期末）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； (2)已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 23．（25-26九年级上·上海嘉定·期中）某市为避免施工路段交通事故的发生，交警队在主要路口设立交通警示牌．如图所示，警示牌地面，从处测得警示牌顶端的仰角，测得警示牌底端的仰角，且米．（参考数据：，，，，，） (1)求警示牌顶端距地面的高度（的长）； (2)由于气象台预报12级台风即将登陆该市区，为固定警示牌的牌面，需要从点，处分别拉一根钢丝绳固定在点处，已知相关部门准备了6米长的钢丝绳，请通过计算判断准备的钢丝绳是否够用． 24．（25-26九年级上·上海宝山·期中）综合与实践 【问题情境】 在日常生活中，我们可以看到一些窗户上安装有遮阳篷．要求遮阳篷既能最大限度遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度使冬天温暖的阳光射入室内．阳台窗户的高度为，一年中的正午某个时刻，冬季太阳光与地平面的最小夹角为，夏季太阳光与地平面的最大夹角为．是在窗户上安装的一个遮阳篷，其中为固定架，为遮阳板，点A，B，C在同一直线上． 【问题解决】 (1)如图Ⅰ，若，求固定架的高度和遮阳板的长度．（结果用含h，，的式子表示） (2)如图Ⅱ，为增强排水效果，一居民对图Ⅰ中的遮阳篷进行了改造，将遮阳板的倾斜角调整为．当时，太阳光能最大限度射入室内．当时，太阳光刚好不能射入室内．若，求和的值．（参考数值：，，，，，．） 25．（25-26九年级上·上海普陀·月考）在一次篮球比赛中，小明传出了一个球，球从小明的手中飞出，在空中形成了一条优美的抛物线，落地点为，球落地后弹起，向小东所在位置方向飞去，球飞行的轨迹为抛物线．篮球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系如图所示，小明传出球时球的起点处高度为2米，当球飞出的水平距离为米时，球行进至最高点，此时高度为米． (1)求小明传球的抛物线的函数解析式． (2)抛物线的函数解析式为，求篮球在第一次落地点与第二次落地点之间的飞行距离． (3)在（2）的条件下，小东的身高为1.7米，小东的最佳接球高度大于或等于0.75米，小于或等于1.8米，假设小明、小东、点，均在轴上，小东要想更好地接住球，则小东在线段上可移动位置的点的横坐标的取值范围是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $