精品解析：陕西省渭南市富平县2025-2026学年九年级上学期学情分析数学试卷

（北师大版） 富平县2025~2026学年度第一学期九年级学情分析 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A B. C. D. 2. 如图是由一个正方体和一个三棱柱组成的某包装盒的简易图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 6. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 若菱形的一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 20 D. 12或20 8. 如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一棵大树在阳光下的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 10. 如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 11. 一张面积是的矩形彩纸，长比宽多，若设它的宽为，可列出一元二次方程为________．（化为一般式） 12. 郑州科技馆新馆设有探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区．小张打算在周六这天随机参观两个不同的展区，则小张选择参观的是探索发现展区和智慧生活展区的概率是________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 14. 如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接交于点D，则的最小值为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验；随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 18. 如图，在矩形中，点在边上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19. 如图，在菱形中，E是延长线上一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 20. 如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． （1）转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 21. 某学校兴趣小组想要测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，，，斜边与地面平行，延长交于点，旗杆的顶端恰好与在同一条直线上，该同学的身高米，点到旗杆底部之间的水平距离为米，已知，，图中所有点均在同一平面内，求旗杆的高度． 22. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 23. 如图，四边形平行四边形，点在延长线上，连接，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 24. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 25. 如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点P在边上，点E、F分别在边、上，连接、，，点G为上一点，连接，且；求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段修建隔离防护栏，将区域设立成花卉观赏区，分别在线段、、上取点P、E、F，将区域设立成烧烤区，，已知，米，求烧烤区的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ （北师大版） 富平县2025~2026学年度第一学期九年级学情分析 数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键熟练掌握因式分解法解方程． 【详解】解： ， 或， ∴，， 故选：． 2. 如图是由一个正方体和一个三棱柱组成的某包装盒的简易图，则它的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了立体图形的三视图，三视图是指主视图，俯视图，左视图，解答此题的关键是弄清三视图的定义． 俯视图是指从上往下看所得的图形，根据俯视图的定义解答即可． 【详解】解：这个几何体的俯视图是： 故选：B． 3. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A 【点睛】本题考查矩形的性质．熟记相关结论即可． 4. 如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则四边形与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了位似的概念、位似多边形的性质等知识点，先根据题意求出两个相似多边形的相似比，再根据相似多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵四边形与四边形位似，位似中心为点O，且， ∴即四边形与四边形位似比为， ∴四边形与四边形的周长之比是． 故选：A． 5. 如图，在菱形中，点E是边上一点，连接、，，若，则的度数为（ ） A. 54° B. 72° C. 50° D. 48° 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， 故选：A． 6. 已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小．先由点求出反比例函数的解析式，再分别计算点和点的纵坐标，比较大小． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 代入得： ， ， 解析式为 ． 点，均在反比例函数的图象上 ∴， ∴ 故选：C． 7. 若菱形一条对角线长为8，边的长为方程的一个根，则菱形的周长为（ ） A. 24 B. 12 C. 20 D. 12或20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、一元二次方程的解法、三角形的三边关系；熟练掌握菱形的性质，由三角形的三边关系得出是解决问题的关键．解方程得出或，分两种情况：①当时，，不能构成三角形；②当时，，即可得出菱形的周长． 【详解】解：如图所示： ∵四边形是菱形， ∴， ∵ 因式分解得：， 解得：或， 分两种情况： ①当时，，不能构成三角形； ②当时，， ∴菱形的周长． 故选：C 8. 如图，在正方形中，点E在边上，且，连接，过点E作，交于点F，连接并延长交的延长线于点G，若，则正方形的边长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质． 根据正方形的性质可得，由，可设，则，证明，根据相似三角形的性质表示出，证明得到，求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， 设，则， ， ， ， 由 ∵， ， ，即， ， ， ， ，即， 解得：， ， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 一棵大树在阳光下的影子属于______投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查投影．根据太阳光是平行光，得到投影为平行投影，即可． 【详解】解：一棵大树在阳光下影子属于平行投影； 故答案为：平行． 10. 如图，已知菱形花坛，沿着菱形花坛的对角线修建两条小路和，、相交于点O，若，则的度数为________°． 【答案】60 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，由菱形性质得，再根据直角三角形两锐角互余可得结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，即， ∴， ∵， ∴, 故答案为：60． 11. 一张面积是的矩形彩纸，长比宽多，若设它的宽为，可列出一元二次方程为________．（化为一般式） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．直接根据题意列出方程即可． 【详解】解：∵长比宽多，设它的宽为， ∴它的长为， ∵面积是， ∴， 即， 故答案为：． 12. 郑州科技馆新馆设有探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区．小张打算在周六这天随机参观两个不同的展区，则小张选择参观的是探索发现展区和智慧生活展区的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是求解随机事件的概率．熟练掌握画树状图或列表的方法求解随机事件的概率，是解题的关键． 动物家园、探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区分别用A、B、C、D表示．再列表即可得到答案． 【详解】解：设探索发现、创造创新、智慧生活、生态家园四个主题展区分别用A、B、C、D表示． 列表如下： 后参观 先参观 A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D ∴所有的等可能的结果数为12个，符合条件的结果含A与C的数有2个， ∴恰好选择参观探索发现展区和智慧生活展区概率为；． 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24，若反比例函数的图象经过点C，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据图形面积求比例系数（解析式），正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据菱形的面积为24，得，则，又因为反比例函数的图象在第二象限，则，即可作答． 【详解】解：如图所示： 菱形的顶点B在y轴正半轴上，菱形的面积为24， ∴， ∵反比例函数的图象经过点C， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， 故答案为： 14. 如图，在中，，，，点P为边上任意一点，连接，以、为邻边作，连接交于点D，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，以为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知D是中点，最短也就是最短，所以应该过D作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵最短也就是最短， ∴过D作的垂线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴则的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，方程运用配方法求解即可． 【详解】解：， 移项得， 配方得，， ， ， ． 16. 工厂新进一台机床，机床经过调试后，操作人员将做出的200个零件混匀在一起进行试验；随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率为，估计这批零件中不合格零件的数量． 【答案】估计这批零件中不合格零件的数量为10个 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率的知识，解题的关键是了解大量重复试验中事件发生的频率可以估计概率．根据频率估计出概率，先求出合格的零件数量，再求得不合格零件的数量． 【详解】解：合格零件的数量为（个）， 不合格零件的数量为（个）， 答：估计这批零件中不合格零件的数量为10个． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点O为位似中心，在y轴右侧画出的位似图形（点A、B、C的对应点分别是点、、），使得与的相似比为． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了画位似图形，理解题意，根据位似图形的性质，分别找出点、、，再依次连接，得，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 18. 如图，在矩形中，点在边上，连接，请用尺规作图法在上求作一点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，作垂线，相似三角形的判定；根据尺规作图的方法过点作的垂线即可得． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 19. 如图，在菱形中，E是延长线上的一点，F是延长线上的一点，连接，，若，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由菱形的性质得到，，推出，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵ ∴， ∴． 20. 如图，转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，转盘B被分成面积相等的三个扇形，每个扇形上的数字分别是3，4，5，这两个转盘均可自由转动．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字，若指针指向分界线，则重新转动． （1）转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是________； （2）若同时转动A、B两个转盘，请用列表或画树状图的方法，求当转盘停止后，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，列表或画树状图求概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4，运用概率公式进行列式计算，即可作答． （2）先画出树状图，一共有12种等可能的结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种，再运用概率公式进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵转盘A被分成面积相等的四个扇形，每个扇形上的数字分别是1，2，3，4， ∴转动转盘A一次，指针指向偶数的概率是． 【小问2详解】 解：画树状图，如图所示： 则一共有12种等可能的结果，A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的结果有种， ∴A、B两个转盘转出的数字之和不小于6的概率． 21. 某学校兴趣小组想要测量学校旗杆的高度，如图，一名同学直立站在点处，手持一块直角三角板，，，斜边与地面平行，延长交于点，旗杆的顶端恰好与在同一条直线上，该同学的身高米，点到旗杆底部之间的水平距离为米，已知，，图中所有点均在同一平面内，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明，根据相似三角形的性质得出，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形， 米，米，， ∴， 又， ∴， ， ， ，即， 米， （米）， 答：旗杆的高度为米． 22. 某工业大学学生在研究一种新型材料时，需先将材料加热到，再进行加工操作．如图，停止加热后，温度与时间成反比例关系． （1）求材料停止加热后与的函数关系式． （2）根据工艺要求，停止加热后，当材料温度不低于时，可以对材料进行加工，那么加工的时间有多长？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，把代入解析式列式计算确定k值即可； （2）将代入得到，得，计算时，反比例函数的值，其差即为所求． 本题考查了反比例函数的应用、待定系数法求解析式，熟练掌握待定系数法，明确时长等于交点横坐标的差是解题的关键． 【小问1详解】 解：设反比例函数的解析式为， 把代入解析式，得， 故反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：将代入， 解得， ∴， 当时，； 故加工的时长为． 23. 如图，四边形平行四边形，点在延长线上，连接，且． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，因为，所以，而，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，根据相似的性质即可解答． 【小问1详解】 证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， 的长是. 24. 如图，在四边形中，，是的中点，，交于点，，． （1）求证：四边形为矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的中位线定理可得，则可得四边形为平行四边形，再根据矩形的判定即可得证； （2）先根据矩形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，然后利用勾股定理可得的长，根据线段中点的定义即可得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴点是的中点， 又∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 【小问2详解】 解：由（1）已证：四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， 由（1）已得：是的中位线， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵是的中点， ∴． 25. 如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． （1）求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； （2）在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）存在点P，使得，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）把代入，即可求解出反比例函数的表达式，根据点A，B关于原点对称，即可求出点B的坐标； （2）根据勾股定理得到，再有，并证得， 根据相似三角形的性质求得的长，再求矩形的面积，最后根据分类讨论即可求出点P的坐标． 小问1详解】 解：把代入得：，， 反比例函数的表达式为， 点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， 点A，B关于原点对称， 点B的坐标为， 【小问2详解】 解：矩形的对角线垂直于x轴，点A的坐标为， ，， ，， 又， ， ，即，， ， 设点P的纵坐标为m， ①当点P在第一象限时，，解得，此时点P坐标为， ②当点P在第三象限时，，解得，此时点P坐标为， 存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 26. 【问题探究】 （1）如图1，在中，，，点P在边上，点E、F分别在边、上，连接、，，点G为上一点，连接，且；求证：； 【问题解决】 （2）如图2，某地拟建造一个形如四边形的露营基地，其中，，为考虑露营客人娱乐休闲的需求，计划沿线段修建隔离防护栏，将区域设立成花卉观赏区，分别在线段、、上取点P、E、F，将区域设立成烧烤区，，已知，米，求烧烤区的面积． 【答案】（1）见解析；（2）烧烤区的面积为 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定方法，利用三角形相似的判定和性质解决问题，还涉及到正方形的性质和判定；解题关键是根据已知条件找到相似的两个三角形； （1）由已知条件得出，由得出角相等，利用外角定义得出，再由已知条件，得出角相等，利用两角对应相等的两个三角形相似，得出结论即可． （2）首先过点作两条垂线，构造直角三角形，再根据已知条件判定四边形是正方形，得出45度角，利用两角相等判定出相似三角形有两对，利用比例的传递性得出的长度，从而求出三角形的面积即可． 【详解】解：（1）证明，， ， ， ， ，． ， ， ， ； （2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 烧烤区的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $