期末重难点检测卷（提高卷）（考试范围：10～14章 七年级上册全部内容）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间90分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 14章（七年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·上海崇明·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： （结果用幂的形式表示） 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式 ． 9．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 10．（25-26七年级上·上海静安·期中）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 11．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ． 12．（2025七年级上·上海宝山·模拟预测）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 13．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为 ． 14．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 15．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，则线段的长为    16．（24-25七年级上·上海长宁·期末）一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子的最小值为”.其推导方法如下:在面积是的矩形中，设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是，模仿老师的推导，可求得式子的最小值是 ． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 18．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 21．（24-25七年级上·上海松江·期末）某中学甲、乙两学生到杭州参加移动机器人比赛，拟乘坐高铁，订票后发现重庆到杭州高铁的平均时速提高了，结果重庆到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，已知重庆到杭州的高铁全长为1600公里． (1)求提速后重庆到杭州高铁的平均时速？ (2)在乘坐高铁时，甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．若由乙同学独自检测，能否只花实际乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测？ 22．（25-26七年级上·上海崇明·月考）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 23．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出先向左移个单位长度，再向下移个单位长度的图形； (2)请画出关于原点中心对称的图形． 24．（25-26七年级上·上海松江·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 25．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图1，点A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连接交于点，设．    (1)求； (2)若点是直线上异于点的任意一点．求证：； (3)如图2，在上求作一点，使最小．作法：    学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间90分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：10~ 14章（七年级上册全部内容）； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26七年级上·上海松江·期中）下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据定义，检查各选项右边的形式是否为积的形式，且左边是多项式． 【详解】∵ 因式分解需满足从多项式到整式的积的变形， 选项A：右边为多项式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项B：右边为，是积的形式，且左边为多项式，等式成立，故是因式分解； 选项C：右边为和的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 选项D：右边为差的形式，不是积的形式，故不是因式分解； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海金山·期中）已知，，化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，多项式乘多项式．直接展开表达式 ，并代入已知条件和进行计算，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∵，， ∴， 故选：B 3．（25-26七年级上·上海青浦·期中）有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上的点表示有理数，整式加减运算，理解数轴上字母的符号是关键． 根据题意得到，结合整式的加减运算判定即可． 【详解】解：根据题意，，， ∴，故A选项错误，不符合题意； ，故B选项错误，不符合题意； ，故C选项错误，不符合题意； ，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 4．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 5．（25-26七年级上·上海崇明·期中）新能源汽车投入生产后，零件加工车间接到任务，需要加工该款新能源汽车的，两种零件各2400个．已知该车间员工每人每天加工16个种零件或10个种零件．车间负责人安排工人先加工种零件，完成后再加工种零件，经过13天后完成了这批订单．已知该车间有名工人．可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，设该车间有名工人，依题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设该车间有名工人，依题意得： ， 故选：C． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期中）如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：①；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③，共3个 故选：C． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）计算： （结果用幂的形式表示） 【答案】 【分析】先将转化为，再利用同底数幂的乘法法则计算即可；本题主要考查了同底数幂的乘法法则，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加是解题的关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·上海金山·期中）如果整式M与整式的和为，那么整式 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减运算，根据整式的加减运算，整式等于和减去已知整式，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵整式M与整式的和为， ∴ ， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）已知，则 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，先求出的值，再利用完全平方公式分解因式可把原式变形为，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴ ， 故答案为：6． 10．（25-26七年级上·上海静安·期中）墙面上镶嵌的钟面在镜子中看到的时间如图所示，则实际时间是 ． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 图中表盘数字的顺序与实际表盘的数字顺序正好左右相反，据此作答即可． 【详解】根据轴对称性质得，实际钟表如下： ∴实际时间是． 故答案为：． 11．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）根据表中的数据，写出a的值为 ，b的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，解一元一次方程，解可化为一元一次方程的分式方程，正确计算是解题的关键．将代入求得，然后解方程求出，再将代入求出即可． 【详解】解：把代入方程，得 ， 把代入方程，得， 解得，， 把代入方程，得 ． 故答案为：． 12．（2025七年级上·上海宝山·模拟预测）观察下列图形： 它们是按一定规律排列的，依照此规律，第20个图形共有 个★． 【答案】60 【分析】本题主要考查了图形的变化规律，通过归纳总结，得到其中规律是解题的关键． 根据图形的特点归纳总结规律即可求解． 【详解】解：∵第一个图形有个五角星， 第二个图形有个五角星， 第三个图形有个五角星， 第四个图形有个五角星， ∴第20个图形共有个五角星， 故答案为：60． 13．（24-25七年级上·上海长宁·期中）如图，一块大的长方形分成3个正方形和3个完全相同的小长方形，观察图形，可将多项式因式分解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解与几何图形的面积，弄清图形中的面积关系是解题关键． 图中大长方形的面积有两种求法，一是由三个正方形的面积与三个小长方形的面积之和计算，二是由大长方形的长与宽的乘积计算，两者相等即可确定多项式因式分解的结果． 【详解】解：结合图形，可得长方形的面积为， 还可得长方形的长为，宽为， ∴长方形的面积也可以为， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26七年级上·上海虹口·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，则线段的长为    【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称， 根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案. 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理. ∵， ∴. 故答案为：. 16．（24-25七年级上·上海长宁·期末）一次数学活动课上，老师利用“在面积一定的矩形中，正方形的周长最短”这一结论，推导出“式子的最小值为”.其推导方法如下:在面积是的矩形中，设矩形的一边长为，则另一边长是，矩形的周长是；当矩形成为正方形时，就有，解得，这时矩形的周长最小，因此的最小值是，模仿老师的推导，可求得式子的最小值是 ． 【答案】 【分析】仿照老师的推导过程，设面积为2的矩形的一条边长为x，根据x=可求出x的值，利用矩形的周长公式即可得答案． 【详解】在面积为2的矩形中，设一条边长为x，则另一条边长为， ∴矩形的周长为2（x+）， 当矩形成为正方形时，就有x=， 解得：x=， ∴2（x+）=4， ∴x+(x>0)的最小值为2， 故答案为：2 【点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题意，得出x=是解题的关键． 17．（24-25七年级上·上海杨浦·月考）在矩形内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图①②两种方式放置（图①②中两张正方形纸片均有部分重叠）， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图①中阴影部分的面积为，图②中阴影部分的面积为． 当时，的值为 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算，解题关键是掌握整式的混合运算． 利用面积的和与差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解： ， ， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·上海徐汇·期中）如图， 直角三角形 和直角三角形 中，，，，点 D 在边上，将图中的三角形 绕点 O 按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中， 在第 秒时， 边 恰好与边 平行 ． 【答案】5.5 或 【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的角度关系及直角三角形的角度计算，解题的关键是确定和的初始倾斜角，分析旋转过程中倾斜角的变化规律，再根据平行线倾斜角相等或相差的条件列方程求解旋转时间． 以为x轴建立坐标系，确定与x轴的夹角（倾斜角）为；根据初始位置得出的初始倾斜角为；分析顺时针旋转度后倾斜角为；分别按同向平行（倾斜角相等）和反向平行（倾斜角相差列方程求，结合旋转速度计算时间，筛选旋转一周内的有效解． 【详解】解：设为x轴（点O为原点）， ∵，点D在上， ∴为x轴，即与垂直． 在中，，故与轴）的夹角为，即的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为． 在中，，，点D在上，初始时的倾斜角（从x轴正方向逆时针测量）为（由题意可知）． 设旋转时间为t秒，三角形顺时针旋转的角度为度，旋转后的倾斜角为． 当与平行时，分两种情况： 同向平行（倾斜角相等）：，解得，则秒； 反向平行（倾斜角相差：，解得（等效于顺时针旋转，因旋转一周为，则秒． 两种情况均在旋转一周秒）内，均为有效解． 故答案为：或． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26七年级上·上海静安·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中，． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可； （2）先去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 20．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算： （1）； （2）； 解方程： （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）原方程无解 【分析】本题主要考查分式的运算及分式方程的解法，熟练掌握分式的运算及分式方程的解法是解题的关键； （1）根据分式的乘法可进行求解； （2）根据分式的混合运算可进行求解； （3）先去分母，然后再求解方程即可； （4）先去分母，然后再求解方程即可． 【详解】解：（1）； （2）； （3）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：； 经检验：当时，， ∴是方程的解； （4）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 21．（24-25七年级上·上海松江·期末）某中学甲、乙两学生到杭州参加移动机器人比赛，拟乘坐高铁，订票后发现重庆到杭州高铁的平均时速提高了，结果重庆到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，已知重庆到杭州的高铁全长为1600公里． (1)求提速后重庆到杭州高铁的平均时速？ (2)在乘坐高铁时，甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．若由乙同学独自检测，能否只花实际乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测？ 【答案】(1)240公里/小时 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设提速前该高铁从重庆到杭州的平均时速是公里小时，则提速后的平均时速是公里小时，根据到杭州的时间比预计缩短了1小时20分钟，列出分式方程，解方程即可； （2）设乙同学独自完成全部模块任务检测需小时，根据甲同学先花1小时完成了全部模块任务检测的，乙同学也加入检测，两人合作3小时完成了余下的模块任务检测．列出分式方程，解方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：设提速前该高铁从重庆到杭州的平均时速是公里小时，则提速后的平均时速是公里小时，1小时20分钟小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：提速后重庆到杭州高铁的平均时速是240公里小时； （2）解：设乙同学独自完成全部模块任务检测需小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ， 乙不能只花乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测， 答：乙不能只花乘坐高铁时间的完成全部模块任务检测． 22．（25-26七年级上·上海崇明·月考）阅读下列材料： 材料1：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且则可以把因式分解成，这种方法称为“十字相乘法”． 如：（1）； （2）． 材料2：因式分解：． 解：将“看成一个整体，令，则原式，再将“”还原得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ①________                          ②________ (2)结合材料1和材料2，对下面小题进行因式分解： ①；               ②． 【答案】(1)①，② (2)①，② 【分析】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式，阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式是解题的关键． （1）①设实数m，n，根据题意列方程，即可求解；②先提取2，设实数m，n，根据题意列方程，即可求解． （2）①令，再用十字相乘法因式分解，再将A代入即可求解；②令，再用十字相乘法因式分解，再将B代入，再用十字相乘法对因式进行一次因式分解，即可求解． 【详解】（1）①设存在实数m，n，使得，解得， 则； ②， 设存在实数m，n，使得，解得， 则． （2）①令， 故， 将代入得． ②， 令， 则， 将代入，得． 23．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出先向左移个单位长度，再向下移个单位长度的图形； (2)请画出关于原点中心对称的图形． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】本题考查了作图——中心对称变换，平移变换，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用点平移的坐标变换规律得到的坐标，然后描点连线即可； （）利用关于原点对称的点特征得到的坐标，然后描点连线即可． 【详解】（1）解：∵先向左移个单位长度，再向下移个单位长度， ∴， 画图如图， ∴即为所求； （2）解：如图，即为所求． 24．（25-26七年级上·上海松江·期中）【知识生成】 （1）如图①，在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开，按如图②所示进行拼接．图①中阴影部分的面积可表示为_____________，图②中阴影部分的面积可表示为_____________，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可以得到恒等式：_____________； 【知识应用】 （2）通过计算几何体的体积也可以表示一些代数恒等式，如图③表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，写出一个代数恒等式． 【答案】（1）；；；（2） 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，解题的关键是分别表示出图①和图②中阴影部分的面积． （1）分别计算图①、图②阴影面积，根据面积相等得出恒等式． （2）分别算出原几何体（正方体挖去小长方体）和新长方体的体积，根据体积相等得恒等式． 【详解】解：（1）图①中阴影部分的面积可表示为， 图②中阴影部分的面积可表示为， 恒等式， 故答案为：，，； （2）根据题意，得新长方体的长为，宽为x，高为， 新长方体体积为， 正方体挖去一个小长方体后的体积为， 根据变化前后几何体的体积相等， 可得， 代数恒等式为； 25．（24-25七年级上·上海闵行·单元测试）如图1，点A、B两点在直线的同侧，点与A关于直线对称，连接交于点，设．    (1)求； (2)若点是直线上异于点的任意一点．求证：； (3)如图2，在上求作一点，使最小．作法：    【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质得到边长关系即可求出； （2）利用轴对称换边，再使用三角形三边大小关系证明即可； （3）利用最短路径写出作法即可． 【详解】（1）点与A关于直线对称， ， ， ， ； （2）连接，   点与A关于直线对称， ，， ，， 中， ； （3）作点A关于直线对称点，连接交直线于点，如下图所示．    【点睛】本题考查最短路径的画法和证明，轴对称的性质为对称轴上的点到关于对称轴对称的两个对应点的距离相等．求解在直线上找一点使该点到直线同侧的两点的距离和最小，作法为作其中一点关于直线的对称点，连接另一点与直线的交点． 学科网（北京）股份有限公司 $