精品解析：天津市滨海新区汉沽第九中学2025--2026学年上学期期中数学试卷

汉沽九中2025－2026学年第一学期期中检测八年级数学试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、姓名、班级、考号、座位号填写在“答题卡”上、答题时，务必将答案写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分．在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 1cm，2cm，5cm B. 3cm，3cm，3cm C. 2cm，2cm，4cm D. 3cm，4cm，9cm 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 4. 在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ） A. 点A到x轴的距离为3 B. 点A与点关于x轴对称 C. 点A与点关于y轴对称 D. 点A在第二象限 5. 如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 7. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小要3分，共18分） 13. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 14. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周长为23，AC＝12，则BC＝____． 15. 如图，若，则_______°． 16. 已知点，是关于y轴对称的点，______． 17. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 18. 如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上______（填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是______． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明或演算步骤） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形，其中的坐标为______，的坐标为______； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴． 20. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 21. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 22. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 23. 如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图，当点在线段的中点时，_______，_______； （2）如图，当点在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 24. 在中，是角平分线，点在边上，与交于点． （1）如图，若是中线，，，填空：与的周长差为______； （2）如图，若是高，，填空：为______（度）； （3）请在图中利用尺规作图画出的角平分线，射线分别与，相交于点，；（保留作图痕迹，不写画法） 若，根据你的作图求出的度数． 25. 已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ （2）探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． （3）拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉沽九中2025－2026学年第一学期期中检测八年级数学试卷 注意事项： 本试卷分为第Ⅰ（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分．试卷满分120分，考试时间100分钟． 答卷前，请你务必将自己的学校、姓名、班级、考号、座位号填写在“答题卡”上、答题时，务必将答案写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回． 祝你考试顺利！ 第Ⅰ（选择题共36分） 一、选择题（本题共12小题，每题3分，共36分．在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求） 1. 下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟记轴对称图形的定义是解决问题的关键．根据轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够相互重合，那么这个图形就是轴对称图形，直接由轴对称图形的定义逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； B、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意； C、选项中的图形不是轴对称图形，符合题意； D、选项中的图形是轴对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 下列各组中的三条线段，能组成三角形的是( ) A. 1cm，2cm，5cm B. 3cm，3cm，3cm C. 2cm，2cm，4cm D. 3cm，4cm，9cm 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断 【详解】解：A、，长是、、的线段不能组成三角形，故A不符合题意； B、，长是、、的线段能组成三角形，故B符合题意； C、，长是、、的线段不能组成三角形，故C不符合题意； D、，长是、、的线段不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 3. 如图，中的边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形高的定义即可解答． 本题考查了三角形的角平分线、中线和高：过三角形的一个顶点引对边的垂线，这个点与垂足的连线段叫三角形的高． 【详解】解：中的边上的高是， 故选：A． 4. 在直角坐标系中，点A的坐标为，那么下列说法正确的是（ ） A. 点A到x轴的距离为3 B. 点A与点关于x轴对称 C. 点A与点关于y轴对称 D. 点A在第二象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，熟练掌握点的坐标与图形位置是解答本题的关键． 按照点在坐标平面内的特征以及有关对称点的性质求解即可． 【详解】解：A、点A的坐标为，则点A到x轴的距离为4，故本选项不符合题意； B、点A的坐标为关于x轴的对称点为，故本选项不符合题意； C、点A的坐标为关于y轴的对称点为，故本选项不符合题意； D、点A的坐标为，则点A在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 如图，在中，，平分，过点D作，若，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题考查角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，若∠A＝30°，BD＝1，则AD的长为（　　） A. B. 2 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】求出∠BCD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出BC=2，求出AB=4，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠B=60°， ∵CD是高， ∴∠CDB=90°， ∴∠BCD=30°， ∵BD=1， ∴BC=2BD=2， ∵在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°， ∴AB=2BC=4， ∴AD=AB-BD=4-1=3， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形的性质的应用，解题的关键是得出BC=2BD和AB=2BC，难度适中． 7. 如图，，，则下列增加的条件中不能证明的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A．由于，，添加条件，不能用证明，故本选项符合题意； B．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； C．由于，，添加条件，可得，即，可以利用证明，故本选项不符合题意； D．由于，，添加条件，可以利用证明，故本选项不符合题意； 故选：A． 8. 如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，图中能够表示的最小值的是下列哪条线段的长（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，正确作出辅助线是解题关键．连接，则的长度即为与和的最小值，再利用等边三角形的性质可得，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，与交于点， ∵是等边三角形， 是边上的高， ∴，，即垂直平分， ∴， ， ∴此时最小，即就是的最小值， 是等边三角形， ， 故选：B． 9. 如图，在中，、分别是的角平分线和高，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据求出的度数，由三角形外角的性质求出的度数，再根据平分得出的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 11. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， 故选：． 12. 如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接．有以下五个结论：；；；为等边三角形；．其中正确结论的个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定 ， 根据全等三角形的判定方法，证出，即可得出，正确；先证明即可判断出即可得正确；根据，可得为等边三角形，证出得出，正确；没有条件证出，得出错误；⑤ ，⑤正确，即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴为等边三角形，结论正确； ∴， ∴，结论正确； ∵， ∴ ∴，结论正确； 没有条件证出，错误； 综上，可得正确的结论有个：， 故选：． 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本大题共6个小题，每小要3分，共18分） 13. 如图，木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像如图所示那样钉上两条斜拉的木板条（即图中的和），这样做的依据是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题主要考查的知识点是三角形的稳定性．将四边形的上部固定为两个三角形，根据的原理就是三角形的稳定性． 【详解】解：钉上斜拉的木板条后，门框的结构中会形成三角形，而三角形的三边一旦确定，形状和大小就不会改变，这种特性就是三角形的稳定性，能有效防止门框变形． 故答案为：三角形具有稳定性． 14. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，若△BCD的周长为23，AC＝12，则BC＝____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得，然后求出的周长=AC+BC，再代入数据进行计算即可得解． 【详解】解：∵MN是AB的垂直平分线， ∴， ∴的周长． ∵，的周长是23， ∴． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 15. 如图，若，则_______°． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理得到，然后根据三角形内角和定理得到，代入计算即可． 【详解】解：如图，设交于F，交于， ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 已知点，是关于y轴对称的点，______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系-轴对称．根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a、b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点，关于轴对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，分别是边的垂直平分线，连接，若，则的大小为______（度）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答的关键．先根据垂直平分线的性质得到，进而利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：∵分别是边的垂直平分线， ∴， ∴，，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上______（填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是______． 【答案】 ①. 是 ②. 30 【解析】 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （1）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （2）由（1）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（1）在射线上存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故答案为：是； （2）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故答案为：30． 三、解答题（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明或演算步骤） 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、． （1）在图中画出关于轴对称的图形，其中的坐标为______，的坐标为______； （2）若点与点关于一条直线成轴对称，请在图中画出这条对称轴． 【答案】（1） 如图，即为所求； AI ； （2） 如下图所示： 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化——轴对称，熟练掌握是解题关键． （1）在坐标系中作出的三个顶点关于轴的对称点，顺次连接，然后读出点的坐标即可； （2）利用轴对称的性质解决问题即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：点与点纵坐标相等， 点与点关于直线成轴对称， 即对称轴为直线 20. 如图，在中，D为边的中点，过点B作交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1） 证明：∵D为边的中点， ∴， ∵， ，， ； （2） 证明：由（1）可得：， ， 又， ， 又， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了线段中点的有关计算，两直线平行内错角相等，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由线段中点的定义可得，由两直线平行内错角相等可得，，然后利用即可得出结论； （2）由（1）可得，于是可得，由已知条件可得，然后利用可证得，于是结论得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，是等腰三角形，，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相于点． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质， （1）由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得证； （2）由可得，进而由直角三角形的性质可得，又可得是等边三角形，得到，即可得解； 掌握等腰三角形的性质和判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为． 22. 如图，在RtABC中，∠ACB＝90°，D是AB上的一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F． （1）求证：BE垂直平分CD； （2）若∠BED＝60°，求证：CBD是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵∠ACB=90，且DE⊥AB， ∴∠EDB=∠ACB=90°， 在Rt△EBC和Rt△EBD中， ， ∴Rt△EBC≌Rt△EBD（HL）， ∴∠CBE=∠DBE， ∵BD=BC， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BF⊥CD，CF=DF， ∴BE垂直平分CD； （2） 证明：∵∠BED=60°，∠EDB=90°， ∴∠DBE=30°， ∵BD=BC，BE垂直平分CD， ∴∠CBE=∠DBE=30°， ∴∠CBD=60°， ∴△CBD是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）先证Rt△EBC≌Rt△EBD（HL），即可得出BE是∠DBC的角平分线，再根据等腰三角形三线合一即可得证； （2）根据BD=BC，BE垂直平分CD，可得∠CBE=∠DBE=30°，进而可以证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质与等边三角形的判定是解决本题的关键． 23. 如图，为等边三角形，，点是直线上一点，连接，以为边作等边，连接． （1）如图，当点在线段的中点时，_______，_______； （2）如图，当点在的延长线上时，求证：； （3）在（2）的条件下探索、、三条线段的长度有何关系？并说明理由． 【答案】（1）3，； （2） 证明：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； （3） 解：，理由如下： 由（2）可知，， ， 是等边三角形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，证明，得到，，进而得到，再根据线段中点，求出，即可得到的长； （2）根据等边三角形的性质，即可证明； （3）由（2）可知，，得到，由等边三角形的性质，得到，即可得到结论． 【小问1详解】 解：和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 点在线段的中点， ， ， 故答案为：3，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 在中，是角平分线，点在边上，与交于点． （1）如图，若是中线，，，填空：与的周长差为______； （2）如图，若是高，，填空：为______（度）； （3）请在图中利用尺规作图画出的角平分线，射线分别与，相交于点，；（保留作图痕迹，不写画法） 若，根据你的作图求出的度数． 【答案】（1）； （2）； （3）如图， 的度数为． 【解析】 【分析】（）根据中线可得，再由周长为，的周长为，然后求差即可； （）由得，由角平分线得，然后通过三角形的外角性质即可求解； （）根据尺规作图——作角平分线即可； 先由内角和定理得，再根据角平分线的定义求出∴，最后再由三角形的内角和定理即可求解； 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形中线、角平分线、高，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵是中线， ∴， ∵周长为，的周长为， ∴与的周长差为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：略 ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴的度数为． 25. 已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． （1）观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ （2）探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． （3）拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：（1）中的结论还成立， 理由如下：如图2，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （3） 解：． 理由如下：如图3，作于点D， 同（2）可证， ∴， 点P在的角平分线上，且于C， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （2）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （3）仿照（2）的解法得出，从而得出，再根据得出，得出，继而得出结论． 【小问1详解】 解：作于点D，如图， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $