期末复习06旋转期末必备冲刺讲义(知识梳理+题型精析+备考强化通关)2025-2026学年人教版九年级年级数学上册

该初中数学旋转单元复习讲义以“知识梳理-题型突破-综合强化”为主线构建体系，通过表格对比中心对称与轴对称区别，框架图呈现旋转三要素、性质及作图步骤，系统梳理核心概念、应用要点等知识脉络，明确重难点分布与内在逻辑。 讲义亮点在于“题型分层精讲”，从基础的确定旋转中心到综合的坐标旋转动点问题，结合“共顶点，等线段，想旋转”口诀培养推理意识，通过典例与跟踪训练发展几何直观。强化通关题覆盖选择、填空、解答，适配不同层次学生，助力教师精准教学与学生自主复习。

期末复习06旋转期末必备冲刺讲义 期末必备 知识点梳 理 1.旋转的核心概念 2.旋转的性质 3.旋转的作图步骤 4.常见的应用与要点 5.中心对称的定义 6.中心对称的性质 7.中心对称的作图方法 8.中心对称与轴对称的区别 9.中心对称的判定 常考题型 精讲精炼 1.确定旋转中心.角度及对应点 2.利用旋转的性质进行计算求解 3.依据旋转的性质说明线段或角相等 4.绘制指定要求的旋转图形 5.求绕坐标原点旋转90度后的坐标 6.坐标平面内的旋转规律问题 7.旋转综合题中的角度计算问题 8.坐标平面内的旋转动点问题 9.做已知图形关于某点的中心对称图形 10.根据中心对称的性质求面积.长度或角度 期末备考 强化通关 单选题(8) 填空题(5) 解答题(6). 【知识点01.旋转的核心概念】 1.定义：在平面内，将一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转。其中点O是旋转中心，转动的角是旋转角，图形上的点经过旋转得到的对应点叫旋转的对应点。 2.三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度，三者缺一不可，是确定图形旋转的关键。 3.关键说明：旋转是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。旋转中心是图形旋转时唯一不动的点。 【知识点02.旋转的性质】 1.对应点到旋转中心的距离相等（如点A旋转到A′，则OA=OA′）。 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（如∠AOA′=∠BOB′）。 3.旋转前后的两个图形全等（如△ABC≅△A′B′C′）。 【知识点03.旋转作图步骤】 1.确定旋转中心、旋转方向和旋转角度这三要素。 2.找出原图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。 3.连接关键点与旋转中心，按要求的旋转方向和角度，将连线旋转，得到关键点的对应点。 4.顺次连接各对应点，得到旋转后的图形 【知识点04.常见的应用及要点】 一、几何求值类应用 1.求角度 *核心依据：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，旋转前后图形全等（对应角相等）。 *常见场景：在正方形、等边三角形等特殊图形中，通过旋转转移角的位置，结合直角、60° 角等特殊角求解未知角。如正方形 ABCD 内一点 E，将△ABE 绕 B 点旋转 90° 得到△CBE′，可利用旋转角为 90° 及勾股定理相关知识求∠BE′C 的度数。 *要点：先明确旋转三要素，再通过对应角、旋转角构建角的关系，结合三角形内角和、特殊三角形性质计算。 2.求线段长度 *核心依据：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形全等（对应边相等）。 *常见场景：求旋转后线段的长度、线段和差最值，或利用旋转将分散线段集中到一个三角形中，用勾股定理求解。如已知旋转前后线段长度，求某条未知线段长；求线段旋转过程中某点运动轨迹的长度（轨迹为圆弧，可根据弧长公式计算）。 *要点：锁定对应线段，利用 “等线段” 转化，复杂问题可构造直角三角形或全等三角形辅助计算。 3.求图形面积 *核心依据：旋转不改变图形面积，可通过旋转将不规则图形转化为规则图形（如三角形、四边形）。 *常见场景：求由旋转得到的组合图形面积，或旋转过程中图形扫过的面积（通常是扇形、圆环等）。 *要点：先确定旋转前后图形的形状、大小，再分析扫过区域的形状，结合相应面积公式计算。 二、几何证明类应用 1.证明线段关系（相等、垂直、平行） *证明线段相等：利用旋转前后图形全等，对应边相等直接证明；或通过旋转转移线段，使两条线段在同一三角形中，证明其为等腰三角形的两腰。 *证明线段垂直：若旋转角为 90°，则对应线段的夹角为 90°，可直接证明垂直。如将线段 AB 绕某点旋转 90° 得到线段 A′B′，则 AB⊥A′B′。 *证明线段平行：结合旋转性质与平行线判定定理（如内错角相等、同位角相等），通过角的关系推导线段平行。 *要点：紧扣旋转性质，找准对应线段，通过角的传递建立线段间的位置或数量关系。 2.证明角的关系（相等、和差、互补） *证明角相等：利用旋转前后对应角相等，或通过旋转将角转移到同一位置，结合角平分线、对顶角等知识证明。 *证明角的和差、互补：通过旋转组合角，如将一个角旋转后与另一个角拼接，结合平角、周角等概念证明。 *要点：明确角的对应关系，利用旋转角作为桥梁，搭建已知角与未知角的联系。 三、作图与实际应用 1.图案设计 *应用方式：以基本图形（如三角形、四边形、圆）为基础，通过绕某点旋转一定角度，重复组合形成对称、美观的图案，如墙纸、纺织品、地砖上的花纹设计。 *要点：确定旋转中心、旋转角（如 60°、90°、120° 等，便于形成对称图案），规划基本图形的旋转次数与方向。 2.确定旋转中心与旋转角 *确定旋转中心：方法是找两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。 *确定旋转角：连接对应点与旋转中心，对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，可通过量角器测量或结合几何知识计算。 *要点：至少找到两组对应点，确保垂直平分线作图准确；计算旋转角时要注意旋转方向（顺时针或逆时针）。 3.生活与科技中的应用 生活领域：钟表指针的转动、旋转门的开关、摩天轮的运行、螺旋楼梯的设计等，均是旋转原理的实际体现。 科技领域：机械臂的运动、航天器的姿态调整、卫星天线的转向等，利用旋转实现位置与方向的调整。 要点：将实际问题抽象为几何图形的旋转，明确旋转中心、旋转角等要素，用数学知识分析其运动规律。 四、解题核心要点与技巧 1.解题口诀：“共顶点，等线段，想旋转”。当题目中出现共顶点的两条相等线段时，优先考虑用旋转法解题，通过旋转将分散的条件集中，构造全等三角形或特殊三角形。 2.旋转三要素是解题关键，若题目中未明确，需通过已知条件推导（如根据对应点位置确定旋转中心，根据图形特征确定旋转角）。 3.旋转作图时，关键点的选取要准确（如多边形的顶点、线段的端点、圆心等），确保后续连接对应点能得到正确图形。 4.与坐标系结合时，要掌握点绕原点旋转 90°、180° 等特殊角度的坐标变化规律，如点（x，y）绕原点顺时针旋转 90° 后坐标变为（y，-x）。 【知识点05.中心对称的定义】 把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 【知识点06.中心对称的性质】 1.中心对称的两个图形是全等图形，对应线段相等、对应角相等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 4.对称中心是唯一的，可通过对应点连线的交点确定。 【知识点07.中心对称的作图方法】 1.作点的对称点：连接已知点与对称中心，延长该线段，使延长部分的长度等于已知点到对称中心的距离，延长线的端点即为已知点的对称点。 2.作图形的对称图形 (1)找出原图形的关键点（如多边形顶点、线段端点等）。 (2)按上述作点的对称点的方法，作出各关键点的对应点。 (3)顺次连接各对应点，得到与原图形中心对称的图形。 【知识点07.中心对称与轴对称的区别】 对比维度 中心对称 轴对称 对称依据 围绕一个点旋转180∘重合 沿一条直线折叠后重合 对称要素 对称中心 对称轴 对应点连线关系 经过对称中心且被其平分 被对称轴垂直平分 【知识点08.中心对称的判定】 一、核心判定方法（两种实用思路） 1. 定义法（直接判定） 条件：一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合。 结论：这两个图形关于该点中心对称（该点为对称中心）。 2. 性质逆推法（常用快捷） 需同时满足两个条件： *两个图形的所有对应点连线，都经过同一个点O； *点O平分每一组对应点的连线（即对应点到O的距离相等，如OA=OA'）。 结论：两图形关于点O中心对称。 二、关键区分（避坑要点） 1. 中心对称：描述两个图形的位置关系； 2. 中心对称图形：描述一个图形的自身性质（绕自身某点转180°与自身重合）。 三、易错提醒 1.仅“对应线段平行/相等”不能判定中心对称； 2.必须验证“所有对应点”满足条件，不能只看一组。 【题型1.确定旋转中心.角度及对应点】. 【典例】如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，掌握相关定义是解题关键． 根据“对应点与旋转中心的连线的夹角是旋转角”，可知是旋转角，于是得到问题的答案． 【详解】解：将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是或． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【答案】M 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 判断哪个点到两个三角形的对应点的距离相等，且夹角也相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接M和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点M的距离相等，且夹角都是， 因此格点M就是所求的旋转中心． 故答案为：M． 【跟踪训练2】如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与A对应，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识． 如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点O即为旋转中心，连接、，即为旋转角． 【详解】解：如图：连接，，作线段，的垂直平分线交点为，点O即为旋转中心． 连接，，即为旋转角， 由图可知，旋转角为 故选：． 【题型2.利用旋转的性质进行计算求解.】. 【典例】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据将绕点逆时针旋转得到，得，，再把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， 则， 故答案为：． 【跟踪训练1】如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质以及三角形的外角性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．由旋转的性质得出，，由三角形的外角性质即可得出答案． 【详解】解：∵将顺时针旋转得到， ∴，， ∴， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识．将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，连接，作直线，交直线于点，交直线于点，由旋转可知，，，证明得到，推出，点在直线上运动，当时有最小值，求出，得到，推出． 【详解】解：如图，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，连接，作直线，交直线于点，交直线于点， 直线，垂足为点， ， 由旋转可知，，， ， ， ， ， ， 点在直线上运动，当时有最小值， 在中，，， ， ， 在中，，， 即的最小值为， 故答案为：． 【题型3.依据旋转性质说明线段或角的相等】. 【典例】如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前、后的图形中的对应角相等． 利用旋转的性质得到，再利用三角形的内角和定理计算即可． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转后得到， ， ，， ． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【答案】125 【分析】本题考查旋转的性质，解题的关键是掌握：旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小．据此解答即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转后得到， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．进行判断即可． 【详解】解：由绕O旋转而得到， 点A与是一组对应点，，，故A，B，D都不合题意． 与不是对应角， 与不一定相等，不成立，故C符合题意． 故选：C． 【题型4.绘制指定要求的旋转图形】. 【典例】如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题考查了图形的旋转作图．根据旋转的要求作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图，线段即为所求，则点的坐标是， 故答案为： 【跟踪训练1】如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的概念，特别是绕中心点旋转后图形位置的变化.通过观察原图和选项，判断旋转之后图形的正确位置. 【详解】解：首先分析圆的位置： 原图中圆位于左上角的方格内，绕中心O逆时针旋转后，圆会旋转到右下角的方格内，通过选项可得：C和D符合； 其次，分析阴影三角形的位置变化： 原图中左下角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，旋转到右上角且斜边的方向不变.原图中右上角的阴影三角形，绕中心O逆时针旋转后，会旋转到左下角，观察C和D,C选项中阴影三角形的位置和形状符合，而D选项中位置不符合. 故选：C． 【跟踪训练2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，根据题意画出旋转后的三角形即可解决问题，能根据题意画出旋转后的图形是解题的关键． 【详解】解：的绕点逆时针旋转后所得图形如图所示， 所以点的坐标为，点的坐标为． 故答案为：，． 【题型5.求点绕坐标原点旋转90度后的坐标】. 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，将点绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的旋转变换，解题的关键是掌握点绕原点顺时针旋转的坐标变换规律． 根据“点绕原点顺时针旋转后坐标变为”的规律，将代入，得到的坐标． 【详解】解：点绕原点顺时针旋转， 的横坐标为的纵坐标，纵坐标为的横坐标的相反数， 的坐标为， 故选：A． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，由题意可得，，，再结合旋转的性质即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C， ∴，，， ∵将绕点O按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∴点的坐标是， 故答案为：． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点作轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【题型6.坐标平面内的旋转规律问题】. 【典例】如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标规律，理解题意，得到每次旋转后点D的坐标是关键． 根据题意得到，，结合图形得到每次旋转后点D的坐标，再根据旋转规律即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转， 如图所示， 当第一次旋转时，，第二次旋转时，，第三旋转时，，第四次旋转时， ∴经过4次后点回到起始位置， ∴， ∴第2025次旋转结束时，点的坐标为位置的坐标，即， 故选：D ． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．作轴于M．在中，求出即可解决问题． 【详解】解：过点D作轴于M， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 由面积知， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为 ∴； 故答案为：． 【跟踪训练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形的变化、规律型：点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法，属于中考常考题型．首先求出的坐标，探究规律后，利用规律解决问题． 【详解】解：第一次， 第二次， 第三次， 第四次， 第五次， … 发现点P的位置4次一个循环， ∵， 的纵坐标与相同为2，横坐标为， ∴， 故选：B． 【题型7.旋转综合题中角度计算问题】. 【典例】.如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质、角的计算依据外角的性质，解题的关键是算出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据旋转的性质找出相等的角和相等的边，再通过角的计算求出角的度数是关键． 由三角形的内角和为可得出，由旋转的性质可得出，从而得出，再依据计算即可得出结论． 【详解】解：在三角形中，，， ， 由旋转的性质可知：， ， 又， ， ， 故选：D． 【跟踪训练1】将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 【答案】6或9或18 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角度的计算等知识，分三种情况讨论：第一种情况当时，a为，第二种情况当时，a为，第三种情况，当时，a为，根据角度转动速度分别求解t即可． 【详解】解：I．如图，当时，   ，， ， ， ， a为 （秒）， II．如图，当时，   ， ， a为， （秒）， III． 如图，当时，    此时与在同一条直线上， a为， （秒）， 综上所述：三角板的某一边恰好与所在的直线平行， t的值为：6或9或18 故答案为：6或9或18 【跟踪训练2】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【详解】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 【题型8.坐标平面内的旋转动点问题】. 【典例】如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的运动规律， 先确定点的横，纵坐标的变化规律，每4次一个循环，再求出第2020次是循环中最后一次，即可得出答案. 【详解】解：由图可知，动点P的纵坐标依次按照，每四个一循环，横坐标运动次数减1， ∵， ∴动点P第2020次运动后的纵坐标为0，横坐标为， ∴动点[P的运动到点. 故答案为：. 【跟踪训练1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，再将动点分成在左侧和右侧时，两种情况分别讨论即可求解． 【详解】解：∵，的面积为， ∴，即， 解得：， 当点在左侧时，， 当点在右侧时，， ∵动点在轴上， ∴， 综上可得点坐标为或， 故选：C． 【跟踪训练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、三角形的面积等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键．分点A在x轴、y轴上两种情况，分别画出图形并根据面积公式列方程求解即可． 【详解】解：当点在y轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或4， ∴点A的坐标为或； 当点在x轴上， 设其坐标为，则， ∵三角形的面积等于4， ∴， 解得或2， ∴点A的坐标为或． 综上，满足条件的点A的坐标为或或或， 故答案为：或或或． 【题型9.作已知图形关于某点的中心对称图形】. 【典例】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，根据中心对称的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，，，； 故只有选项D不成立； 故选D． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的变换，二次函数图象上点的坐标特征，中心对称的性质，根据抛物线顶点坐标的对称性表示出抛物线的顶点坐标是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，结合中心对称的性质，求得抛物线顶点坐标，进而得到抛物线的解析式，整理对比得到、、的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：抛物线， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线与抛物线关于点成中心对称， 抛物线的顶点坐标是， 抛物线的解析式为， ，，， ， ． 故答案为： ． 【跟踪训练2】如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出，进而转化为求，根据题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵这个点的横坐标从开始依次增加， ∴， ∴， ∴，而即， ∵， 当时，，即， ∵关于点中心对称的点为， 即当时，， ∴， 故选：D． 【题型10.利用中心对称的性质求面积.长度或角度】. 【典例】如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称的性质，解题的关键是掌握中心对称的性质，即对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分．据此解答即可． 【详解】解：∵和关于点O成中心对称， ∴． 根据中心对称的性质得不出， ∴D不一定成立． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图所示，过点作于点， 阴影部分的面积矩形的面积的面积， ， 阴影部分的面积为 故答案为：． 【跟踪训练2】数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查实数与数轴的对应关系和中心对称的性质，先根据点与点关于点成中心对称，得到，再由数轴上两点之间距离公式求解即可． 【详解】解：∵点与点关于点成中心对称， ∴， ∴点表示的数是， 故选：B． 一.单选题 1．下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象，把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．根据把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换，可得答案． 【详解】解：A由图顺时针旋转得到，故A正确； B由图逆时针旋转得到，故B正确； C由图无法旋转得到，故C错误； D由图顺时针旋转得到，故D正确． 故选：C． 2．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【答案】C 【分析】先求出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例，再根据旋转一圈花费30分钟解答即可． 【详解】解：（分钟）． 所以经过20分钟后，3号车厢才会运行到最高点． 故选C． 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键 3．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等； 分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解． 【详解】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形； 以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形； 以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形； 所以旋转中心有3个． 故选：C． 4．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义和性质，构造旋转对应点连线的垂直平分线，找出旋转中心是解题的关键． 设中点H与中点为对应点，连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：∵将绕某个点旋转，得到， ∴E与为对应点，中点H与中点为对应点， 连接、， 分别作和的垂直平分线，交于点B，如图所示， 故点B为旋转中心． 理由：∵垂直平分，垂直平分， ∴点B是旋转中心， 故选：B． 5．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，再根据旋转角的度数为，通过推理证明对四个结论进行判断即可． 【详解】解：∵绕A点逆时针旋转得到， ∴，，，故B结论正确，不符合题意； ∵， ∴． ∴． ∴．故C结论正确，不符合题意； 在中，， ∴． ∴． ∴与不垂直．故A结论错误，符合题意； 在中，， ∴． ∴．故D结论正确，不符合题意． 故选：A． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据旋转的性质得到，，，，则可判断和都为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，所以，从而得到，然后利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：连接， ∵绕点A顺时针旋转得到， ∴，，，， ∴和都为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 在中，． 故选：C． 7．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定以及旋转等知识，分别证明和可得，由等边三角形的性质得，得四边形是平行四边形；；可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故可得结论． 【详解】解：∵，，是等边三角形， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴，，故②正确； ∴，故③正确； 同理可证， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵，且， ∴可以看成是绕点C顺时针旋转得到的，故④正确； ∴正确的结论是①②③④， 故选：C． 8．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查正方体相对两个面上文字，根据正方体的形体特征以及旋转规律，分别得出完成1次变换、2次变换、3次变换，4次变换后，骰子朝上一面的点数，根据所呈现的规律得出答案． 【详解】解：完成1次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 完成2次变换后，骰子朝上一面的点数是6， 完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是3， 完成4次变换后，骰子朝上一面的点数是5， 完成5次变换后，骰子朝上一面的点数是6， 完成6次变换后，骰子朝上一面的点数是3， …… 由于， 所以完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5． 故选：A． 二.填空题 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求 【分析】本题主要考查了作图-复杂作图，中心对称，勾股定理等知识点， （1）利用已知和勾股定理即可得解； （2）利用三角形的中位线定理可得出，即为两个单位长度，利用矩形的中心对称性可知和成中心对称，和成中心对称，进而即可得解； 熟练掌握其性质，合理作出图形是解决此题的关键． 【详解】（1）如图，连，过A作格线的垂线交于点C， ∵O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）， ∴， 故答案：； （2）如图， ， 取格点C，连接并延长交格线于点D，取格点E，连接并延长交格线于点B，连接并延长交格线于点，连接并延长交格线于点，则点和点即为所求． 10．如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中角平分线的性质、旋转的性质及周期的相关知识．先求出旋转的周期，再根据余数判断第2025次旋转后对应点的位置，进而求出坐标． 【详解】解：由题意知，每次旋转的情况如图所示： ∵平分第一象限， ∴， 又∵， ∴， ∴点B的坐标为， 又∵每次绕原点顺时针旋转， ∴此时点B的坐标情况如下： ①第1次旋转后，记；②第2次旋转后，记； ③第3次旋转后，记；④第4次旋转后，记； ⑤第5次旋转后，记；⑥第6次旋转后，记； ⑦第7次旋转后，记；⑧第8次旋转后，记；…… ∴当点B旋转8次，坐标回到原始位置， ∵当点B旋转第2025次时，， ∴余数为1，此时第2025次旋转后的点． 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】分情况讨论：①线段绕点顺时针旋转得到线段，②线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作轴于点，证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可． 【详解】解：∵点， ∴， ①线段绕点顺时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②线段绕点逆时针旋转得到线段， 如图，过点作轴于点，则， 由旋转得，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，能用分类讨论思想和添加常用辅助线构造全等三角形解决问题是解题的关键． 13．已知抛物线，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质及关于原点对称的变换，首先求出抛物线的解析式，再根据其开口方向及对称轴位置，分情况讨论上的最大值，令最大值小于等于4，解不等式求的取值范围． 【详解】解：抛物线， 则顶点坐标为， 将绕原点旋转后，抛物线的顶点坐标为，开口方向相反， ∴的解析式为，且图象开口向下，对称轴为直线， 当时，， ∴抛物线在上的最大值， 分情况讨论： 当时，则时，， ∴，解得 ，故； 当时，则时，， ∴，解得，与矛盾，不符合题意， 当时，则时，， ∴，解得，与矛盾，不符合题意， 综上， 的取值范围为． 故答案为：． .三,解答题 14．如图，的各顶点坐标分别为． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； (2)在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作旋转图形、作中心对称图形、平面直角坐标系等知识点，掌握基本的作图方法是解题的关键． （1）分别作出点A、B关于点O的对称点，再与点O首尾顺次连接即可得；再将点分别绕点O顺时针旋转得到其对应点，再与点O首尾顺次连接即可得； （2）结合（1）的作图写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：，即为所求． （2）解：由（1）作图可得：点的坐标为． 15．如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题．解题的关键是作各个关键点的对应点． （1）作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次； （2），图形作变换相等于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； （3）因为变换表示先作1次变换，再作1次变换变换表示先作1次变换，再依1次变换，所以可按此作出图形，再作判断． 【详解】（1）解：作变换相当于将图形绕原点旋转度，对应图形与原图重合，所以至少应将沿轴翻折两次， ∴作变换相当于至少作两次变换； 故答案为：2； （2）解：，图形作变换相当于绕原点顺时针旋转度，即逆时针旋转度； 如图所示，图形作变换后得到的图形； （3）解：变换与变换不是相同的变换．如图3，4所示． 16．如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在， 或或或 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）利用角平分线的性质，结合三角形外角的性质进行计算即可； （3）点A和点B都有可能是直角顶点，因此要分类讨论，根据等腰直角三角形的性质，构建“一线三等角”模型来计算坐标． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， ∴，， ∵， ∴，； （2）∵平分， ∴， ∵平分的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴； （3）当点A为直角顶点，且P在x轴上方时，如图： ， 作轴于点E， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于x轴下方时，其与关于点A对称，此时点P坐标为， 当点B为直角顶点，且P在y轴右侧时，如图： 作轴于点F， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点P坐标为， 同理，当点P位于y轴左侧时，其与关于点B对称，此时点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或或或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质和三角形外角的性质，运用“一线三等角”模型解决等腰直角三角形问题是解题关键． 17．在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)， 【分析】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，根据题中给出的定义准确得到平移旋转后的点为解题关键 （1）①先根据平移求出的坐标，再根据旋转可知是和的中点，设，根据中点坐标公式求解即可；②当时，一次函数为，设点，利用中点公式求解即可； （2）当时，分情况当时以及时求出x的值，对于，当时以及时，确定出，设，再根据平移，旋转以及中点公式表示出，结合题中给出的范围求解即可． 【详解】（1）解：①点，故向右平移2个单位，向上平移1个单位，点平移后得到，即， 点绕点旋转，即是和的中点， 设， 则，， 解得：， 因此，Q的坐标为； ②当时，一次函数为，设点， 同①，平移后仍为， 点绕N旋转，N是和Q的中点， 设， 则: 消去n化简得：； （2）解：次函数， 当时，且， 由， 当时，， 当时，， ，对于， 当时，， 当时，， ，即点P横坐标范围是； 已知，点P先根据M平移，再根据旋转得到点， 设，平移后， 设， 则，， 则， ，， ，即， ，即； ，， ，即， ，即． 【点睛】本题考查了坐标点的平移，旋转，中点坐标的求解，理解题中给出的定义，能够根据平移以及旋转的方式求出点的坐标为解题关键． 18．如图①，在中，，，，点为的中点，动点从出发，沿边向终点运动，速度为每秒个单位长度．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当时，求的值； (3)若在边上有一点，且，如图②，连接，在点的运动过程中： ①______°； ②直接写出为钝角三角形时的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)①；②或． 【分析】本题考查了三角形中的动点问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及旋转的性质，解题的关键是正确作出辅助线以及分类讨论． （1）由题意得，根据，即可求解； （2）由旋转可得，，证明得到，列方程求解即可； （3）①在上取，连接，得到，，推出是等腰直角三角形，得到，证明得到，即可求解；②在中，，当时，则是等腰直角三角形，求出，在上取，连接，同①得：是等腰直角三角形，，，，由勾股定理得，列方程可求出，当时，，此时为钝角三角形；当时，由（2）可知，则当时，，此时为钝角三角形． 【详解】（1）解：由题意得， ， ； （2）解：， ， ， 由旋转可得，， ， ， 在和中， ， ， ， 点为的中点， ， 由（1）知， ， 解得， 当时，； （3）①如图，在上取，连接， ，， ，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由旋转得，， ， 在中，， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； ②在中，， 当时，则是等腰直角三角形， ， 在中，，则， 在上取，连接， 同①得：是等腰直角三角形，， ，， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 即当时，； 当时，，此时为钝角三角形； 当时，由（2）可知， 当时，，此时为钝角三角形； 综上所述，当为钝角三角形时，的取值范围是或． 19．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到；. （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【详解】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习06旋转期末必备冲刺讲义 期末必备 知识点梳 理 1.旋转的核心概念 2.旋转的性质 3.旋转的作图步骤 4.常见的应用与要点 5.中心对称的定义 6.中心对称的性质 7.中心对称的作图方法 8.中心对称与轴对称的区别 9.中心对称的判定 常考题型 精讲精炼 1.确定旋转中心.角度及对应点 2.利用旋转的性质进行计算求解 3.依据旋转的性质说明线段或角相等 4.绘制指定要求的旋转图形 5.求绕坐标原点旋转90度后的坐标 6.坐标平面内的旋转规律问题 7.旋转综合题中的角度计算问题 8.坐标平面内的旋转动点问题 9.做已知图形关于某点的中心对称图形 10.根据中心对称的性质求面积.长度或角度 期末备考 强化通关 单选题(8) 填空题(5) 解答题(6). 【知识点01.旋转的核心概念】 1.定义：在平面内，将一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这种图形变换称为图形的旋转。其中点O是旋转中心，转动的角是旋转角，图形上的点经过旋转得到的对应点叫旋转的对应点。 2.三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角度，三者缺一不可，是确定图形旋转的关键。 3.关键说明：旋转是全等变换，只改变图形位置，不改变图形的形状和大小。旋转中心是图形旋转时唯一不动的点。 【知识点02.旋转的性质】 1.对应点到旋转中心的距离相等（如点A旋转到A′，则OA=OA′）。 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角（如∠AOA′=∠BOB′）。 3.旋转前后的两个图形全等（如△ABC≅△A′B′C′）。 【知识点03.旋转作图步骤】 1.确定旋转中心、旋转方向和旋转角度这三要素。 2.找出原图形的关键点（如多边形的顶点、线段的端点等）。 3.连接关键点与旋转中心，按要求的旋转方向和角度，将连线旋转，得到关键点的对应点。 4.顺次连接各对应点，得到旋转后的图形 【知识点04.常见的应用及要点】 一、几何求值类应用 1.求角度 *核心依据：对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角，旋转前后图形全等（对应角相等）。 *常见场景：在正方形、等边三角形等特殊图形中，通过旋转转移角的位置，结合直角、60° 角等特殊角求解未知角。如正方形 ABCD 内一点 E，将△ABE 绕 B 点旋转 90° 得到△CBE′，可利用旋转角为 90° 及勾股定理相关知识求∠BE′C 的度数。 *要点：先明确旋转三要素，再通过对应角、旋转角构建角的关系，结合三角形内角和、特殊三角形性质计算。 2.求线段长度 *核心依据：对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形全等（对应边相等）。 *常见场景：求旋转后线段的长度、线段和差最值，或利用旋转将分散线段集中到一个三角形中，用勾股定理求解。如已知旋转前后线段长度，求某条未知线段长；求线段旋转过程中某点运动轨迹的长度（轨迹为圆弧，可根据弧长公式计算）。 *要点：锁定对应线段，利用 “等线段” 转化，复杂问题可构造直角三角形或全等三角形辅助计算。 3.求图形面积 *核心依据：旋转不改变图形面积，可通过旋转将不规则图形转化为规则图形（如三角形、四边形）。 *常见场景：求由旋转得到的组合图形面积，或旋转过程中图形扫过的面积（通常是扇形、圆环等）。 *要点：先确定旋转前后图形的形状、大小，再分析扫过区域的形状，结合相应面积公式计算。 二、几何证明类应用 1.证明线段关系（相等、垂直、平行） *证明线段相等：利用旋转前后图形全等，对应边相等直接证明；或通过旋转转移线段，使两条线段在同一三角形中，证明其为等腰三角形的两腰。 *证明线段垂直：若旋转角为 90°，则对应线段的夹角为 90°，可直接证明垂直。如将线段 AB 绕某点旋转 90° 得到线段 A′B′，则 AB⊥A′B′。 *证明线段平行：结合旋转性质与平行线判定定理（如内错角相等、同位角相等），通过角的关系推导线段平行。 *要点：紧扣旋转性质，找准对应线段，通过角的传递建立线段间的位置或数量关系。 2.证明角的关系（相等、和差、互补） *证明角相等：利用旋转前后对应角相等，或通过旋转将角转移到同一位置，结合角平分线、对顶角等知识证明。 *证明角的和差、互补：通过旋转组合角，如将一个角旋转后与另一个角拼接，结合平角、周角等概念证明。 *要点：明确角的对应关系，利用旋转角作为桥梁，搭建已知角与未知角的联系。 三、作图与实际应用 1.图案设计 *应用方式：以基本图形（如三角形、四边形、圆）为基础，通过绕某点旋转一定角度，重复组合形成对称、美观的图案，如墙纸、纺织品、地砖上的花纹设计。 *要点：确定旋转中心、旋转角（如 60°、90°、120° 等，便于形成对称图案），规划基本图形的旋转次数与方向。 2.确定旋转中心与旋转角 *确定旋转中心：方法是找两组对应点，分别作对应点连线的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心。 *确定旋转角：连接对应点与旋转中心，对应点与旋转中心连线的夹角即为旋转角，可通过量角器测量或结合几何知识计算。 *要点：至少找到两组对应点，确保垂直平分线作图准确；计算旋转角时要注意旋转方向（顺时针或逆时针）。 3.生活与科技中的应用 生活领域：钟表指针的转动、旋转门的开关、摩天轮的运行、螺旋楼梯的设计等，均是旋转原理的实际体现。 科技领域：机械臂的运动、航天器的姿态调整、卫星天线的转向等，利用旋转实现位置与方向的调整。 要点：将实际问题抽象为几何图形的旋转，明确旋转中心、旋转角等要素，用数学知识分析其运动规律。 四、解题核心要点与技巧 1.解题口诀：“共顶点，等线段，想旋转”。当题目中出现共顶点的两条相等线段时，优先考虑用旋转法解题，通过旋转将分散的条件集中，构造全等三角形或特殊三角形。 2.旋转三要素是解题关键，若题目中未明确，需通过已知条件推导（如根据对应点位置确定旋转中心，根据图形特征确定旋转角）。 3.旋转作图时，关键点的选取要准确（如多边形的顶点、线段的端点、圆心等），确保后续连接对应点能得到正确图形。 4.与坐标系结合时，要掌握点绕原点旋转 90°、180° 等特殊角度的坐标变化规律，如点（x，y）绕原点顺时针旋转 90° 后坐标变为（y，-x）。 【知识点05.中心对称的定义】 把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 【知识点06.中心对称的性质】 1.中心对称的两个图形是全等图形，对应线段相等、对应角相等。 2.对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。 3.对应线段平行（或共线）且相等。 4.对称中心是唯一的，可通过对应点连线的交点确定。 【知识点07.中心对称的作图方法】 1.作点的对称点：连接已知点与对称中心，延长该线段，使延长部分的长度等于已知点到对称中心的距离，延长线的端点即为已知点的对称点。 2.作图形的对称图形 (1)找出原图形的关键点（如多边形顶点、线段端点等）。 (2)按上述作点的对称点的方法，作出各关键点的对应点。 (3)顺次连接各对应点，得到与原图形中心对称的图形。 【知识点07.中心对称与轴对称的区别】 对比维度 中心对称 轴对称 对称依据 围绕一个点旋转180∘重合 沿一条直线折叠后重合 对称要素 对称中心 对称轴 对应点连线关系 经过对称中心且被其平分 被对称轴垂直平分 【知识点08.中心对称的判定】 一、核心判定方法（两种实用思路） 1. 定义法（直接判定） 条件：一个图形绕某点旋转180°后，能与另一个图形完全重合。 结论：这两个图形关于该点中心对称（该点为对称中心）。 2. 性质逆推法（常用快捷） 需同时满足两个条件： *两个图形的所有对应点连线，都经过同一个点O； *点O平分每一组对应点的连线（即对应点到O的距离相等，如OA=OA'）。 结论：两图形关于点O中心对称。 二、关键区分（避坑要点） 1. 中心对称：描述两个图形的位置关系； 2. 中心对称图形：描述一个图形的自身性质（绕自身某点转180°与自身重合）。 三、易错提醒 1.仅“对应线段平行/相等”不能判定中心对称； 2.必须验证“所有对应点”满足条件，不能只看一组。 【题型1.确定旋转中心.角度及对应点】. 【典例】如图，将绕着点O顺时针旋转得到，则旋转角度是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是点 ． 【跟踪训练2】如图，在正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转角得到的，点与A对应，则角的大小为（ ） A． B． C． D． 【题型2.利用旋转的性质进行计算求解.】. 【典例】如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到（A、分别与、对应），则的度数为 度． 【跟踪训练1】如图，在中，以点C为中心，将顺时针旋转得到，边DE与边AC相交于点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，直线，垂足为点，点在直线上，且，点是直线上的一个动点，连接，将线段绕着点按逆时针方向旋转得到线段，点是点的对应点，连接，则的最小值为 ． 【题型3.依据旋转性质说明线段或角的相等】. 【典例】如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，将绕点顺时针旋转后得到，点与点是对应点，点与点是对应点．如果，那么 ° 【跟踪训练2】如图，由绕О点旋转而得到，则下列结论不成立的是（    ） A．点A与点是对应点 B． C． D． 【题型4.绘制指定要求的旋转图形】. 【典例】如图，将线段绕点P按顺时针方向旋转，得到线段，其中点A、B的对应点分别是点、，则点的坐标是 ． 【跟踪训练1】如图，将该图案绕中心O逆时针旋转后，得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】如图，三个顶点的坐标分别为，，，如果将绕点按逆时针方向旋转，得到，那么点，的对应点，的坐标分别是 ． 【题型5.求点绕坐标原点旋转90度后的坐标】. 【典例】在平面直角坐标系中，已知点，将点绕原点顺时针旋转得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，，轴，垂足为C，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标是 ． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型6.坐标平面内的旋转规律问题】. 【典例】如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为 ． 【跟踪训练2】如图所示，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点，在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……则正方形铁片连续旋转2025次后，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7.旋转综合题中角度计算问题】. 【典例】.如图，在中，，，将它绕点沿顺时针方向旋转后得到若点恰好落在线段上，则旋转角的度数是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】将一副直角三角板和如图放置，此时，，，四点在同一条直线上，点在边上，其中，，．将图中的三角板绕点以每秒的速度，按顺时针方向旋转一定的角度后，记为三角板，设旋转的时间为秒．若在旋转过程中，三角板的某一边恰好与所在的直线平行，则的值为 【跟踪训练2】【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ． 【题型8.坐标平面内的旋转动点问题】. 【典例】如图，在直角坐标平面中，动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，动点第2020次运动到点 ． 【跟踪训练1】如图，已知点，动点在轴上，且的面积为，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【跟踪训练2】已知点，点A在坐标轴上，且三角形的面积等于4，则满足条件的点A的坐标为 ． 【题型9.作已知图形关于某点的中心对称图形】. 【典例】如图，若与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线关于点成中心对称，则 ． 【跟踪训练2】如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，……，，都在函数图象上，这个点的横坐标从开始依次增加，则的值是（    ） A． B． C．0 D．1 【题型10.利用中心对称的性质求面积.长度或角度】. 【典例】如图，与关于O成中心对称，不一定成立的结论是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，直线互相垂直且相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对应点是，于点，于点若，，则阴影部分的面积之和为 ． 【跟踪训练2】数轴上点、点表示数如图所示，且点与点关于点成中心对称，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 一.单选题 1．下列选项中，不能由如图在同一平面内经过旋转得到的是（    ） A． B． C． D． 2．摩天轮上以等间隔的方式设置36个车厢，车厢依顺时针方向分别编号为1号到36号，且摩天轮运行时以逆时针方向等速旋转，旋转一圈花费30分钟，若图2表示21号车厢运行到最高点的情形，则此时经过多少分钟后，3号车厢才会运行到最高点？（    ） A．14分钟 B．20分钟 C．15分钟 D．分钟 【点睛】本题主要考查了生活中的旋转现象，理清题意，得出从21号旋转到3号旋转的角度占圆大小比例是解答本题的关键 3．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 5．如图，已知中，，，将绕点A逆时针旋转得到，以下结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点顺时针旋转得到，其中，，若C，D，E三点共线，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 7．如图，中，，在边的同侧作等边三角形，，，连接．以下结论中正确的有（    ） ①四边形是平行四边形； ②； ③； ④可以看成是绕点C顺时针旋转得到的． A．②③ B．①②④ C．①②③④ D．②③④ 8．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二.填空题 9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A与点O分别为格线上一点． （1）当O为所在小正方形一边的中点，A为三等分点（距下方格点近）时，的长度为 ； （2）在如图所示的网格中，请用无刻度的直尺，先将点A向上平移2个单位长度得到点B，再以点O为中心，画出线段关于点O的中心对称图形（A的对应点为，B的对应点为），并简要说明点和点的位置是如何找到的（不要求证明） ． 10．如图，在平面直角坐标系中，射线是第一象限的角平分线，线段，将绕原点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后，点B的对应点的坐标为 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边与坐标轴重合，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点的坐标是 ． 12．在平面直角坐标系中，点，．将线段绕点旋转得到线段，则点的坐标为 ． 13．已知抛物线，将抛物线绕原点旋转得到抛物线，当时，在抛物线上任取一点，设点的纵坐标为，若，则的取值范围是 ． .三,解答题 14．如图，的各顶点坐标分别为． (1)下面是嘉嘉设计图案的步骤，请你按步骤完成画图； 步骤一：以点为对称中心，画出与成中心对称的； 步骤二：以点为旋转中心，画出将按顺时针方向旋转后的； (2)在嘉嘉设计的图案中，点的坐标为______． 15．如图1，在的方格纸中，给出如下三种变换：变换，变换，变换．将图形沿轴向右平移1格得图形，称为作1次变换；将图形沿轴翻折得图形，称为作1次变换；将图形绕坐标原点顺时针旋转得图形，称为作1次变换．规定：变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示先作1次变换，再作1次变换；变换表示作次变换．解答下列问题： (1)作变换相当于至少作______次变换； (2)请在图2中画出图形作变换后得到的图形； (3)变换与变换是否是相同的变换？请在图3中画出变换后得到的图形，在图4中画出变换后得到的图形． 16．如图，在平面直角坐标系中,、的长是一元二次方程的两个根． (1)求A、B两点的坐标； (2)的平分线与的外角平分线交于点C，求的度数； (3)在平面内是否存在点P，使是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 17．在平面直角坐标系中，已知点，点． 对于点给出如下定义：将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点绕点旋转后的对应点为点，称点为点的“对称点” 已知一次函数． (1)点，点． ①若点，则点的“对称点”点的坐标是___________； ②当时，点为一次函数图象上一点，点为点的对称点，直接用等式表示点的横，纵坐标满足的关系； (2)若点，点为一次函数图象上一动点，且点的纵坐标满足，点，点为点的“对称点”，直接写出点横，纵坐标的取值范围． 18．如图①，在中，，，，点为的中点，动点从出发，沿边向终点运动，速度为每秒个单位长度．将线段绕点顺时针旋转得到，连接、，设点的运动时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)当时，求的值； (3)若在边上有一点，且，如图②，连接，在点的运动过程中： ①______°； ②直接写出为钝角三角形时的取值范围． 19．如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $