精品解析：广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年上学期九年级数学期末仿真卷

广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期期末 九年级数学仿真卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 4. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ） A B. C. D. 5. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 6. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 7. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 8. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 9. 如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 15 二．填空题（共5小题） 11. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 12. 不解方程，判断一元二次方程根的情况是_____． 13. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 15. 如图，在中，，D为边上一点，，E为延长线上一点，连接，且，若，则______．（用含n的代数式表示） 三．解答题（共8小题） 16. 计算：，其中满足方程． 17. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 18. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现结论． 19. 已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 20. 如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，如图2所示：求证：． 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 22. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期期末 九年级数学仿真卷 一．选择题（共10小题） 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 2. 点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，，在反比例函数图象上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 3. 已知关于x的方程有两个实数根，则的化简结果是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴判别式， 整理得：， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 4. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁 4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 【详解】解：画树状图得： ∴一共有12种情况，抽取到甲的有6种， ∴P（抽到甲）= ． 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 5. 如图为人行天桥的示意图，若高长为10米，斜道长为30米，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正弦，理解正弦的定义是解题关键． 根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：∵长为10米，斜道长为30米， ∴根据题意得：， 故选：D 6. 如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛离凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长． 【详解】解：由题意得，，，， 四边形平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C 7. 某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（ ） A. 在一定范围内，越小越大 B. 当时，的阻值为 C. 当踏板上人的质量为时， D. 若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 8. 定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为（　　） A. 0或 B. 0或2 C. 2或 D. 0或或2 【答案】D 【解析】 【分析】根据非负数的性质，得出，再根据新定义运算法则，得出，然后分四种情况：当时，当时，当时和当时，根据新定义运算法则，结合直接开平方法解一元二次方程，计算即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ①当时，则， ∴，即， 解得：； ②当时，则， ∴，即， 解得：或（舍）； ③当时，则， ∴，即， 解得或（舍）； ④当时，，方程没有实数解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，理解新定义运算法则，并利用分类讨论思想解答是解本题的关键． 9. 如图，已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（10，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点，将△OBP沿OP折叠得到△OPD，连接CD、AD．则下列结论中：①当∠BOP＝45°时，四边形OBPD为正方形；②当∠BOP＝30°时，△OAD的面积为15；③当P在运动过程中，CD的最小值为2﹣6；④当OD⊥AD时，BP＝2．其中结论正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①由矩形的性质得到，根据折叠的性质得到， ，，推出四边形是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形 为正方形；故①正确； ②过作于，得到， ，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到的面积为 ，故②正确； ③连接，于是得到，即当 时，取最小值，根据勾股定理得到的最小值为；故③正确； ④根据已知条件推出，，三点共线，根据平行线的性质得到，等量代换得到 ，求得，根据勾股定理得到，故④正确． 【详解】解：①四边形是矩形， ， 将沿折叠得到， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 四边形为正方形；故①正确； ②过作于， 点，点， ，， ，， ， ， 的面积为，故②正确； ③连接， 则， 即当时，取最小值， ，， ， ， 即的最小值为；故③正确； ④， ， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 故选：． 【点睛】本题考查了正方形判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接，若平分，且正方形的面积为3，则正方形的面积为（ ） A B. C. D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】设直角三角形的长直角边是，短直角边是，得到，由，得到，由，得到，因此，由，得到，即可求出，的值，由勾股定理即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的长直角边是，短直角边是， 正方形的边长是， 正方形的面积为3， ， ， 平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 正方形的面积是． 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，关键是求出直角三角形的直角边的长，由勾股定理即可解决问题． 二．填空题（共5小题） 11. 如图，把放大后得到，则与的相似比是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求两个位似图形的相似比，根据题意，把放大后得到，则与位似，从而得到与的相似比等于对应点到位似中心线段的比，即，从而得到答案，掌握相似三角形的相似比与位似图形之间线段的比例关系是解决问题的关键． 【详解】解：把放大后得到，则与位似， 与的相似比为， 故答案为：． 12. 不解方程，判断一元二次方程的根的情况是_____． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况是解题的关键．先计算一元二次方程的根的判别式，得出，即可得到结论 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 13. 如图，菱形的面积为24，点E是的中点，点F是上的动点．若的面积为4，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中线的性质，利用菱形的性质、三角形中线的性质求出，，根据和菱形的面积求出，，则可求出的面积，然后利用求解即可． 【详解】解：连接， ∵菱形的面积为24，点E是的中点，的面积为4， ∴，， 设菱形中边上的高为h， 则，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是_____． 【答案】（6，）． 【解析】 【分析】过点D作DM⊥OB，垂足为M，先根据勾股定理求出菱形的边长，即可得到点B、D的坐标，进而可根据菱形的性质求得点A的坐标，进一步即可求出反比例函数的解析式，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后解由直线BC和反比例函数的解析式组成的方程组即可求出答案. 【详解】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M， ∵D（3，4），∴OM＝3，DM＝4，∴OD＝＝5， ∵四边形OBCD是菱形，∴OB＝BC＝CD＝OD＝5， ∴B（5，0），C（8，4）， ∵A是菱形OBCD的对角线交点，∴A（4，2），代入y＝，得：k＝8，∴反比例函数的关系式为：y＝， 设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：，解得：k＝，b＝﹣， ∴直线BC的关系式为y＝x﹣， 将反比例函数与直线BC联立方程组得：，解得：，（舍去），∴F（6，）， 故答案为：（6，）． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、待定系数法求函数的解析式以及求两个函数的交点等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键. 15. 如图，在中，，D为边上一点，，E为延长线上一点，连接，且，若，则______．（用含n的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】作，作，交于N，交于M，设，根据锐角三角函数可求出，，证明，表示出，根据，而，得到，然后表示，进而求出． 【详解】解：作于F，作交于N，交于M， 设， ， ， ，即：， ，，即， ， ，， ， ， 又， ， ， ， 为中点， 又，， ， 在中，为中位线， ， ， ， ，而， ， ∵ ∴， ， 为的角平分线，即 又， ∴， 又∵， ∴， ∴， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、三角形中位线性质定理，全等三角形的性质和判定等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16. 计算：，其中满足方程． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程、分式的化简求值和分式有意义的条件．先利用分式的减法去括号，再计算分式的除法得到化简结果，再解一元二次方程，结合分式有意义的条件得到字母的值，再代入化简结果计算即可． 【详解】解： ． 由方程， 解得． ， ． 当时，原式． 17. 平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐x标是． （1）将绕点A逆时针旋转90度得到．点O、B的对应点分别是点E、F．请在图中画出． （2）连接，以为位似中心，将缩小得到，且位似比为，请在x轴下方作出图形． （3）请在x轴上找一个点P，使的值最小，并直接写出P点的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了作图位似变换，旋转及对称作图：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了一次函数． （1）利用网格特点和旋转的性质，画出点，对应点，，从而得到； （2）连接，分别作出点的对应点，将缩小得到； （3）作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，再用待定系数法求出其坐标即可． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：如图，为所作； 【小问3详解】 解：如图，作出点E关于x轴对称点，连接与x轴的交点即为点P，点为所作， ， ， 设直线函数关系式为，由题意得： ，解得：， 直线的函数关系式为， 令，则，解得：， 18. 综合与实践 主题：制作无盖正方体形纸盒 素材：一张正方形纸板． 步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形； 步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒． 猜想与证明： （1）直接写出纸板上与纸盒上的大小关系； （2）证明（1）中你发现的结论． 【答案】（1） （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）和均是等腰直角三角形，； （2）证明是等腰直角三角形即可. 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 证明：连接， 设小正方形边长为1，则，， ， 为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ， 故 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用和等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解答此题的关键． 19. 已知关于，的方程组与的解相同． （1）求，的值； （2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2）等腰直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）关于x，y的方程组与的解相同．实际就是方程组 的解，可求出方程组的解，进而确定a、b的值； （2）将a、b的值代入关于x的方程x2＋ax＋b＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与为边长，判断三角形的形状． 【详解】解：由题意列方程组： 解得 将，分别代入和 解得， ∴， （2） 解得 这个三角形是等腰直角三角形 理由如下：∵ ∴该三角形是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查一次方程组、一元二次方程的解法以及等腰直角三角形的判定，掌握一元二次方程的解法和勾股定理是得出正确答案的关键． 20. 如图1，已知在四边形中，，，平分，交于点，过点作，交于点F，O是的中点，连接，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，如图2所示：求证：． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，再证出，根据菱形的判定得出即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明其是矩形，接着证明菱形是正方形，四边形是矩形，得到，然后推出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，最后证明，得出结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由（1）可知：四边形是菱形， 又∵， ∴菱形是正方形， ∴，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，菱形的性质和判定，正方形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，三角形全等的判定与性质，能综合运用以上知识点是解此题的关键． 21. 综合与实践 【阅读材料】 如图，在锐角中，，，的对边长分别为，，，则有．这是解三角形的重要结论，可用于解决实际问题． 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地．某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图，现需要知道湖中，两岛间的实际距离．由于地形原因，无法利用测距仪直接测量，该小组对这一问题进行了探究． 【方案设计】 工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得，； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 【问题解决】 （1）请你利用【阅读材料】中的结论计算，两岛间的距离． （参考数据：，，） 【评价反思】 （2）设计其他方案计算，两岛间的距离．要求：选用【方案设计】中的工具，写出你的方案和所用的数学知识． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用三角形内角和定理求出，根据题意可得，代入数据求出的长，即可解答； （2）运用解直角三角形、勾股定理等数学知识设计方案即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 由题意得，， 又∵， ∴， 答：，两岛间的距离为． （2）工具：测角仪、测距仪、无人机（只能测角度、水平面高度）． 测量过程： 步骤1：如图，在空旷地找一点，使得是锐角三角形； 步骤2：利用无人机多次测量并取平均值测得的度数； 步骤3：利用测距仪多次测量并取平均值测得，． 计算过程： 过点作，则， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴． 答：，两岛间的距离为． 22. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②最大面积为平方厘米 【解析】 【分析】（1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）将所给式子通过配方得到，利用非负数的性质求出、，即可求解； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可；②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， ， ， 即的周长为； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为， 矩形面积； ② ， 故当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式； ③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可； 分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，， ③当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，则， ， ， 当，且时，解得，不符合题意， 当，且时， 解得，则， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $