精品解析：安徽省六安第一中学2026届高三上学期周末检测数学试卷（八）

六安一中2026届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（八） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 所以， 又，所以，整理得， 因为，所以， 所以数列前6项的和为. 故选：A 2. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的体积公式，求出圆锥的高，从而求出圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥的高为，因为底面半径，由体积，解得， 圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积为. 故选：B 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式，化简求的值，再根据二倍角的余弦公式，并用正切表示，即可求解. 【详解】由条件可知，， 即，得， 所以. 故选：D 4. 已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解方程，求得方程的根可得结论. 【详解】，即，解得或， 又，故A错误；，故B错误； ，故C错，故D正确. 故选D. 5. 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得，，由根据等差数列求和公式可得，结合等差数列性质可得，再利用基本不等式求的最小值即可. 【详解】因为数列为正项等差数列，所以，， ，可得，即， 由等差数列性质可得， 所以， 因为，，故，， 则，当且仅当时等号成立. 由解得，， 即当，时，取得最小值为， 故选：B. 6. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得，然后求得的表达式，再根据二次函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意得，，所以， 所以 ， 因为，所以当或8时，取得最大值为， 故选：A. 7. 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量模长与数量积关系、结合二次函数根的判别式计算可得，再逐个选项计算并判断即可得. 【详解】由，则，即， 即，又， 则对任意，， 则， 即恒成立，又， 故，即； 对A：，故A正确； 对B：，不一定为，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，不一定为，故D错误. 故选：A. 8. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，确定定义域，恒成立转化为，利用构造函数，结合求导求函数的范围或最值，即可求得答案. 【详解】设函数，其定义域为． 不等式． 设，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，则， 设，则，当时，；当时，， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 可得，因此， 于是，即， 即得恒成立， 则，所以的取值范围为． 故选： 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n项和公式逐项分析判断即得. 【详解】等差数列中，， 对于A，，，A正确； 对于B，，则，， 则，，因此，即，B错误； 对于C，，则，C正确； 对于D，设的公差为，由，得，解得， 则，，D正确. 故选：ACD 10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意作出相应的图象，利用线面平行可得平面即可对A判断求解；利用线面垂直证明平面，从而可证即可对B判断求解；.过的截面为梯形，利用几何知识即可求出其周长，即可对C判断求解；截面将正方体分成三棱台和剩余的部分，先求出三棱台的体积，即可对D判断求解. 【详解】对于A，连接AC，则，，所以， 又平面，平面，所以平面，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，，平面， 又平面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 对于C，过的截面为梯形， ，，， 所以其周长为，故C错误； 对于D，截面将正方体分成三棱台和剩余的部分， 三棱台的体积为， 剩余部分的体积为，所以，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C. 若在上有3个极值点，则m取值范围是 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数解析式的求法求出的解析式，利用代入检验法可判断；利用三角函数图象平移及诱导公式可判断；利用换元法结合正弦函数的图象及性质分析可判断. 【详解】由图知， ，所以，所以， ， 因为，所以， 所以， 对于：，故错误； 对于： ，故正确； 对于：，， 根据正弦函数的图象可得，在上有3个极值点， 则，解得，故正确； 对于：，， ， 由图可知，在上只有一个实数根， 则，故错误. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积以及共线向量即可求解. 【详解】若，则，解得， 当与共线时，，则， 当时，，此时两向量方向相反， 故当与的夹角为钝角时，且， 故答案为： 13. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 ________． 【答案】 【解析】 【分析】构造函数由其单调性可比较大小，再通过对数的范围，即可求解. 【详解】令， 则，当时，， 即在单调递减， 则，即， 即， 即，即， 又， 所以， 故答案为： 14. 一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作出圆台轴截面，分析可知，当球与相切时，其表面积最大，再结合条件求得球的半径，利用球的表面积公式即可求解. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，分析可知，要使球的表面积最大，则球需要与相切， 设圆的半径为，则， 由，所以，所以， 作，由， 所以，又，所以， 又，， 所以， 即， 因为，所以满足题意， 所以球的表面积的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等差数列； （2）数列满足，当，且时，求的最小值． 【答案】（1） 由题知， 当时，，即，可得， 当时，，又， 所以，即， 整理得，可得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则， ，， ， 所以是以为首项，以为公差的等差数列. （2）6 【解析】 【分析】（1）根据的关系和等比数列的定义可得是等比数列，得出的通项公式，进而利用等差数列的定义证明为等差数列； （2）求得，令，利用错位相减法求得，可证得单调递增，由此可求得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当，， 因为，所以， 令， ， 由得：， 即， 所以. ， 可得，则单调递增. ，， ， ，， 因为单调递增，所以，当时，；当时，， 由，可得， 故所求的最小值为6． 16. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列以及等比数列的相关公式，列出方程组，求出等差数列以及等比数列的基本量，即可求得答案. （2）写出的表达式，利用裂项求和法求出，解不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知，，，，得， 即， 解得（舍）或， 故． 【小问2详解】 ， 故， 则，即，即， 解得， ，的最大值为，即满足条件的n的最大值为． 17. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和诱导公式，结合角的范围求出，根据三角形面积公式和余弦定理即可求得边； （2）①利用三角形面积相等即可解方程求得线段的长；②设，所以，分别在和，利用正弦定理，推得，计算即得. 【小问1详解】 因为，所以， 因为，则，故由，可得. 因为，，解得， 由余弦定理得，解得. 【小问2详解】 ①因， 依题意有，解得. ②设，所以． 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理得，，即， 因，代入化简得， 即，解得，即. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 在四棱锥中，取中点，连接， 由为的中点，且，，得，， 则四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及，因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，然后利用点到平面的距离向量公式即可求解. （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点，连接，，由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面，由，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 又，所以到平面的距离， 因为平面，所以M到平面的距离为到平面的距离，即. 【小问3详解】 令， ，， 设平面的法向量为，则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 【答案】（1） （2）依题意，要证：， ①当时，，故原不等式成立， ②当时，要证：， 即要证：， 令则， ， 先证：， 即要证：， 令，则， 当时，， 在单调递增， ， 即：， 当时，，， ， 在单调递减， ， 在单调递减， ， 即：， 故原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）先求得，然后求得，根据在有两个变号零点列不等式组，由此求得的取值范围. （2）先证得时，所证不等式成立，当时，转化为证明，构造函数，利用导数证得，从而证得所证不等式成立. 【小问1详解】 依题意知：，， ， ， 有两个极值点， 在有两个变号零点， 令得：①， 关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为， 即：解得：， ， 故的取值范围为：. 【小问2详解】 略 【点睛】利用导数证明不等式成立，可先化简所证不等式，通过构造函数法，再结合导数来证得不等式成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安一中2026届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（八） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ） A. B. C. 3 D. 8 2. 已知某圆锥底面的半径为，体积为，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知为复数，下列选项中是方程的一个根的是（ ） A. B. C. D. 5. 设为正项等差数列的前n项和，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 9 D. 5 6. 数列中，，若是数列的前项积，则的最大值（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，满足对任意，恒有，则（ ） A. B. C. D. 8. 不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 等差数列中，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则， 10. 在棱长为1的正方体中，M，N分别为AD，CD的中点，过，M，N三点的截面将正方体分成两部分，其中体积小的几何体的体积记为，体积大的几何体的体积记为，则（ ） A. 平面 B. C. 截面的周长为 D. 11. 已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确（ ） A. 的图象关于点对称 B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象 C. 若在上有3个极值点，则m取值范围是 D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，若与的夹角为钝角，则m的取值范围是______． 13. 已知，，，则a，b，c的大小关系为 ________． 14. 一个高为，上、下底面半径分别是和的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等差数列； （2）数列满足，当，且时，求的最小值． 16. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 17. 在中，角所对的边分别是．已知，的面积为． （1）求； （2）为边上一点， ①若是的平分线，求线段的长； ②若，求． 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，，为线段中点，连接． （1）证明：平面； （2）求M到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数，为的导数． （1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （2）当时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $