甘肃省平凉市第一中学2026-2027学年高二上学期开学检测数学试题

**基本信息** 平凉一中高二开学检测数学卷立足基础衔接，以复数几何意义、立体几何折叠、解三角形测量等情境，融合空间观念与数据意识，全面检测核心素养发展水平。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、直观图、向量投影、球体积|结合测量情境（第6题）考查解三角形应用| |多选题|3/18|概率互斥独立、解三角形性质、折叠问题|以三棱锥体积最值（第11题）发展空间观念| |填空题|3/15|概率计算、三角化简、不等式求最值|通过亲子抽奖概率（第12题）渗透数据意识| |解答题|5/77|函数奇偶性、三角函数图像、导数应用|正三棱柱线面证明（第18题）强化推理能力|

平凉一中2028届高二第一学期开学检测考试试题（卷） 高二数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C A C A B B AC ACD 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】试题分析：，对应的点为，在第一象限，故答案为A. 考点：复数的四则运算及几何意义. 2．B 【分析】在直观图中求得的长，然后利用直观图性质得出原图形中三角形边长，再由勾股定理可得. 【详解】如图，作于，，则，所以， 在原图形中，， 所以. 3．C 【解析】先设向量的夹角为，根据在方向上的投影与在方向上的投影相等，求出，再由即可求出结果. 【详解】设向量的夹角为， 由,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,可得： ，故，即， 因此. 故选C 4．A 【分析】根据两角和的正切公式变形得，即可求解. 【详解】 . 故选：A 【点睛】本题考查三角恒等变换求值，注意公式变形应用，考查计算求解能力，属于基础题. 5．C 【分析】利用勾股定理结合给定条件得到球的半径，再求解体积即可. 【详解】 如图，设截面圆的圆心为，由题意可知，圆面的直径为6，则， 又，所以球的半径， 所以球的体积， 故选：C. 6．A 【分析】在中，可求得AC，根据正弦定理，在中，可求得AM，在中，即可求得答案. 【详解】因为在中，，， 所以， 在中，， 由正弦定理得：，即， 所以， 在中，， 所以（米） 故选：A 7．B 【分析】由正弦定理可得，即可求出，再由余弦定理计算可得； 【详解】解：因为，由正弦定理可得，又，所以，， 因为 所以，即，解得， 故选：B 8．B 【分析】取中点，中点，连接，则为异面直线与所成角，由线面垂直的判定定理可证明平面，因而可知，从而可得为等腰直角三角形，即可得. 【详解】取中点，中点，连接， 由中位线定理可知, 则（或补角）为异面直线与所成角， ， 且，所以平面， 则，所以， 四面体棱长均相等，则， 所以为等腰直角三角形， 所以， 故选：B. 【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法，线面垂直的判定，属于中档题. 【点睛】本题主要考查向量的模的运算，熟记向量数量积的概念以及运算法则即可，属于常考题型. 9．AC 【分析】根据互斥、对立、相互独立定义和并事件概率的计算公式判断各个选项； 【详解】样本空间为，，，． 对于A，因为，所以事件与事件互斥，故A正确； 对于B，因为，， 所以事件与事件不对立，故B错误； 对于C，，，，， 即事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，因为，所以事件与事件不互斥，故D错误． 故选：AC. 10．ACD 【分析】由正弦定理可以判断A；借助诱导公式及正弦函数的单调性可以判断B；作出示意图判断C；根据余弦定理可以判断D. 【详解】对A，由正弦定理可知，正确； 对B，因为三角形为锐角三角形，所以，则，B错误； 对C，如示意图，点A在射线上，，易得，则，即符合条件的三角形有2个，正确；    对D，由余弦定理可知，，而，即该三角形为正三角形，正确. 故选：ACD. 11．ABC 【分析】根据线线垂直可证线面垂直，可判断A选项，根据三棱锥体积公式可知当时，体积最大，即可判断B选项，根据等边三角形可值，再根据等腰三角形性质可判断C选项；根据线面垂直可知D选项中点到平面的距离为，即可判断D选项. 【详解】    A选项：因为，，且，，平面，所以平面，故A选项正确； B选项：又已知三棱锥的体积， 所以当即时，三棱锥的体积最大， 最大值为，故B选项正确； C选项当时，是等边三角形，且是以为底的等腰三角形， 设的中点为，连接， 则，即为点到的距离， ，故C选项正确； 当时，，，且，，平面，故平面， 则就是点到平面的距离，且，故D选项错误； 故选：ABC. 12． 0.2/ 0.8/ 【分析】设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒，则两人都不感冒这一事件的概率为；由两人中有人患感冒事件的概率为求解即可. 【详解】“有人感冒”这一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒， 设事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒，所以， 则两人都不感冒这一事件的概率为 ， 两人中有人感冒这一事件的概率为 . 故答案为：①；②. 13．【详解】； 14． 3 【分析】由直接求出；把转化为，即可求出的最大值. 【详解】因为，所以； 因为， ，当，即同向时，等号成立. 所以的最大值是. 故答案为：3；. 15．(1)0 (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性、周期性等知识求得正确答案. （2）根据函数解析式的求法求得正确答案. 【详解】（1）定义在上的奇函数满足， ，， ，即函数是以4为周期的周期函数 ． （2）当时，，当时，， ， 又当时，， ． 16．(1)，； (2). 【分析】（1）由三角函数的定义即可求出，进而求得； （2）根据题意，，进而通过两角和的余弦公式求得答案.. 【详解】（1）因为，所以，由三角函数定义，得，所以. （2），，所以，，，所以. 17．（1）；（2）获得饮料的概率更大. 【分析】（1）利用列举法求出基本事件总数有16个，记“获得飞机玩具”为事件，则事件包含的基本事件有3个，由此能求出每对亲子获得飞机玩具的概率． （2）记“获得汽车玩具”为事件，“获得饮料”为事件，利用列举法求出事件包含的基本事件有6个，由此能求出每对亲子获得汽车玩具的概率，再由对立事件概率计算公式得每对亲子获得饮料的概率，由此能求出每对亲子获得汽车玩具小于获得饮料的概率． 【详解】解：（1）基本事件总数有16个，分别为： ，，，，，，，， ，，，，，，，， 记“获得飞机玩具”为事件，则事件包含的基本事件有3个，分别为：，，， ∴每对亲子获得飞机玩具的概率． （2）记“获得汽车玩具”为事件，“获得饮料”为事件， 事件包含的基本事件有6个，分别为： ，，，，，， ∴每对亲子获得汽车玩具的概率， 每对亲子获得饮料的概率， ∴每对亲子获得汽车玩具小于获得饮料的概率． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，连接，结合三角形中位线证得线线平行，利用线面平行判定定理得证； （2）由正三棱柱，得平面，从而得到，，证得平面，二面角定义得到二面角的平面角是，作，连接，因为平面平面，得到平面，找到直线和平面所成的角为，计算得到结果； 【详解】（1） 证明：连接，设，连接， 在中，，，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）由正三棱柱，可得平面， ∵平面，∴，∵为的中点，∴， 又，，平面， 故平面， 而，平面，故，， ∴二面角的平面角是， 在平面内作，连接， ∵平面，∴平面平面， 又平面平面，平面， 故平面， ∴直线和平面所成的角为， 又平面，∴， ∴， ∴直线和平面所成角的正弦值为． 19．(1) (2) (3). 【分析】（1）根据奇函数性质 ，计算即可求出； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【详解】（1），定义域为， ， 因为是奇函数，则， 即， 即，解得. 经检验，此时，满足 ，故 . （2）由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当，即时，等号成立，又，所以， 所以. （3）由题意得：， 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 平凉一中2028届高二第一学期开学检测考试试题（卷） 高二数学 本卷满分150分 考试时间120分钟 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）设复数 （其中为虚数单位），则复数 在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（本题5分）水平放置的的直观图如图所示，若，的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）已知向量满足,且在方向上的投影与在方向上的投影相等,则等于 A．1 B． C． D．3 4．（本题5分）（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）一个平面截一球得到直径为6的圆面，球心到这个圆面的距离为4，则这个球的体积为（    ） A． B． C． D． 6．（本题5分）如图所示，为测量山高选择A和另一座山的山顶为测量观测点，从A点测得点的仰角点的仰角以及从点测得，若山高米，则山高等于（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．（本题5分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则（    ） A． B． C．6 D．5 8．（本题5分）在棱长均相等的四面体中，分别是棱的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（共18分） 9．（本题6分）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字（1张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 C．事件与事件相互独立 D． 10．（本题6分）在中，内角，，所对的边分别为，，，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若是锐角三角形，恒成立 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，，则是等边三角形 11．（本题6分）如图，等边的边长为，边上的高为，沿把折起来，则（    ）    A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点到的距离为 D．当时，点到平面的距离为 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）在感冒流行的季节，设甲、乙患感冒的概率分别为0.6和0.5，则两人都不感冒的概率是________，两人中有人患感冒的概率是________. 13．（本题5分）化简=_____________. 14．（本题5分）若，且，则___________，的最大值为___________. 四、解答题（共77分） 15．（本题13分）若定义在上的奇函数满足，当时，． (1)求的值； (2)当时，求函数的解析式． 16．（本题15分）如图，在平面直角坐标系中，为单位圆上一点，射线绕点按逆时针方向旋转后交单位圆于点，点的纵坐标关于的函数为． (1)求函数的解析式，并求的值； (2)若，，求的值． 17．（本题15分）在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回．抽奖活动的奖励规则是：①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间上，则奖励汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶． （1）求每对亲子获得飞机玩具的概率； （2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由． 18．（本题17分）在正三棱柱中，为棱的中点，如图所示． (1)求证：平面； (2)若二面角的大小为，求直线和平面所成角的正弦值． 19．（本题17分）已知函数是奇函数.（是自然对数的底） (1)求实数的值； (2)若时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)设，对任意实数，若以，，为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数的最大值.（提示：不妨设） 平凉一中2028届高二第一学期开学检测考试试题·高二数学 第1页（共2页） 平凉一中2028届高二第一学期开学检测考试试题·高二数学 第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $