1.4二次函数的应用 讲义 2025-2026学年浙教版（2012）数学九年级上册

本讲义聚焦二次函数的应用这一核心知识点，系统梳理列二次函数解应用题的六步骤（审清题意、设变量、列表达式、解答、检验、答案）及建立二次函数模型的方法（建坐标系、转化点坐标、设关系式等），搭建从二次函数基本性质到实际问题解决的学习支架。 资料以喷泉抛物线、利润计算等真实情境问题为载体，通过分层设计的单选、填空及综合解答题，培养学生用数学眼光发现数量关系、用数学思维分析问题的能力，强化模型意识与应用意识。课中助力教师引导学生建模，课后学生可通过多样化练习查漏补缺，提升解决实际问题的能力。

1.4二次函数的应用 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 一、单选题 1．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（   ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 2．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(       ) A． B． C． D． 4．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 5．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(     ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 6．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（　　） A．h=﹣t2 B．y=﹣t2+t C．h=﹣t2+t+1 D．h=-t2+2t+1 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A． B． C． D． 8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（  ）cm2． A．19 B．16 C．15 D．12 10．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为，当拱桥下水位线在位置时，水面宽为，这时水面离桥拱顶端的高度是____________________． 12．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 13．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________． 14．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______． 15．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的和的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm． 16．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________． 17．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元． 18．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________． 三、解答题 19．如图，某跑道的周长为且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道的长应为多少？ 20．某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 21．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽，相框内的面积为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）画出这个函数的图象； （3）当，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？ 22．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4.9t2．我们知道，月球的引力大约是地球引力的，因此月球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系大约是h=0.8t2． （1）在同一平面直角坐标系中作图，分别表示地球、月球上h和t的关系； （2）比较物体下落4s时，在地球上和月球上分别下落的距离； （3）比较物体下落10m时，在地球上和月球上分别所需要的时间（结果精确到0.1s）． 23．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积的最大值和最小值． 25．某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之问的函数关系如图中线段所示． （1）求出该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 26．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和． （万元） （万元） （万元） 分别求和关于的函数关系式； 求关于的函数关系式（用含的式子表示）； 当时， ①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确； ②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4二次函数的应用 一、列二次函数解应用题 　 列二次函数解应用题与列整式方程解应用题的思路和方法是一致的，不同的是，学习了二次函数后，表示量与量的关系的代数式是含有两个变量的等式．对于应用题要注意以下步骤： (1)审清题意，弄清题中涉及哪些量，已知量有几个，已知量与变量之间的基本关系是什么，找出等量关系(即函数关系)． (2)设出两个变量，注意分清自变量和因变量，同时还要注意所设变量的单位要准确． (3)列函数表达式，抓住题中含有等量关系的语句，将此语句抽象为含变量的等式，这就是二次函数． (4)按题目要求，结合二次函数的性质解答相应的问题。 (5)检验所得解是否符合实际：即是否为所提问题的答案． (6)写出答案． 要点： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 二、建立二次函数模型求解实际问题 一般步骤：(1)恰当地建立直角坐标系；(2)将已知条件转化为点的坐标；(3)合理地设出所求函数关系式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出关系式；(5)利用关系式求解问题． 要点： (1)利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. (2)对于本节的学习，应由低到高处理好如下三个方面的问题： 　　①首先必须了解二次函数的基本性质； 　②学会从实际问题中建立二次函数的模型； 　　③借助二次函数的性质来解决实际问题. 一、单选题 1．广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（   ） A．1米 B．2米 C．5米 D．6米 【答案】B 【解答】 先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值． 解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 2．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　） A．小球的飞行高度不能达到15m B．小球的飞行高度可以达到25m C．小球从飞出到落地要用时4s D．小球飞出1s时的飞行高度为10m 【答案】C 【解答】 直接利用h＝15以及结合配方法求出二次函数最值分别分析得出答案． A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2， 解得：t1＝1，t2＝3， 故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误； B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20， 故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误； C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2， 解得：t1＝0，t2＝4， ∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确； D、当t＝1时，h＝15， 故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误； 故选C． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，灵活运用所学知识是解题关键． 3．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图1)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为(       ) A． B． C． D． 【答案】B 【解答】 设抛物线解析式为y=ax2，由已知可得点B坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可. ∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)， ∴-78=452a， 解得：a=， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为， 故选B. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 4．长为，宽为的矩形，四个角上剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，作成底面为的无盖的长方体盒子，则y与x的关系式为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】 利用现有一块长20cm、宽10cm的矩形，将它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正方形，则底面长与宽均减少2xcm，表示出无盖的长方体盒子底边的长，进而得出y与x之间的函数关系式． 解：设小正方形边长为xcm，由题意知： 现在底面长为（20-2x）cm，宽为（10-2x）cm， 则y=（10-2x）（20-2x）（0＜x＜5）， 故选：C． 【点睛】 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，表示出长方体盒子底边的长与宽是解题关键． 5．如图是王阿姨晚饭后步行的路程s(单位：m)与时间t(单位：min)的函数图象，其中曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是(     ) A．25min~50min，王阿姨步行的路程为800m B．线段CD的函数解析式为 C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段AB的函数解析式为 【答案】C 【解答】 直接观察图象可判断A、C，利用待定系数法可判断B、D，由此即可得答案. 观察图象可知5min~20min，王阿姨步行速度由快到慢，25min~50min，王阿姨步行的路程为2000-1200=800m，故A选项正确，C选项错误； 设线段CD的解析式为s=mt+n，将点(25，1200)、(50，2000)分别代入得 ，解得：， 所以线段CD的函数解析式为，故B选项正确； 由曲线段AB是以B为顶点的抛物线一部分，所以设抛物线的解析式为y=a(x-20)2+1200， 把(5，525)代入得：525=a(5-20)2+1200， 解得：a=-3， 所以曲线段AB的函数解析式为，故D选项正确， 故选C. 本题考查了函数图象的应用问题，C项的图象由陡变平，说明速度是变慢的，所以C是错误的． 【点睛】 本题考查了函数图象问题，涉及了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，读懂图象，正确把握相关知识是解题的关键. 6．如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球运行路线的解析式为（　　） A．h=﹣t2 B．y=﹣t2+t C．h=﹣t2+t+1 D．h=-t2+2t+1 【答案】C 【解答】 根据题意，抛物线的顶点坐标是(4,3)，把抛物线经过的点(0,1)，代入二次函数的顶点坐标式列出方程，解出系数则可. 根据题意，设二次函数的表达式为，抛物线过(0,1)，即代入二次函数解得，这个二次函数的表达式为，故C选项是正确答案. 【点睛】 本题考查了用待定系数法利用顶点坐标式求函数的方法，掌握方程的解法等知识是解决本题的关键. 7．跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为 A． B． C． D． 【答案】B 分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围. 详解：设对称轴为， 由（，）和（，）可知，， 由（，）和（，）可知，， ∴， 故选B． 点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键. 8．一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为（　　）元． A．60 B．65 C．70 D．75 【答案】C 【解答】 根据题意，可以先设出每顶头盔降价x元，利润为w元，然后根据题意可以得到w与x的函数关系式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到降价多少元时，w取得最大值，从而可以得到该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价． 解：每顶头盔降价x元，利润为w元， 由题意可得，w＝（80﹣x﹣50）（200+20x）＝﹣20（x﹣10）2+8000， ∴当x＝10时，w取得最大值，此时80﹣x＝70， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为70元， 故选：C． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，准确计算是解题的关键． 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm，点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动（点Q运动到点B停止），在运动过程中，四边形PABQ的面积最小值为（  ）cm2． A．19 B．16 C．15 D．12 【答案】C 【解答】 在Rt△ABC中，利用勾股定理可得出AC=6cm，设运动时间为t（0≤t≤4），则PC=（6-t）cm，CQ=2tcm，利用S四边形PABQ= S△ABC－S△CAQ=t2-6t+24，利用配方法即可求出四边形PABQ的面积最小值． 在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC=(cm)， 设运动时间为t(0⩽t⩽4),则PC=(6−t)cm，CQ=2tcm， ∴S四边形PABQ=S△ABC−S△CPQ=AC⋅BC−PC⋅CQ=×6×8−(6−t)×2t=t2−6t+24=(t−3)2+15， ∴当t=3时，四边形PABQ的面积最小，最小值为15. 故选C. 【点睛】 本题考查了勾股定理、二次函数的最值等知识.根据题意将四边形PABQ的面积用二次函数的形式表达出来是解题的关键. 10．如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】 根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． ①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】 本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题 11．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为，当拱桥下水位线在位置时，水面宽为，这时水面离桥拱顶端的高度是____________________． 【答案】 【解答】 根据题意得出图象上点的横坐标，进而得出纵坐标即可得出答案． 解：函数的顶点为（0，c），对称轴为x=0， 当水面宽为12m时，将x=6代入可得y=c-9， 此时水面离拱桥顶端的高度h是c-（c-9）=9m． 故答案为：9m． 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，得出图象上点的纵坐标是解题关键． 12．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度（单位：）与它距离喷头的水平距离（单位：）之间满足函数关系式，喷出水珠的最大高度是______． 【答案】3 【解答】 把二次函数化为顶点式，进而即可求解． 解：∵， ∴当x=1时，， 故答案是：3． 【点睛】 本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键． 13．如图，以两条互相垂直的街道为坐标轴，某“理想社区”分布形如抛物线，若建公交站点D（在抛物线上），使公交车行驶到十字路口（原点O）的路线最短（公交车只能平行或垂直于街道行驶）则该路线的长度为________． 【答案】5 【解答】 设，根据公交车只能平行或垂直于街道行驶得到路径为，根据二次函数的最值求出路径的最小值． 解：由题意，设公交站， ∴路径． ∴当时，路径最短，为5． 故答案为：5． 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，用m表示出路径的表达式． 14．如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽为时，桥洞顶部离水面．若选取拱形顶点为坐标原点，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为______． 【答案】 【解答】 设抛物线解析式为y=ax2，根据题意得出点B的坐标，代入解析式求出a的值即可． 解：如图，拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系， 由题意知B（6，-4）， 设抛物线解析式为y=ax2， 将点B（6，-4）代入，得：-4=36a， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键． 15．小林家的洗手台面上有一瓶洗手液（如图1），当手按住顶部A下压时（如图2），洗手液瞬间从喷口B流出，已知瓶子上部分的和的圆心分别为D，C，下部分的视图是矩形CGHD，GH＝10cm，GC＝8cm，点E到台面GH的距离为14cm，点B距台面GH的距离为16cm，且B，D，H三点共线．如果从喷口B流出的洗手液路线呈抛物线形，且该路线所在的抛物线经过C．E两点，接洗手液时，当手心O距DH的水平距离为2cm时，手心O距水平台面GH的高度为_____cm． 【答案】11． 【解答】 根据题意得出各点坐标，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 如图： 由题意可知：CD＝DE＝10cm， 根据题意，得C（﹣5，8），E（﹣3，14），B（5，16）． 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， 因为抛物线经过C、E、B三点， ∴， 解得， 所以抛物线解析式为y＝-x2+x+． 当x＝7时，y＝11， ∴Q（7，11）， 所以手心O距水平台面GH的高度为11cm． 故答案为11． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 16．廊桥是我国古老的文化遗产．如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF =________． 【答案】米 【解答】 已知抛物线上距水面AB高为8米的E、F两点，可知E、F两点纵坐标为8，把y=8代入抛物线解析式，可求E、F两点的横坐标，根据抛物线的对称性求EF长． 解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点E、F处要安装两盏警示灯”， 把y=8代入得： x=±4 ， ∴由两点间距离公式得：EF=8（米）， 故答案为：8米． 【点睛】 本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，读懂题意，筛选信息是解题的关键 17．某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲。如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用。房价定为_________时，宾馆利润最大，最大利润是________元． 【答案】     360     10240 【解答】 设房价为x元，利润为y元，利用公式：利润=（每间房价-每天开支）×房间数量，则 ，化为顶点式，即可给出最大利润和房价单价． 设房价为x元，利润为y元， 则有， 故元时，y的利润最大，最大值为10240元， 故答案为：360；10240． 【点睛】 本题主要考查二次函数的实际应用，准确列出二次函数解析式并整理为顶点式是解题关键． 18．某一房间内A、B两点之间设有探测报警装置，小车（不计大小）在房间内运动，当小车从AB之间（不包括A、B两点）经过时，将触发报警．现将A、B两点放置于平面直角坐标系中，（如图），已知点A、B的坐标分别为（0，4），（4，4），小车沿抛物线（＜0）运动．若小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是__________． 【答案】＜＜ 【解答】 先把抛物线解析式分解因式，得其与x轴的交点坐标及对称轴，再分别代入临界点的坐标（0，4）和（4，4），结合二次项系数大小与开口大小及与x轴的交点为定点等即可解答． 解：抛物线， ∴其对称轴为：，且图象与x轴交于（，0），（3，0）． ∵抛物线顶点为（1，），当顶点在线段AB上时，有，则； 当抛物线过点（0，4）时，代入解析式得：； ∴， 由对称轴为x=1及图象与x轴交于（，0），（3，0）可知， 当＜＜时，抛物线与线段AB有两个交点； ∴小车在运动过程中触发两次报警装置，则的取值范围是＜＜； 故答案为：＜＜. 【点睛】 本题实质是二次函数图象与线段交点个数的问题，需要综合分析二次函数开口方向，对称轴，与x轴交点情况等，难度较大． 三、解答题 19．如图，某跑道的周长为且两端为半圆形，要使矩形内部操场的面积最大，直线跑道的长应为多少？ 【答案】． 【解答】 根据圆的周长公式×直径，矩形面积等于长×宽，圆的直径就是矩形的一边长，直径=，列出矩形面积的表达式，利用二次函数的性质解题． 解：设矩形直线跑道长为xm，矩形面积为ym2，由题意得： =， ∵＜0， ∴当x= 100时，y最大，即直线跑道长应为100m． 【点睛】 本题考查列二次函数解决实际问题的方法，这类题重点是找出题中各量之间的关系，列出函数关系式，借助函数的相关知识进行求解． 20．某商场购进一批进货价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．调查发现，若按每件20元的价格销售，每月能卖出360件，若按每件25元的价格销售，每月能卖210件，假定每月销售量y（件）是销售价格x（元/件）的一次函数． (1)求y与x之间的关系式； (2)销售价定为多少元时，该商场每月获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)24元，1920元 【解答】 （1）利用待定系数法求解可得； （2）根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质可得最值情况． 【小题1】 解：由题意可知：， 解得：， ∴y与x之间的关系式为：； 【小题2】 由（1）可知：y与x的函数关系应该是y=-30x+960， 设商场每月获得的利润为W，由题意可得 W=（x-16）（-30x+960）=-30x2+1440x-15360． ∵-30＜0， ∴当x==24时，利润最大，W最大值=1920， 答：当单价定为24元时，获得的利润最大，最大的利润为1920元． 【点睛】 本题主要考查二次函数的应用能力，理解题意找到题目蕴含的相等关系并列出函数解析式是解题的关键． 21．相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长，宽，相框边的宽，相框内的面积为． （1）写出y与x的函数关系式； （2）画出这个函数的图象； （3）当，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？ 【答案】（1）；（2）见解析；（3），， 【解答】 （1）根据相框内的面积等于相框的面积减去边框的面积即可求得； （2）根据列表、描点、连线的方法画出函数图象； （3）将的值代入相框内的长与宽即可求得相片的尺寸． （1）相框长，宽，相框边的宽，相框内的面积为． 由题意得， （2）列表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 y 572 480 396 320 252 192 140 96 描点，连线，如图， （3）当时，，，则相片尺寸为， 当时，，，则相片尺寸为， 当时，，，则相片尺寸为． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，根据题意列出二次函数关系式是解题的关键． 22．自由落体运动是由于引力的作用而造成的，地球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系是h=4.9t2．我们知道，月球的引力大约是地球引力的，因此月球上物体自由下落的时间t（s）和下落的距离h（m）的关系大约是h=0.8t2． （1）在同一平面直角坐标系中作图，分别表示地球、月球上h和t的关系； （2）比较物体下落4s时，在地球上和月球上分别下落的距离； （3）比较物体下落10m时，在地球上和月球上分别所需要的时间（结果精确到0.1s）． 【答案】（1）见解析；（2）在地球上下落的距离为78.4米，在月球上下落的距离为12.8米；（3）在地球上需要的时间约为1.4s，月球上需要的时间约为3.5s． 【解答】 （1）运用列表法先列出图表表示出t与h的对应值，再根据对应值描出相应的点就可以画出函数图象； （2）当t=4时分别代入两个解析式就可以求出h的值； （3）当h=10时代入两个解析式求出t的值即可． 解：（1）列表为： t … -3 -2 -1 0 1 2 3 … h=4.9t2 … 44.1 19.6 4.9 0 4.9 19.6 44.1 … h=0.8t2 … 7.2 3.2 0.8 0 0.8 3.2 7.2 … 描点并连线为： （2）当t=4时， 在地球上的下降高度为：h=4.9×42=78.4米， 在月球上的下降高度为：h=0.8×42=12.8米； 答：在地球上下落的距离为78.4米，在月球上下落的距离为12.8米； （3）当h=10时， 在地球上需要的时间为：10=4.9t2，t≈1.4s， 在月球上需要的时间为：10=0.8t2，t≈3.5s． 答：在地球上需要的时间约为1.4s，月球上需要的时间约为3.5s． 【点睛】 本题考查了运用列表法画函数图象的运用，根据函数的解析式求自变量的值及函数值的运用，解答时运用二次函数的性质求解是关键． 23．如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽． （1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式； （2）有一条船以的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥时，桥下水位正好在处，之后水位每小时上涨，当水位达到处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？ 【答案】（1）；（2）能，理由见解析 【解答】 （1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为，由待定系数法求出其解即可； （2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，比较上升的高度与3的大小就可以求出结论． （1）设函数解析式为，设桥拱最高点到水面的距离为米， 则， 解得 抛物线的解析式为； （2）由题意，得，船行驶到桥下的时间为小时， 水位上升的高度为米 如果该船的速度不变，能否安全通过此桥． 【点睛】 本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的应用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键． 24．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为米的篱笆围成．已知墙长为米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为米． （1）若苗圃园的面积为平方米，求； （2）若平行于墙的一边长不小于米，求这个苗圃园的面积的最大值和最小值． 【答案】（1）x＝12；（2）88平方米、平方米． 【解答】 （1）根据矩形的面积公式列出方程，解之可得； （2）利用矩形的面积公式列出面积关于x的函数解析式， 根据平行于墙的一边长不小于8米且不超过18米得出x的取值范围，利用二次函数的性质得出最大、最小值即可得． 解：（1）根据题意，得：x（30−2x）＝72， 解得：x1＝3，x2＝12， 当x＝3时，30−2x＝24＞18，不符合题意舍去， ∴x＝12； （2）设苗圃园的面积为S， 则S＝x（30−2x）＝−2（x−）2＋， ∵8≤30−2x≤18， ∴6≤x≤11， ∴当x＝11时，y最小＝88平方米． 当x＝时，y最大=平方米， ∴这个苗圃园的面积的最大值和最小值分别是：88平方米、平方米． 【点睛】 此题考查了二次函数、一元二次方程的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 25．某商场经销一种商品，每件进价为40元．市场调查发现，该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之问的函数关系如图中线段所示． （1）求出该商品每星期的销售量（件）与销售单价（元）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （2）当该商品每件的销售价定为多少元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？ 【答案】（1）（）；（2）当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元． 【解答】 （1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入，即可求解； （2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，可列出w关于x的关系式，将其变形为的形式，结合x的取值范围，即可求解． （1）设该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为： ，将A（40，500），B（90，0）代入得： ，解得： ， ∴该商品每星期的销售量与销售单价之间的函数关系式为 ， 自变量的取值范围为 ； （2）设商场每星期经销该商品能够获得销售利润为w元，根据题意得： ∵-10<0， ∴w有最大值， ∵， ∴当 时，w最大，为6250． ∴当该商品每件的销售价定为65元时，商场每星期经销该商品能够获得最大销售利润，最大销售利润是6250元． 【点睛】 本题考查了二次函数在实际生活中的应用，最大销售利润的问题，常利函数的增减性来解答，我们首先要领会题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案是解题的关键． 26．某公司计划生产甲、乙两种产品，公司市场部根据调查后得出：甲种产品所获年利润（万元）与投入资金（万元）的平方成正比例；乙种产品所获得年利润（万元）与投入资金（万元）成正比例，并得到表格中的数据．设公司计划共投入资金（万元）（为常数且）生产甲、乙两种产品，其中投入甲种产品资金为（万元）（其中），所获全年总利润（万元）为与之和． （万元） （万元） （万元） 分别求和关于的函数关系式； 求关于的函数关系式（用含的式子表示）； 当时， ①公司市场部预判公司全年总利润的最高值与最低值相差恰好是万元，请你通过计算说明该预判是否正确； ②公司从全年总利润中扣除投入甲种产品资金的倍（）用于其它产品的生产后，得到剩余利润（万元），若随增大而减小，直接写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）；（3）①该预判正确，理由见解析；②． 【解答】 （1）y1（万元）、y2（万元）与投入资金n2、n（万元）成正比例，要确定解析式，只要找直线上一点，y2（万元）上（2，1），y1（万元）上（2，0.1）即可 （2）设公司计划共投入资金m（万元），投入甲种产品资金为x（万元），投入乙种产品资金为（m-x）（万元），代入即可， （3）①由，得，配方得利用二次函数开口向上，对称轴右侧，函数的性质，取最大值与最小值作差即可，②设剩余年利润为，由①知年利润，可得剩余年利润为：，对称轴为，，抛物线开口向上，在对称轴左侧，剩余年利润为与x的增大而减小，只要投资额在对称轴左侧取值，即，又知0<k≤3，取公共部分即可． 解：（1）由题意，设，由表格数据可得，，解得 ∴． 设，由表格数据可得，，解得， ∴． （2）由题意可知，投入甲种产品资金为万元，则投入乙种产品资金为万元， 则有，即． （3）①由，得， ∵，抛物线开口向上，对称轴为， ∴当时，， 当时，， ， ∴该预判正确． ②．设剩余年利润为，由题意可得： ， 对称轴为，，抛物线开口向上， 若要满足全年利润随增大而减小， 则必有，解得，又， ∴． 【点睛】 本题考查正比例函数，二次函数，剩余利润函数问题，关键是掌握正比例函数的求法，再列出二次函数，统一自变量，读懂题的含义列出剩余利润函数． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $