专题02二次函数的应用（期中复习讲义，12大题型）九年级数学上学期浙教版

专题02 二次函数的应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 动点面积问题 掌握用含自变量（如动点横坐标）的式子表示图形边长、高；学会根据面积公式列二次函数表达式，求面积最值。 高频中档题，解答题为主，常结合矩形、三角形、梯形，易因动点运动轨迹分析错误、面积公式误用出错。 增长率问题 掌握增长率公式（y=a(1+x)n，a为初始量，x为增长率，n为次数）；学会根据题干信息确定a、n，列函数式求解增长率或最终量。 基础偏中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，易因混淆 “增长率” 与 “降低率” 图形切割问题 掌握切割后剩余 / 拼接图形的边长、周长与原图形的关系； 学会列二次函数表达式（如面积、周长函数），求最值或符合条件的参数。 中档题，解答题为主，常结合矩形、正方形切割（如剪去四角小正方形折无盖盒），易因图形关系分析不清晰出错。 抛物线轨迹运动——喷水问题 掌握建立平面直角坐标系的方法（如以喷水起点为原点，水平为 x 轴）； 学会根据抛物线顶点、落点等关键点，用待定系数法求解析式，解决 “最大高度”“喷水距离” 问题。 高频中档题，解答题为主，背景贴近生活，易因坐标系建立不当或关键点坐标确定错误出错。 围墙栅栏问题 掌握 “一边靠墙” 时栅栏长度与矩形长、宽的关系（如栅栏总长 = 2 宽 + 长）；学会列面积函数表达式，求最大面积及对应边长。 高频基础应用题，解答题为主，易因忽略 “靠墙边无需栅栏” 导致边长关系写错，影响函数表达式。 折叠与展开问题 掌握折叠后图形的全等关系、对应边 / 角相等； 学会用勾股定理或相似关系表示未知量，列二次函数式求最值或长度。 中档偏难题，解答题为主，常结合矩形、正方形折叠（如折叠顶点到对边），易因折叠后对应点找错、几何定理误用出错。 桥梁隧道问题 掌握桥梁（如抛物线形拱桥）、隧道顶部的抛物线模型建立方法；学会根据 “拱高”“跨度” 求解析式，解决 “某高度处的水平宽度” 问题。 中档题，解答题为主，易因坐标系建立（如以跨度中点为原点）或关键点坐标（如拱顶、端点）确定错误出错。 抛物线轨迹运动——抛球问题 掌握以抛球点为原点（或地面为 x 轴）建立坐标系的方法； 学会根据抛球高度、时间 / 水平距离的关系列函数式，求最大高度、落地时间 / 距离。 高频中档题，解答题为主，易因 “时间”“水平距离” 作为自变量的区分不清晰，导致函数变量混淆出错。 销售问题 掌握 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 的关系，及售价与销量的联动变化（如售价涨 1 元，销量减 n 件）；学会列利润二次函数式，求最大利润及对应售价。 必考高频题，解答题核心，占分比高，易因销量与售价的变化关系分析错误、利润公式列错出错。 分段函数问题 掌握分段函数中不同区间的函数表达式（如不同销量对应不同折扣，不同时间段对应不同收费）；学会根据自变量取值范围选择对应表达式，解决最值、求值问题。 中档偏难题，解答题为主，易因分段点判断错误、不同区间表达式混淆（如忽略自变量取值边界）出错。 匀变速直线运动问题（跨学科问题） 掌握物理中匀变速直线运动公式；学会结合题干物理量（如速度、位移），列二次函数式求解时间、位移最值。 低频偏难题，解答题小问，跨数学与物理，易因物理公式记忆错误、物理量单位不统一出错。 其他问题 掌握题干中 “费用”“材料” 与变量（如长度、数量）的关系；学会列二次函数式（如总费用、材料用量函数），求最省方案。 中档题，解答题为主，题型灵活，易因题干信息提取不完整、变量关系梳理不清出错。 知识点01 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 题型一 动点面积问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：以固定边为坐标轴，设动点坐标（如设动点 P (x, y)，其中 y 用二次函数表示）； 2.面积表达：用 “割补法”（如分割成直角三角形、矩形）或公式法（如三角形面积 = 1/2× 底 × 高）列面积函数，转化为二次函数； 3.求最值：根据二次项系数判断开口方向，利用顶点式（y=a (x-h)²+k）求面积最值，注意自变量 x 的取值范围（动点运动区间）。 【典例1】如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．   B．  C．   D．   【变式1】如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 题型二 增长率问题 解｜题｜技｜巧 1.牢记公式：若初始量为 a，平均增长率（下降率）为 x，经过 n 次变化后量为 b，则： ◦增长：a (1+x)ⁿ = b（x>0）； ◦下降：a (1-x)ⁿ = b（0<x<1）； 2.解方程：整理为一元二次方程，舍去负根（增长率不能为负，下降率小于 1）； 3.验实际意义：结果需符合实际（如增长率不能过大）。 【典例1】 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【变式1】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【变式2】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 题型三 图形切割问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设切割部分的边长为 x（如剪去的小正方形边长）； 2.表边长：用 x 表示剩余图形的边长（如无盖长方体的长 = 原长 - 2x，宽 = 原宽 - 2x，高 = x）； 列函数：根据面积 / 容积公式列二次函数，求最值（注意 x>0 且原边长 - 2x>0） 【典例1】如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设，四边形的面积为，则y关于x的函数表达式为 （化为一般形式）． 【变式1】如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 题型四 抛物线轨迹运动——喷水问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：通常以抛出点 / 喷口为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴； 2.定解析式：设抛物线为 y=ax²+bx+c（或顶点式 y=a (x-h)²+k），代入已知点（如起点、最高点、落地点）求参数； 3.求关键量： ◦最大高度：顶点纵坐标（k）； ◦射程：y=0 时 x 的正根（落地点横坐标）。 【典例1】（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【变式1】某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【变式2】小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 题型五 围墙栅栏问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设与墙垂直的边长为 x，与墙平行的边长为 y； 2.找关系：栅栏总长 L=2x+y（或 x+2y，依墙的位置定），故 y=L-2x； 3.列面积函数：面积 S=x・y=x (L-2x)=-2x²+Lx，求最大值（x>0 且 y=L-2x>0）。 【典例1】某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【变式1】张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【变式2】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 题型六 折叠与展开问题 解｜题｜技｜巧 1.用折叠性质：折叠后 “对应边相等、对应角相等”（如折叠点 A 到 A'，则 OA=OA'，PA=PA'）； 2.设未知数：设折叠后重合的线段长度为 x（如折痕上的点到顶点的距离）； 3.列方程：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程（常含二次项），求解后结合二次函数求最值。 【典例1】在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【变式1】综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积的最大值． 题型七 桥梁隧道问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：以抛物线顶点为原点（或拱脚连线中点为原点），对称轴为 y 轴； ◦例：顶点在 (0, h)，拱脚在 (±a, 0)，解析式为 y=kx²+h； 2.求参数：代入拱脚坐标求 k，确定解析式； 3.算实际量：代入高度 y 求 x（宽度 = 2|x|），或代入宽度 x 求 y（高度）。 【典例1】一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【变式1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【变式2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 题型八 抛物线轨迹运动——抛球问题 【典例1】在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【变式1】在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【变式2】掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 题型九 销售问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设单价涨（降）x 元，或设新单价为 x 元； 2.表销量：单价涨 x 元，销量减 mx 件（m 为已知系数），即销量 = 原销量 - mx； 3.列利润函数：利润 W=(原单价 + x - 成本)×(原销量 - mx)，转化为二次函数求最大值（x≥0 且销量≥0）。 【典例1】2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．王叔叔在翻身路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式． (2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【变式1】2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元，根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，请直接写出每日销量(件)与(元)的函数关系式； (2)在（1）条件下，每件降价多少元时商家每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式2】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． (2)在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式3】某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价提高元，求该商品销售利润与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 题型十 分段函数问题 解｜题｜技｜巧 1.找分段点：确定二次函数的适用区间（如 x≥a 时用二次函数，x<a 时用一次函数）； 2.分区间列函数：明确各段自变量范围，分别写出解析式； 3.求最值 / 取值：在各段内分别求二次函数最值，再比较整体最值；代入时先判断自变量属于哪一段。 【典例1】雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味．云南玉龙雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量y（单位：张）与门票的售价x（单位：元/张）的函数关系如图所示，已知门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这一天玉龙雪山景区销售门票获得的总收入W的最大值． 【变式1】图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 题型十一 匀变速直线运动问题（跨学科问题） 解｜题｜技｜巧 1.明确物理量：区分 v₀（初速度，如 0）、a（如重力加速度 g=9.8m/s²，方向向下为负）； 2.统一单位：确保时间（s）、速度（m/s）、位移（m）单位一致； 3.用函数性质：求位移最大值（顶点横坐标为时间，纵坐标为最大位移），或求位移为 0 的时间（落地时间）。 【典例1】一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【变式1】（2025·浙江温州·二模）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处保持的速度匀速运动．小聪测量黑球减速后运动距离（单位：cm）随运动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间 0 1 2 3 4 … 运动距离 0 14 24 … 探究发现，与之间的数量关系可以用二次函数来描述． (1)求关于的函数关系式． (2)当时，求两球之间的距离． (3)黑球能否追上白球？若能，求出追上时的值；若不能，求出它们之间的最短距离． 【变式2】综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 题型十二 其他问题 【典例1】冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【变式2】请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【变式3】打水漂是孩子们喜爱的一种游戏，通过掷扁形瓦片或石片使其在水面上连续弹跳，比拼距离和弹跳次数．在一次投掷中，小明把水漂从离水面米高的处向对岸投掷，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，弹起的最大高度均减少到上一次弹起最大高度的．如图所示，以水面为轴，以小明脚站立地为原点，建立平面直角坐标系．投掷后水漂在距原点4米处与水面相切后弹起，弹起高度为米． (1)求第一次飞跃水面时抛物线的解析式． (2)求第二次飞跃水面时抛物线的解析式；若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能否到对岸？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ (3)书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． （元/件） （件） (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2023·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 3．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 6．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 7．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 8．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二次函数的应用（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 动点面积问题 掌握用含自变量（如动点横坐标）的式子表示图形边长、高；学会根据面积公式列二次函数表达式，求面积最值。 高频中档题，解答题为主，常结合矩形、三角形、梯形，易因动点运动轨迹分析错误、面积公式误用出错。 增长率问题 掌握增长率公式（y=a(1+x)n，a为初始量，x为增长率，n为次数）；学会根据题干信息确定a、n，列函数式求解增长率或最终量。 基础偏中档题，选择 / 填空 / 解答题小问，易因混淆 “增长率” 与 “降低率” 图形切割问题 掌握切割后剩余 / 拼接图形的边长、周长与原图形的关系； 学会列二次函数表达式（如面积、周长函数），求最值或符合条件的参数。 中档题，解答题为主，常结合矩形、正方形切割（如剪去四角小正方形折无盖盒），易因图形关系分析不清晰出错。 抛物线轨迹运动——喷水问题 掌握建立平面直角坐标系的方法（如以喷水起点为原点，水平为 x 轴）； 学会根据抛物线顶点、落点等关键点，用待定系数法求解析式，解决 “最大高度”“喷水距离” 问题。 高频中档题，解答题为主，背景贴近生活，易因坐标系建立不当或关键点坐标确定错误出错。 围墙栅栏问题 掌握 “一边靠墙” 时栅栏长度与矩形长、宽的关系（如栅栏总长 = 2 宽 + 长）；学会列面积函数表达式，求最大面积及对应边长。 高频基础应用题，解答题为主，易因忽略 “靠墙边无需栅栏” 导致边长关系写错，影响函数表达式。 折叠与展开问题 掌握折叠后图形的全等关系、对应边 / 角相等； 学会用勾股定理或相似关系表示未知量，列二次函数式求最值或长度。 中档偏难题，解答题为主，常结合矩形、正方形折叠（如折叠顶点到对边），易因折叠后对应点找错、几何定理误用出错。 桥梁隧道问题 掌握桥梁（如抛物线形拱桥）、隧道顶部的抛物线模型建立方法；学会根据 “拱高”“跨度” 求解析式，解决 “某高度处的水平宽度” 问题。 中档题，解答题为主，易因坐标系建立（如以跨度中点为原点）或关键点坐标（如拱顶、端点）确定错误出错。 抛物线轨迹运动——抛球问题 掌握以抛球点为原点（或地面为 x 轴）建立坐标系的方法； 学会根据抛球高度、时间 / 水平距离的关系列函数式，求最大高度、落地时间 / 距离。 高频中档题，解答题为主，易因 “时间”“水平距离” 作为自变量的区分不清晰，导致函数变量混淆出错。 销售问题 掌握 “利润 =（售价 - 成本）× 销量” 的关系，及售价与销量的联动变化（如售价涨 1 元，销量减 n 件）；学会列利润二次函数式，求最大利润及对应售价。 必考高频题，解答题核心，占分比高，易因销量与售价的变化关系分析错误、利润公式列错出错。 分段函数问题 掌握分段函数中不同区间的函数表达式（如不同销量对应不同折扣，不同时间段对应不同收费）；学会根据自变量取值范围选择对应表达式，解决最值、求值问题。 中档偏难题，解答题为主，易因分段点判断错误、不同区间表达式混淆（如忽略自变量取值边界）出错。 匀变速直线运动问题（跨学科问题） 掌握物理中匀变速直线运动公式；学会结合题干物理量（如速度、位移），列二次函数式求解时间、位移最值。 低频偏难题，解答题小问，跨数学与物理，易因物理公式记忆错误、物理量单位不统一出错。 其他问题 掌握题干中 “费用”“材料” 与变量（如长度、数量）的关系；学会列二次函数式（如总费用、材料用量函数），求最省方案。 中档题，解答题为主，题型灵活，易因题干信息提取不完整、变量关系梳理不清出错。 知识点01 用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 利用二次函数解决利润最值的方法：巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题是否存在最大利润问题。 利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法：先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 利用二次函数解决面积最值的方法：先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【注意】自变量的取决范围。 题型一 动点面积问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：以固定边为坐标轴，设动点坐标（如设动点 P (x, y)，其中 y 用二次函数表示）； 2.面积表达：用 “割补法”（如分割成直角三角形、矩形）或公式法（如三角形面积 = 1/2× 底 × 高）列面积函数，转化为二次函数； 3.求最值：根据二次项系数判断开口方向，利用顶点式（y=a (x-h)²+k）求面积最值，注意自变量 x 的取值范围（动点运动区间）。 【典例1】如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．   B．  C．   D．   【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积关于平移距离的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为． 综上，选项A的图象符合题意， 故选：A． 【变式1】如图，在矩形中，，，点在边上移动（不与点B，C重合），连接，过点E作交于点F，设，，则与之间的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，掌握二次函数的性质是解题的关键．由，，且为直角三角形，运用勾股定理得出y与x的关系，再判断出函数图象即可． 【详解】解：如图，连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵，，则，， ∴，，， 又∵为直角三角形， ∴，即， 整理得， 该函数图象是开口向下、顶点坐标是的抛物线， ∵点在边上移动（不与点B，C重合）， ∴该函数图象不包含原点和x轴的交点， 故选：B． 【变式2】如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上， ，将沿平移，当点与点重合时，停止平移．设点平移的距离为与正方形重合部分的面积为，则关于的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查动点函数图象问题，涉及到二次函数的性质，正方形和三角形面积，先判断在平移过程中不同阶段重合部分图形的形状，再求出面积y关于平移距离x的函数表达式，最后根据函数表达式判断出函数的图象． 【详解】解：设点平移的距离为，与正方形重合部分的面积为． ①当时，如图1，，； ②当时，如图2，，，， ∴ ． 综上，， 由分段函数可以看出A选项中的函数图象与所求的分段函数对应． 故选：A． 题型二 增长率问题 解｜题｜技｜巧 1.牢记公式：若初始量为 a，平均增长率（下降率）为 x，经过 n 次变化后量为 b，则： ◦增长：a (1+x)ⁿ = b（x>0）； ◦下降：a (1-x)ⁿ = b（0<x<1）； 2.解方程：整理为一元二次方程，舍去负根（增长率不能为负，下降率小于 1）； 3.验实际意义：结果需符合实际（如增长率不能过大）。 【典例1】 某公司去年的销售额为万元，预计未来三年的销售额增长率将按照二次函数的模型增长．设增长率为，时间（年）为，假设增长率函数模型为．根据市场分析，今年（第一年）的增长率为，明年（第二年）的增长率为，那么第三年的增长率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，用待定系数法求出二次函数解析式，再把代入解析式求出即可，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：二次函数经过，， ∴， 解得 ， ∴二次函数解析式为， 当时，， ∴第三年的增长率为， 故答案为：． 【变式1】某玩具厂7月份生产玩具200万只，9月份生产该玩具y（万只）．设该玩具的月平均增长率为x，则y与x之间的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只，依题意得，． 【详解】解：由题意知，8月份生产玩具万只，9月份生产该玩具万只， 依题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式． 【变式2】芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）． (1)求与之间的函数关系式； (2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价 每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式； （2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元） ∴依题意得：， ∴与之间的函数关系式为； （2）依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴每次降价的百分率为20%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 题型三 图形切割问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设切割部分的边长为 x（如剪去的小正方形边长）； 2.表边长：用 x 表示剩余图形的边长（如无盖长方体的长 = 原长 - 2x，宽 = 原宽 - 2x，高 = x）； 列函数：根据面积 / 容积公式列二次函数，求最值（注意 x>0 且原边长 - 2x>0） 【典例1】如图，一张正方形纸板的边长为，将它剪去直角三角形（图中阴影部分）．设，四边形的面积为，则y关于x的函数表达式为 （化为一般形式）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意表示出，然后用正方形的面积减去四个直角三角形的面积即可． 【详解】解：∵一张正方形纸板的边长为， ∴， 设， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】如图，四边形是一块边长为的正方形铁板，在边上选取一点，分别以和为边截取两块相邻的正方形板材，当的长为 时，截取的板材面积最小． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数与图形面积的计算，理解题意，得到截取面板的面积为，结合二次函数求最值的计算方法即可求解． 【详解】解：∵截取的两块面板均为正方形，，则，设截取面板的面积为， ∴， ∵， ∴当时，的值最小，最小为， 故答案为：1 ． 题型四 抛物线轨迹运动——喷水问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：通常以抛出点 / 喷口为原点，水平方向为 x 轴，竖直方向为 y 轴； 2.定解析式：设抛物线为 y=ax²+bx+c（或顶点式 y=a (x-h)²+k），代入已知点（如起点、最高点、落地点）求参数； 3.求关键量： ◦最大高度：顶点纵坐标（k）； ◦射程：y=0 时 x 的正根（落地点横坐标）。 【典例1】（2023·山东滨州·中考真题）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管高度应为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求得抛物线的解析式，再令，求得的值，即可得出答案． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由题意可知抛物线的顶点坐标为，与轴的一个交点为， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 水管的高度为， 故答案为：． 【变式1】某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． (1)直接写出点P的坐标__________； (2)若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【详解】（1）解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 【变式2】小红观察到一处喷水景观喷出的水柱呈抛物线形状，她对此展开研究：喷水装置竖立在地面上，建立如图所示的平面直角坐标系，其中一条水柱距地面的高度y（m）与水柱距喷水头的水平距离x（m）之间满足关系式． (1)求喷头P与地面的距离OP； (2)已知身高的小红现直立在距离喷水装置的水柱正下方的点B处，此时她的头顶并未接触到水柱，小红想要继续沿方向直立行走，当她的头顶恰好接触到水柱时，距离点B多远？ 【答案】(1) (2)离点 远 【分析】利用本题重点考查​二次函数的性质与实际应用​，​理解二次函数表达式各参数的意义，并将实际问题转化为数学问题求解是解题的关键​． （1）令，求出即得答案； （2）计算当，求出，再用结果减去3即得答案． 【详解】（1）当时，， 答：喷头P与地面的距离为0.4m． （2）将代入得：， 解得（舍），， ， 答：当小红的头顶恰好接触到水柱时，距离点B 3m远． 题型五 围墙栅栏问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设与墙垂直的边长为 x，与墙平行的边长为 y； 2.找关系：栅栏总长 L=2x+y（或 x+2y，依墙的位置定），故 y=L-2x； 3.列面积函数：面积 S=x・y=x (L-2x)=-2x²+Lx，求最大值（x>0 且 y=L-2x>0）。 【典例1】某工厂计划利用一块长为10米、宽为6米的矩形空地搭建一个矩形蔬菜大棚，大棚一边靠墙（墙足够长，可利用的墙长不超过8米），另外三边用篱笆围成，篱笆总长为16米．设大棚垂直于墙的一边长为x米，大棚的面积为S平方米，求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】；自变量取值范围是 【分析】本题考查二次函数的应用，解一元一次不等式组，解题的关键是根据题意构建二次函数模型． 根据题意利用矩形的面积公式，列出面积S关于x的函数解析式，再根据平行于墙的长大于0，不超过8米建立一元一次不等式组求解． 【详解】解：设大棚垂直于墙的一边长为x米， 由题意得：， ∴S与x之间的函数关系式为， 由题意得：， 解得， ∴自变量取值范围是． 【变式1】张伯伯挨着一面墙开垦了一块矩形田地，准备种植蔬菜．张伯伯将矩形田地用的篱笆分割成如图所示的四个面积相等的矩形（矩形田地的边缘除边外都要围上），种植不同种类的蔬菜，设． (1)求矩形田地的面积的最大值． (2)若矩形田地的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)矩形田地的面积的最大值为 (2)当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质和面积公式，列出一元二次方程和二次函数解析式是解题的关键． （1）由矩形的性质得，，，再由篱笆总长可得，进而可用含x的代数式表示出、，再根据矩形的面积公式可得二次函数，根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，解得，，再根据二次函数的性质求取值范围即可． 【详解】（1）根据题意可得矩形，矩形，矩形，矩形的面积相等， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，     ∴，     ∴， ∵， 解得， ∴， ∴当时，最大，最大值为， 答：矩形田地的面积的最大值为； （2）根据（1）可得， 令， 解得，，     ∵， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随x的增大而增大；当时，随x的增大而减小，     ∴当时，，     ∴当矩形田地的面积不小于时，的取值范围为． 【变式2】如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）． (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． (3)当羊圈的长和宽分别为多少米时，羊圈的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1)能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； (2)不能围成一个面积为的羊圈； (3)为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 【分析】本题考查一元二次方程解决应用题及二次函数解决应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系式． （1）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （2）假设能围成，设，根据面积列式方程求解即可得到答案； （3）设面积为表示出与出解析式，结合函数性质直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 解得：，， 答：能围成一个面积为的羊圈，长和宽分别是，或，； （2）解：假设能围成一个面积为的羊圈，设，由题意可得， ， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴不能围成一个面积为的羊圈， 答：不能围成一个面积为的羊圈； （3）解：设面积为，由题意可得， ， ∵， ∴当时，最大，， ∴为米时围成一个面积最大的矩形羊圈，最大面积是． 题型六 折叠与展开问题 解｜题｜技｜巧 1.用折叠性质：折叠后 “对应边相等、对应角相等”（如折叠点 A 到 A'，则 OA=OA'，PA=PA'）； 2.设未知数：设折叠后重合的线段长度为 x（如折痕上的点到顶点的距离）； 3.列方程：在折叠形成的直角三角形中，用勾股定理列方程（常含二次项），求解后结合二次函数求最值。 【典例1】在一次劳动课中，老师准备了一些长为、宽为的长方形硬纸板，准备利用这些纸板制作无盖的长方体纸盒，且每张纸板可制作两个纸盒（接头处忽略不计）．如图，活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，再分别沿着虚线折起来，得到两个相同的无盖长方体纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． (1)求制作的无盖纸盒的底面的边的长； (2)写出一个无盖纸盒的体积y（单位：）与x（单位：）之间的函数关系式，并求出当x的值为5时，单个无盖纸盒的体积y的值． 【答案】(1) (2)，当时， 【分析】本题考查了列代数式、长方体的展开图、二次函数解析式和求函数值： （1）根据及裁剪后的图形关系即可求解； （2）根据长方体的体积公式表示出y，再求值即可． 【详解】（1）解：如图为两个无盖纸盒的展开图： 由图可知，， 故． 故边的长为； （2）解：根据题意，可知无盖纸盒的长宽高分别为：， ∴， ∴当时，． 【变式1】综合与实践： 利用正方形硬纸板设计制作带盖长方体盒子 四边形是边长为的正方形硬纸片，“创新小组”设计出不同方式的带盖长方体包装盒，并画出了示意图（图①，图③）及折合成的带盖长方体盒子（图②，图④），其中，实线表示剪切线，虚线表示折痕（设计，折合及计算过程中，纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计），请你观察，操作，验证并思考完成该小组提出的问题． 设计方案一：如图①，将正方形硬纸片的四个角分别剪去大小相同的两个正方形和两个长方形（阴影部分所示），再沿虚线折合得到一个底面为长方形的包装盒（如图②所示）． （1）设，________，（用含a的代数式表示）；若底面积为，则MG的长为________． 设计方案二：如图③，将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形（阴影部分所示），其中点E，F在上；再沿虚线折起，点A，B，C，D恰好重合于点O处（如图④所示），形成有一个底面为正方形的包装盒，设． （2）请直接写出线段的长________（用含x的代数式表示）； （3）求长方体盒子的侧面积的最大值． 【答案】（1），6；（2）；（3）． 【分析】（1）设，则，．根据题意可列出关于ａ的等式，解出ａ的值，再根据，确定a的范围，即可确定a的值，即得； （2）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得，即得； （3）根据等腰直角三角形的性质和勾股定理可求出，再根据矩形的面积公式求出，最后根据求解即可 【详解】解：（1）设， 则，． ∵底面积为， ∴． 解得：，． ∵， ∴， ∴，． 故答案为：，6． （2）∵将正方形硬纸板切去四个全等的等腰直角三角形，， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． （3）由题意可知为等腰直角三角形，长方体盒子的侧面为4个全等的矩形， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴当时，S有最大值450． 答：长方体盒子的侧面积的最大值为． 【点睛】本题考查折纸长方体．熟练掌握折纸性质，矩形和正方形性质，长方体展开图性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，二次函数的实际应用，是解题关键． 题型七 桥梁隧道问题 解｜题｜技｜巧 1.建坐标系：以抛物线顶点为原点（或拱脚连线中点为原点），对称轴为 y 轴； ◦例：顶点在 (0, h)，拱脚在 (±a, 0)，解析式为 y=kx²+h； 2.求参数：代入拱脚坐标求 k，确定解析式； 3.算实际量：代入高度 y 求 x（宽度 = 2|x|），或代入宽度 x 求 y（高度）。 【典例1】一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 【变式1】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽． (1)建立平面直角坐标系并写出函数解析式． (2)水面下降，水面宽度增加多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系、二次函数解决实际问题： （1）建立平面直角坐标系，根据抛物线顶点坐标设顶点式，再代入点求出解析式； （2）根据新的纵坐标，求出对应横坐标即可求出增加的宽度 【详解】（1）以拱顶为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系 则抛物线的顶点在原点，设其解析式为 当拱顶离水面时，水面宽 即当时， 将代入解析式得： 解得： 所以函数解析式为： （2）当水面下降时，此时拱顶离水面，即 代入解析式得： 解得： 此时水面宽度为 原水面宽 所以水面宽度增加： 【变式2】黄河流域兰州白塔山段综合提升改造项目是兰州市落实国家黄河流域生态保护和高质量发展战略谋划的重点工程．项目总投资万元，项目隧道工程西起龙源公园，东至靖远路，主线全长约2245米．建设地点位于兰州市北滨河路中山桥两侧，现要修建隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段表示水平的路面，以O为坐标原点，以所在直线为x轴，以过点垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求∶，该抛物线的顶点P到的距离为． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到的距离均为，求点A、B的坐标． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为； (2)点A、B的坐标分别为：，． 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数和二次函数图象的性质，解决此题的关键是正确计算； （1）根据待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据题目令函数值为6，得到方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题可知：抛物线的顶点坐标， 可设抛物线的函数表达式为， ∵在抛物线上 ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由题可知：点A、B的纵坐标为6， ∴， 解得：， ∴点A、B的坐标分别为：，． 题型八 抛物线轨迹运动——抛球问题 【典例1】在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足． (1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________； (2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？ 【答案】(1)；4 (2)不能，前进或后退 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于出手高度，令代入函数求值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定． （2）先求时的值，与比较判断能否接到；若不能，令，解出的值，再与比较确定前进或后退的距离． 【详解】（1）解：令，代入得 ， 将化为顶点式得 ， ∴ 篮球飞行的最大高度是． 故答案依次为：；． （2）解：当时， ∵ ， ∴ 他在原地不能接到球． 令，则， 两边同乘得：， ， ， 解得，， ∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球． 【变式1】在体育课上，小康投掷实心球，球的运动轨迹可以近似地看作抛物线的一部分，并建立如图所示的平面直角坐标系，已知实心球脱手时距离地面的竖直高度为米，球在运动过程中的最高点离水平地面米，此时距离球脱手处的水平距离为米． (1)求本次小康投掷实心球的抛物线的解析式． (2)若校方规定：投掷实心球的距离不小于米时，成绩记为满分．请问小康这次的成绩能否得到满分？请说明理由． 【答案】(1) (2)小康这次的成绩不能得到满分，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可设抛物线顶点式为，再代入，即可求得，进而可得抛物线解析式． （2）将代入抛物线解析式中，可得，即可判断小康投掷实心球的成绩小于米，故小康这次的成绩不能得到满分． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入，得， ， 抛物线的解析式为． （2）解：小康这次的成绩不能得到满分． 理由：当时，， ∴小康投掷实心球的成绩小于米， ∴小康这次的成绩不能得到满分． 【变式2】掷实心球是亳州市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据亳州市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】(1) (2)得不到满分；理由见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用： （1）根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标即可求解； （2）令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 【详解】（1）解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； （2）解：该男生在此项考试中得不到满分． 理由如下： 令，即， 解得（负值舍去）． 该男生在此项考试中得不到满分． 题型九 销售问题 解｜题｜技｜巧 1.设变量：设单价涨（降）x 元，或设新单价为 x 元； 2.表销量：单价涨 x 元，销量减 mx 件（m 为已知系数），即销量 = 原销量 - mx； 3.列利润函数：利润 W=(原单价 + x - 成本)×(原销量 - mx)，转化为二次函数求最大值（x≥0 且销量≥0）。 【典例1】2020年6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．王叔叔在翻身路做起了地摊生意，他以每件40元的价格购进一种商品，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． (1)若设利润为w元，请求出w与x的函数关系式． (2)若每天的销售量不少于44件，则销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当销售单价定为48元时获得最大利润352元 【分析】本题考查了二次函数的实际应用（利润问题），解题的关键是根据利润公式建立函数关系式，再结合二次函数的性质和销售量的限制条件求解最值． （1）根据“利润=（单价-进价）×销售量”，结合已知的进价、单价与销售量的函数关系，推导利润与单价的函数关系式； （2）先根据“销售量不少于44件”的条件求出x的取值范围；再将利润函数化为顶点式，结合二次函数的增减性，在取值范围内求最大利润及对应的销售单价． 【详解】（1）解：由题： =； （2）解：由题：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，最大，且最大为， 答：当销售单价定为48元时获得最大利润352元． 【变式1】2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元，根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． (1)若商家决定降价销售，设每件降价x元，请直接写出每日销量(件)与(元)的函数关系式； (2)在（1）条件下，每件降价多少元时商家每天获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每件降价元时商家每天获得的利润最大，最大利润是3125元 【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． （1）根据“若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件”直接列式即可； （2）先根据总利润等于单件利润乘以销售量列出函数关系式，再根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）由题意可知，每日销量件与元的函数关系式为：； （2）设每天获得的利润为W元， 由题意得：， 当时，W有最大利润为3125元， 答：每件降价元时商家每天获得的利润最大，最大利润是3125元． 【变式2】某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． (1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为元（），请你用的代数式来表示销售该品牌玩具销售量为_____件（请化简）． (2)在（1）问条件下，问当单价为多少时商场销售该品牌玩具可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）先算出涨价元，再根据条件化简即可． （2）根据（1）中数据列出二次函数解析式，配方求最值即可． 【详解】（1）解：涨价元，则少售出件，则销量为件， 故答案为：． （2）设总利润为w元， 由题意可得， ， ， ， 当时，w取得最大值， 答：当单价为元时商场销售该品牌玩具可获得最大利润，最大利润为元． 【变式3】某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价提高元，求该商品销售利润与之间的函数关系式； (2)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ 【答案】(1) (2)每个毛绒玩具售价应定为 50 元 【分析】本题主要考查二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据“毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个”可直接列出函数关系式； （2）由（1）及利润、售价及成本的等量关系式可列方程进行求解； 【详解】（1）解：由题意得：； ∴该商品销售利润与之间的函数关系式为； （2）解：由（1）可得：， 解得：， ∵尽可能让利于顾客， ， 元， 答：每个毛绒玩具售价应定为 50 元． 题型十 分段函数问题 解｜题｜技｜巧 1.找分段点：确定二次函数的适用区间（如 x≥a 时用二次函数，x<a 时用一次函数）； 2.分区间列函数：明确各段自变量范围，分别写出解析式； 3.求最值 / 取值：在各段内分别求二次函数最值，再比较整体最值；代入时先判断自变量属于哪一段。 【典例1】雪是冬天的来信，碎碎坠琼芳，雪花落处，诗意陡升，在云南，遇见雪山的烂漫，看“高原精灵”翩翩起舞，感受“南国雾凇美如画”的韵味．云南玉龙雪山景区经过市场调查发现，某天门票的销售量y（单位：张）与门票的售价x（单位：元/张）的函数关系如图所示，已知门票售价不低于50元，不高于300元． (1)求y关于x的函数关系式； (2)求这一天玉龙雪山景区销售门票获得的总收入W的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为1210000元 【分析】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）分和两段，待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和两种情况，分别列出二次函数和一次函数关系式，求最值即可． 【详解】（1）解：当时，设y关于x的函数关系式为， 将，分别代入，得， 解得； 当时，y关于x的函数关系式为； 由图象可知，当时，y关于x的函数关系式为． 综上所述，y关于x的函数关系式为； （2）当时，， ∴当时，W有最大值，最大值为1210000． 当时，， ∵， ∴W随x的增大而增大， ∴当时，W有最大值，最大值为600000． ∴， ∴这一天玉龙雪山景区销售门票获得的总收入W的最大值为1210000元． 【变式1】图1是2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台，曲线的设计灵感来自敦煌“飞天”飘带，又名“雪飞天”，它是世界上首例永久性保留和使用的滑雪大跳台场馆．图2是赛道剖面图的一部分，将其放在平面直角坐标系中，其中线段表示距离水平面（轴）高度为的平台（点A在轴上），滑道可以看作是反比例函数图像的一部分，点B到轴的距离是，点C到水平面的距离为，滑道可以看作是二次函数图像的一部分，最高点到轴的距离是，到水平面的距离是． (1)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (2)求滑道的函数解析式及自变量的取值范围； (3)在小明沿滑道从点B滑到点D处的过程中，当他距地面时，所滑过的水平距离为 （直接写出所有可能的结果）． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的应用； （1）根据题意得出点B坐标，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，再求出点C坐标，可得自变量的取值范围； （2）根据题意得出顶点坐标，设出顶点式，利用待定系数法求出滑道的函数解析式，然后再求出点D坐标，可得自变量的取值范围； （3）分两种情况：①在滑道上时，②在滑道上时，分别求出时对应的x的值，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：设滑道的函数解析式为， ∵点B到轴的距离是，距离水平面（轴）高度为， ∴， 代入得， ∴， ∴滑道的函数解析式为． 当时，即， 解得：， ∴， ∴自变量的取值范围是； （2）∵最高点到轴的距离是，到水平面的距离是 ∴顶点坐标为， ∴设滑道的函数解析式为， 把代入得：， 解得： ∴滑道的函数解析式为， 令，即， 解得：，， ∴， ∴自变量的取值范围是； （3）分两种情况： ①在滑道上时， 令，即， 解得：， ∴滑过的水平距离为； ②在滑道上时， 令，即， 解得：，，均满足， 此时滑过的水平距离为或， 综上，滑过的水平距离为或或， 故答案为：或或． 题型十一 匀变速直线运动问题（跨学科问题） 解｜题｜技｜巧 1.明确物理量：区分 v₀（初速度，如 0）、a（如重力加速度 g=9.8m/s²，方向向下为负）； 2.统一单位：确保时间（s）、速度（m/s）、位移（m）单位一致； 3.用函数性质：求位移最大值（顶点横坐标为时间，纵坐标为最大位移），或求位移为 0 的时间（落地时间）。 【典例1】一个重物从高处做自由落体运动时，若不考虑空气阻力，它的速度会因地心引力而均匀加速，速度（v）与时间（t）的函数图象如图①，下降的距离会随时间的增加而增加，距离（s）与时间（t）的函数图象如图②．下列结论错误的是（   ） A．该重物在秒时，速度为3米/秒 B．该重物在秒时间段内下降的距离与在秒时间段内下降的距离相同 C．时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒 D．当秒时，该重物下降距离为米 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 先求出一次函数的解析式，再求出秒的速度，可以判断A； 分别求出重物在秒时间内下降的距离与在秒时间段内下降的距离，可判断B； 根据（A）中求得的函数表达式，可判断C； 先求出函数表达式，再求出时的函数值，可判断D． 【详解】解：设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为， 所以当秒时，米/秒，故A正确，但不符合； 该重物在秒时间段内下降的距离为米，在秒时间段内下降的距离为，故B错误，符合； 直线的解析式为，所以时间每增加1秒，该重物的速度增加米/秒，故C正确，但不符合； 设距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 因为当时，， 所以，解得：， 所以距离（s）与时间（t）的函数解析式为， 当秒时，，该重物下降距离为米，故D正确，但不符合， 故选：B． 【变式1】（2025·浙江温州·二模）如图，在一条笔直的滑道上有黑、白两个小球同向运动，黑球在处开始减速，此时白球在黑球前面处保持的速度匀速运动．小聪测量黑球减速后运动距离（单位：cm）随运动时间（单位：s）变化的数据，整理得下表． 运动时间 0 1 2 3 4 … 运动距离 0 14 24 … 探究发现，与之间的数量关系可以用二次函数来描述． (1)求关于的函数关系式． (2)当时，求两球之间的距离． (3)黑球能否追上白球？若能，求出追上时的值；若不能，求出它们之间的最短距离． 【答案】(1) (2) (3)不能；2 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析数，二次函数与一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法即可求解； （2）表示出两球的路程表达式，代数求值即可； （3）利用一元二次方程根的判别式可得方程根的情况，利用二次函数顶点表达式即可求出最值． 【详解】（1）解：设，将点，，代入 得， 解得， ∴； （2）解：令表示两球之间的距离由题意可得， ， ． 当时， ； （3）解：由（2）可知，当时，， ， 所以无解． ∴两球不会相遇． ， ∵， ∴抛物线顶点为最低点， ∴当时，有最短距离为2． 【变式2】综合与实践：某数学小组为了解汽车的速度和制动非安全距离的关系，通过查阅资料获得以下信息：材料一：由于司机的反应和惯性的作用，从发现情况到刹车停止前汽车还要继续向前行驶一段距离，这段距离称为制动非安全距离，从发现情况到刹车起作用的路程称为反应距离，这段距离总共需要的反应时间为0.6秒，从刹车起作用到最后停止的距离称为制动距离． 材料二：某公司设计了一款新型汽车，现在对它的制动性能（车速不超过）进行测试，测得数据如下表： 车速 0 30 45 60 90 105 120 150 制动距离 0 7.8 13.05 19.2 34.2 43.05 52.8 75 探究任务： (1)已知该款新型汽车的制动距离和车速之间存在已学过的某种函数关系，请你根据上表提供的数据，求出这个函数的解析式并写出自变量x的取值范围（参考数据：，，，）； (2)若在该款新型汽车的某次测试中，通过测量刹车痕迹得到它的制动距离约为40m，请通过计算估计该款汽车开始刹车时的速度； (3)若某司机驾驶这种新型汽车以60km/h的速度在单行道上行驶，发现前方28m处有一辆大货车停在公路上挡住去路，司机紧急刹车，请问是否有碰撞危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)该款汽车开始刹车时的速度为； (3)有碰撞危险，理由见解析． 【分析】本题考查二次函数的应用．求函数关系是计算相对复杂，需要细心，关键是理解并应用得到的函数解析式． （1）观察函数图象可猜测函数关系式为过原点的抛物线，设出抛物线解析式，把表格中的数据代入，即可求得函数表达式； （2）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得合适的x的值即可； （3）取，代入（1）中得到的函数解析式，求得制动距离y的值，进而计算出制动非安全距离与所给的比较即可得到是否有碰撞危险． 【详解】（1）解：函数图象如图所示， 根据图象可得该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间为二次函数， 设， 把代入可得 ， 解得， 该款新型汽车的制动距离y（m）和车速x（）之间的函数关系式为； （2）解：当时，可得， 解得（舍去）， 故该款汽车开始刹车时的速度为； （3）解：有碰撞危险，理由如下： 当时，， ， 故有碰撞危险，建议司机降低车速保持安全距离． 题型十二 其他问题 【典例1】冬季蔬菜大棚内某天的温度（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，其中．有下列结论： ①蔬菜大棚内当天的温度可以是； ②蔬菜大棚内当天的温度的最大值为； ③蔬菜大棚内当天的温度不低于19℃的时长为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，依据题意得，，故当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，进而逐个判断可以得解．解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【详解】解：由题意得，， 当时，有最大值为19.4，且当时，随的增大而增大，故②错误． ，且当时，， 蔬菜大棚内当天的温度可以是，故①正确． 令， ． 或． 的图象开口向下， 蔬菜大棚内当天的温度不低于的时长为：小时，故③正确． 综上，正确的有①③，共2个． 故选：C． 【变式1】【问题情境】综合与实践小组的同学到医学院参加活动，对、两种药物在注射后几小时内的微量元素的浓度变化情况展开了探究，并以此为课题，研究系列问题． 数据获取：待测量对象注射药物结束时，用微量元素测量仪器测量并记录其微量元素浓度变化情况，直至仪器显示其微量元素浓度持续稳定在某一小范围内（），无较大幅度变化时停止记录，得到注射药物后几小时内的微量元素的浓度变化（单位：）与时间（单位：）的曲线图如下． 【初步探究】 (1)观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是（　　） A． B． 【问题解决】已知段微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作抛物线，且其函数解析式为． (2)求段抛物线的函数解析式； (3)该测量对象注射药物后多久时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是多少？ 【拓展应用】 信息1：第二次测量时，该测量对象注射药物，通过测量发现，微量元素的浓度的最大值比注射药物高，且达到最大值的时间比注射药物延长了1小时（已知第二次测量时微量元素的浓度变化曲线仍是抛物线且经过点）． 信息2：注射药物后，微量元素的浓度与时间关系的函数图象可近似看作过点的射线（其中）．若注射药物生效后（），微量元素的浓度高于微量元素的浓度时为药物有效时间，记药物的有效时间为，药物的有效时间为，由于不同的病毒会导致注射药物后微量元素的浓度函数中的值不同，临床上通常比较与的大小进行决策． (4)请帮助综合实践小组的同学求出注射药物后的微量元素的浓度函数，并直接写出当时的值． 【答案】(1)B (2) (3)该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是 (4)， 【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意是解题的关键． （1）观察图象即可判断； （2）利用待定系数法即可求解； （3）利用二次函数的性质即可求解； （4）由题意得，当时，取得最大值，最大值为，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出的解析式；联立抛物线与射线的解析式，用含的式子表示出，结合求出的值即可解答． 【详解】（1）解：观察图象推断，正常情况下人体的微量元素可能是． 故选：B． （2）解：由图象可得，，， 代入和到，得， 解得：， 段抛物线的函数解析式为． （3）解：由（2）得，， ， 当时，有最大值，最大值为150， 答：该测量对象注射药物后时，微量元素的浓度达到最大值，最大值是． （4）解：由题意得，当时，取得最大值，最大值为， 抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 代入得，， 解得：， 函数的解析式为； 联立， 解得：或， ， 联立， 解得：或， ， ， ， 解得：； 综上所述，，． 【变式2】请根据以下素材，完成探究任务． 飞行汽车 背景 飞行汽车是一种结合了传统汽车和飞行器功能的交通工具，旨在实现地面行驶与空中飞行的双重模式．它被视为未来城市交通的重要解决方案之一，尤其在缓解交通拥堵和拓展三维交通空间方面具有潜力． 建模 某数学小组运用信息技术模拟飞行汽车飞行过程．如图，以飞行汽车的地面起飞点为原点，地平线为轴，垂直于地面的直线为轴，建立平面直角坐标系．它在起飞后的初始飞行路径呈现抛物线形状，当飞行汽车到达抛物线最高点后下降到点．此时点距离地面千米，保持这个高度以100千米/时的速度水平飞行一定距离后到达点，切换到直线下降飞行模式降落至地面点．得到抛物线直线和直线． 任务 （1）若仪表监测到水平飞行时间为小时，此时点距离起飞点的水平距离为10千米，求和的值； （2）若飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米．水平飞行了小时到达点后降落，求的取值范围． 【答案】（1）、；（2） 【分析】本题考查二次函数和一次函数的应用，理解题意，从图象上获取作息是解题的关键． （1）根据题意先求出水平飞行时的距离，根据点距离起飞点的水平距离为10千米，求出，，分别代入，直线，即可求解． （2）根据对称轴为最高点的横坐标求出，得出抛物线，令，求出，将代入直线．求出，结合，求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，水平飞行时的距离为：， ∵， ∴，， 把代入中得，解得； 把代入中得，解得； （2）∵飞行汽车在最高点时，距离起飞点的水平距离为千米， ∴抛物线对称轴为直线， ∴， ∴． ∴抛物线解析式为， 在中，当时， 解得或， ， 将代入直线．得：， ∴， ， ∴， ． 【变式3】打水漂是孩子们喜爱的一种游戏，通过掷扁形瓦片或石片使其在水面上连续弹跳，比拼距离和弹跳次数．在一次投掷中，小明把水漂从离水面米高的处向对岸投掷，水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同，弹起的最大高度均减少到上一次弹起最大高度的．如图所示，以水面为轴，以小明脚站立地为原点，建立平面直角坐标系．投掷后水漂在距原点4米处与水面相切后弹起，弹起高度为米． (1)求第一次飞跃水面时抛物线的解析式． (2)求第二次飞跃水面时抛物线的解析式；若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能否到对岸？ 【答案】(1) (2)，若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能到对岸 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得第一次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为，把解析式设为顶点式，再代入点A坐标求解即可； （2）根据题意和（1）所求可得第二次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为，则第二次飞跃水面时抛物线解析式为，再求出当时x的值即可得到结论． 【详解】（1）解：∵投掷后水漂在距原点4米处与水面相切后弹起， ∴第一次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为， 设第一次飞跃水面时抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴第一次飞跃水面时抛物线的解析式为， 在中，当时，解得或， ∴； （2）解：由（1）可得， ∵水漂在水面弹起的抛物线与原来的抛物线形状相同， ∴第二次飞跃水面时抛物线的顶点坐标为，即， ∴第二次飞跃水面时抛物线解析式为， 在中，当时，解得或， ∴若河两岸相距9米，则小明此次投掷水漂能到对岸． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小滨想知道这道门的高度，他先测出门的宽度，然后用一根长为的小竹竿竖直的接触地面和门的内壁，并测得，则门高为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据所建坐标系及图形特点，结合，可得，设抛物线的解析式为，根据题意可求出点的坐标为，代入，即可求出抛物线解析式，令，求出，即为门高的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴点，， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 当时，， ∴门高为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小刚在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（    ） A． B． C． D．都不对 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．由题意可得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题实际作出取舍，然后加上3即可得出答案． 【详解】解：由题意可得，当时，有： 整理得：， 解得：（舍），， ∴他与篮底的距离（米）， 故选：C． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某农场拟建两间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，如图所示，开了三扇宽为的门，已知计划中的材料可建围墙的总长为，那么这两间种牛饲养室所占面积最大是 ． 【答案】192 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是用二次函数表示出面积与矩形的长的函数关系式．分析题意，可设该饲养室的宽为，用表示饲养室的长，利用矩形的面积长宽表示出饲养室的面积；可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为，设该饲养室的宽为，则饲养室的长为，面积；观察可知面积是的二次函数，结合二次函数的性质，将改写为顶点式，即可求出的最大值． 【详解】解：可建墙体的总长为，三处各留宽的门，根据图形可知则总长为． 设该饲养室的宽为，则长为， 该饲养室的面积． 由二次函数的性质可知当时，取最大值，最大值为192． 故答案为：192． 4．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【答案】5 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【详解】解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元． 答：每顶头盔降了5元， 故答案为：5． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）某书店销售儿童书刊，每套进价为元，当每套售价为元时，一天可销售出套．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价销售，若一套书每降价元，平均每天可多售出1套，设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元． (1)求y关于x的函数表达式； (2)若要书店每天盈利元，则需降价多少元？ (3)书店每天盈利能达到元吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)元； (3)不可以，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数、一元二次方程在实际问题中的应用，正确理解题意是解题关键． （1）设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套，即可求解； （2）求解方程即可； （3）根据可得利润的最大值，即可求解； 【详解】（1）解：设每套书降价x元时，所获利润为y元，则每天可出售套， 由题意得：； （2）解：当时， 整理得：， 解得：， 但为了尽快减少库存，所以只取， 答：若每天盈利元，为了尽快减少库存，则应降价元； （3）解：不可以，理由如下： ， 则当时，y取得最大值，即书店的盈利不可以达到元． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，小明的爸爸要用一堵长为4m的墙和长为18m的篱笆围一个小型养鸡场，要求：①墙和篱笆全部利用；②围成的养鸡场的面积最大．图1是小明的爸爸把墙体全部利用起来围成的养鸡场，图2是小明把墙体向外用篱笆延伸了一段长，然后用剩余的篱笆围成一个矩形养鸡场． (1)请计算小明爸爸围成的养鸡场的面积； (2)请计算小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，正确地理解题意，列出函数解析式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式即可得到结论； （2）设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为，根据题意得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：根据题意得， 答：小明爸爸围成的养鸡场的面积为； （2）解：设小明围成的养鸡场的长为，则宽为，围成的养鸡场面积为， 根据题意得，， 小明围成的养鸡场的最大面积为， ∴， 答：小明围成的养鸡场比爸爸围成的养鸡场面积大． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期中）如图，某人以一定的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：，回答下列问题： (1)小球最高离地面多少米？ (2)小球从飞出到落地需要多少时间？ 【答案】(1)小球飞行的最大高度是； (2)小球从飞出到落地需要． 【分析】本题考查二次函数的应用，把函数解析式化为顶点式是解题关键． （1）把函数解析式化为顶点式，由函数性质求最值； （2）当时，求得，即可得到小球从飞出到落地需要的时间 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，h有最大值，最大值为20， ∴小球飞行的最大高度是； （2）解：当时，得， 解得：或0， 答：小球从飞出到落地需要． 8．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某衬衫的进价为每件40元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件衬衫的售价上涨1元，则每个月少卖2件（每件售价不能高于105元），设每件衬衫的售价上涨元（为正整数），每个月的销售利润为元． (1)求月利润为7000元时，每件衬衫的售价； (2)求每件衬衫的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？ 【答案】(1)每件衬衫的售价90元 (2)每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题，根据利润=一件的利润×销售量，建立函数关系式，借助二次函数解决实际问题是解题关键． （1）设每件衬衫的售价上涨x元，则且（即），即可求解； （2）由结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设每件衬衫的售价上涨x元，由题意得： 且（即）， 解得：（舍弃）， ∴， 答：每件衬衫的售价90元 （2）解：每件衬衫的售价上涨x元，月利润是y元， 则， ∴，开口向下， ， ∴当时，y有最大值，最大值为； 此时每件衬衫的售价为（元）， 答：每件衬衫的售价定为100元时，每个月可获得最大利润，最大月利润7200元． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在水平地面点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球飞行路线是一条抛物线，在地面上落点为B，小武在直线上点C（靠点B一侧）竖直向上摆放若干个无盖的圆柱形桶，已知米，米，网球飞行最大高度米，圆柱形桶的直径为米，高为米（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）．当竖直摆放圆柱形桶至少 个时，网球能落入桶内． 【答案】5 【分析】本题考查了抛物线的问题，解题的关键是需要建立适当的平面直角坐标系，根据已知条件，求出相关点的坐标，确定解析式，这是解答其它问题的基础． 以抛物线的对称轴为轴，水平地面为轴，建立平面直角坐标系，设解析式，结合已知确定抛物线上点的坐标，代入解析式确定抛物线的解析式，由圆桶的直径，求出圆桶两边缘纵坐标的值，确定的范围，根据为正整数，得出的值，即可得到当网球可以落入桶内时，竖直摆放圆柱形桶个数． 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图）， ，，， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点和点， ∴ ∴，， 抛物线解析式为：； 当时，； 当时，． ，在抛物线上； 设竖直摆放圆柱形桶个时网球可以落入桶内， 由题意，得，， 解得：， 为整数， 的最小整数值为：5， 竖直摆放圆柱形桶至少5个时，网球可以落入桶内． 故答案为：5． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数应用，建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．待定系数法求出函数表达式：；当时，；而点F、G的坐标分别为：，将点F的坐标代入得：，解得：；将点G的坐标代入，同理可解． 【详解】解：以点B为原点，建立如下直角坐标系， 由题意得，点，函数的顶点为：， 设抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，即上述抛物线向上平移1个单位，则抛物线的表达式为：， 当时，， 设抛物线的表达式为：， 而点F、G的坐标分别为：， 将点F的坐标代入得：， 解得：； 将点G的坐标代入得：， 解得：， 即， 故答案为：0.599，． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止本项目．某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为x轴，过起跳点A与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡与水平地面的夹角为，．某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其表达式为．    (1)问该运动员从A处跳出到B处着陆垂直下降了多少米？ (2)求运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离之间的函数表达式． (3)进一步研究发现：运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；在空中飞行后着陆．问当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大？最大是多少？ 【答案】(1)50米 (2) (3)；31.25米 【分析】本题考查用二次函数及一次函数解决实际问题，涉及到待定系数法确定函数关系式、二次函数的图像与性质、二次函数求最值等知识，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． （1）过作于，于，根据题意得出，即可求解； （2）根据题中所给信息，得出，，利用待定系数法列出关于的二元一次方程组求解即可得出结论； （3）作轴交抛物线于，交于，利用待定系数法确定直线的函数表达式，再由（1）得出抛物线表达式，求出，表示出运动员离着陆坡的竖直距离，根据抛物线的性质得出当时，有最大值为． 【详解】（1）解：过作于，于，如图所示：   ， 着陆坡的坡角为，即， ， 在中，， 则， ∴垂直下降了50米； （2） ， ，即，， 将，代入得， 解得， ∴； （3）作轴交抛物线于，交于，如图所示：    设直线的表达式为，将，代入得，解得， 即直线的表达式为， 由（1）知抛物线表达式为， ， 运动员离着陆坡的竖直距离， 由可知抛物线开口向下，当时，有最大值为． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如何拟定运动员拍照记录的方案？ 素材1 图1是单板滑雪运动员从大跳台滑雪场地滑出的场景，图2是跳台滑雪场地的横截面示意图．垂直于水平底面，点D到A之间的滑道呈抛物线型．已知，，且点B处于跳台滑道的最低处． 素材2 如图3，某运动员从点A滑出后的路径满足以下条件： ①运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同． ②该运动员在底面上方竖直距离处达到最高点P． ③落点Q在底面下方竖直距离． 素材3 高速摄像机能高度还原运动员的精彩瞬间，如图4，有一台摄像机M进行跟踪拍摄： ①它与点B位于同一高度，且与点B距离； ②运动过程需在摄像头视角范围内才能记录，记摄像头的俯角为α； ③在平面直角坐标系中，设射线的解析式为，其比 例系数k和俯角α的函数关系如图5所示．    问题解决 任务1 确定D、A之间滑道的形状 在图2中建立适当的平面直角坐标系，求滑道所在抛物线的函数表达式． 任务2 确定运动员达到最高点的位置 在同一平面直角坐标系中，求运动员到达最高处时与点A的水平距离． 任务3 确定拍摄俯角α 若要求运动员的落点Q必须在摄像机M的视角范围内，则俯角α至少多少度（精确到个位）？ 【答案】（1）；（2）6米；（3）俯角α至少15度 【分析】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象和性质，一次函数，根据题意建立适当的平面直角坐标系是解题的关键． 任务1：建立平面直角坐标系，设滑道所在抛物线的函数表达式为，将点代入求解即可； 任务2：建立平面直角坐标系，根据题意得出运动员滑出路径抛物线的函数表达式为，再求出时的值，得到的长，即可得到答案； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系，进而得出，，设与的函数解析式为，结合图象求出，设射线的解析式为，将，代入，求出的值即可． 【详解】解：任务1：如图，以点为原点，以所在的直线为轴建立平面直角坐标系， ，， ， 设滑道所在抛物线的函数表达式为， 则，解得：， 滑道所在抛物线的函数表达式为； 任务2：如图，以点所在的直线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，则， 运动员滑出路径与D、A之间的抛物线形状相同， 运动员滑出路径抛物线的函数表达式为， 把代入得，， 解得，即， 运动员到达最高处时与点的水平距离为； 任务3：如（2）建立平面直角坐标系， 落点Q在底面下方竖直距离， 把代入，得， 解得：， , ，，， ， ， 设与的函数解析式为， 由图象可知，， 解得：， ， ， 设射线的解析式为，即， 把，代入得：， 解得：， 答：俯角α至少15度． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）某公司销售某种电子产品，该产品的进价为元/件，根据市场调查发现，该产品每周的销售量（单位：件）与售价（单位：元/件）（为正整数）之间满足一次函数的关系，如表记录的是某三周的有关数据． （元/件） （件） (1)求与的函数表达式（不求自变量的取值范围）； (2)若某周该产品的销售量不少于件，求这周该商场销售这种产品获得的最大利润． 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，二次函数的应用，解题时要能读懂题意，根据等量关系或不等关系正确列出函数关系式和不等式是关键． （1）设与的函数表达式为，根据待定系数法即可求解； （2）设这周该商场销售这种产品获得的利润为，根据某周的销售量不少于件可得的取值范围，再列出关于的函数关系式，再根据二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴与的函数表达式为； （2）解：设这周该商场销售这种产品获得的利润为元， ∵销售量不少于件， ∴， 解得：， ∴ ， ∵， ∴在对称轴直线左侧，函数值随自变量的增大而增大， ∴时，有最大值，最大值为． ∴这周该商场销售这种产品获得的最大利润为元． 6．（24-25九年级上·浙江温州·期中）利用以下素材解决问题 超市饮料定价问题 素材1 大华超市降价销售某种饮料，每箱成本为40元，每日销售量（箱）与销售单价（元）之间存在一次函数关系，如右图所示． 素材2 该饮料定价范围为45元至65元（包含45和65）． 素材3 为增加销量，超市每天有10箱饮料用来试喝． 任务1 求关于的函数关系式． 任务2 当单价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 任务3 扣除赠饮成本后，要保证每天利润不少于1200元，求售价的取值范围． 【答案】任务一：；任务二：当单价定为65元时，每天获利最大，最大利润为1750元；任务三： 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），实际问题与二次函数（销售问题）等知识点，根据题中的数量关系正确列出函数表达式是解题的关键． （1）设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）设每日利润为元，根据“总利润单件利润每日销量”列出二次函数解析式，求最值即可； （3）先求出时的的值，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：任务一：设关于的函数解析式为， 将，代入解析式，得： ， 解得：， 关于的函数解析式为：； 任务二：设每日利润为元，根据题意得： ， ∵不在之内， 且在时，随的增大而增大， ∴当时，每天获得的利润最大，， 答：当单价定为65元时，每天获得的利润最大，最大利润是1750元； 任务三：由题意可得：， 整理，得：， 解得：，， ∵函数图象开口向下， ∴． 7．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【答案】(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 8．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【分析】本题考查了一次函数解析式的确定，二次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可列出w与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（2023·浙江·中考真题）一个球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是（    ） A．5 B．10 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：球弹起后又回到地面时，即， 解得（不合题意，舍去），， ∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2， 故选：D 【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值，读懂题意，得到方程是解题的关键． 2．（2023·浙江湖州·中考真题）某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格x（元/千克） 50 40 日销售量y（千克） 100 200 (1)试求出y关于x的函数表达式． (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，由表中数据即可得出结论； （2）根据每日总利润=每千克利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设y关于x的函数表达式为． 将和分别代入，得： ， 解得：， ∴y关于x的函数表达式是：； （2）解：， ∵， ∴当时，在的范围内， W取到最大值，最大值是2250． 答：销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大日销售利润是2250元． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式． 3．（2023·浙江·中考真题）根据以下素材，探究完成任务． 如何把实心球掷得更远？ 素材1 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．    素材2 根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方处（如图）架起距离地面高为的横线．球从点A处被抛出，恰好越过横线，测得投掷距离．    问题解决 任务1 计算投掷距离 建立合适的直角坐标系，求素材1中的投掷距离． 任务2 探求高度变化 求素材2和素材1中球的最大高度的变化量 任务3 提出训练建议 为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议． 【答案】任务一：4m；任务二：；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角 【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到； 任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可； 任务三：根据题意给出合理的建议即可． 【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，      由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴素材1中的投掷距离为4m； （2）建立直角坐标系，如图，    设素材2中抛物线的解析式为， 由题意得，过点， ∴， 解得， ∴ ∴顶点纵坐标为， （m）， ∴素材2和素材1中球的最大高度的变化量为； 任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键． 4．（2023·浙江台州·中考真题）【问题背景】 “刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置． 【实验操作】 综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表： 流水时间t/min 0 10 20 30 40 水面高度h/cm（观察值） 30 29 28.1 27 25.8 任务1  分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量． 【建立模型】 小组讨论发现：“，”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．    任务2  利用时，；时，这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式． 【反思优化】 经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小． 任务3  （1）计算任务2得到的函数解析式的w值． （2）请确定经过的一次函数解析式，使得w的值最小． 【设计刻度】 得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间． 任务4  请你简要写出时间刻度的设计方案． 【答案】任务1：见解析；任务2：；任务3：（1），（2）；任务4：见解析 【分析】任务1：根据表格每隔10min水面高度数据计算即可； 任务2：根据每隔10min水面高度观察值的变化量大约相等，得出水面高度h与流水时间t的是一次函数关系，由待定系数法求解； 任务3：（1）先求出对应时间的水面高度，再按要求求w值； （2）设，然后根据表格中数据求出此时w的值是关于k的二次函数解析式；由此求出w的值最小时k值即可； 任务4：根据高度随时间变化规律，以相同时间刻画不同高度即可，类似如数轴三要素，有原点、正方向与单位长度．最大量程约为294min可以代替单位长度要素． 【详解】解：任务1：变化量分别为，；； ；； 任务2：设， ∵时，，时，； ∴ ∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为． 任务3：（1）当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ． （2）设，则 ． 当时，w最小． ∴优化后的函数解析式为． 任务4：时间刻度方案要点： ①时间刻度的0刻度在水位最高处； ②刻度从上向下均匀变大； ③每0.102cm表示1min（1cm表示时间约为9.8min）． 【点睛】本题主要考查一次函数和二次函数的应用、方差的计算，熟练掌握待定系数法求解析式及一次函数的函数值、二次函数的最值是解题的关键． 5．（2022·浙江衢州·中考真题）如图1为北京冬奥会“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．取水平线为轴，铅垂线为轴，建立平面直角坐标系．运动员以速度从点滑出，运动轨迹近似抛物线．某运动员7次试跳的轨迹如图2．在着陆坡上设置点（与相距32m）作为标准点，着陆点在点或超过点视为成绩达标． (1)求线段的函数表达式（写出的取值范围）． (2)当时，着陆点为，求的横坐标并判断成绩是否达标． (3)在试跳中发现运动轨迹与滑出速度的大小有关，进一步探究，测算得7组与 的对应数据，在平面直角坐标系中描点如图3． ①猜想关于的函数类型，求函数表达式，并任选一对对应值验证． ②当v为多少m/s时，运动员的成绩恰能达标（精确到1m/s)？ （参考数据：，） 【答案】(1)（8≤x≤40） (2)的横坐标为22.5，成绩未达标 (3)①a与成反比例函数关系，，验证见解析；②当m/s时，运动员的成绩恰能达标 【分析】（1）根据图像得出CE的坐标，直接利用待定系数法即可求出解析式； （2）将代入二次函数解析式，由解出x的值，比较即可得出结果； （3）由图像可知，a与成反比例函数关系，代入其中一个点即可求出解析式，根据CE的表达式求出K的坐标（32，4），代入即可求出a，再代入反比例函数即可求出v的值． 【详解】（1）解：由图2可知：， 设CE：， 将代入， 得：，解得， ∴线段CE的函数表达式为（8≤x≤40）． （2）当时，，由题意得， 解得                                    ∴的横坐标为22.5． ∵22.5＜32， ∴成绩未达标． （3）①猜想a与成反比例函数关系． ∴设 将（100，0.250）代入得解得， ∴． 将（150，0.167）代入验证：， ∴能相当精确地反映a与的关系，即为所求的函数表达式． ②由K在线段上，得K（32，4），代入得，得 由得， 又∵， ∴， ∴当m/s时，运动员的成绩恰能达标． 【点睛】本题考查二次函数的应用，二次函数与一次函数综合问题，解题的关键在于熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用二次函数与一次函数的性质解决问题． 6．（2023·浙江温州·中考真题）一次足球训练中，小明从球门正前方的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．      (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？ 【答案】(1)，球不能射进球门 (2)当时他应该带球向正后方移动1米射门 【分析】（1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门； （2）设小明带球向正后方移动米，则移动后的抛物线为， 把点代入得， 解得（舍去），， ∴当时他应该带球向正后方移动1米射门． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识，读懂题意，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 7．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口离地竖直高度为（单位：）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到的距离为（单位：）． (1)若，； ①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程； ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围； (2)若．要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①,；②；③ (2) 【分析】（1）①根据顶点式求上边缘二次函数解析式即可； ②设根据对称性求出平移规则，再根据平移规则由C点求出B点坐标； ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，则上边缘抛物线至少要经过F点，下边缘抛物线，计算即可； （2）当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上，设出D、F坐标计算即可． 【详解】（1）（1）①如图1，由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设． 又∵抛物线经过点， ∴， ∴． ∴上边缘抛物线的函数解析式为． 当时，， ∴，（舍去）． ∴喷出水的最大射程为．              图1 ②∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， 即点是由点向左平移得到，则点的坐标为． ③如图2，先看上边缘抛物线， ∵， ∴点的纵坐标为0.5． 抛物线恰好经过点时， ． 解得， ∵， ∴． 当时，随着的增大而减小， ∴当时，要使， 则． ∵当时，随的增大而增大，且时，， ∴当时，要使，则． ∵，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带， ∴的最大值为． 再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是， ∴的最小值为2． 综上所述，的取值范围是． （2）的最小值为． 由题意得是上边缘抛物线的顶点， ∴设上边缘抛物线解析式为． ∵上边缘抛物线过出水口（0，h） ∴ 解得 ∴上边缘抛物线解析式为 ∵对称轴为直线， ∴点的对称点的坐标为． ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴下边缘抛物线解析式为． 当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点，恰好分别在两条抛物线上， ∵DE=3 ∴设点，，， ∵D在下边缘抛物线上， ∴ ∵EF=1 ∴ ∴ ， 解得， 代入，得． 所以的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用中的喷水问题，构造二次函数模型并把实际问题中的数据转换成二次函数上的坐标是解题的关键． 8．（2022·浙江宁波·中考真题）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（，且x为整数）构成一种函数关系．每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克． (1)求y关于x的函数表达式． (2)每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？ 【答案】(1)（，且x为整数） (2)每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克 【分析】（1）由每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克，即可得求得解析式； （2）设每平方米小番茄产量为W千克，由产量=每平方米种植株数×单株产量即可列函数关系式，由二次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：∵每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克， ∴（，且x为整数）； （2）解：设每平方米小番茄产量为W千克， ． ∴当时，w有最大值12.5千克． 答：每平方米种植5株时，能获得最大的产量，最大产量为12.5千克． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $