第1章二次函数题型导航与特训-2025-2026学年浙教版数学九年级上册

第1章二次函数题型导航与特训-2025-2026学年数学九年级上册浙教版 题型导航 题型一：二次函数的识别与列关系式 题型二：根据二次函数定义求参数 题型三：二次函数参数大小比较 题型四：根据图象判断式子符号 题型五：二次函数的图象 题型六：二次函数的性质 题型七：实际问题与二次函数 题型八：二次函数综合 题型特训 题型一：二次函数的识别与列关系式 1．下列函数中，关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数，是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知与的平方成正比，当时，，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 4．跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 题型二：根据二次函数定义求参数 5．已知函数是二次函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．若关于的函数是二次函数，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．若是关于的二次函数，则的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．0 8．已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（　　） A． B．0 C． D．3 题型三：二次函数参数大小比较 9．已知二次函数的图象上有三点、、，则，，的大小关系是 （用“>”连接） 10．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为 ． 11．设点、是抛物线（k是常数）的图象上两点，则、的大小关系是 ．（用“”连接） 12．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是 （用“<”连接）． 题型四：根据图象判断式子符号 13．已知二次函数的图象如图所示，并且关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正确的个数有 ．    14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图．则有以下5个结论：①a＜0；②b2-4ac＜0；③b=-2a；④当0＜x＜2时，y＞0；⑤a-b+c＞0；其中正确的结论有： ．（写出你认为正确的序号即可） 15．如图，已知二次函数的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于C点，OA＝OC．则由抛物线的特征写出如下结论：①abc＞0；②＞0；③a﹣b+c＞0；④ac+b+1＝0．其中正确的是 ． 16．平面直角坐标系中有两条抛物线l1：y1＝ax2+bx+c与l2：y2＝cx2+bx+a，其中a＞c＞0．下列三个结论中：①如果抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0），那么（，0）是抛物线l2与x轴的一个交点；②如果当x＞0时y1随x的增大而增大，那么当x＞0时y2也随x的增大而增大；③如果y1＜y2，那么x的取值范围为﹣1＜x＜1．其中正确结论是 ． 题型五：二次函数的图象 17．在平面直角坐标系中，，，． (1)写出A，B两点分别关于y轴的对称点，的坐标． (2)画出以O为顶点并过A和B两点的抛物线图象． 18．已知二次函数（m是常数）的图象抛物线记为图象C．图象C经过点和点． (1)用m表示图象C的顶点坐标________； (2)若，则________，________，由此尝试比较大小：______； (3)若将第（2）问中条件“”改成“”，那么结论与的大小关系还成立吗？请说明理由． 19．定义：若一个函数上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则称该点为这个函数图象的“2倍点”，例如，点是函数的图象的“2倍点” (1)一次函数的图象的“2倍点”的坐标是_____，二次函数的图象的“2倍点”是_____； (2)若关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”，求的取值范围； (3)设关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”为，关于的函数（为常数）的图象上有两个“2倍点”为，，求，两点的坐标． 20．如图，点、、、在函数的图像上，且点、和点、分别关于轴对称，点的横坐标为，点的纵坐标为． (1)求点的纵坐标和点的横坐标，并写出点、的坐标 (2)在原图中，利用对称性，直接找特殊点，画出二次函数的图像． 题型六：二次函数的性质 21．如图，二次函数的图象交轴于点、，交轴于点． 根据图象回答问题： (1)______； (2)当时，二次函数的取值范围为______； (3)若一次函数的图象经过点，当时，的取值范围为______． 22．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C． (1)求点C的坐标； (2)在对称轴上找一点Q，使的周长最小，求点Q的坐标； (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求面积S的最大值及此时P点的坐标． 23．如图，抛物线L：（为常数），当抛物线L经过点，时． （1）抛物线L的顶点坐标为 ． （2）若时，函数的最大值与最小值的差总为，n的取值范围 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这条抛物线的解析式； (2)当时，求出函数值的取值范围； (3)当时，求函数值的最大值． 题型七：实际问题与二次函数 25．如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成长方形和长方形，且长方形与长方形面积比为，若栅栏的总长度为，请解决以下问题： (1)若设的长度为，则的长度可表示为_____，的长度可表示为_____，（用含的代数式表示） (2)当的长度为多少时，长方形养殖场总面积最大？最大为多少？ 26．某景区有一座美丽的彩虹桥，它的部分截面示意图如图所示，桥，钢缆，均呈抛物线型，线段为桥面，线段为立柱，关于所在直线对称．的最低点到的距离为，到的距离为．以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． (1)求所在抛物线的函数表达式； (2)如图所示，现需要在钢缆，上安装一条平行于桥面的加固构件，该加固构件距地面，请计算加固构件的长度； (3)现要悬挂两条灯带来增加夜景效果，均与垂直，点分别在上，点在上，点到的距离均为．已知所在抛物线的函数表达式为，求这两条灯带的总长． 27．文旅发展促进经济增长的同时，也带动了电器销售．一电器商场销售某品牌空调，该空调每台进价为2500元，已知该商场6月份售出75台空调，8月份售出108台空调． (1)求该商场7，8两个月售出空调数的月平均增长率； (2)调查发现，当该空调售价为3000元时，平均每天能售出8台；售价每降低50元，平均每天能多售出4台，该商场如何定价能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 28．如图①是古代的一种远程投石机，其投出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分．在如图②所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部（原点处），石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙．已知石块的运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． (1)求抛物线的表达式； (2)通过计算说明石块能否飞越城墙． 题型八：二次函数综合 29．如图，已知抛物线经过，三点，且与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）用配方法求抛物线的顶点的坐标和对称轴； （3）求四边形的面积． 30．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、，与轴相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内， ①若，求点的坐标； ②设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 31．图，抛物线与轴相交于，两点（点位于点的左侧），与轴相交于点，是抛物线的顶点且横坐标为1，点的坐标为（0，3），为线段上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴于点．若，的面积为．求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (3)是否存在点满足，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 32．如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点. (1)求a，b的值； (2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． （i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值； （ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第1章二次函数题型导航与特训-2025-2026学年数学九年级上册浙教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A C A B A D 1．D 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义，形如（其中）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．，分母有未知数，不是二次函数； B． ，最高次项次数不为2，不是二次函数； C． ，时最高次项次数不为2，不是二次函数； D． ，符合二次函数的定义，是二次函数； 故选：D． 2．D 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，形如（）的函数是二次函数． 根据二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是一次函数，最高次数为1，故不是二次函数； B．是反比例函数，故不是二次函数； C．是根式函数，故不是二次函数； D．形如，且，是二次函数，符合题意． 故选D． 3．A 【分析】本题考查求二次函数的解析式．根据题意，与的平方成正比，可设，再代入已知条件求出比例常数，即可得到函数关系式． 【详解】解；∵ 与成正比， ∴ 设（为常数）， 当时，， ∴ ， 解得，， ∴． 故选：A． 4．C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，函数为二次函数，则二次项系数必须不为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴二次项系数， ∴， 故选：A． 6．B 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义得到，即可求解． 【详解】解：由题意得， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了二次函数的定义：一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数，叫做二次函数其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，（a，b，c为常数，）也叫做二次函数的一般形式． 根据二次函数的定义，最高次项必须为二次且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且． 解方程得或． 又∵， ∴． ∴． 故选 ：A． 8．D 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，最高次项次数为2且系数不为零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，， ∴，， 解得， 故选：D． 9． 【分析】由二次函数可知对称轴为，图象开口朝上，在对称轴两侧时，则的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断，，的大小． 【详解】解：二次函数的对称轴为，开口朝上， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小． 10．/ 【分析】由抛物线解析式可知，抛物线的对称轴为，图象开口向上，两点在对称轴右边，随的增大而增大，故；三点中,点离对称轴最近，故最小． 【详解】解：由二次函数可知，对称轴为，图象开口向上， 可知，两点在对称轴右边, 随的增大而增大，由得, 三点中，点离对称轴最近，故最小. 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的增减性：当二次项系数时，在对称轴的左边，随的增大而减小，在对称轴的右边，随的增大而增大；时，在对称轴的左边，随的增大而增大，在对称轴的右边，随的增大而减小． 11． 【分析】根据抛物线的增减性解答即可． 【详解】解：∵抛物线， 又， ∴抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， ∵点关于直线的对称点坐标为， 而， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查抛物线的图象性质，熟练掌握抛物线的对称性和增减性是解题的关键． 12． 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据点到对称轴的距离远近即可解答． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，对称轴为直线，且图象开口向上， 点离对称轴距离越远函数值越大， ，，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查比较二次函数的函数值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，能够根据二次函数的顶点式得出抛物线的对称轴． 13．3个 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴的交点坐标等知识，逐个判断即可． 【详解】解：抛物线与轴有两个不同交点，因此，故（1）正确； 由开口方向可得，，对称轴在轴右侧，、异号，因此，与轴交点在负半轴，因此，所有，，因此（2）正确，（3）错误； 由关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，就是当时，对应抛物线上有两个不同的点，即，，，，由图象可知此时 因此（4）正确的， 综上所述，正确的有3个， 故答案为：3个． 【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握、、的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提． 14．①③④ 【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0，∴①正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac＞0，∴②错误； ∵抛物线对称轴为x=-=1， ∴b=-2a，∴③正确； 由抛物线的对称性知抛物线与x轴正半轴的交点横坐标大于2， ∵抛物线开口向下， ∴当0＜x＜2时，y＞0，∴④正确； ∵当x=1时，y＜0， ∴a-b+c＜0．∴⑤错误． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键． 15．①③④ 【分析】此题可根据二次函数的性质，结合其图象可知：，，，再对各结论进行判断． 【详解】解：①观察图象可知，开口方上，对称轴在y轴右侧，根据“左同右异”可得，与轴交于负半轴， ，故正确； ②抛物线与轴有两个交点， ，即，故错误； ③当时，由图象知在第二象限， ，故正确； ④设，则， ，代入抛物线得，又， ，故正确； 故正确的结论有①③④三个． 故答案为①③④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 16．①②③ 【分析】①将（m,0）代入y1＝ax2+bx+c得到，推导出，得到是抛物线l2与x轴的一个交点；②当x＞0时y1随x的增大而增大，推出，从而得到，得到当x＞0时y2也随x的增大而增大；③如果y1＜y2，那么，得到，推出，得到-1<x<1 【详解】①∵抛物线l1与x轴的一个交点为（m，0）， ∴， 两边同除以， 得，， ∴是抛物线l2与x轴的一个交点，正确； ②∵，图象开口向上，对称轴为直线， 如果当x＞0时y1随x的增大而增大， ∴， ∴， 那么的图象开口向上，对称轴为直线，当x＞0时y2也随x的增大而增大，正确； ③如果， 那么， ∴， ∴， ∵a-c>0， ∴，， ∴-1<x<1，正确 故答案为①②③ 【点睛】本题综合考查了二次函数与一元二次方程，函数与不等式，函数值的增减性，解决此类问题的关键是熟练掌握函数与方程，函数与不等式的关系，函数值随自变量的变化关系 17．(1)， (2)见解析 【分析】本题考查坐标与图形变换-轴对称，二次函数的性质、画二次函数的图象，掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）根据点关于y轴对称的点的坐标特征“纵坐标相同，横坐标互为相反数”求解即可； （2）根据二次函数的对称性描点画图即可． 【详解】（1）解：∵A，B两点分别关于y轴的对称点为，，，， ∴，； （2）解：∵抛物线以O为顶点并过A和B两点， ∴该抛物线关于y轴对称，并经过，两点， 在平面直角坐标系中描点、连线可得抛物线，如图所示： 18．(1) (2)1，2， (3)还成立，理由见解析 【分析】本题考查了的图象与性质； （1）根据的性质求解即可； （2）当时，可求出、，然后把点A、B的横坐标分别代入函数解析式，求出、，即可求解； （3）根据的增减性求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：当时，， ∴； 当时，， ∴， ∴， 故答案为：1，2，； （3）解：还成立； 理由：在中，， ∴抛物线开口向上，在对称轴y轴的右侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∴． 19．(1)；和 (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的应用、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是，二次函数的图象的“2倍点”的坐标是，分别代入求出的值，由此即可得； （2）设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，再根据这个方程有两个不相等的实数根求解即可得； （3）设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是，则可得，根据这个方程有两个相等的实数根即可得的值，则可得点的坐标，再代入函数可得的值，然后设点的坐标为，代入函数求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：设一次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得， ∴一次函数的图象的“2倍点”的坐标是； 二次函数的图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，解得或， 当时，；当时，， ∴二次函数的图象的“2倍点”的坐标是和， 故答案为：；和． （2）解：设关于的二次函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的二次函数（为常数）的图象上存在两个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得． （3）解：设关于的函数（为常数）图象的“2倍点”的坐标是， 将点代入得：，即， ∵关于的函数（为常数）的图象上有且只有一个“2倍点”， ∴关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴这个方程根的判别式， 解得， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 将点代入函数得：，解得， ∴这个函数的解析式为， 设点的坐标为， 将点代入函数得：， 解得或（即为点的横坐标）， ∴点的坐标为． 20．(1)点的纵坐标为，点的横坐标为，， (2)图见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的性质是解决本题的关键． （1）根据点在函数的图像上，可得点的坐标，再根据点的纵坐标为和点、分别关于轴对称即可得解； （2）根据二次函数的对称性进行画图即可． 【详解】（1）解：点在函数的图像上， 当时，， ， 点的纵坐标为， 点、关于轴对称， , 点在函数的图像上，点、关于轴对称， 当时，， 解得， 、， 点的横坐标为； （2）解：∵和关于x轴对称， ∴画图如下所示 21．(1)15 (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）求得点A、B、C的坐标，然后根据三角形的面积公式，即可解答； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，得到该抛物线的顶点坐标为，最大值为9，结合当和时的函数值，即可解答； （3）先利用待定系数法求得该一次函数的表达式，再联立两个解析式，求得该一次函数和二次函数的另一个交点的横坐标，然后结合图象找到二次函数的图象在一次函数的图象的上方时，x的取值范围，即可解答． 【详解】（1）解：令，则， ∴， 令，则， 解得，， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：15； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，最大值为9， 由（1）可知，当时，，当时，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∴一次函数的解析式为， ， 解得，， ∴一次函数与二次函数的另一个交点的横坐标为， 由图象可知，当时，二次函数的图象在一次函数的图象的上方， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 22．(1)； (2)； (3)的最大值为，此时． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，三角形的周长及面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）令，求得，即可得出点的坐标； （2）连接交对称轴于点，先求出抛物线的对称轴为直线，根据关于对称轴对称，得到，则，得到当三点共线时，的周长最小，再求出直线的解析式为，即可求出答案； （3）过点作轴交于点，设点坐标为，则，则，得到，∴当时，的最大值为，此时． 【详解】（1）解：当时 ， ∴； （2）解：连接交对称轴于点，如图： 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴对称， ， ， 当三点共线时，的周长最小， ， 设直线的解析式为， ， ， 当时，， ； （3）解：过点作轴交于点，如图： 设点坐标为，则， ， ， 当时，的最大值为， 此时． 23． 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系，熟知上述性质是解题的关键． （1）利用点两点关于对称轴对称，可得顶点坐标，且可求得b的值，再解方程即可求得抛物线L与x轴在原点右侧的交点坐标； （2）利用二次函数的性质，进行解答即可． 【详解】解：（1）抛物线L经过点， ∴抛物线L的对称轴为直线， ， 的函数表达式为． 当时，． ∴抛物线L的顶点坐标为， 故答案为：； （2）与y轴交于点， 则点关于直线的对称点为， 抛物线L的开口向上， ∴当时，抛物线L上的最低点的纵坐标总是， 最低点总是，两个点的竖直距离总为， 当时，函数的最大值与最小值的差总为． 故答案为：． 24．(1)抛物线的解析式为 (2)的取值范围是 (3)当时，的最大值为，当时，的最大值为16 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把点，代入进行计算，即可作答． （2）先根据得出对称轴为直线，抛物线开口向上，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． （3）理解题意，根据，进行分类讨论，运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点，． ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得抛物线的解析式为； ∴对称轴为直线， 又， ∴抛物线开口向上， 当时，随的增大而减少； 当时，随的增大而增大． 则当时，， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是 （3）解：由（1）得抛物线的解析式为；对称轴为直线，抛物线开口向上， 当时，， 令， 解得，， 当时，随的增大而减少． 当时，随的增大而增大． ①当时，在有最大值 ②当时，在有最大值 综上所述，当时，的最大值为，当时，的最大值为16 25．(1)；； (2)当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）先求出，再根据长方形的面积公式以及二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积，长方形的面积，且长方形与长方形面积比为，设的长度为， ∴， 由图形可得，， ∴； （2）解：， ， ∵长方形养殖场总面积为， 当时，长方形养殖场总面积取得最大值，为， 故当的长度为时，长方形养殖场总面积最大，最大为． 26．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意知，所在抛物线的顶点为，且过，则可设其表达式为，求出a后即可得解； （2）依据题意，把代入，解方程从而可以判断得解； （3）依据题意，由点到的距离均为，则把代入得；把代入得，进而可以得解． 【详解】（1）解：由题意知，所在抛物线的顶点为，且过， ∴设其表达式为， ∴， 解得， ∴所在抛物线的函数表达式为； （2）解：把代入， 得， 解得，（舍）， ∴， ∴加固构件的长度为； （3）解：∵点到的距离均为， 把代入得， 把代入得， ∴， ∴这两条灯带的总长为． 27．(1) (2)空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元 【分析】（1）设月平均增长率为x，列出方程即可求解． （2）列出利润关于降价金额的二次函数，利用顶点式即可求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（舍）， 商场7、8两个月售出空调的月平均增长率为． （2）设该商场每台空调降价m元，则每天可多售台，每天的利润为w元， ， 当时，， ∴空调定价为2800元时，每天的利润最大，为7200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的应用，解题关键是理解题意，正确列出方程和函数关系式，会利用顶点式求出函数的最大值． 28．(1) (2)石块能飞越城墙 【分析】本题考查二次函数的应用，求出二次函数解析式是解题的关键． （1）根据顶点坐标设出顶点式，将C点坐标代入求解； （2）计算出时对应的y值，得出当到达城墙时，石块的高度，与比较大小即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为：， 将点代入得：， ∴． ∴石块运动轨迹所在抛物线的表达式为：． （2）解：当时，， 当到城墙时，石块高度为，， ， 石块能飞越城墙． 29．（1）；（2），；（3）15 【详解】试题分析：（1）已知了抛物线上三点的坐标，即可用待定系数法求出抛物线的解析式． （2）根据（1）的解析式按要求求解即可． （3）由于四边形ABDE不是规则的四边形，因此可将其分割成几个规则图形来求解． 方法不唯一：①可连接OD，将梯形的面积分割成三个三角形的面积进行求解． ②可过D作x轴的垂线，将梯形的面积分割成两个三角形和一个直角梯形进行求解． （1）抛物线经过三点 解得 抛物线解析式：． （2） 顶点坐标，对称轴：． （3） 连结，对于抛物线解析式 当时，得，解得：， ． 考点：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及图形面积的求法 点评：解答本题的关键是掌握不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差． 30．(1) (2)①；②点的坐标为，的最大值为 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）①求出点坐标，可得的长，即得的面积，设，表示出的面积，再根据列出方程解答即可求解；②过点作于点，使得，过点作轴交于点，可得是等腰直角三角形，即得，可得，当取最大值时，线段取最大值，利用待定系数法求出直线的函数解析，进而求出，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把、代入得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①当时，， 解得，， ∴， ∵、， ∴，， ∴， 设， ∵点在第一象限内， ∴，， ∵， ∴， 解得或（不合，舍去）， ∴； ②如图，过点作于点，使得，过点作轴交于点，则，，， ∵，， ∴， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值，此时，， ∴当线段最大时，点的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，随的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，随的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， 整理得，， ∴； 综上，的值为或． 31．(1) (2) (3)不存在，理由见解析． 【分析】（1）先根据对称轴求出b的值，再将点C坐标代入解析式可求c的值，即可求解； （2）先求出点M，点B的坐标，利用待定系数法可求BM解析式，由三角形的面积公式可求解； （3）假设，用两点间距离公式列出关于m的方程，再求解即可． 【详解】（1）由题意知抛物线的对称轴为直线， ∴． 又∵抛物线与y轴的交点为， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴顶点． 令y=0，则有， 解得x1=-1，x2=3， ∴A（-1，0），B（3，0）， 设直线的解析式为，将代入， 得 解得 ∴直线的解析式为． ∵轴且， ∴， ∴的面积． ∵点P在线段上，且， ∴， 故S与m之间的函数关系式为． （3）当时，由勾股定理可得． 解得或，均不符合题意，舍去． 综上所诉，不存在满足的点P 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 32．(1) (2)（i）9；（ii）8 【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键． （1）根据题意得到，解方程组即可得到答案； （2）（i）求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的    D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案； （ii）设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值． 【详解】（1）解：把点代入得到，① ∵是抛物线的对称轴且交x轴于点. ∴，② 联立①②得， 解得 （2）（i）由（1）可得，， 当时，， 当时，，解得，， ∴点B的坐标是， ∴， 过点P作轴，交线段于点Q， ∵ ∴点的    D的坐标是， ∴ ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， ∴四边形面积， ∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间． ∴， ∴当时，有最大值，最大值为9； （ii）设点P的坐标为， 设设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， ∴ ∴， 设的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点E的坐标是， ∴， ∴ 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $