24.1.2 垂直于弦的直径 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.1.2 垂直于弦的直径 一．选择题（共7小题） 1．（2025•岳麓区校级三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（　　） A． B．3 C． D．4 2．（2025•天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2025•湖北模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 4．（2025•东莞市校级三模）如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　） A．13m B．15m C．20 m D．26m 5．（2025•西宁一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则AE的长为（　　） A．3 B．8 C．12 D．8 6．（2025•玉林三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为（　　） A．6.5寸 B．12寸 C．13寸 D．26寸 7．（2025•江阳区校级二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 二．填空题（共5小题） 8．（2025•嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　 　 ． 9．（2025•惠山区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则AE的长为 　 　 ． 10．（2025•东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　 　 ． 11．（2025•深圳校级三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 　 　 m．（结果保留π） 12．（2025•雨花区校级三模）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器，图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图，若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm，竖直高度CD为3cm，则⊙O的半径为 　 　 cm． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•迎江区三模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝2，求⊙O的半径． 14．（2024秋•阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）． 15．（2024秋•清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 24.1.2 垂直于弦的直径 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 1．（2025•岳麓区校级三模）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，BC∥OA，若BC＝6，则OD的长为（　　） A． B．3 C． D．4 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】图形的全等；圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】B 【分析】由垂径定理得到AD＝BD，由平行线的性质推出∠A＝∠B，∠O＝∠C，判定△AOD≌△BCD（AAS），推出OD＝CD，OA＝BC＝6，即可求出OD的长． 【解答】解：∵半径OC⊥AB， ∴AD＝BD， ∵BC∥OA， ∴∠A＝∠B，∠O＝∠C， ∴△AOD≌△BCD（AAS）， ∴OD＝CD，OA＝BC＝6， ∴ODOCOA＝3． 故选：B． 【点评】本题考查垂径定理，全等三角形的判定和性质，关键是判定△AOD≌△BCD（AAS）． 2．（2025•天心区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】B 【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴CH＝DHCD8＝4， ∵直径AB＝10， ∴OC＝5， 在Rt△OCH中，OH3， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 3．（2025•湖北模拟）如图，已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．21 B．22 C．23 D．24 【考点】垂径定理；矩形的性质． 【专题】矩形 菱形 正方形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】D 【分析】过O作OH⊥BC于H，连接OC，由垂径定理得到BC＝2CH，求出OD＝OE﹣DE＝3，判定四边形OHCD是矩形，得到CH＝OD＝3，求出BC＝6，由勾股定理求出CD＝4，即可得到矩形ABCD的面积． 【解答】解：过O作OH⊥BC于H，连接OC， ∴BC＝2CH， ∵圆O的半径长是5， ∴OC＝OE＝5， ∵ED＝2， ∴OD＝OE﹣DE＝3， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠CDO＝∠DCH＝90°， ∵∠CHO＝90°， ∴四边形OHCD是矩形， ∴CH＝OD＝3， ∴BC＝2CH＝6， ∵CD4， ∴矩形ABCD的面积＝BC•CD＝6×4＝24． 故选：D． 【点评】本题考查矩形的性质，垂径定理，勾股定理，关键是由垂径定理得到BC＝2CH，判定四边形OHCD是矩形，得到CH＝OD． 4．（2025•东莞市校级三模）如图是某座桥的设计图，设计数据如图所示，桥拱是圆弧形，则桥拱的半径为（　　） A．13m B．15m C．20 m D．26m 【考点】垂径定理的应用． 【答案】A 【分析】如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H． 根据垂径定理和勾股定理求解． 【解答】解：如图，桥拱所在圆心为E，作EF⊥AB，垂足为F，并延长交圆于点H． 由垂径定理知，点F是AB的中点．由题意知，FH＝10﹣2＝8，则AE＝EH，EF＝EH﹣HF． 由勾股定理知，AE2＝AF2+EF2＝AF2+（AE﹣HF）2，解得AE＝13m． 故选：A． 【点评】本题利用了垂径定理和勾股定理求解．渗透数学建模思想． 5．（2025•西宁一模）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接BO并延长交⊙O于点E，连接AE，若AB＝6，CD＝1，则AE的长为（　　） A．3 B．8 C．12 D．8 【考点】垂径定理． 【专题】常规题型． 【答案】B 【分析】设⊙O的半径为R，由OD⊥AB，根据垂径定理得AC＝BCAB＝4，在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1，根据勾股定理得到（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5，则OC＝1，由于OC为△ABE的中位线，即可求出AE的长度． 【解答】解：设⊙O的半径为R，如图， ∵OD⊥AB， ∴AC＝BCAB6＝3， 在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣1， ∵OC2+AC2＝OA2， ∴（R﹣1）2+32＝R2，解得R＝5， ∴OC＝5﹣1＝4， ∴AE＝2OC＝8， 故选：B． 【点评】本题主要考查了垂径定理以及三角形中位线定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求出OC的长度，此题难度不大． 6．（2025•玉林三模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸，则直径AB长为（　　） A．6.5寸 B．12寸 C．13寸 D．26寸 【考点】垂径定理的应用；勾股定理的应用． 【专题】与圆有关的计算；推理能力． 【答案】D 【分析】先根据垂径定理得出EC＝ED＝5寸，再由勾股定理得出r的值，进而可得出结论． 【解答】解：设OA＝OB＝r寸， ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，EB＝1寸，CD＝10寸， ∴EC＝ED＝5寸， ∵OC2＝CE2+OE2， ∴r2＝52+（r﹣1）2， ∴r＝13， ∴AB＝2×13＝26（寸）． 故选：D． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 7．（2025•江阳区校级二模）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（　　） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【考点】垂径定理的应用． 【专题】与圆有关的位置关系；运算能力． 【答案】B 【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，由垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后即可计算出DE的长． 【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图， ∴AE＝BEAB8＝4， 在Rt△AEO中，OE3， ∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m）， 答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m． 故选：B． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，能熟练应用垂径定理是解决问题的关键． 二．填空题（共5小题） 8．（2025•嵊州市模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，连结OC，则OC的长为 　5　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】5． 【分析】设圆的半径是r，由垂径定理得到CECD＝4，由勾股定理得到r2＝（8﹣r）2+42，求出r＝5，即可得到OC的长． 【解答】解：设圆的半径是r，则OC＝OA＝r， ∴OE＝AE﹣AO＝8﹣r， ∵直径AB⊥CD， ∴CECD8＝4， ∵OC2＝OE2+CE2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， ∴r＝5， ∴OC＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由以上知识点得到关于r的方程． 9．（2025•惠山区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AC＝CD，如果，则AE的长为 　3　 ． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力． 【答案】3． 【分析】先根据垂径定理得到CE＝DE，然后在Rt△ACE中利用勾股定理可计算出AE的长． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴CE＝DECD2， ∵AC＝CD＝2， ∴AE3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 10．（2025•东营模拟）如图，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4），点P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为 　14　 ． 【考点】垂径定理；关于原点对称的点的坐标． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】14． 【分析】连接OP，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OPAB，即AB＝2OP，当OP取得最大时，AB有最大值，当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，即可求出AB的最大值． 【解答】解：连接OP，如图： ∵点A、点B关于原点O对称， ∴OA＝OB， ∵PA⊥PB， ∴OPAB，即AB＝2OP， 当OP取得最大时，AB有最大值， ∵点P是⊙M上的任意一点， ∴当点P在OM的延长线上与⊙M交于点P时，OP最大，如图： ∵⊙M的半径为2，圆心M的坐标为（3，4）， ∴OP'2＝7， ∴AB的最大值为14． 故答案为：14． 【点评】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，关于原点对称的点，勾股定理，确定何时AB有最大值是解题关键． 11．（2025•深圳校级三模）如图某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，并在门洞外侧沿圆弧形边缘装一条灯带．如图，已知矩形的宽为2m，高为，圆弧所在的圆外接于矩形，则需要的灯带的长度至少是 　　 m．（结果保留π） 【考点】垂径定理的应用；矩形的性质． 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力． 【答案】． 【分析】利用勾股定理先求得圆弧形的门洞的直径BC，再利用矩形的性质证得△COD是等边三角形，得到∠COD＝60°，进而求得门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°，利用弧长公式即可求解． 【解答】解：如图，连接AD，BC，交于O点， 由条件可知BC是直径， ∴BC4， ∵四边形ABDC是矩形， ∴OC＝ODBC＝2， ∵CD＝2， ∴OC＝OD＝CD， ∴∠COD＝60°， ∴门洞的圆弧所对的圆心角为360°﹣60°＝300°， ∴改建后门洞的圆弧长是（m）， 故答案为：． 【点评】本题考查了弧长公式，矩形的性质以及垂径定理的应用，从实际问题转化为数学模型是解题的关键． 12．（2025•雨花区校级三模）圆底烧瓶是化学实验中常用的反应容器，图1是一个装有液体的圆底烧瓶（厚度忽略不计），图2是它的侧面示意图，若烧瓶中液体水平宽度AB为12cm，竖直高度CD为3cm，则⊙O的半径为 　　 cm． 【考点】垂径定理的应用． 【专题】圆的有关概念及性质；应用意识． 【答案】． 【分析】由垂径定理得到ADAB＝6cm，设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm，OD＝OC﹣CD＝x﹣3（cm），在△AOD中，根据勾股定理有AD2+OD2＝OA2，代入即可解答． 【解答】解：连接AO， ∵OC⊥AB，AB＝12cm， ∴ADAB＝6cm， 设⊙O的半径为x cm，则OA＝OC＝x cm， ∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣3）（cm）， 在△AOD中，AD2+OD2＝OA2， 即62+（x﹣3）2＝x2， 解得：x， ∴⊙O的半径为cm． 故答案为：． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理以及勾股定理的运用． 三．解答题（共3小题） 13．（2025•迎江区三模）如图，在⊙O中，AB、AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G． （1）求证：ED＝EG； （2）若，OG＝2，求⊙O的半径． 【考点】垂径定理；勾股定理． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）先证明∠C＝∠GBE，根据，得出∠C＝∠DBE，证明∠GBE＝∠DBE，根据∠GEB＝∠DEB＝90°，得出∠BGE＝∠BDE，得出BD＝BG，根据等腰三角形的性质即可得出答案； （2）连接OA，设OA＝r，得出DG＝r+2，求出，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出OE2+AE2＝OA2，即，求出r的值即可． 【解答】（1）证明：如图，连接BD， ∵AB⊥CD于E，BF⊥AC于F， ∴∠CFG＝∠GEB＝90° 又∵∠CGF＝∠BGE， ∴∠C＝∠GBE， ∵， ∴∠C＝∠DBE， ∴∠GBE＝∠DBE， ∵AB⊥CD， ∴∠GEB＝∠DEB＝90°， ∴∠BGE＝∠BDE， ∴BD＝BG， 又∵BE⊥DG， ∴ED＝EG； （2）解：如图，连接OA，设OA＝r，则DG＝r+2， ∴， ∴， ∵AB⊥CD于E，， ∴， 在Rt△OEA中，OE2+AE2＝OA2， 即， 解得或r＝﹣6（舍）． 即⊙O的半径为． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 14．（2024秋•阜平县期末）中式古典园林中大部分月亮门（如图1）可以看作圆的一部分，图2是一个月亮门的示意图，E是⊙O上一点，EM经过圆心O，且EM⊥弦CD，垂足为M，已知CD＝2m，EM＝3m． （1）不添加辅助线，直接写出图中一对长度相等的线段； （2）求这个月亮门的最大宽度（⊙O的直径）． 【考点】垂径定理；勾股定理的应用． 【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力． 【答案】（1）CM＝DM； （2）m． 【分析】（1）由垂径定理，即可得到答案； （2）由勾股定理得到r2＝（3﹣r）2+12，求出r，即可得到这个月亮门的最大宽度． 【解答】解：（1）∵EM经过圆心O，且EM⊥弦CD， ∴CM＝DM； （2）连接OC，设⊙O的半径是r m， ∴OM＝EM＝OE＝（3﹣r）m， 由（1）知CMCD2＝1（m）， ∵OC2＝OM2+CM2， ∴r2＝（3﹣r）2+12， ∴r， ∴这个月亮门的最大宽度是2r＝2（m）． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理的应用，关键是由垂径定理得到CM＝DM，由垂径定理、勾股定理列出关于r的方程． 15．（2024秋•清苑区期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【考点】垂径定理的应用． 【专题】圆的有关概念及性质；运算能力． 【答案】（1）5米； （2）2米． 【分析】（1）作OD⊥AB于点E，根据垂径定理得AE＝3米，设圆的半径为r米，根据勾股定理得AE2+OE2＝OA2，即可求出答案； （2）当AB＝8米时，AE＝4，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D， 则AEAB＝3米，DE＝1米， 设圆的半径为r米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴32+（r﹣1）2＝r2， 解得r＝5， ∴该圆的半径为5米； （2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴42+OE2＝52， ∴OE＝3米， ∴DE＝5﹣3＝2（米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $