24.1.2 第1课时 垂径定理及其推论-【鹰击长空】2025-2026学年九年级全一册数学课堂小结（人教版）

即∠C= 3∠AOE. OA∥PE, ∴.∠CPO=∠AOP 能力提升 ∠APO=∠AOP 7.解因为⊙O的半径为4，点A',B分别是点A,B关于 ..AP-AO ⊙O的反演，点，点B在⊙O上，OA=8, (2)解过点O作OH⊥AB于点H. 所以OA'·OA=16,解得OA'=2.同理可知，OB=4, 所以，点B的反演点B'与B重合.设OA交⊙O于点 由垂径定理，得AH=BH=号AB=12. M,连接B'M,如图 ,'.PH=AP+AH=AO+AH=13+12=25 因为∠BOA=60°，OM=OB', 在Rt△AH0中，OH=√OA-A平=√/132-12=5. 所以△OB'M为等边三角形， 在Rt△OPH中，OP=√O+P=√5+25=5√26. 又OA'=A'M=2, 所以A'B'⊥OM, 第2课时垂径定理的应用 所以在Rt△OB'A'中， 知识梳理 根据勾股定理，得OB2=OA2+A'B2, 1.两个三个 即16=4+A'B2,解得A'B'=2√3. 2.垂径定理勾股定理 对点练习 24.1.2垂直于弦的直径 1.B2.200 3.解如图，依题意得AB=6分米，CD=8分米，过，点O作 第1课时垂径定理及其推论 AB的垂线，垂足为E,交CD于点F,连接OA,OC,由垂 知识梳理 径定理，得AE-AB=3分米，CP=2CD=4分未， 1.轴对称对称轴 2.弦两条弧 3.弦两条弧 对点练习 设OE=x分米，则OF=(x一1)分米 1.B2.D3.D4.B5.C6.D7.C 在Rt△OAE中，OA2=AE+OE, 8.证明：OD平分弦AB,OE平分弦AC, 在Rt△OCF中，OC2=CF2十OF2. .OD⊥AB,OE⊥AC. .OA=OC, ..∠D+∠DMB=90°，∠E+∠ENC=90°. ,∴.32十x2=42+(x-1)2, .OD=OE, 解得x=4, ∠D=∠E. ..半径OA=/32+4=5(分米)， .∠DMB=∠ENC, '.直径MN=2OA=10(分米). 即∠AMN=∠ANM. 课后作业 .∴.AM=AN. 1.B2.A3.C4.85.2.6 课后作业 6.解（1)作图略 1.B2.C3.84.(6,0)5.25 (2)连接OC,交AB于点D.则OC⊥AB 6.解过点O作OE⊥AB于，点E,则OE⊥CD,连接OC,OA, 且OC平分线段AB. 由题意，得OE=6, AD=2AB=30m连接OA,设⊙的半径为rm ∴.CE=√OC-OE=√82-62=2√7， ∴.OC=OA=rm. AE=√OA-OE=√102-62=8. ..OD=OC-CD=(r-10)m. .AC=AE-CE=8-2√T. 在Rt△AOD中， 能力提升 ,OD2+AD2=0A2, 7.(1)证明：PG平分∠EPF, .(r-10)2十302=r2,解得r=50. .∠CPO=∠APO ∴.AB所在圆的半径为50m. 53 7.解如图，作OF⊥CD,垂足为F,交AB于点P,交孤 又，PQ⊥AB,且AB是直径， AB于点E,连接OB,OD,设⊙O的半径为r,依题意可 ∴PA=AQ, 知：PF=120-110=10(cm),EF=20-10=10(cm), ..PA=AQ=PC, DF-CD=30 cm. .PQ=AC,即PQ=AC. 6.证明如图，连接OC,OD. 在Rt△OFD中，OD=rcm,OF=(r-10)cm,DF=30cm, .r2=(r-10)2+302,.r=50cm. 在Rt△OPB中，OB=50cm,OP=50-20=30(cm), .BP=√/502-302=40(cm), .AB=2BP=80cm,即盆口圆的直径AB=80cm. 0 、BM M,N分别是AO,BO的中点， 0M=20A,0N=20B, 110 120 .'OA=OB, ∴.OM=ON. CM⊥AB,DN⊥AB,OC=OD, G 能力提升 ,.Rt△COM≌Rt△DON. 8.解(1)连接OA.设圆孤所在圆的半径为rm由题意，得 .∠COM=∠DON, 即∠COA=∠DOB, AD=2AB=30m,0D=0P-PD=(-18)m ..AC=DB. 在Rt△AD0中，由勾股定理，得2=302十(r-18)2, 7.证明如图，连接AG,则在□ABCD中，AD∥BC 解得r=34. .圆孤所在圆的半径为34m. (2)连接OA'.由题意，得 OE=OP-PE=34-4-30(m), 在Rt△A'EO中，由勾股定理，得 B A'E=√A0-OE=√342-30=16(m), ∴.∠GAF=∠AGB,∠B=∠EAF. .A'B=2A'E=32m. 又在⊙A中，AB=AG, 32>30. ∴.∠AGB=∠B. 不需要采取紧急措施， ∴∠GAF=∠EAF. 24.1.3弧、弦、圆心角 ..EF-FG. 知识梳理 能力提升 1.圆心角2.相等相等3.相等相等相等相等 8.(1)证明，四边形ABCD是正方形， 对点练习 ..AB=CD,..AB=CD. 1.A2.B3.B4.A5.C6.60 :M为AD的中点，AM=DM, 7.证明，AB=CD, ..AB+AM-CD+DM, ∴.AB=CD, 即BM=CM,∴.BM=CM. ∴AB-BD=CD-BD, (2)解：⊙0的半径为2，.⊙0的周长为4π， AD=BC,即AD=BC. AM-DM-T AD-AB, 课后作业 1.C2.A3.30°4.AC=AE ∴BM=AB+AM-AB, 5.证明：为AC的中点， ..PA=PC. B的长为受×X4= 5424.1圆的有关性质 24.1.2垂直于弦的直径 第1课时 垂径定理及其推论 知识点二垂径定理 知识梳理ZHISHI SHUL 4.如图，在半径为5cm的⊙O 1.圆是 图形，任何一条直径所在直线 中，弦AB=6cm,OC⊥AB于 都是圆的 点C,则OC=( ) 2.垂直于弦的直径平分 ,并且平分弦所 A.3 cm B.4 cm 对的 C.5 cm D.6 cm 3.平分弦（不是直径）的直径垂直于 ,并且 5.如图，AB是⊙O的直径，弦 平分弦所对的 CD交AB于点P,AP=2, BP=6,∠APC=30°，则CD 对点练习DUIDIAN LIANXI 的长为( 知识点一 圆的对称性 A.15 B.2√5 C.2√15 D.8 1.下列说法正确的是() 6.(天津津南区期中)已知⊙O的半径为13cm, 弦AB∥CD,AB=24cm,CD=10cm,则 A.直径是圆的对称轴 AB,CD之间的距离为() B.经过圆心的直线是圆的对称轴 A.17 cm B.7 cm C.与圆相交的直线是圆的对称轴 C.12 cm D.17cm或7cm D.与半径垂直的直线是圆的对称轴 知识点三垂径定理的推论 2.下列说法不正确的是() 7.如图，⊙O的弦AB=6,C为AB A.圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 的中点，且OC=4,则⊙0的半 10 B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 径为( ) C.圆既是中心对称图形，又是旋转对称图形 A.8 B.6 D.当圆绕它的圆心旋转35°17'42"时，不会与 C.5 D.4 原来的圆重合 8.如图，在⊙O中，OD平分弦 3.如图所示，在⊙O中，直径MN⊥弦AB,垂足 AB,OE平分弦AC,求证： 为C,则下列结论错误的是() AM=AN. A.AC=CB B.AN=BN C.AM-BM D.OC=CN 65 数学九年级上册第二十四章圆 6.如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆 课后作业KEHOU ZUOYE 的弦AB交小圆于点C,D.若大圆的半径 1.如图，AB是⊙O的弦，半径OA=2,∠AOB R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线 120°，则弦AB的长为() AB的距离为6，求AC的长. A.2√2 B.23 C.√5 D.32 0 (第1题图) (第2题图) 2.如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的 ⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点 P(0,一7)的直线与⊙B相交于C,D两点，则 能力提升ese6→ 弦CD长的所有可能的整数值有( 7.(改编题)如图，射线PG平分∠EPF,O为射 A.1个 B.2个 线PG上一点，以点O为圆心，13为半径作 C.3个 D.4个 ⊙O,分别与∠EPF的两边相交于点A,B和 3.如图，⊙O的直径CD=10cm,AB是⊙O的弦， 点C,D.连接OA,OA∥PE AB⊥CD,垂足为M,OM:OC=3:5,则AB= (1)求证：AP=AO; cm. (2)若弦AB=24,求OP的长. B (第3题图) (第4题图) 4.如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A,B两 点，点P的坐标为(4,2)，点A的坐标为(2,0)， 则点B的坐标为 5.小敏利用课余时间制作了一个 脸盆架，如图是它的截面图，垂 直放置的脸盆与架子的交点为 A,B,AB=40cm,脸盆的最低 A 点C到AB的距离为10cm,则该脸盆的半径 为 cm. 66