5.4 角平分线的性质 第一课时 同步分层练习 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

湘教版数学 八年级上册5.4 角平分线的性质 第一课时 同步分层练习 一、夯实基础 1． 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD 是角平分线， 若AB=10， CD=3， 则△ABD 的面积是(　　) A．12 B．15 C．18 D．24 2．如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A． B．2 C．3 D． 3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=3，CD=2， 则点D 到边AB的距离为(　　) A．3 B．2 C． D． 4．如图，中，平分，则的面积是　 　； 5．如图，在纸上画有，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在的平分线上，则（　　） A．与一定相等 B．与一定不相等 C．与一定相等 D．与一定不相等 6．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．如图，点P是平分线上一点，，垂足分别是E和F，若，则　 　． 8．如图，在中，，是的平分线，于，且，，则　 　． 9．如图，中，是的角平分线，于点，，，则的面积是　 　． 10．如图所示，在中，平分，是高线，，，求的度数． 二、能力提升 11．如图，为的角平分线，于点，，，则的面积是（　　） A．5 B．7 C．7.5 D．10 12．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（　　） A．8.5 B．15 C．17 D．34 13．如图，平分，于点C，点D在上，若，，则的面积为（　　） A．6 B．9 C．12 D．18 14．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，L 垂足分别为E、F，AB=11，AC=5， 则 BE的长 (　　) A．1.5 B．2 C．3 D．6 15．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，若BC=6，AD平分∠CAB，则D到AB的距离为（　　） A．2 B．2.5 C．3 D．3.5 16．如图，在中，，，于R，于S，则下列三个结论：①；②；③，其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 17．如图，分别平分，且于点的周长为，则的面积为　 　． 18．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为　 　． 19．如图，四边形ABCD中，CD=CB，AC平分∠DAB，CF⊥AB于点F，CE⊥AD的延长线于点E. （1）求证：∠ADC+∠B=180°. （2）若AD=2，AB=4，求AF的长. 20．如图，在中，是它的角平分线，，，． （1）求与的面积之比； （2）求的长． 三、拓展创新 21．如图，，和分别平分和，两线相交于点P，过P点的直线分别与射线，射线相交于点E，F． 【问题引入】（1）若，求证：． 【探索研究】（2）若将（1）中“”去掉，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． 【拓展应用】（3）若，，求的长． 22．综合与实践： 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接． （1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是　 　； （2）深入探究：如图2，点C，D分别在射线，上运动，且，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由； （3）拓展应用：如图3，如果点C在射线上运动，且，当时，点D落在了射线的反向延长线上，若点P到的距离为3，，求的长（直接写出答案）． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：过点作于，如图所示： ，是角平分线， ， 的面积是， 故答案为：B . 【分析】过点作于，根据角平分线性质得到，利用三角形面积公式解答即可． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 过点作于B， ∵平分，，， ∴， ∴的最小值为3． 故选：C． 【分析】 根据角平分线的性质和垂线段最短的性质.角平分线上的点到角两边的距离相等，所以过点P作PB⊥OM于B，则PB=PA=3，又因为垂线段最短，所以PQ的最小值就是PB的长度，即3. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∵ AB=AD ， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABD=∠DBC， ∵ ∠C=90°， ∴ 点D 到边AB的距离 =DC=2. 故答案为：B . 【分析】首先根据平行线的性质，得出∠ADB=∠DBC，再根据等腰三角形的性质得出∠ABD=∠ADB，进而得出∠ABD=∠DBC，再根据角平分线的性质定理可得出点D 到边AB的距离 =DC=2. 4．【答案】15 【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，如图， ∵平分∴ED=CD=4， ∴S△ABD； 故答案为：15． 【分析】过点D作DE⊥AB于点E，如图，由角平分线上的点到角两边的距离相等得出DE=CD=4，然后根据三角形面积公式列式计算可得答案. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示，过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F ∵点P在的平分线上， ∴， 由平行线间间距相等可知， ∴， 由于和的长度未知，故二者不一定相等， 故选：A， 【分析】过点P分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线性质可得，再根据平行线性质即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：作于Z，于Y，于W，如图所示： ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：B． 【分析】本题先根据角平分线的性质得到，继而 根据角平分线的判定定理得到，然后进行角度计算，即可得答案。 7．【答案】6 【解析】【解答】解：∵平分，且， ∴， 故答案为：6． 【分析】根据角平分线性质即可求出答案. 8．【答案】8 【解析】【解答】解：∵是的平分线，，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【分析】本题根据角平分线的性质可得，根据代入即可求出长． 9．【答案】5 【解析】【解答】解：如图， 过点作于点， 是的角平分线，， ， ，， ， 的面积， 故答案为：． 【分析】过点作于点，根据是的角平分线，， 得，根据的面积求解即可． 10．【答案】解：∵平分，是高线，且 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴的度数为 【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系，根据已知条件利用三角形内角和求出相关角的度数，再利用三角形外角性质定理求出∠ADC． 11．【答案】A 【解析】【解答】解：过点D作DF⊥AB，垂足为F，如图： ∵为的角平分线，于点， ∴， ∴的面积=； 故答案为：A。 【分析】本题做出辅助线后，由角平分线的性质得，然后以AB为底、DF为高即可列式求出的面积． 12．【答案】C 【解析】【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点， ∴点O到△ABC各边的距离相等， 而OD⊥BC，OD＝4， ∴点O到△ABC各边的距离为4， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34， ∴AB+AC+BC＝17， 即△ABC的周长为17． 故答案为：C． 【分析】利用角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式及△ABC的面积可求出△ABC的周长. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：过点P作于E， 如图所示， ∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】过点P作于E，先根据角平分线的性质得到PE=PC=3，再利用三角形的面积公式求解即可. 14．【答案】C 【解析】【解答】解：如图， 连接CD， BD， ∵AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴DF=DE，∠F=∠DEB=90°， ∠ADF=∠ADE， ∴AE=AF， ∵DG是BC的垂直平分线， ∴CD=BD， 在Rt△CDF和Rt△BDE中， ∴ Rt△CDF ≌ Rt△BDE(HL)， ∴BE=CF， ∴AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE， ∵AB=11， AC=5， 故答案为：C . 【分析】连接CD， BD， 根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD=BD，DF=DE，继而可得AF=AE，证得 则可得BE=CF，继而求得答案. 15．【答案】A 【解析】【解答】解：过D点作 于E， ∵AD平分 即D到AB的距离为2. 故选：A. 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到DC=DE，根据直角三角形的性质求出DE，得到答案. 16．【答案】B 【解析】【解答】解：①，，， 平分， ， 在与中， ， ， ， ∴结论正确， ②， ， ， ， ， ∴结论正确， ③在与中，只有条件，不能判断三角形全等； 综上可得，正确的结论是①②， 故答案为：B. 【分析】①由题意，用角角边可得，然后由全等三角形的对应边相等可求解； ②由等边对等角和等量代换可得，然后根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可求解； ③由题意，用一边一角对应相等不能判断两个三角形全等. 17．【答案】 【解析】【解答】解：连接，作于点，作于点， ∵分别平分和，， ∴， ∵的周长是于，且， ∴， 故答案为：． 【分析】连接，作于点，作于点，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点到的距离都相等（即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 18．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴； ∵，，， ∴平分， ∴； 故答案为：． 【分析】 先由角平分线的判定定理可得CD平分，再由直角三角形两锐角互余可得，再利用角平分线的概念即可． 19．【答案】（1）证明：∵AC平分∠DAB，CF⊥AB，CE⊥AD， ∴CE=CF 在Rt△CDE和Rt△CBF中， ∴∠ADC=∠CBF ∵∠CBF+∠B=180° ∴∠ADC+∠B=180° （2）解：在Rt△AEC和Rt△AFC中， ∴Rt△AEC≌Rt△AFC(HL) ∴AF=AE=AD+DE=2+DE ∵ ∴DE=BF ∴AF=AB-BF=4-DE ∴2AF=6 ∴AF=3 【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得CE=CF，根据全等三角形判定定理可得，则∠ADC=∠CBF，再根据角之间的关系即可求出答案. （2）根据全等三角形判定定理可得Rt△AEC≌Rt△AFC(HL)，则AF=AE=AD+DE=2+DE，再根据全等三角形性质可得DE=BF，再根据边之间的关系即可求出答案. 20．【答案】（1）解：如图，过点作于点，作于点， ∵在中，是它的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的面积之比为． （2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 由（1）已得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式． （1）过点作，作，利用角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得，再根据三角形的面积公式可得，，因此求得面积比为3：2； （2）过点作，作，过点作，先根据等面积法将的面积表示为，建立量关系可得，再根据，代入，解得. （1）解：如图，过点作于点，作于点， ∵在中，是它的角平分线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的面积之比为． （2）解：如图，过点作于点，作于点，过点作于点， 由（1）已得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 21．【答案】证明：（1）作于M，如图． ∵，， ∴， ∵和分别平分和，， ∴， ∴． （2）成立， 方法一：过点P作于G，交于H，如图． 则， ∵， 则， ∴， 由（1）得：， 在和中， ， ∴， ∴． 方法二：延长交于点M， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）作于M，由，可得，由角平分线的性质定理可求解； （2）方法一：过点P作于G，交于H，则，，由（1）得：，结合已知，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得； 方法二：延长交于点M，由平行线的性质得出，，由角平分线的定义可得，再根据等腰三角形三线合一可得，用角边角可证，由全等三角形的对应边相等可； （3）由方法二（2）可得出，再根据线段的和差即可求解． 22．【答案】（1）PC=PD （2）解：还成立，理由如下：过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）的长为7 【解析】【解答】解：（1）∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （3）过点作，垂足分别为， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴，四边形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线的性质可直接得出答案；（2）还成立，过点P作，，垂足分别为E，F，首先根据角平分线性质可得出，再根据等式的性质得出，进而根据ASA可判定，进而可得出； （3）过点作，垂足分别为，先证明四边形为正方形，然后证明，根据正方形的性质以及全等三角形的性质可得结论． （1）解：∵是的平分线，，， ∴， 故答案为：； （2）还成立，理由如下： 过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵ ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）过点作，垂足分别为， ∴四边形为矩形， ∵是的平分线， ∴，四边形为正方形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $