精品解析：安徽省六安市轻工中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期九年级期中考试数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点在反比例函数图像上，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线可由抛物线平移得到，则的值为( ) A. B. C. D. 5. 如图，，，若，则的长为（ ）． A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（ ） A. （米） B. （米） C. （米） D. （米） 9. 如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 10. 如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 12. 抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为_____． 14. 如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则___________； （2）若，则___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长． 16. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内作一个，使它与的相似比为． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 20. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为600元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 六、（本题满分12分） 21. 【背景】如图，在矩形中，，，点在上，连接交对角线于点． 【填空】（1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）若，则_____； …… 【猜想】若，则_____；（用含的式子表示） 【论证】证明你猜想中的结论． 七、(本题满分 12分） 22. 如图，在中，点在边上，，点在延长线上，将沿折叠到的位置，点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当在轴上方时，连接，当的面积等于6时，求点的坐标； （3）当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点，如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期九年级期中考试数学试卷 （试卷满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列二次函数的图象开口向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解． 【详解】解：由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上； 故选：A． 2. 已知点在反比例函数图像上，则点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数图像上的点的坐标及象限判断，掌握判断方法是解题的关键． 可求，由象限符号特征进行判断即可求解． 【详解】解：当时， ， ， 在第一象限； 故选：A． 3. 若，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据可设，再代入计算即可得． 【详解】解：由题意，可设， 则， 故选：C． 4. 若抛物线可由抛物线平移得到，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，由二次函数图像性质可知抛物线平移a的值不变抛物线平移只改变位置，不改变形状和开口方向，因此二次项系数保持不变． 【详解】解：∵ 抛物线平移后二次项系数不变， 又 ∵ 已知抛物线 的二次项系数为 ， ∴ ． 故选：C． 5. 如图，，，若，则的长为（ ）． A. 1.5 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形性质是解题关键．根据，求出，进而得到，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选C． 6. 如图，在中，点，分别在边，上，添加一个条件仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． ①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，则两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似； 根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A．，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． B．由得，有两个角对应相等，能使与相似，不符合题意． C．，有两组对应边的比相等，且其夹角相等，能使与相似，不符合题意． D． ，有两组对应边的比相等但夹角不一定相等，不能使与相似，符合题意． 故选：D． 7. 已知抛物线与直线交于点和点，则关于的方程的解是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的交点问题，将变形为，则该方程的解即为抛物线与直线交点的横坐标． 【详解】解：∵抛物线与直线交于点和点， ∴当或时，成立， 即方程的解为或， 故选：D 8. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆的高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．现测得小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米，则旗杆高度为（ ） A. （米） B. （米） C. （米） D. （米） 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质． 根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点作， 由图可知，， ， ∵根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ∵小菲的眼睛离地面高度为米，同时量得小菲与镜子的水平距离为米，镜子与旗杆的水平距离为米， ， ， ， 故选：A． 9. 如图，在中，，平分交于点，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 若，则点是的黄金分割点 D. 若点是的黄金分割点，则 【答案】D 【解析】 【分析】设，过点作，根据平分交于点，得出，，根据，则，即可表示出，即可判断A选项；设的边上的高为h，根据等面积法表示出，即可判断B选项；由，得，证明，，得出，则点是的黄金分割点，即可判断C选项；根据顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比，讨论即可判断． 本题考查了黄金分割，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形判定与性质．掌握以上知识点是解决问题的关键． 【详解】解：A：设，过点作， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确； B：设的边上的高为h， 则， ∴，故B正确； C：由，得， ∵平分交于点， ， ，， ， ， ∵， ， ， ∵， ， 即点是的黄金分割点，故C正确； D：根据选项C可知若，则点是的黄金分割点，， 即， 则， 即顶角为的等腰三角形，其底边与腰之比为黄金分割比． 如图， 当时，作等腰三角形， 则， 利用“”可证，则， 故，即点是的黄金分割点． 故若点是的黄金分割点，则存在或满足条件，故D错误． 故选：D． 10. 如图，在两个全等的和中，，，，斜边，在一条直线上且点与重合，保持不动，以每秒2个单位长度的速度向右移动，直到点与点重合即停止运动，若两个三角形重叠部分的面积为个单位面积，的移动时间为秒，则关于的函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，二次函数的图象和性质，平移的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，结合含30度角的直角三角形的性质和三角形面积公式求得y与x的函数表达式，根据二次函数的图象与性质可得答案． 【详解】解：当时，如图，设与相交于点O， 由平移性质得，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数图象是抛物线，开口向上，位于对称轴y轴右侧图象的一部分， 当时，，此时点D与点A重合； 当时，如图，则， 在中，，， ∴，则， ∴重叠部分面积， ∴函数y的图象是抛物线开口向上，位于对称轴左侧图象的一部分， 故选项C符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 线段，线段，则线段的比例中项是________． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查比例的性质，设线段的比例中项是c，则，即可求出c，正确理解比例中项定义是解题的关键． 【详解】解：设线段的比例中项是c，则 ∴ ∴（负值舍去） 故答案为：4． 12. 抛物线与轴的交点是，那么这条抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，以及如何求二次函数的对称轴，对于此类题目可以用公式法也可以将函数化为顶点式来求解，也可以用公式求解，即抛物线与轴的交点是，，则抛物线的对称轴为直线． 因为点与的纵坐标都为，所以可判定这两点是一对对称点，把两点的横坐标代入公式求解即可． 【详解】解：抛物线与轴的交点为，， 两交点关于抛物线的对称轴对称， 则此抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 13. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像在第一象限内交于点，与轴，轴分别交于点，若，则的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，中点公式，求反比例函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出一次函数的解析式，再，然后根据，，得出，依题意，列式，解得，即，代入求出的值． 【详解】解：依题意，把代入， 得， 解得， ∴一次函数， 设， ∵，， ∴ ∴ 则 ∵一次函数的图像与反比例函数的图像在第一象限内交于点， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∵， ∴舍去， ∴， 即， 则， ∴， 故答案为：2 14. 如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，线段的垂直平分线交于点，交于点，交于点，连接，． （1）若，则___________； （2）若，则___________． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据矩形的性质得出相等的边和直角，根据直角三角形的性质得出相等角，根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后证明即可； （2）过点作于点，连接，证明，得出对应边成比例，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解析：（1）四边形是矩形， ， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， ， 。 故答案为：2； （2）如图，过点作于点，连接， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， 垂直平分线段， ， 在中，由勾股定理得， 解得或（舍去）， 即， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 如图，，直线与分别相交于点和点．若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得，． 16. 如图，在中，在边上，连接，，，，求证：． 【答案】证明：，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．由已知求得，根据相似三角形的判定即得答案． 【详解】略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）判断点是否在这个抛物线上，并说明理由． 【答案】（1）， （2）点不在这个抛物线上，理由： 由（1）得抛物线为， 当时，． 点不在此函数图象上． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式；熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）将点和代入函数中得出二元一次方程组，即可解答； （2）当时，代入解析式得，即可判断． 【小问1详解】 解：点和在函数图象上， ． 解得：． 【小问2详解】 略 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）作出与关于轴对称的； （2）以原点为位似中心，在第三象限内作一个，使它与的相似比为． 【答案】（1）如图即为所作； （2） 如图即为所作． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用关于以原点为位似中心的点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘得到点的坐标，然后描点即可； 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【点睛】本题考查了作图-位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．也考查了轴对称变换． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，一次函数（）与反比例函数（，）的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式是，一次函数的解析式是 （2）16 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，三角形的面积问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键； （1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式求出m，进而可求出a，得到点B的坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）设与y轴交于点C，先求出点C的坐标，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（，）的图象过，两点， ∴，， ∴， ∴，反比例函数的解析式是； 把，代入一次函数中， 得，解得：， ∴一次函数的解析式是； 【小问2详解】 解：设与y轴交于点C，如图， 则当时，， ∴点C的坐标是，即， ∴ ． 20. 国庆期间，全国各影院上映多部爱国影片，某影院每天运营成本为600元，该影院每天售出的电影票数量（单位：张）与售价（单位：元/张）之间满足一次函数关系（，且是整数），若该影院每天的利润为（单位：元），（利润票房收入运营成本）． （1）求与之间的函数关系式； （2）该影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2600元 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求二次函数的最大值， （1）根据销售利润等于票房收入减去成本列出关系式，即可解题； （2）将二次函数关系式配方得出顶点式，再根据二次函数图象的性质讨论最大值即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，即当时，（元）， 所以当定价为40元时，每天获得利润最大，最大利润为2600元． 六、（本题满分12分） 21. 【背景】如图，在矩形中，，，点在上，连接交对角线于点． 【填空】（1）若，则_____； （2）若，则_____； （3）若，则_____； …… 【猜想】若，则_____；（用含的式子表示） 【论证】证明你猜想中的结论． 【答案】【填空】（1）；（2）；（3）； 【猜想】； 【论证】证明：四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴． 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解答的关键． [填空] （1）先根据矩形性质得到，，，，证明得到，再根据比例性质，进而可求解； （2）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； （3）同（1）方法结合已知得到，进而可求解； [猜想] 根据[填空]中规律可猜想得到； [论证]同（1）方法结合已知得到即可求解． 【详解】解：[填空] （1）四边形是矩形， ，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵在中，由勾股定理得， ∴, 故答案为：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴， ∴， 故答案为：； [猜想] 若，则 故答案为：； [论证]略 七、(本题满分 12分） 22. 如图，在中，点在边上，，点在延长线上，将沿折叠到的位置，点的对应点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质得， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ； （2）． 【解析】 【分析】由折叠的性质得，由平行四边形的性质可得，根据对顶角相等可得，等量代换可得，又因为，根据有两个角对应相等的三角形相似可证结论成立； 根据可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，又可证，根据全等三角形的性质可知，根据相似三角形的性质可得，解方程即可求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由折叠知，， ， ， ， ， ， ， 又， 在和中，， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， 由得， ， ， 解得：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质与全等三角形的性质找边之间的关系． 八、（本题满分14分） 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的表达式； （2）当在轴上方时，连接，当的面积等于6时，求点的坐标； （3）当点在直线上方的抛物线上时，连接交于点，如图，当的值最大时，求点的坐标及的最大值． 【答案】（1） （2）或； （3），最大值为 【解析】 【分析】（1）将A、B、C三点坐标代入解析式中计算即可； （2）设点，根据的面积等于6，可列方程求出； （2）作轴交于点G，作轴交于点E，求出直线的解析式，设出点P和点G的坐标，得到，长度，利用三角形相似，得到即可求解． 【小问1详解】 解：把点，，分别代入中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：，， ， 设点， 的面积等于6，在轴上方， ， 解得：， 当时，； 当时，； 或； 【小问3详解】 解：设的表达式为：， ，， ， 解得：， 的表达式为：， 作轴交于点G，作轴交于点E， 设点， ， ， ， ， ， 轴交于点G，轴交于点E， ， ， ， ， ， ， ， 有最大值， 当时，最大值为， 此时． 【点睛】本题属于二次函数图象的动点问题，涉及到待定系数法求解析式、二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质等知识，本题综合性较强，要求学生能牢记相关概念与性质并能做到熟练应用，本题涉及到了作辅助线，对学生的综合分析能力要求较高，该题涉及到数形结合等思想方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $