4.2图形变换与坐标变化 第3课时教学设计 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第四章 平面直角坐标系 4.2图形变换与坐标变化 第3课时   一、教材分析 本节课探究“垂直于坐标轴的线”和“象限角平分线”上的点的坐标特征，是本章知识体系中的一个重要深化与拓展．在此之前，学生主要聚焦于“点”的坐标，而本课则引导学生从“点”的思维上升到“线”的思维，探究具有特定几何位置的“点的集合”所蕴含的坐标规律．这实质上是函数与解析几何思想的早期渗透．教材通过引导学生观察这些特殊直线上点的坐标，归纳出像“垂直于x轴的直线上所有点的横坐标相同”、“在一、三象限角平分线上的点，其横、纵坐标相等”这样的代数规律．这部分内容不仅是对平面直角坐标系概念的巩固和升华，将几何特征（线的位置）与代数特征（坐标关系）进行了强有力的绑定，更是未来学习函数图象（特别是平行于坐标轴的直线、正比例函数y=x与y=x）的认知起点．因此，本节课是连接“点的坐标系”与“线的坐标系”的关键一环，其核心价值在于让学生初步体会到“曲线（包括直线）可以用方程来刻画”这一数形结合的高级思想.   二、教学目标 1.能准确识别平面直角坐标系中的特殊线，垂直于坐标轴的直线、第一、三象限角平分线、第二、四象限角平分线，并能说出各类特殊线的位置特征． 2.掌握特殊线上点的坐标规律：能熟练记忆并表述各类特殊线上点的坐标特征． 3.进一步体会用代数方法表达图形变换的意义，充分经历由“形”到“数”、由“数”到“形”的过程，发展几何直观．   三、教学重难点 重点：能准确识别平面直角坐标系中的特殊线，垂直于坐标轴的直线、第一、三象限角平分线、第二、四象限角平分线，并能说出各类特殊线的位置特征． 难点：掌握特殊线上点的坐标规律：能熟练记忆并表述各类特殊线上点的坐标特征．   四、教学过程 · 情景导入 如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A（2，1）和B（2，3），那么第一架轰炸机C的平面坐标是 ． 预设答案：（2,1） 追问：垂直于坐标轴的直线上的点和象限角平分线上的点会有什么规律呢？ 一起来探究吧！ 师生活动：教师演示，学生倾听、回答，独立思考． 设计意图:通过一个问题情景出发，回顾确定坐标轴的位置以及点的坐标的相关知识，为接下来探究垂直于坐标轴的直线上的点和象限角平分线上的点的规律的学习提供理论依据． · 探究新知 活动一：探究探究垂直于坐标轴的直线上的点的坐标特征 探究：如图，过点A(3,4)分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为B，C，直线AB，AC上的点的坐标有什么特征？ 预设答案：直线AB上的点的横坐标都相同，直线AC上的点的纵坐标都相同； 活动二：探究在象限角平分线上的点的坐标特征 探究：在图中的平面直角坐标系中，画出两坐标轴正半轴所成角的平分线l，射线l上的点的坐标有什么特征? 预设答案：射线l上的点的横坐标与纵坐标相同. 思考：1.射线l反向延长线上的点的坐标有什么特征？ 2.x轴正半轴与y轴负半轴所成角的平分线上的点的坐标、x轴负半轴与y轴正半所成角的平分线上的点的坐标分别又有什么特征呢？ 预设答案：在平面直角坐标系中，在第一、三象限的角平分线上的点的横、纵坐标相等；在第二、四象限的角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数. 师生活动：学生思考、讨论、回答，师提示，总结． 总结： 点的位置 点的坐标特征 在垂直于坐标轴的直线上 在垂直于x轴的直线上 横坐标都相同 在垂直于y轴的直线上 纵坐标都相同 在角平分线上 在第一、三象限的角平分线上 横坐标与纵坐标相同 在第二、四象限的角平分线上 横坐标与纵坐标互为相反数 活动三：探究特殊点的运动规律的坐标表示 探究：1.写出一些横坐标与纵坐标之和为3的点的坐标，并把这些点画在下图的平面直角坐标系中，观察这些点的位置，你有什么发现? 2.写出一些横坐标与纵坐标之积为4的点的坐标，并把这些点画在图的平面直角坐标系中，然后按照横坐标从小到大的顺序用光滑的线将它们连起来，多画一些这样的点，你有什么发现? 预设答案： 解：1.当x=0时，y=3−0=3，坐标为(0，3)； 当x=1时，y=3−1=2，坐标为(1，2)； 当x=2时，y=3−2=1，坐标为(2，1)； 当x=3时，y=3−3=0，坐标为(3，0)； 当x=4时，y=3−4=−1，坐标为(4，−1)； 当x =−1时，y=3−(−1)=4，坐标为(−1，4)； 当x=−2时，y=3−(−2)=5，坐标为(−2，5). 所有横坐标与纵坐标之和为3的点，都在同一条直线上 2.将这些点按照横坐标从小到大的顺序，即(−4,−1),(−2,−2),(−1,−4),(1,4),(2,2),(4,1)，用光滑的线连接起来. 通过观察可以发现，这些点组成的图形是双曲线，并且关于原点对称，第一、三象限它们与x轴、y轴都不相交；在每个象限内，y随x的增大而减小. 设计意图：学生通过典型的“动点问题”情境来展开活动，例如点在坐标轴上运动、点在线段上运动，来深入探究点的位置以及点的坐标特征规律. · 应用新知 教材例题 教师活动：教师提出问题，学生先独立思考，教师指名学生上台板演. 例 1 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(4，0)，动点P到点O和点A的距离相等. (1)画出动点P所形成的图形. (2)动点P的坐标有什么特征? (3)当点P到x轴的距离为3时，写出点P的坐标. 预设答案：解：(1)因为动点P到点O和点A的距离相等，以动点P形成的图形是过点(2，0)且垂直于x轴的一条直线(如图)； (2)动点P的横坐标不变，始终为2； (3)因为点P到x轴的距离为3，所以点P的纵坐标为3或−3，点P的坐标为(2，3)或(2，−3). 例 2 已知平面直角坐标系内的不同两点A(3，a−1)，B(b＋1，−2). (1)若点A在第一、三象限的角平分线上，求a的值； (2)若点B在第二、四象限的角平分线上，求b的值； (3)若直线AB平行于y轴，且AB＝5，求a，b的值. 分析：分别根据特殊位置的点的坐标特征列出以a，b为未知数的方程，求出a，b的值. 解：(1)∵点A在第一、三象限的角平分线上，∴a−1＝3.∴a＝4. (2)∵点B在第二、四象限的角平分线上，∴b＋1＝2.∴b＝1. (3)∵直线AB平行于y轴，且AB＝5，∴b＋1＝3，|(a−1)−(−2)|＝5.∴b＝2，a＝4或a＝−6. 总结：若两个点的横坐标相同，则这两个点之间的距离为纵坐标差的绝对值；若两个点的纵坐标相同，则这两个点之间的距离为横坐标差的绝对值. 设计意图：通过例题的探究进一步加深对垂直于坐标轴的直线上的点的坐标特征及象限角平分线上的点的坐标特征规律的认识和理解，并能解决实际问题，感受数学与实际生活的密切关系，训练学生的思维判断能力. · 课堂练习 【教材习题】 1.在平面直角坐标系中，描出点A(3，−2)，B(3，1)，C(3，4)，D(−2，3)，E(1，3)，F(4，3). (1)点A，B，C在一条直线上吗?直线AC与坐标轴有什么位置关系? (2)点D，E，F在一条直线上吗?直线DF与坐标轴有什么位置关系? 解：（1）在，直线AC垂直于x轴，直线AC与y轴平行. （2）在，直线AC垂直于y轴，直线AC与x轴平行. 2.请写出一些点的坐标，使得每个点的横坐标是纵坐标的2倍，并把这些点画在平面直角坐标系中，观察这些点的位置，你有什么发现? 解：设点的纵坐标为y，因为横坐标是纵坐标的2倍，则横坐标为x=2y. 当y=1时，x=2×1=2，此时点的坐标为(2，1) 当y=2时，x=2×2=4，此时点的坐标为(4，2) 当y=−1时，x=2×(−1)=−2， 此时点的坐标为(−2，−1). 在平面直角坐标系中画出点(2，1)、(4，2)、(−2，−1)等点，如右图所示. 可以发现这些点都在同一条直线上，这条直线的函数表达式为y=x. 【自选练习】 3.在平面直角坐标系中，第四象限内的点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是2，PQ平行于x轴，PQ=4，则点Q的坐标是( ) A.(6，−3)或(−2，−3) B.(6，−3) C.(−1，−2) D.(−1，−2)或(7，−2) 答案：A 4.（1）若点A(a－4，2－2a)在第二象限，且到x轴和y轴距离相等，求点A的坐标. （2）已知M（m＋1，n－2），N（4，3）两点.若点M到y轴的距离是3，且MN∥x轴，求点M的坐标. 解：（1）∵点A(a－4，2－2a)在第二象限， ∴ ∴a＜1.根据题意，得|a－4|=|2－2a|， 解得a＝2（不合题意，舍去）或a＝－2， ∴点A的坐标为（－6，6）. （2）∵点M到y轴的距离是3， ∴点M的横坐标为3或－3. 又∵MN∥x轴， ∴点M的纵坐标为3， ∴点M的坐标为（3，3）或（－3，3）. 5.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点A的坐标为（4，3），P是坐标轴上的一点.若以O，A，P为顶点的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有 个，请直接写出所有满足条件的点P的坐标. 解：满足条件的点P的坐标为（5，0），（8，0），（0，5），（0，6），（5，0），（0，5），(0，)，(，0). 因此答案：8 设计意图：通过不同类型的题目，通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯，检验学生对知识的掌握程度并及时查漏补缺． · 归纳总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容． 1.本节课你学到了什么？ 2.在垂直于坐标轴的直线上的点的坐标特征的规律是什么？ 3.在象限角平分线上的点的坐标特征规律是什么？ 设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识． 学科网（北京）股份有限公司 $