15.3.2 等边三角形（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级数学上册

人教版（2024） 八年级上册 15.3 等腰三角形 15.3.2 等边三角形 （第1课时） 第十五章·轴对称 图片中有你熟悉的数学图形吗？你能说出此图形的名称吗？ 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 1.掌握等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系. 2.探索等边三角形的性质和判定． 3.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明． 等边三角形 情景导入 1 合作探究 2 抽象概括 3 示范讲解 4 课堂练习 5 课堂小结 6 想一想 小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条，长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？ 等边三角形的性质 10cm 6cm 10cm 10cm 10cm 10cm 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 等腰三角形 等边三角形 一般三角形 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫作等边三角形. 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 名称 图 形 定 义 性 质 判 定 等 腰 三 角 形 等边对等角 三线合一 等角对等边 两边相等 两腰相等 轴对称图形 A B C 有两边相等的三角形是等腰三角形 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 A B C A B C 等边三角形的三个角之间有什么关系？ 等腰三角形 AB=AC ∠B=∠C 等边三角形 AB=AC=BC AB=AC ∠B=∠C AC=BC ∠A=∠B ∠A=∠B=∠C 内角和为180° =60° 问题1： 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 结论：等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于60°. 已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°. 证明： ∵AB=AC， ∴∠B=∠C .(等边对等角) 同理 ∠A=∠C . ∴∠A=∠B=∠C. ∵ ∠A+∠B+∠C=180°, ∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °. A B C 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 A B C A B C 等边三角形有“三线合一”的性质吗?等边三角形有几条对称轴？ 结论:等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都“三线合一”. 底边上的中线、 底边上的高、 顶角平分线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 问题2： 情景导入 合作探究 抽象概念 示范讲解 课堂练习 课堂小结 情景激趣 七彩城就梦想 图形 等腰三角形 　性 质 每条边上的中线、高和这条边所对的角的平分线互相重合 三个角都相等， 对称轴（3条） 等边三角形 对称轴（1条） 两个底角相等 底边上的中线、高和顶角平分线重合 且都是60º 两条边相等 三条边都相等 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例1 如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC–∠ABE＝60°– 40°＝20°. ∵BE＝DE， ∴∠D＝∠EBC＝20°， ∴∠CED＝∠ACB–∠D＝40°. 等边三角形的性质应用 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 解决与等边三角形有关的计算问题，关键是注意“每个角都是60°”这一隐含条件，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质解答. 方法点拨 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到点E，使得CE=CD．求证：BD=DE． 证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线， ∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°． 又∵CE=CD， ∴∠CDE=∠CED． 又∵∠BCD=∠CDE+∠CED， ∴∠CDE=∠CED=30°． ∴∠DBC=∠DEC． ∴DB=DE（等角对等边）． 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2 △ABC为等边三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于点Q，∠BQM等于多少度？ 解：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC. 又∵BM＝CN， ∴△AMB≌△BNC(SAS)， ∴∠BAM＝∠CBN. ∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°. 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法点拨 此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般先利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等. 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在BC，AC边上，且AE=CD，AD与BE相交于点F． （1）求证：△ABE≌△CAD； （2）求∠BFD的度数． （1）证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC=∠C=60°，AB=CA，即∠BAE=∠C=60°. 又∵AE=CD, ∴△ABE≌△CAD（SAS）． （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠BFD=∠ABE+∠BAD， ∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°． 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 图形 等腰三角形 判 定 三个角都相等的三角形是等边三角形 等边三角形 从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形 从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形 三条边都相等的三角形是等边三角形 小明认为还有第三种方法“两条边相等且有一个角是60°的三角形也是等边三角形”，你同意吗？ 等边三角形的判定方法： 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 等边三角形的判定 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 根据条件判断下列三角形是否为等边三角形. （1） （2） （6） （5） 不 是 是 是 是 是 （4） （3） 不一定 是 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB,AC于点D，E.求证：△ADE是等边三角形. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A= ∠B= ∠C. ∵ DE//BC, ∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 等边三角形的判定的应用 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 　证明：∵　△ABC 是等边三角形， ∴　∠A =∠ABC =∠ACB =60°． ∵　DE∥BC， ∴　∠ABC =∠ADE， ∠ACB =∠AED. ∴　∠A =∠ADE =∠AED. ∴　△ADE 是等边三角形. 若点D,E 在边AB,AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？ A D E B C 变式训练 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 若点D,E 在边AB,AC 的反向延长线上，且DE∥BC，结论依然成立吗？ 证明： ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC =∠B =∠C =60°． ∵DE∥BC， ∴∠B =∠D，∠C =∠E． ∴∠EAD =∠D =∠E． ∴△ADE 是等边三角形． A D E B C 变式训练 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE, △ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A C B D E 证明： ∵ △ABC是等边三角形， ∴ ∠A=60°. ∵ AD=AE, ∴ ∠ADE= ∠ AED= 60°. ∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED. ∴ △ADE是等边三角形. 变式训练 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 例2在等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论． 解：△APQ为等边三角形． 证明如下：∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC. ∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ， ∴△ABP≌△ACQ(SAS). ∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ. ∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°， ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°. ∴△APQ是等边三角形． 例题讲解 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 方法点拨 判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个角等于60°. 概括总结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF, ∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°. ∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS）. ∴DF=ED=EF. ∴△DEF是等边三角形． 如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．求证：△DEF是等边三角形． 针对练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 D A C B D E O 1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° B 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（　　） A．10° B．15° C．20° D．25° 4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是 cm. A C B D E 12 B 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于点F．求证：△AEF≌△BEC． 证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°. ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°–90°–30°=60°. ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点，∴AE=BE． 又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC（ASA）． 对照练习 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小. 解： ∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形. ∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°. ∵ A,O,D三点共线， ∴∠DOB=∠COA=120°. ∴ △COA ≌△DOB(SAS). ∴ ∠DBO=∠CAO. 设OB与EA相交于点F, ∵ ∠EFB=∠AFO， ∴∠AEB=∠AOB=60°. C B O D A E F 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形． (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由； (2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论． 图① 图② 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 解：(1)AN＝BM. ∵△ACM与△CBN都是等边三角形， ∴AC＝MC，CN＝CB， ∠ACM＝∠BCN＝60°. ∴∠ACN＝∠MCB. ∴△ACN≌△MCB(SAS)． ∴AN＝BM. 图① 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 (2)△CEF是等边三角形． 证明：∵∠ACE＝∠FCB=60°， ∴∠MCF=60°. ∴∠ACE=∠MCF. ∵△ACN≌△MCB， ∴∠CAE＝∠CMB. ∵AC＝MC， ∴△ACE≌△MCF(ASA)， ∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形． 图② 能力提升 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 等边 三角形 定义 底=腰 特殊性 性质 特殊性 边 三边相等 角 三个角都等于60 ° 轴对称性 轴对称图形，每条边上都具有“三线合一”性质 判定 特殊性 三边都相等 三角都相等 有一个角是60°的等腰三角形 课堂小结 情境导入 合作探究 抽象概括 课堂练习 示范讲解 课堂小结 $