江苏省常州市天宁区正衡中学2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷

2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 2．常州的新能源产业澎湃起势．2024年，常州新能源产业产值超8500亿元．数字8500用科学记数法表示为（　　） A．8.5×103 B．8.5×104 C．0.85×104 D．8.5×105 3．如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 4．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 5．若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 6．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝12，DE＝6，EF＝3，则BC为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 8．如图，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤30，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交替一次，其余因素忽略不计．设汽车在第0秒出发，行驶ts后路程为Sm．下列选项表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况，“”表示绿灯亮，“”表示红灯亮．能反映速度V为绿灯速度的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．计算：＝ 　 　 ． 10．把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是 　 　 ． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝3，那么AC长为　 　 ． 12．圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm，则烟囱帽的侧面积为 　 　 cm2．（结果保留π） 13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　 　 ． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点E为BC的黄金分割点，若BC＝2，则CE的长为　 　 ．（结果保留根号） 15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为60m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为　 　 m．（结果保留π） 16．如图，A楼高32米，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为30°．若A，B两楼相距20米，则A楼落在B楼上的影子DF有　 　 米． 17．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP＝3，则半径的长为　 　 ． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，由两个全等的矩形ABCD、矩形OEFG组成了“T”字形，AB＝2，BC＝8，BO＝3，若将矩形ABCD从如图位置沿着x轴方向平移中，使得点A落在点O处；整个过程中，用一个最小面积的圆（半径可变）将这个图案完全覆盖，则圆心经过的路程是　 　 ． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答） 19．先化简，再求值：，其中x＝3． 20．解方程或不等式组： （1）解方程x2﹣3x+2＝0； （2）解不等式组． 21．青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：BMI＝（kg/m2），其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，某数学实践小组开展了调查． 等级 偏瘦A 标准B 超重C 肥胖D 男 BMI≤15.7 15.7＜BMI≤22.5 22.5＜BMI≤25.4 BMI＞25.4 女 BMI≤15.4 15.4＜BMI≤22.2 22.2＜BMI≤24.8 BMI＞24.8 【数据收集、数据整理】小组成员通过问卷调查，收集数据，并绘制统计图． 【问题解决、作出决策】根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查的总人数为　 　 ，并补全条形统计图； （2）一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数BMI属于　 　 等级；（填A、B、C、D） （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 22．学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（A：泥塑、B：机器人编程、C：航空航天VR体验），小红和小丽两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）小红选择A项目的概率是 　 　 ； （2）用画树状图或列表等方法求小红和小丽选择不同体验项目的概率． 23．有一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决） 24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为（x＞0）的图象交于A（4，1），B（，a）两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q． （1）直接写出两个函数的解析式； （2）当x＞0且y1＞y2时，x的取值范围是　 　 ； （3）设点P的横坐标为2， ①第一象限内，以原点O为位似中心，将△OPQ按位似比2：1放大，则点P的对应点的坐标是　 　 ； ②求△POQ的面积． 25．【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为0.6m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 26．如图，点P是⊙O外一点，过点P的直线m与⊙O交于点A，过点A作弦AB，连接PB，PB经过圆心，与⊙O交于点E，连接AE，且满足∠PAE＝∠PBA． （1）在图1中，求证：直线m是⊙O的切线； （2）图2中，过点P作直线n∥AB，直线AE与直线n交于点K，直线n与圆O相切，切点是C，AP＝AB． ①求∠B的度数； ②若AK＝3，求⊙O的半径． 27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，且AD＞BD，点E是边AC上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，交线段ED于点G，交线段AD于点F． （1）如图①，求证：△DCE∽△FBC． （2）如图②，若FC＝FB，BD＝2，CD＝4，分别求线段CF、线段DE的长． （3）若BD＝3，CD＝4，连接EF，且△EFG与△CDG相似，请直接写出CE的长． 28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在点Q，使得△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝α（α≠90°），则称点P是⊙C的关联点，称α为点P与⊙C的关联角． （1）如图，⊙O的半径为2． ①判断：点P1（，0），P2（4，0）是⊙O的关联点吗？若是，请直接写出该点与⊙O的关联角度；若不是，请说明理由； ②点B是平面内一点，点D（m，3），当﹣3≤m≤3时，以D为圆心、BD为半径的圆上的所有点都是圆O的关联点，则线段BD的长度l的取值范围为　 　 ； （2）已知点E（1，2），F（3，4），T（t，3﹣t），t＞0，圆T的半径为4，若线段EF上的所有点都是圆T的关联点，且这些点与圆T的关联角度都不超过60°，直接写出t的取值范围． 2025-2026学年上学期九年级期中数学参考答案 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A． D D A B D C 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1．的相反数是（　　） A．2025 B．﹣2025 C． D． 【分析】根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【解答】解：的相反数是﹣． 故选：D． 2．常州的新能源产业澎湃起势．2024年，常州新能源产业产值超8500亿元．数字8500用科学记数法表示为（　　） A．8.5×103 B．8.5×104 C．0.85×104 D．8.5×105 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：8500＝8.5×103． 故选：A． 3．如图，已知⊙O的半径为3，平面内有一点到圆心O的距离为4，则该点可能是（　　） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【分析】根据点到圆心O的距离大于半径，可判定出点在圆外，即可得到答案． 【解答】解：∵平面内有一点到圆心O的距离为4，4＞3． ∴该点在圆外， ∴点N符合要求． 故选：D． 4．下列说法中，不正确的是（　　） A．直径是最长的弦 B．同圆中，所有的半径都相等 C．圆既是轴对称图形又是中心对称图形 D．长度相等的弧是等弧 【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案． 【解答】解：A、直径是最长的弦，说法正确； B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确； C、圆既是轴对称图形又是中心对称图形，说法正确； D、长度相等的弧是等弧，说法错误； 故选：D． 5．若方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2，则x1+x2＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 【解答】解：因为方程x2﹣x﹣2＝0的两个根是x1和x2， 所以x1+x2＝． 故选：A． 6．如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝12，DE＝6，EF＝3，则BC为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝，即＝， 解得：BC＝4， 故选：B． 7．在练习掷铅球项目时，某同学掷出的铅球直径为10cm，在操场地上砸出一个深2cm的小坑，则该坑的直径AB为（　　） A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 【分析】根据勾股定理和垂径定理求解． 【解答】解：如图， 根据题意得，D在OE上，OE⊥AB，DE＝2cm， ∴AB＝2AD， ∵OA＝OE＝×10＝5cm， ∴OD＝5﹣2＝3（cm）， 在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2， ∴52＝32+AD2， ∴AD＝4cm（负值已舍）， ∴AB＝8cm， 故选：D． 8．如图，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤30，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交替一次，其余因素忽略不计．设汽车在第0秒出发，行驶ts后路程为Sm．下列选项表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况，“”表示绿灯亮，“”表示红灯亮．能反映速度V为绿灯速度的是（　　） A． B． C． D． 【分析】观察所给图象，找到经过A、B、C、D四个路口时均为实线的函数图象即为能反映速度V为绿灯速度的图象． 【解答】解：观察所给图象，只有选项C在经过A、B、C、D四个路口时均为实线，即经过该路口时为绿灯， 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．计算：＝ 　　 ． 【分析】因此此题可根据特殊三角函数值进行求解． 【解答】解：原式＝×﹣1 ＝﹣1 ＝． 故答案为：． 10．把多项式x2y﹣4y分解因式的结果是 y（x+2）（x﹣2）　 ． 【分析】直接提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解：x2y﹣4y ＝y（x2﹣4） ＝y（x+2）（x﹣2）． 故答案为：y（x+2）（x﹣2）． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝3，那么AC长为　4　 ． 【分析】利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，BC＝3， ∴AC＝＝＝4， 故答案为：4． 12．圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm，则烟囱帽的侧面积为 　1290π　 cm2．（结果保留π） 【分析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式代值求解即可得到答案． 【解答】解：∵圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm，母线长为43cm， ∴烟囱帽的侧面积（cm2）， 故答案为：1290π． 13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是c＜　 ． 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4×1×c＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣3）2﹣4×1×c＞0， 解得：c＜． 故答案为：c＜． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点E为BC的黄金分割点，若BC＝2，则CE的长为　﹣1　 ．（结果保留根号） 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵点E为BC的黄金分割点，BC＝2， ∴CE＝BC＝×2＝﹣1， 故答案为：﹣1． 15．“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，其示意图如图所示．该摩天轮的半径为60m，摩天轮匀速旋转一圈用时30min．某轿厢从点A出发，10min后到达点B，此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为　40π　 m．（结果保留π） 【分析】根据弧长公式计算即可． 【解答】解：此过程中该轿厢所经过的路径（即弧AB）长度为＝40π（m）． 故答案为：40π． 16．如图，A楼高32米，B楼坐落在A楼的正北面，已知当地冬至正午时太阳光线与水平面的夹角为30°．若A，B两楼相距20米，则A楼落在B楼上的影子DF有　12　 米． 【分析】此题可根据A楼，地面和光线正好构成直角三角形，利用勾股定理求解． 【解答】解：ED∥GH， 由题意∠H＝30°， ∴∠CDE＝∠H＝30°， ∵ED＝20米， ∴CE＝DE•tan30°＝20×＝20（米）． ∴DF＝EG＝CG﹣CE＝32﹣20＝12（米）． 故答案为：12． 17．我国古代数学家刘徽发现，圆内接正多边形边数不断增加时，多边形的周长就逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起完善的算法．如图，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连接AG，CF，AG交CF于点P，若AP＝3，则半径的长为　2　 ． 【分析】设正六边形外接圆的圆心为O，连接OA，易得△AFO是等边三角形，则OA＝AF，作AH⊥CF于H，判断出∠HAP和∠HAF的度数，进而根据AP＝3，求得AF的长度，即为半径的长度． 【解答】解：设正六边形外接圆的圆心为O， 连接OA，则∠FOA＝60°， ∵OF＝OA， ∴△AFO是等边三角形， ∴OA＝AF， 过A作AH⊥CF于H， ∴∠AHF＝90°， 由题意得，∠FAG＝180°×＝75°，∠CFA＝180°×＝60°， ∴∠FAH＝30°， ∴∠HAP＝45°， ∴△AHP是等腰直角三角形， ∵AP＝3， ∴AH＝＝3， ∴FH＝， ∴AF＝2， ∴OA＝AF＝2， 故答案为：2． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，由两个全等的矩形ABCD、矩形OEFG组成了“T”字形，AB＝2，BC＝8，BO＝3，若将矩形ABCD从如图位置沿着x轴方向平移中，使得点A落在点O处；整个过程中，用一个最小面积的圆（半径可变）将这个图案完全覆盖，则圆心经过的路程是　　 ． 【分析】作出FG的垂直平分线，交FG于点H，交EO于点M，交CD于点N，设完全覆盖这个图案的最小面积的圆的圆心为O′，连接O′F，O′C，利用垂径定理得到完全覆盖这个图案的最小面积的圆的圆心一定在FG的垂直平分线上，利用勾股定理求得起始位置与终止位置圆心到直线CD的距离即可． 【解答】解：作出FG的垂直平分线，交FG于点H，交EO于点M，交CD于点N，设完全覆盖这个图案的最小面积的圆的圆心为O′，连接O′F，O′C，如图， 则O′F＝O′C，FH＝HG＝4，DN＝NC＝1，HN＝HM+MN＝2+8＝10， 设O′N＝x，则O′H＝10﹣x， ∵O′F2＝FH2+O′H2，O′C2＝O′N2+CN2， ∴FH2+O′H2＝O′N2+CN2， ∴42+（10﹣x）2＝x2+12， ∴x＝． ∴O′N＝． ∵弦的垂直平分线经过圆心， ∴完全覆盖这个图案的最小面积的圆的圆心一定在FG的垂直平分线上， 当点A落在点O处时，作出FG的垂直平分线，交FG于点H，交EO于点M，交CD的延长线于点N，设完全覆盖这个图案的最小面积的圆的圆心为O′′，连接O′′F，O′′C，如图， 则CN＝CD+ND＝4+2＝6，HN＝10，O′′F＝O′′C， 设O′′N＝y，则O′′H＝10﹣y， 同理，由勾股定理得： 42+（10﹣y）2＝y2+62， ∴y＝4． ∴O″N＝4， ∴圆心经过的路程是O′O″＝O′N﹣O″N＝＝． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答） 19．先化简，再求值：，其中x＝3． 【分析】根据分式运算顺序进而化简，求出即可． 【解答】解： ＝（）÷ ＝（）× ＝， 当x＝3时，原式＝． 20．解方程或不等式组： （1）解方程x2﹣3x+2＝0； （2）解不等式组． 【分析】（1）利用因式分解法即可求解； （2）先求出每一个不等式的解集，在找两个解集的公共部分即可作答． 【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0 （x﹣1）（x﹣2）＝0， ∴x﹣1＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝1，x2＝2； （2）m 解不等式①，得：x＞3， 解不等式②，得：x＜5， 即不等式组的解集为：3＜x＜5． 21．青少年体重指数（BMI）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式，其计算公式：BMI＝（kg/m2），其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（BMI）分成四个等级（如表），为了解学校学生体重指数分布情况，某数学实践小组开展了调查． 等级 偏瘦A 标准B 超重C 肥胖D 男 BMI≤15.7 15.7＜BMI≤22.5 22.5＜BMI≤25.4 BMI＞25.4 女 BMI≤15.4 15.4＜BMI≤22.2 22.2＜BMI≤24.8 BMI＞24.8 【数据收集、数据整理】小组成员通过问卷调查，收集数据，并绘制统计图． 【问题解决、作出决策】根据以上信息，解决下列问题： （1）本次调查的总人数为　100　 ，并补全条形统计图； （2）一位男生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则他的体重指数BMI属于B 等级；（填A、B、C、D） （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为多少人？ 【分析】（1）用C等级的人数除以它所占百分比可得总人数；再求出B等级的人数，进而得出B等级女生人数，即可补全条形统计图； （2）用计算公式：BMI＝（kg/m2）可得答案； （3）利用样本估计总体即可． 【解答】解：（1）本次调查的总人数为：（8+5）÷13%＝100； B等级的女生人数为：100×71%﹣32＝39， 补全条形统计图如下： 故答案为：100； （2）＝20， 他的体重指数BMI属于B等级． 故答案为：B； （3）2000×＝200（人）， 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为200人． 22．学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（A：泥塑、B：机器人编程、C：航空航天VR体验），小红和小丽两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验． （1）小红选择A项目的概率是 　　 ； （2）用画树状图或列表等方法求小红和小丽选择不同体验项目的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案． （2）画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小丽选择不同体验项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【解答】解：（1）小红选择A项目的概率是． 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有9种等可能结果，其中小红和小丽选择不同体验项目，有6种， ∴小红和小丽选择不同体验项目的概率 ＝． 23．有一根10m长的铁丝，怎样用它围成一个面积为6m2的矩形？请求出这个矩形的长和宽．（用一元二次方程的知识解决） 【分析】设这个矩形的长为xm，则这个矩形的宽为（5﹣x） m，根据这个矩形的面积为6m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定结论． 【解答】解：设这个矩形的长为xm，则这个矩形的宽为＝（5﹣x） m， 根据题意得：x（5﹣x）＝6， 整理得：x2﹣5x+6＝0， 解得：x1＝2，x2＝3， 当x＝2时，5﹣x＝5﹣2＝3＞2，不符合题意，舍去； 当x＝3时，5﹣x＝5﹣3＝2＜3，符合题意． 答：这个矩形的长为3m，宽为2m． 24．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）与反比例函数为（x＞0）的图象交于A（4，1），B（，a）两点，点P在线段AB上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数y2的图象于点Q． （1）直接写出两个函数的解析式； （2）当x＞0且y1＞y2时，x的取值范围是　＜x＜4　 ； （3）设点P的横坐标为2， ①第一象限内，以原点O为位似中心，将△OPQ按位似比2：1放大，则点P的对应点的坐标是　（4，10）　 ； ②求△POQ的面积． 【分析】（1）将A点坐标代入即可得出反比例函数y2＝（x＞0），求得函数的解析式，进而求得B的坐标，再将A、B两点坐标分别代入y1＝kx+b，可用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）由题意即求y1＞y2的x的取值范围，由函数的图象即可得出反比例函数的值小于一次函数值的x的取值范围； （3）①根据位似三角形的性质即可求得； ②先求得Q点的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△POQ＝解得即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数为（x＞0）的图象经过点A（4，1）， ∴m＝4×1＝4， ∴反比例函数解析式为y2＝（x＞0）． 把B（，a）代入y2＝（x＞0），得a＝8． ∴点B坐标为（，8）， ∵一次函数解析式y1＝kx+b图象经过A（4，1），B（，8）， ∴， ∴， 故一次函数解析式为：y1＝﹣2x+9． （2）由图象可得，当x＞0且y1＞y2时，x的取值范围是＜x＜4． 故答案为：＜x＜4； （3）把x＝2代入y＝﹣2x+9得，y＝5， ∴P（2，5）， ①以原点O为位似中心，将△OPQ按位似比2：1放大，则点P的对应点的坐标是（4，10）， 故答案为：（4，10）； ②把x＝2代入y＝得，y＝2， ∴Q（2，2）， ∴PQ＝5﹣2＝3， ∴S△POQ＝＝＝3． 25．【汽车盲区与行车安全实践】请根据以下素材，完成探究任务： 汽车盲区是指司机位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域． 素材一 在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 如图1，某型号小汽车的车头、车尾盲区（可以近似看作矩形），以及两侧后视镜的可见区域． 素材二 如图2，若司机视线高度AB＝1.5m，车前盖最高处与地面距离CD＝1m，驾驶员与车头水平距离BE＝2m，车前盖最高处与车头水平距离DE＝0.5m，点M在EF上，ME＝0.8m． 问题解决 任务一 （1）如图2，求车头盲区EF的长度； 任务二 （2）如图2，在M处有一个高度为0.6m的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【分析】（1）根据题意得到△FCD∽△FAB，，且FB＝FD+BD＝FD+1.5，由此列式得到＝，即可求解； （2）过点M作MN⊥FB交AF于点N，可证△FMN∽△FDC，得到比例式，求出MN即可解答． 【解答】解：（1）根据题意知AB⊥BF，CD⊥BF，BE＝2m，DE＝0.5m， ∴BD＝BE﹣DE＝2﹣0.5＝1.5（m）， ∴△FCD∽△FAB， ∴，且FB＝FD+BD＝FD+1.5， ∴＝， 解得FD＝3， 经检验，FD＝3是原分式方程的解， ∴FD＝3m， ∴EF＝FD﹣DE＝3﹣0.5＝2.5m； （2）能，理由如下： 如图，过点M作MN⊥FB交AF于点N， ∴FM＝EF﹣ME＝2.5﹣0.8＝1.7（m），FD＝3m，MD＝ME+DE＝0.8+0.5＝1.3（m）， ∴△FMN∽△FDC， ∴， ∴MN＝＝≈0.57（m）， ∵0.57＜0.6， ∴驾驶员能观察到物体． 26．如图，点P是⊙O外一点，过点P的直线m与⊙O交于点A，过点A作弦AB，连接PB，PB经过圆心，与⊙O交于点E，连接AE，且满足∠PAE＝∠PBA． （1）在图1中，求证：直线m是⊙O的切线； （2）图2中，过点P作直线n∥AB，直线AE与直线n交于点K，直线n与圆O相切，切点是C，AP＝AB． ①求∠B的度数； ②若AK＝3，求⊙O的半径． 【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和切线的判定定理解答即可； （2）①连接OA，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和直角三角形的性质解答即可； ②利用平行线的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理解答即可． 【解答】（1）证明：连接OA，如图， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵BE为圆的直径， ∴∠EAB＝90°， ∴∠OEA+∠PBA＝90°， ∵∠PAE＝∠PBA， ∴∠OAE+∠PAE＝90°， 即∠OAP＝90°， ∴OA⊥AP， ∵OA为圆的半径， ∴直线m是⊙O的切线； （2）解：①连接OA，如图， 由（1）知：∠OAP＝90°， ∴∠APB+∠AOP＝90°， ∵AP＝AB， ∴∠B＝∠APB， ∵∠AOP＝2∠B， ∴∠B+2∠B＝90°， ∴∠B＝30°． ②连接OC，如图， ∵直线n∥AB， ∴∠PBC＝∠B＝30°， ∵∠APB＝∠B＝30°， ∴∠APK＝60°， ∵∠PAE＝∠PBA＝30°， ∴∠AKP＝90°， ∵AK＝3， ∴PK＝AK＝， ∴AP＝2PK＝2， ∵OA⊥AP， ∴OA＝PA＝2． ∴⊙O的半径为2． 27．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，且AD＞BD，点E是边AC上一动点（点E不与点A、点C重合），连接DE，过点C作CF⊥DE，交线段ED于点G，交线段AD于点F． （1）如图①，求证：△DCE∽△FBC． （2）如图②，若FC＝FB，BD＝2，CD＝4，分别求线段CF、线段DE的长． （3）若BD＝3，CD＝4，连接EF，且△EFG与△CDG相似，请直接写出CE的长． 【分析】（1）证明△DCE∽△FBC，对应边成比例即可解决问题； （2）由△DCE∽△FBC；BF＝CF，可得CD＝DE＝2，设BF＝CF＝m，则DF＝BF﹣BD＝m﹣2，可得（m﹣2）2+22＝m2，即可解得BF＝CF，DF＝m﹣2， （3）△EFG与△CDG相似，只需∠CDG＝∠FEG或∠CDG＝∠EFG，分两种情况讨论：①当∠CDG＝∠FEG时，②当∠CDG＝∠EFG时，根据相似三角形的判定与性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠DCE＝90°， ∴∠B＝∠DCE， ∵CD⊥AB，CF⊥DE， ∴∠BFC＝90°﹣∠FDE＝∠CDE， ∴△DCE∽△FBC； （2）解：如图： ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°，∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BCD＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCD+∠DCE＝90°， ∴∠B＝∠DCE， ∵CD⊥AB，CF⊥DE， ∴∠BFC＝90°﹣∠FDE＝∠CDE， ∴△DCE∽△FBC， ∴＝， ∵BF＝CF， ∴CD＝DE＝4， 设BF＝CF＝m，则DF＝BF﹣BD＝m﹣2， 由勾股定理可得，DF2+CD2＝CF2， ∴（m﹣2）2+42＝m2， 解得m＝5， ∴BF＝CF＝5； （3）解：∵∠CGD＝∠EGF， ∴△EFG与△CDG相似，只需∠CDG＝∠FEG或∠CDG＝∠EFG， ①当∠CDG＝∠FEG时，此时如图：EF∥CD， ∵BD＝3，CD＝4，CD⊥AB， ∴BC＝＝＝5， ∵∠B＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∠BDC＝90°＝∠DCA， ∴△BDC∽△CDA， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴AD＝，AC＝， ∵EF∥CD， ∴＝， ∴＝， ∴DF＝CE， 设CE＝x，则DF＝x， 由（1）知：△DCE∽△FBC， ∴＝， ∴＝， 解得x＝（负值舍去）， ∴x＝； ②当∠CDG＝∠EFG时， ∵CF⊥DE，CD⊥AB， ∴∠CDG＝90°﹣∠GDF＝∠DFG， ∴∠EFG＝∠DFG， ∵∠DGF＝90°＝∠EGF，GF＝GF， ∴△DGF≌△EGF（ASA）， ∴DG＝EG， ∴CF是DE的垂直平分线， ∴CE＝CD＝4， 综上所述，CE的长为或4． 28．在平面直角坐标系xOy中，对于点P和⊙C给出如下定义：若⊙C上存在点Q，使得△CPQ是直角三角形且∠PCQ＝α（α≠90°），则称点P是⊙C的关联点，称α为点P与⊙C的关联角． （1）如图，⊙O的半径为2． ①判断：点P1（，0），P2（4，0）是⊙O的关联点吗？若是，请直接写出该点与⊙O的关联角度；若不是，请说明理由； ②点B是平面内一点，点D（m，3），当﹣3≤m≤3时，以D为圆心、BD为半径的圆上的所有点都是圆O的关联点，则线段BD的长度l的取值范围为　0＜l＜3﹣2或l＞3+2　 ； （2）已知点E（1，2），F（3，4），T（t，3﹣t），t＞0，圆T的半径为4，若线段EF上的所有点都是圆T的关联点，且这些点与圆T的关联角度都不超过60°，直接写出t的取值范围． 【分析】（1）①根据定义作出图形判定即可其是否为关联点，求出关联角的余弦值即可得出关联角的度数． ②分为⊙B与⊙O相离或⊙B包含⊙O两种情况进行讨论，然后根据⊙B与⊙O的位置关系即可求出在不同情况时l的范围 （2）先判定⊙T在射线MN上运动，然后根据⊙T与线段EF是否有公共点即可判定t的取值范围． 【解答】解：（1）①如图，AP1⊥x轴，OB⊥BP2， 根据定义可知，当点P不在⊙O上时都是⊙O的关联点，则点P1和P2都是⊙O的关联点． 在Rt△OP1A中，cos∠P1OA＝，则∠P1OA＝45°； 在Rt△P2BO中，cos∠P2OB＝，则∠P1OA＝60°； 故点P1和P2都是⊙O的关联点．关联角分别为45°和60°． ②如图，M（3，3），N（﹣3，3），点D在线段MN上，点G为MN与y轴的交点，⊙G、⊙M分别与⊙O相切与H、K． 由①可知当⊙D与⊙O相离时，⊙D上的点都是⊙C的关联点． ∴可由点D在线段MN上的位置，通过作⊙D与⊙O相切，可由⊙D的半径确定线段BD的长度l的范围． 当⊙O与⊙D相离时，⊙D上的所有点都在⊙O之外，符合题意： ∵OG＝GH+OH＝3，OM＝＝3＝OK+KM，OK＝OH＝2， ∴GH＝1，KM＝3﹣2． ∴0＜l＜3﹣2． 当⊙D包含⊙O时，⊙D上的所有点也在⊙O之外，符合题意： 此时l＞KM+4，即l＞3+2． 故答案为：0＜l＜3﹣2或l＞3+2． （2）如图，点M（0，3），点N（3，0），⊙M、⊙N、⊙H都是半径为4的等圆，且圆心都在射线MN上．点F在⊙N上，点E在⊙H上． 根据题意yT＝3﹣xT，由于xT＞0，则点T在射线MN：y＝﹣x+3上， 从图中可以看出，当点T在线段MN（不包括两个端点）上时，线段EF上所有点都在⊙T内，都是⊙T的关联点，符合题意． 此时0＜t＜3， 当点T在线段NH上时，⊙T与线段EF有公共点，不符合题意． 当点T在线段NH的延长线上时，即t＞xH，⊙T与线段EF无公共点，线段EF上所有点都是⊙T的关联点，符合题意． 此时xH＝xE+4×cos45°＝1+2，故t＞1+2， 综上，0＜t＜3或t＞1+2． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $