精品解析：吉林省松原市吉林油田第十二中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

吉林油田第十二中学2025-2026学年度第一学期期中质量检测初三数学试卷 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 8. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式是______． 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______ ． 10. 《周礼》中有记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，经测量，弦，过弦的中点C作交圆弧于点D，且．该车轮的半径等于______． 11. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用配方法解方程：x2﹣2x﹣8=0． 13. 已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断点是否在此抛物线上． 14. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE． （1）求证：DE∥BC； （2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长． 15. 某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 16. 已知二次函数（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，求a的值． （2）在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，点在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心． （2）在图2中，在圆上找一点，使得成立． （3）在图3中，在圆上找一点，使得，并简要说明你的依据． 18. 如图， 是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果， 的半径是． （1）求证：是的切线． （2）求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 20. 【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 21. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）求几秒后，的面积等于． （2）、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交点，点，与轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为5时，求此时点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，连接交轴于点． ①当时，求点的坐标． ②当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林油田第十二中学2025-2026学年度第一学期期中质量检测初三数学试卷 （试卷满分120分，时间120分钟） 一、选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握中心对称图形的定义． 根据中心对称图形的定义对选项进行逐一分析即可得解． 【详解】解：选项A，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项A错误； 选项B，符合中心对称图形定义，是中心对称图形，符合题意，选项B正确； 选项C，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项C错误； 选项D，不符合中心对称图形定义，不是中心对称图形，不符合题意，选项D错误． 故选：B． 2. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，掌握其概念是解题的关键． 一元二次方程的概念，含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、含有一个未知数，但未知数的最高次数为1，不符合题意； D、不是整式方程，不符合题意； 故选：A ． 3. 如图，点在上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 直接根据圆周角定理即可得． 【详解】解：∵， ∴由圆周角定理得：， 故选：B． 4. 若是关于的二次函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，因此令系数即可求解． 【详解】∵函数是关于的二次函数， ∴二次项系数， ∴． 故选：D． 5. 如图，将绕着点顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质得出，，再求出，进而根据角的和即可得到问题答案． 【详解】解：将绕着点顺时针旋转后得到，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称性，开口方向等知识是关键． 根据二次函数图象开口，对称性得到时，，结合特殊值即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下， ∴， ∵二次函数的部分图象与轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标是， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为， ∴， ∴B选项正确，符合题意； ∴， ∴，故C选项错误； 当时，， ∴当时，，则，故A选项错误； 当时，，故D选项错误； 故选：B ． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 若关于的一元二次方程的一个根是2，则的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解．把代入方程，列出关于的方程，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：1． 8. 将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的新抛物线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移个单位长度，得到，再向下平移个单位长度，得到， 故答案为：． 9. 已知是一元二次方程的一个根，则的值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 《周礼》中有记载：“……故兵车之轮六尺有六寸，田车之轮六尺有三寸，乘车之轮六尺有六寸……”如图，在车轮上取A，B两点，设所在圆的圆心为O，经测量，弦，过弦的中点C作交圆弧于点D，且．该车轮的半径等于______． 【答案】75 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理的应用，熟知以上知识是解题的关键． 连接，设的半径为．由垂径定理可知，，三点共线，再由勾股定理即可得出结论． 【详解】解：如图，连接，设的半径为． 为的中点且， 三点共线， ． 在中，， 即， 解得． 故答案为：． 11. 如图，直线，垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，证明四边形是矩形，则，同理可知，四边形是矩形，则，由中心对称，得到，，图形①与图形②面积相等，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵于点． ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可知，四边形是矩形， ∴， ∵曲线关于点成中心对称，点的对称点是点， ∴，，图形①与图形②面积相等， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共87分） 12. 用配方法解方程：x2﹣2x﹣8=0． 【答案】x1=4，x2=﹣2 【解析】 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方，开方即可求出解． 【详解】方程移项得：x2﹣2x=8， 配方得：x2﹣2x+1=9，即（x﹣1）2=9， 开方得：x﹣1=3或x﹣1=﹣3， 解得：x1=4，x2=﹣2． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 13. 已知二次函数图象与轴的交点是，，与轴交于． （1）求该抛物线的解析式； （2）判断点是否在此抛物线上． 【答案】（1） （2）不在 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数，掌握待定系数法，函数值的计算是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据自变量的值求函数值，再进行判定即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把，，， 代入，得：， 解得，， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ， ∴点不在此抛物线上． 14. 如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，将△BCD绕点C旋转得到△ACE． （1）求证：DE∥BC； （2）若AB＝8，BD＝7，求△ADE的周长． 【答案】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴ ∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE， 是等边三角形 ； （2）15 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，进而证明是等边三角形，进而可得，即可证明； （2）根据旋转的性质可得，又是等边三角形，则，即可求得△ADE的周长等于 【详解】（1）略 （2）∵将△BCD绕点C旋转得到△ACE， 是等边三角形， AB＝8，BD＝7， △ADE的周长等于 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形全等的性质，等边三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质是解题的关键． 15. 某市第四中学将组织一次八年级篮球联赛，赛制为单循环（每两队之间赛一场），恰好需要打场比赛，问共有多少支球队参加比赛？ 【答案】有支球队参加比赛 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应邀请支球队参加比赛，根据计划安排171场比赛，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】设有支球队参加比赛，由题意得， ， 解得， 又 有支球队参加比赛． 16. 已知二次函数（a为常数）． （1）若二次函数的图象经过点，求a的值． （2）在（1）的条件下，当时，求y的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的图象与性质等知识． （1）把点代入即可求出； （2）先把二次函数配成顶点式，得到当时，y随x的增大而增大，再分别把和代入函数解析式，即可求出y的取值范围为． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数为； 【小问2详解】 解：由二次函数 ∴当时，y随x的增大而增大． 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围为． 17. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，圆上三点、、均为格点，点在圆上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，完成下列各题： （1）在图1中，画出圆心． （2）在图2中，在圆上找一点，使得成立． （3）在图3中，在圆上找一点，使得，并简要说明你的依据． 【答案】（1） 圆心如图所示： ； （2） 点如图所示： （3） 点如图所示： 由作图知，直线是的一条对称轴，且点和点关于直线对称， ∴点和点关于直线对称， ∴直线， ∵直线，， ∴． 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，交于点，点即为圆心； （2）因为为的直径，则，则，只要过点作直径，就有； （3）作的垂直平分线，连接交直线于点，再连接并延长交于点，则点即为所作． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了格点作图，圆周角定理，勾股定理，圆的对称性，掌握圆的基本性质是解题的关键． 18. 如图， 是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果， 的半径是． （1）求证：是的切线． （2）求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，是的半径 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查切线的判定，扇形面积的计算，掌握圆的基础知识是关键． （1）根据圆周角定理得到，根据平行线的性质，切线的判定方法即可求解； （2）根据题意得到，，由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵的半径是， ，， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ． 19. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用长的栅栏围成一个矩形花园（栅栏只围，两边），设，花园的面积为． （1）当为何值时，花园面积有最大值？最大值为多少？ （2）若在墙角处有一棵树与墙，的距离分别是和，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），当花园面积最大时，的长为多少？ 【答案】（1）当时，花园面积最大，为100平方米； （2）当花园面积最大时，的长为8米． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意，列出函数关系式是解题关键． （1）利用矩形的面积公式列出关系式，然后化为顶点式即可求解； （2）根据题意，求出的取值范围，利用二次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，得：， ∴当时，花园面积最大，为100平方米； 【小问2详解】 由题意，得， 解得； ∵， ∴时，随着的增大而增大， ∴当时，有最大值， ∴当花园面积最大时，的长为8米． 20. 【综合与探究】 乒乓球被誉为中国国球．在世界乒乓球大赛中，中国队经常夺得冠军，成绩的取得与平时的刻苦训练和精准的技术分析是分不开的，如题图1，是乒乓球台的截面示意图，一位运动员从球台边缘正上方以击球高度为的高度，将乒乓球向正前方击打到对面球台，乒乓球的运行路线近似是抛物线的一部分，如题图2所示． 乒乓球到球台的竖直高度记为y（单位；cm），乒乓球运行的水平距离记为x（单位；cm）测得数据如下表所示： 水平距离 0 10 50 90 130 170 230 竖直高度 28.75 33 45 49 45 33 0 （1）在平面直角坐标系中，描出表格中各组数值所对应的点，并画出表示乒乓球运行轨迹形状的大致图象； （2）①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm； ②求满足条件的抛物线解析式； （3）技术分析：如果只上下调整击球高度，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②，乒乓球台长为，球网高为，现在已经计算出乒乓球恰好过网的击球高度的值约为．请你计算出乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值（乒乓球大小忽略不计） 【答案】（1） 如图所示： （2）①；；② （3）乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为 【解析】 【分析】（1）根据描点法画出函数图象即可求解； （2）①根据二次函数图象的对称性求得对称轴以及顶点，根据表格数据，可得当时，； ②待定系数法求解析式即可求解； （3）根据题意，设平移后的抛物线的解析式为，根据题意当时，，代入进行计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①观察表格数据，可知当和时，函数值相等，则对称轴为直线，顶点坐标为， 又抛物线开口向下，可得最高点时，与球台之间的距离是， 当时，， ∴乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是； 故答案为：；． ②设抛物线解析式为，将代入得， ， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问3详解】 ∵当时，抛物线的解析式为， 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为，则平移距离为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 依题意，当时，， 即， 解得：． 答：乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球高度的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，画二次函数图象，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 21. 如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动，当一个点到达终点时另一点也随之停止运动，设运动时间为秒． （1）求几秒后，的面积等于． （2）、在运动过程中，是否存在时间，使得的面积最大，若存在，求出此时的值和最大面积；若不存在，说明理由． 【答案】（1）1秒 （2）存在，当时，面积最大为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的性质，会求二次函数的最值是解题的关键． （1）设经过秒以后△面积为6，根据题意，得，求出即可； （2）由题意得，再求最大值即可． 【小问1详解】 解：设经过秒以后面积为6， ，，．点从点开始沿边向点以的速度移动，同时点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ． 或； 当一个点到达终点时另一点也随之停止运动， ．． ． 答：1秒后的面积等于； 【小问2详解】 解：存在时间，使得的面积最大， 理由如下： 由题意得：， 当时，面积最大为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交点，点，与轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线解析式； （2）如图①，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为5时，求此时点的坐标； （3）若点为抛物线上一点，连接交轴于点． ①当时，求点的坐标． ②当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的横坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）①点或；②或 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的计算得到直线的解析式，设，结合几何图形面积的计算得到，由此即可求解； （3）①根据题意得到或，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可； ②根据直角三角形的性质，分类讨论，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于点，点坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：抛物线解析式为， ∴当时，，则， 当时，，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方的抛物线上一点， ∴设， 如图所示过点作轴，交于点， ∴，， ∴ ， ∵的面积为5， ∴， 整理得，， 解得，， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴点的坐标为或； 【小问3详解】 解：①，，连接交轴于点， ∴，则或， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，点或； ②如图所示，是以为直角边的直角三角形， 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 综上所述，当是以为直角边的直角三角形时，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形面积的计算，一次函数解析式的计算，二元一次方程组的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $