期末复习05实际问题与二次函数期末冲刺通关讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末复习05实际问题与二次函数复习通关讲义 期末必备 知识点梳理 1.建模流程与函数性质 2.四大高频题型+解题密钥 3.易错点与避坑指南 4.特殊场景与综合应用 5.模型拓展:期末复习建议 常考题型 精讲精炼 1.二次函数应用:图形基础问题 2.二次函数应用:图形运动问题 3.二次函数应用:拱桥模型问题 4.二次函数应用:销售实际问题 5.二次函数应用:投球轨迹问题 6.二次函数应用:喷水轨迹问题 7.二次函数应用:其他实际问题 8.二次函数综合:面积最值问题 9.二次函数综合:线段周长问题 10.二次函数综合:其他综合问题 期末备考 压轴通关 压轴题(10) 【知识点01.建模流程与函数性质】 （一）建模五步法（通用且规范） 1.审题：拆解已知量、未知量，明确变量关系（如利润与销量、边长与面积），锁定自变量 x 与因变量 y。 2.设元：设 x 为核心变量（如涨价金额、矩形边长），用含 x 的代数式表示关联量（如销量、另一边长）。 3.列函数式：依据等量关系（面积、利润、物理公式等）列表达式，整理为一般式 y=ax²+bx+c（a≠0）或顶点式 y=a (x−h)²+k（a≠0）。 4.求解： *一般式：用 x=−b/(2a) 求对称轴，代入得最值； *顶点式：由顶点 (h,k) 直接得最值； *严格限定自变量取值范围（如边长 > 0、销量≥0、价格≥成本），判断最值有效性。 5.检验作答：验证结果符合实际，规范书写结论。 （二）二次函数最值核心性质 条件 开口方向 最值类型 最值位置 备注 a>0 向上 最小值 顶点 (h,k) 的纵坐标 k 无最大值，自变量范围影响实际取值 a<0 向下 最大值 顶点 (h,k) 的纵坐标 k 无最小值，自变量范围影 （三）表达式转化技巧 1.一般式转顶点式：配方法，如 y=−2x²+8x+5=−2 (x−2)²+13。 2.顶点式转一般式：展开整理，如 y=3 (x−1)²−4=3x²−6x−1。 3.关键作用：配方法便于快速找顶点与最值；公式法适合复杂系数计算，期末解题可灵活切换。 【知识点02.四大高频题型+解题密钥】 (一）面积最值问题（几何类） 1.核心场景：靠墙围矩形、矩形内截矩形、矩形与三角形组合等。 2.解题密钥 *设变量：优先设与边长相关的量，如靠墙围矩形设垂直墙的边长为 x。 *表边长：用总长度或已知边长表示另一边长（如总长 L，靠墙围矩形则平行墙边长为 L−2x）。 *列函数：按面积公式列二次函数，结合边长为正确定 x 范围。 3.进阶变式：矩形中挖去小矩形、三角形与矩形拼接求面积最值，核心仍是 “用 x 表边长→列函数→求最值”。 4.示例：用 30m 篱笆靠墙围矩形，设垂直墙边长 x m，平行墙边长 (30−2x) m，面积 y=x (30−2x)=−2x²+30x，x∈(0,15)，当 x=7.5 时，最大面积 56.25m²。 （二）利润最值问题（经济类，期末大题高频） 1.核心公式（必背） *单件利润 = 售价−进价； *总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总售价−总进价； *销量规律：涨价时销量减少，降价时销量增加，按题干比例表销量。 2.解题密钥 *区分涨价 / 降价场景，销量表达式不同（如涨价 x 元，销量 = 原销量−kx；降价 x 元，销量 = 原销量 + kx）。 *自变量范围：x≥0 且销量≥0，价格≥进价。 3.示例：商品进价 50 元，售价 80 元时卖 100 件，每涨价 2 元少卖 5 件，设涨价 x 元，总利润 y=(30+x)(100−2.5x)=−2.5x²+25x+3000，x∈[0,40]，当 x=5 时，最大利润 3062.5 元。 （三）抛物线型实际问题（轨迹类，如拱桥、运动轨迹） 1.核心思路：建平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数解析式，再求解。 2.坐标系设定技巧（简化计算） *优先以顶点为原点（如拱顶、最高点），对称轴为 y 轴，解析式为 y=ax²； *若顶点不在原点，设为 y=a (x−h)²+k，代入两点求 a、h、k。 3.常见场景 *拱桥：求水面宽度、水位高度； *抛体运动：求最大高度、落地时间、水平射程； *隧道 / 门洞：求通过高度、宽度。 4.示例：抛球时，球的高度 y (m) 与时间 x (s) 满足 y=−5x²+10x+1，顶点 (1,6)，最大高度 6m，当 y=0 时，x=1+（舍去负根），落地时间 1+s。 （四）费用最值问题（拓展高频） 1.核心场景：用料最省（如制作容器、管道）、成本最低（如生产调配）。 2.解题关键：根据用料 / 成本公式列函数，结合自变量范围求最值（如容器体积固定，求表面积最小）。 【知识点03.易错点与避坑指南】(期末提分关键) （一）自变量取值范围易错点 1.常见错误：忽略范围，导致顶点值无效（如边长为负、销量为负）。 2.避坑方法： *利润问题：x≥0，销量 = 原销量 ±kx≥0，售价 = 原价 ±x≥进价； *面积问题：边长 > 0，总长−2x>0； *轨迹问题：时间 x≥0，高度 y≥0。 （二）公式与计算易错点 *公式混淆：误将总利润 = 售价 × 销量，正确为总利润 = 单件利润 × 销量。 *计算失误： *顶点公式 x=−b/(2a) 中，b 为负时漏负号； *配方时，常数项计算错误（如 y=−x²+6x+3=−(x²−6x)+3=−(x−3)²+12，易错算为−(x−3)²+3）。 （三）坐标系设定错误 建系时未选最优位置，导致解析式复杂、计算出错，优先以顶点为原点简化计算。 【知识点04.特殊场景与综合应用】 （一）分段二次函数问题 1.场景：价格分段调整、销量分段变化，需分区间列函数，分别求最值，再综合比较。 2.解题关键：明确分段节点，各区间内独立建模，最后整合结果。 （二）二次函数与一次函数 / 方程综合 1.场景：利润问题中销量与价格为一次函数关系，先求一次函数解析式，再列二次函数2.求最值；求抛物线与直线交点，转化为解一元二次方程。 3.解题关键：先处理一次函数，再衔接二次函数，利用方程根的判别式判断交点个数。 【知识点05.期末复习建议】 1.重点练利润问题和抛物线型问题，这两类是期末大题核心； 2.每道题严格按 “建模五步法” 书写，规范步骤，避免步骤分丢失； 3.整理错题本，标注易错点（如取值范围、公式错误），针对性强化； 4.训练 “快速建系” 能力，提高抛物线型问题解题效率。 【题型1.二次函数应用:图形基础问题】 【典例】如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查二次函数最值以及四边形面积的求法， （1）由，得到，根据三角形的面积公式并结合推出四边形的面积为，代入即可解答； （2）设，四边形面积为S，由（1）可得，根据二次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 设交于点， ∵四边形的两条对角线，互相垂直， 即， ∴ ； 故答案为：12； （2）解：设，四边形面积为S， 则， 由（1）得到， ∴， ∵， ∴当时，四边形的面积最大，最大值为， 此时， ∴当时，四边形的面积最大． 【跟踪训练1】如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【答案】(1) (2)当时，矩形花圃面积最大，最大值为 【分析】本题主要考查矩形的性质，二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是关键． （1）根据矩形的性质，用代数式表示即可； （2）根据题意，列式子，运用二次函数图象的性质求解即可． 【详解】（1）解：篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门，设垂直于墙的一边为，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：设矩形花圃面积为， ∴， ∵， ∴有最大值，当时，矩形花圃面积最大，最大值为． 【跟踪训练2】某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 【题型.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【答案】(1)2或4 (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键． （1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可； （2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，则, 则， 即， 解得或 答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米； （2）解：设运动时间为秒，则, 则， 当时，有最大值，最大值为， 则五边形的面积最小值为：， 答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是． 【跟踪训练1】如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列代数式，二次函数与实际问题，二次函数的性质． （1）根据路程速度时间就可以表示出，再根据求出； （2）根据点Q运动到点C时，两点停止运动得到，根据列出函数解析式； （3）根据（2）的函数解析式，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：当运动t秒时，， ∴． 故答案为： ． （2）解：∵点P从点A运动到点B，需要时间为， 点Q从点B运到到点C，需要时间为， 又点Q运动到点C时，两点停止运动， ∴． ∵，，，，， ∴， ， ∴， ∴S与t的函数解析式为． （3）解：∵， ∵， ∴当时，阴影部分的面积S最小，为． 【跟踪训练2】已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)存在，3.5或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线、旋转、平移的性质等，要注意的是（2）中，要根据点的不同位置进行分类求解；（3）中要确定点的位置，是解答的关键． （1）运动一，停止时，，用时为秒；运动二，停止时，，用时为秒；运动三，点与点重合时，，用时为秒，可算出总用时； （2）运动一，与的重叠部分为直角的面积，表示出即可；运动二，连接，可得，，，所以，与的重叠部分不变：；运动三，四边形为矩形，，，所以，； （3）点在线段的中垂线上，连接，可得，可得，计算出，由，可得，解答出即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 运动一： 是等腰三角形，，， ， 运动一所用时间为：（秒）， 运动二： 当时暂停旋转， ， 运动二所用时间为：（秒）， 运动三： ， 运动三所用的时间为：（秒）， 整个过程共耗时（秒）； 故答案为：10； （2）解：运动一：如图2， 设为，则为， ， 与之间的函数关系式为：， 运动二：如图3，连接， 在和中， ， 与之间的函数关系式为：， 运动三：如图4， 可得四边形为矩形， ， ， ； 与之间的函数关系式为：， 综上可得，； （3）解：存在点，理由如下： 如图5，连接， 运动一： 点在线段的中垂线上， ， ， ，， 解得，， ， ， 此时，为：秒． 如图6， 运动二： 同理：， 过点作交于点，， 在中，， ， ； 运动三时，最大为， 所以无解． 综上，或时，点正好在线段的中垂线上． 【题型3.二次函数应用:拱桥模型问题】 【典例】如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【答案】 【分析】此题考查待定系数法求函数解析式，根据实际问题得到图象上点的坐标，设定函数解析式是解题的关键．由题意可知，顶点坐标，设二次函数顶点式，将代入求出，即可得到抛物线的表达式． 【详解】解：由题意可知，顶点坐标， 设抛物线解析式为， 将代入得， 解得：， 则抛物线的表达式． 【跟踪训练1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． (1)若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式； (2)已知小兰的身高是，桨板厚度为，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意建立合适的坐标系并得到对应的坐标，利用待定系数法求解是解决本题的关键． （1）利用待定系数法，根据建立的坐标系以及已知条件，求出点A，C的坐标，然后代入求解即可； （2）根据题意可知当时，解方程求出x的值即可确定安全行驶的范围． 【详解】（1）解：以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系， 由题意得，点C的坐标为， ∴点A的坐标为， 设抛物线的表达式为（）， 把代入，得， 解得：， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：∵， ∴当时，， 解得， ∴在河道中可通行的安全范围是． 【跟踪训练2】龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 【答案】(1)拱桥最高点到水面的距离为 (2)应设置宽的航道 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）根据水面宽度，且抛物线关于轴对称，求得点的横坐标为，将代入，进行计算求解即可； （2）根据题意可得安全高度对应的坐标，再将坐标代入抛物线，解出的值，计算此时宽度，结合设计4道航道，从而判断解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 则点的横坐标为， 将代入，得 因此，拱桥最高点到水面的距离为； （2）解：根据题意得， 将代入， 得 解得或 则 由于航道最宽为，， 则应设置宽的航道． .【题型4.二次函数应用:销售实际问题】 【典例】.年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【答案】每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题时要能找准等量关系，正确列出二次函数解析式是解题的关键． 先设每个降价元，每天的利润为元，则依题意可得，，再根据自变量的取值范围求最大值即可． 【详解】解：设每个降价元，每天的利润为元， 则依题意可得， ． 且， ． ， 当时，． 答：每个应降价元，才能使每天利润达到最大，最大利润为元． 【跟踪训练1】销售公司购进某种商品，购进价格为50元/千克．物价部门规定其销售单价不得高于80元/千克，也不得低于50元/千克．公司经过市场调查发现：销售单价定为80元/千克时，每天可销售200千克；单价每降低 1元，每天可多销售20千克．单价定为多少元时，商场每天可获得最高利润？ 【答案】当单价定为70元时，商场每天可获得最高利润 【分析】本题主要考查二次函数的应用，根据总利润=单件利润×销售量可得；再将函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得． 【详解】解：设销售单价为x元，每天可获利润为y元． ． ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵， ∴当单价定为70元时，商场每天可获得最高利润． 【跟踪训练2】某民宿有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天180元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高15元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天30元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元（x是15的倍数）． (1)填表（无需化简）： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） (2)若该民宿希望每天纯收入为18000元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） (3)求该民宿每天纯收入y的最大值以及此时每间客房的定价． 【答案】(1)见解析 (2)480元 (3)18375元，555元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意得每日纯收入为，令，得方程，然后解方程并检验即可； （3）由题意得纯收入函数为，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每间客房的定价提高了x元，则：入住的客房数量为间，每间客房的定价为元，每间客房的纯收入为元， 填表如下： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） （2）解：每日纯收入为， 令，得方程， 化简得， 解得或， 对应定价分别为元，元， 其中定价480元时入住客房数为间， 定价630元时入住间． 为让利于民、吸引更多游客，应选择较低定价480元，即480元． （3）解：纯收入函数为 此为开口向下的二次函数，最大值在顶点处取得： 是15的倍数，符合条件 此时定价：，最大纯收入：    ， 答：最大纯收入为18375元，此时每间客房定价为555元． 【题型5.二次函数应用:投球轨迹问题】 【典例】一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的相关性质是解题关键． （1）解方程即可； （2）由题意得：抛物线的对称轴直线为，求出铅球的最大高度即可判断； 【详解】（1）解：令，解方程得： （舍）， ∴铅球推出的水平距离为； （2）解：由题意得：抛物线的对称轴直线为， 当时，， ∴铅球行进高度能达到3米； 【跟踪训练1】某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)运动员落水点E与点C的距离为5米 【分析】本题考查了二次函数的应用，数形结合并熟练掌握运用待定系数法求抛物线的解析式是解题的关键． （1）依据题意，可以为横轴，为纵轴建立直角坐标系，根据抛物线顶点坐标为，可设抛物线解析为：，将点代入可得； （2）在（1）中函数解析式中令，求出x即可． 【详解】（1）解：根据题意，以为横轴，为纵轴建立直角坐标系， ∴可得抛物线顶点坐标为，， ∴设抛物线解析为：， ∴， ∴， ∴（答案不唯一）； （2）解：由题意可得：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交点为：， 答：运动员落水点E与点C的距离为5米． 【跟踪训练2】综合与实践 根据以下素材，完成探究任务：城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距B处的O处，石块从O处竖直方向上的C处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①参照图2所建立的坐标系，直接写出两点的坐标，并求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)设点C与O的距离为，直接写出t在什么范围内时，防守方无须加高城墙？【注：不考虑刚好经过点D的情况】 【答案】(1)①，，抛物线的解析式为；②进攻方的石块能飞进防守方的城墙，城墙应加建以上 (2)当时，防守方无须加高城墙 【分析】本题考查了二次函数的应用，不等式的应用，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． （1）①以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 则，设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； ②令，求出值，即可判断进攻方的石块能飞进防守方的城墙，用求出的值减去城墙高度即可得到城墙应加建多高； （2）设抛物线的解析式为，，则，得到，抛物线的解析式为，根据题意可得：当时，，即可求解． 【详解】（1）①，， ， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 令，则， ， 进攻方的石块能飞进防守方的城墙， ， 城墙应加建以上； （2）设抛物线的解析式为，，则， 将代入抛物线解析式得：， ， 抛物线的解析式为， 当时，， 解得：， 当时，防守方无须加高城墙． 【题型6.二次函数应用:喷水轨迹问题】 【典例】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)水流不会碰到这棵景观树，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）中的解析式，再与4进行比较即可． 【详解】（1）解：根据题意得：水流运行轨迹的最高点的坐标为，过点， 设水流运行轨迹的函数解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流运行轨迹的函数解析式为； （2）解：水流不会碰到这棵景观树，理由如下： 当时，， ∴水流不会碰到这棵景观树． 【跟踪训练1】某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设当时的函数解析式为，利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出该函数与y轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解：设当时的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴第一象限内的函数解析式为， 在中，当时，， ∴抛物线与y轴交于点， ∴这个装饰物应设计为． 【跟踪训练2】某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【题型7.二次函数应用:其他实际问题】 【典例】某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，则该车需要刹车时，它从开始刹车到停下来一共前进了多少m？ 【答案】从开始刹车到停下来一共前进了． 【分析】根据二次函数的顶点坐标即可求解． 本题考查了二次函数的最值，利用顶点坐标求解是解题的关键． 【详解】解：． 因为， 当时，s取得最大值为． 即刹车3秒后，汽车停下来． 故从开始刹车到停下来一共前进了． 【跟踪训练1】如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． (1)写出和的解析式：__________； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)锅盖不能正常盖上，理由见解析 【分析】考查了二次函数的综合应用，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征等，注意数形结合思想在解题中的应用. （1）已知、、、四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式； （2）烹饪时锅内的水位高度是，即，列方程求得x的值即可得答案； （3）底面直径为、高度为圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当时，、中的值的差与比较大小，从而可得答案． 【详解】（1）解：由于抛物线、都过点、，设、的解析式为：，； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线； 抛物线还经过， 则有：，解得： 即：抛物线， 故答案为：，． （2）解：当烹饪时锅内的水位高度是时，则， ∴， 解得：， ∴此时水面的直径为． 故答案为：； （3）解：锅盖不能正常盖上，理由如下： 当时，抛物线， 抛物线， 而， ∴锅盖不能正常盖上． 【跟踪训练2】某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【答案】(1)，； (2)两个位置之间的距离 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵火箭第二级的引发点的高度为， ∴抛物线和直线均经过点， ∴，， 解得，， ∴函数解析式分别为：，； （2）解：， ∴最大值， 当时，则， 解得，， 又∵时，， ∴当时，则． 解得， ， ∴这两个位置之间的距离． 【题型8.二次函数综合:面积最值问题】 【典例】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点坐标求解及三角形面积的计算，熟练掌握二次函数与坐标轴交点的求法是解题的关键． 先求出二次函数与轴的交点、的坐标，得到的长度；再求出与轴交点的坐标，得到点到轴的距离；最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴，点到轴的距离为． ∴． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先判断点B、C在直线上方，求得直线的解析式为，由题意，，，，则，四边形面积，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， 解得：； （2）解：由（1）知，， ∵， ∴，则点B、C在直线上方，如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴ 解得：， ∴直线的解析式为， 由题意，，，，则，， ∴，， ∴四边形面积为 ， ∵，， 当时，最大，最大值为2， 故四边形面积的最大值为2． 【跟踪训练2】过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据，，可得，将，代入，利用待定系数法求解； （2）由二次函数的对称性可得，，当点P在直线上时，和最小，因此求出直线与对称轴的交点即可； （3）过点作轴的平行线交于点，设，则点，则，根据列式求出m的值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：点P是抛物线对称轴上的一个动点，抛物线与x轴交于点A，C， ， ， 当点P在直线上时，和最小， 对称轴：直线， 设直线解析式为， 将，代入，得： ， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴ （3）解：抛物线于轴交于，两点， 令，则， 解得，， ∴，， ∴． 过点作轴的平行线交于点， 设，则点， 则， ， ∴， 解得或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的对称性，线段最值问题，铅垂法求三角形面积等，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【题型9.二次函数综合:线段周长问题】 【典例】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，二次函数的综合应用，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键： （1）分别令，进行求解即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴的交点即为点． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，； ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接，则：与对称轴的交点即为点， ∵， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：， 解得：； ∴， ∴当时，； ∴． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【答案】(1)点C的坐标为或或或； (2)13 【分析】本题主要考查了二次函数与x轴交点问题、二次函数点的坐标特征、二次函数最值问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点E坐标，进而利用面积公式求出点C纵坐标，代入二次函数求解即可； （2）设点D的横坐标为m，用m表示出矩形的长和宽，然后利用矩形的周长计算公式列出函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：令得，或6， ∴，即， ∴， 解得， 当时，即， 解得， ∴或； 当时，即， 解得或4， ∴或； 综上，点C的坐标为或或或； （2）解：设点， ∴． 又抛物线的对称轴是直线， ∴C的横坐标为． ∴． ∴矩形的周长． ∴当时，周长L有最大值13． 故答案为：13． 【跟踪训练2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于，若存在求出点坐标，若不存在说明理由； (3)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长． 【答案】(1) (2)存在，坐标为、、、； (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求的长度，再结合三角形面积公式得点的纵坐标，代入抛物线解析式求横坐标； （3）先求得直线的解析式为，设，则，利用对称性质求得，推出，，利用矩形周长公式列一元二次方程计算即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于,与轴交于点， ∴． 解得． ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，即， 解得或 则点的坐标为， ， 设，则 即，解得 当时，即 解得或 的坐标为或； 当时，即 解得或 的坐标为或； 所以存在点使得的面积等于，坐标为、、、； （3）解：∵已知点与， ∴设直线的解析式为， 则． 解得． ∴直线的解析式为． 设，且， 则． ∴． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴． ∴． 依题意得， 解得或． ∵ ∴（舍去） ∴． 【点睛】本题考查的是二次函数综合．熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，再通过面积公式列方程找抛物线上的点和一次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式和矩形的性质，二次函数的对称性，解题的关键是求出二次函数和一次函数解析式以及分情况讨论． 【题型10.二次函数综合:其他综合问题】 【典例】.在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，点C的横坐标为；点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当A，C两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点B的坐标； (3)当时，设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点到x轴的距离比为时，求m的值； (4)以、为邻边作平行四边形，当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)点B的坐标为 (3) (4)或 【分析】本题考查“二次函数的图象与性质”“待定系数法求解析式”，根据点坐标的关系，通过条件找到参数的等量关系是解题关键，注意点的位置不同引起的不同情况，需分类讨论． （1）代入点坐标用待定系数法求解析式即可； （2）根据解析式求出抛物线的对称轴，再通过点对称的坐标特征，通过对称轴找到m的等量关系，求解出m即可； （3）根据m的范围，判断出点A和点B的位置关系，根据顶点是否在图象G上分类讨论，根据条件列方程求解即可； （4）根据m的范围，分类讨论点A的位置，通过图象判断抛物线在平行四边形内部的点的特征，根据对称轴与点的关系列不等式，求解即可． 【详解】（1）解：代入点，得，解得， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线， ∵点A，C关于对称轴对称， ∴， 解得， ∴点B的横坐标为， 当时，， ∴点B的坐标为； （3）解：令，则；令，则， ∴，， ∵， ∴，即点B在点A的上方， 令，则，解得，或， ∴抛物线在的图象在x轴下方，在和部分的图象在x轴上方， 分两种情况讨论： 第一种：，则图象G整体在抛物线的对称轴的左侧，点A在x轴下方， ∴点A为图象G的最低点，点B为图象G的最高点， 由题意，得，解得（舍去）或， 第二种：当时，则图象G包含顶点， ∴顶点为图象G的最低点，点B为图象G的最高点， 由题意，得，解得，或，均不合题意，舍去 ∴； （4）解：分两种情况： 第一种：如图，当时，，则点A在y轴右侧，点B，C在y轴左侧， ∴由图可知，当点A在对称轴左侧时，抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y始终随x的增大而减小， 即； 第二种：如图，当时，，则点A在y轴左侧，点B，C在y轴右侧， 显然，当点C在抛物线内时，抛物线在平行四边形内无点，情况不存在， 当点C在抛物线外时，如下图， ∵点A关于对称轴直线的对称点的横坐标为， 由图可知，， ∴， ∴当时，抛物线在平行四边形内的点的纵坐标y始终随x的增大而增大， 综上，或． 【跟踪训练2】【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数.的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 【答案】（1）；（2）坐标为或；（3）①，②或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，新概念，理解新概念，掌握二次函数的图象与性质是关键． （1）根据“升幂函数”的含义即可求解； （2）设，根据条件得到关于t的方程，解方程即可； （3）①由题意得的“升幂函数”，根据点，点所在直线与轴平行得m、n的关系式，即可求解； ②由且，可确定的范围，确定与x轴的右边交点为，由题意可求得t的范围；当时也满足条件． 【详解】解：（1）由题意得，； 故答案为：； （2），设， 轴， 当时，， 即或， 解得， 点坐标为或． （3）①， ， 即； 点，点所在直线与轴平行， ， 解得； ②， ， ， ， ， ，对称轴为直线， ∴抛物线过原点，抛物线与x轴的另一个交点为， 当，即时，点和点都在轴的下方， ， ， 当时，则点都在轴的上方，， 或． 1．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或或 【分析】本题考查了抛物线的解析式，根据动点求面积最值问题，坐标系中特殊三角形问题，把握二次函数相关的特征与性质，分析出面积与线段关系，并能够进行准确的计算是解题的关键． （1）将A、B两点的坐标代入解析式求解即可； （2）过点作轴交于点，先利用A、B两点的坐标求出直线的解析式，设，求得，列出与的函数关系式即可求解； （3）设点坐标为，根据两点距离公式可求得、、，再根据等腰三角形有两边相等列方程求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图1，过点作轴交于点， 设直线的解析式为，将A、B两点的坐标代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， 当时，的面积有最大值，， 此时； （3）∵ 抛物线的解析式为， ∴对称轴为， 设点坐标为， 由点，，可得： ，，， 当时，，解得：，，即点，， 当时，，解得：，即点，， 当时，，解得：，即点， 综上所述：点坐标为或或或或． 2．在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 【答案】(1)12万件 (2)，投资的第一年，该公司亏损了，最少亏损是5万元 (3) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数在实际问题（利润计算）中的应用；解题的关键是准确理解题目中“年获利”、“投资成本”等概念，并根据不同的条件正确列出对应的函数关系式． （1）直接将销售单价代入销售量与单价的函数关系式中计算即可； （2）根据“年获利年销售收入生产成本投资成本”的公式，用和表示各项，并将 代入，得到关于的二次函数解析式，结合给定区间判断其最值，确定公司盈亏情况； （3）首先根据新的条件（增加捐款）列出第二年获利的函数关系式，然后根据“两年的总盈利不低于73万元”列出不等式，结合第一年的最小亏损（即最大亏损）进行计算，最后，结合销售单价的合理范围确定最终答案． 【详解】（1）当（元）时，（万件） 答：当销售单价定为28元时，该产品年销售量为12万件． （2）年销售收入为：万元 生产成本为：万元 投资成本为：万元 年获利 化简得： 配方得： ∵， ∴ 当时，取得最大值 答：在的范围内，公司处于亏损状态，最小亏损是5万元． （3）设第二年获利为万元． 第二年每件产品成本变为元（增加1元捐款）， 固定捐款为10万元， 投资成本在第一年已计算，故第二年不再重复扣除， ∴ 第二年获利 由题意，第一年最小亏损为5万元（即亏损5万） 要达到“两年总盈利不低于73万元”，即： ∴ 即 整理得： 不等式两边同乘以，改变不等号方向： ∴ 不等式的解为 又因为销售单价的合理范围为， ∴ 满足条件的范围为 答：此时销售单价的范围． 3．根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃： 素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃． 素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下： 设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为 依题意得： ∵函数开口向下，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大 ∴时，的最大值为 素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图） 设墙左端篱笆长为米，解决下列问题： 任务：当时，对于乙的方案，则可知 （用含的代数式表示），花圃面积 （用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由． 【答案】任务：；，该方案对应的花圃面积的最大值为． 任务：当时，花圃面积取最大值 任务：丙方案设计出的花圃面积更大， 【分析】任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，的最大值为； 任务：根据题意分别表示，，即可得花圃面积为 ，，故当时，花圃面积取最大值； 任务：分别计算当时，当时，相应的最大值和的最大值，排除方案乙，设的最大值函数为，的最大值函数为，令，得，根据，可得与仅有一个交点，因为当时，，在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方，故丙方案设计出的花圃面积更大， 【详解】解：任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴时，最大值， 故答案为：；，该方案对应的花圃面积的最大值为． 任务：∵，， ∴， 又∵篱笆总长为，， ∴， ∵丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分， ∴，， ∴， ∴花圃面积， 即 ， ∵函数开口向下，对称轴为直线， ∴当时，花圃面积取最大值． 任务：∵甲方案：的最大值为；乙方案：最大值为，丙方案：最大值； ∴当时，的最大值为，的最大值为；当时，的最大值为，的最大值为， ∴排除乙方案， 设的最大值函数为，的最大值函数为， 令，则， 即， ∴， ∴与仅有一个交点， 当∵当时，， ∴在取值范围内，的最大值函数图象在的最大值函数图象的上方， ∴丙方案设计出的花圃面积更大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数的图象和性质，二次函数的最值问题，列代数式，一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 4．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 【答案】(1) (2)空格处应填；17.5；10；3 (3)当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利， 当时，，亏损． 【分析】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，应用待定系数法求解方程是解题的关键． （1）根据待定系数法求解方程即可； （2）由（1）的解析式进行代值计算即可求解； （3）根据题意得到总利润表达式，再解不等式得出结论即可． 【详解】（1）设二次函数解析式为， ， 所以函数解析式为； （2）由（1）知函数解析式为， 当时，， 故空格处应填； （万元）， 所以1-4月平均每月亏损17.5万元， 故答案为：17.5； 令，解得， 所以到2024年10月起，公司当月不再亏损， 故答案为：10； 因为，所以， 则1-9月共亏损165万元，10月份不亏损也没有盈利， 11月盈利11万元，12月盈利24万元，2025年1月盈利39万元， 2025年2月盈利56万元，2025年3月盈利75万元， 从2024年1月到2025年2月亏损35万元，到3月盈利40万元， 理论上到2025年的3月份公司可以把之前的亏损全部赚回来， 故答案为：3； （3）由（2）可知2024年总利润为万元， 初始宣发资金为（万元）， 则每月的净利润数为， 当代入求和可得2025年第一季度末的净利润为 ， 所以2024年初至2025年第一季度末的总利润为： ， 所以当时，，盈利， 当时，不亏损也不盈利，当时，，亏损． 5．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地而竖直高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为的地方正好有一个行人经过，试通过计算判断行人是否会被灌溉车淋到水？ (3)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)该行人会被洒水车淋到水，过程见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的平移．熟练掌握二次函数的应用是解题的关键． （1）由题意知，，，设上边缘抛物线的函数解析式为，待定系数法求解析式即可； （2）将代入，解得，或（舍去），则，由，进行判断作答即可； （3）由题意知，关于直线的对称点为，由下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可求的坐标； （3）将代入解得，或（舍去），当，则，进而可求，由下边缘抛物线可得，，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，的纵坐标为，则，， 设上边缘抛物线的函数解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴； （2）解：将代入得，，整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， ∵， ∴该行人会被洒水车淋到水； （3）解：由题意知，关于直线的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∵， ∴； （4）解：将代入得，，整理得，， 解得，或（舍去）， ∵当时，随的增大而减小， ∴当时，， ∴， 由下边缘抛物线可得，， 综上所述，． 6．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，点P的坐标为； (2)点E的坐标为； (3)存在，点N的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合问题，主要考查了二次函数的最大值、待定系数法求解析式及相似三角形的性质，解题的关键是根据条件列函数或方程． （1）先求得点坐标，再代入，求出，即可得到抛物线解析式，配方解析式即可得到顶点； （2）在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F，设出点E，F的坐标，列出函数，根据函数的性质即可得到答案； （3）根据B，C ，P三点坐标即可得到，根据对应边成比例夹角相等三角形相似分两类讨论边对应成比例列式解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：直线，令，得，令，得， 所以，，代入得， ，解得：， ∴， ∴， ∴顶点P的坐标为：； （2）解：在抛物线上取点E，连接，，过E作x轴的垂线，交于点F， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∴当时，的面积有最大值， 此时，点E的坐标为； （3）解：存在，理由如下， 连接，设， 当时，， 解得，， ∴， ∵，，， ∴，且非等腰三角形， 若为顶点的三角形与相似， ，则点在点的左侧， ， ①当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， ②当时，， ∴， 解得，所以点N的坐标为， 综上所述，点N的坐标为或． 7．抛物线（b，c为常数）经过点，与轴的交点是点、，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)______，______． (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标： (4)点是直线上的一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3，4 (2)当时，的面积有最大值 (3) (4)存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标或或 【分析】本题主要考查二次函数的综合，平行四边形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合，平行四边形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由对称轴可设顶点式，将代入即可得解； （2）过点作轴平行线交于点，设参表示出，再利用求解即可； （3）由题易证是等边三角形，再解三角形即可得解； （4）由题易得轴，，，则有，，要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则需满足，然后可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：由题意可设，则把点代入解析式得： ， 解得，， ∴， 即， ∴； 故答案为3，4； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为，令时，则有， 解得：， ∴， 过点作轴平行线交于点，如图所示： 设的解析式为，将和坐标代入可得， ， 解得，， ∴的解析式为， 设， ， ， ， ，即开口向下，且， ∴当时，面积有最大值； （3）解：如图， ∵点、点是抛物线的对称点，对称轴为直线， ， 又、关于对称， ， ， 是等边三角形， ， ∵点关于直线的对称点， 平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵点是直线上的一点，且点在抛物线上，横坐标为， ∴轴，，， ∴，， 要使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，则需满足， ∴， 解得：或或， ∴点的坐标或或． 8．如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 【答案】(1)①12；②； (2)， 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、求二次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）①由勾股定理和三角形的面积可得、，，由当时，，即点P和点D重合，即，然后根据三角形面积公式求解即可；②由题意可知：，然后分当P在上和上两种情况，分别运用线段的和差以及勾股定理求得，然后利用正方形的面积公式求解即可； （2）设，将代入（1）所得的解析式可得，即；再利用对称性可得，然后把代入求得a的值即可确定关于的函数解析式；如图：当时，，此时点P和点E重合且可得，从而确定的长． 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴根据勾股定理得， ∵， ∴根据三角形面积公式，可得， ∴， 当时，，即点P和点D重合， ∴， ∴． ②由题意可知：， 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 如图：当P在上，即时， ∴， ∴， ∴； 综上，． （2）解：设， 当时，，即 由对称性可得∶ 把代入得：，解得：， ∴． ∵如图：当时，，此时点P和点E重合， ∴，即． 9．实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）该抛物线的解析式为：；（2）能满足安装设计要求，理由见解析；（3）①的最大值为；②存在以为顶点的四边形是正方形，理由见解析，点坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与几何综合，涉及线段周长最值问题，与特殊四边形的存在性问题，综合性强，正确理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）设顶点式求解即可； （2）由题意可得，然后把代入解析式求出，而，故满足； （3）①得到，则，那么，然后设，则，建立起关于的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解最值； ②先求出，则，可求，分以下两种情况讨论：为对角线或为边，利用正方形边和对角线的性质建立方程求解即可． 【详解】解：（1）根据坐标系可知此函数顶点坐标为，且图象过点， 设抛物线为， ， 解得：， ， 该抛物线的解析式为：； （2）能满足安装设计要求，理由如下： 显示屏宽为   ， ， 当时，， ， 能满足安装设计要求； （3）①， 抛物线的对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上，也在上， ∴， ，   ， ， ， ． 设，则， ． 由，得当时，的最大值为； ②解：存在以为顶点的四边形是正方形，理由如下： 由①可得， 是等腰直角三角形， 联立， 解得，或（舍去）， ， 为线段上一动点， ， 如图，分以下两种情况讨论： 若为对角线， 当四边形为正方形，则轴， ， 点的纵坐标为6， 令， 解得或， 点在线段上，   ； 若为边，如图所示： ∵正方形， ，即， 设， ， 解得或， 点在线段上，   ， ， 综上所述：点坐标为或． 10.．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为 ； (4)如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线，过点作，垂足为点，动点分别从点同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是 ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）代入点、的坐标，求得系数，即可得到解析式； （2）过点作交轴于点，连接，进行等面积转化，由面积求得线段长度，可得点的坐标，从而可求直线的解析式，再与抛物线解析式联立，即可解得点的坐标； （3）将绕点逆时针旋转得到，则为等腰直角三角形．由旋转性质可得点的坐标，从而可得直线方程，由等腰三角形的性质，可知为直线与抛物线的交点，联立此直线方程与抛物线解析式，结合所处象限，即可得到点的坐标； （4）根据题设条件所描述的运动过程，结合三角形的相似判定与性质，分析取最小值和最大值时候点所处的位置，用勾股定理解直角三角形，结合三角形三边关系可求出的最小值，进而可得的范围． 【详解】（1）解：将点分别代入抛物线的解析式， 得解得 拋物线的解析式为． （2）解：过点作交轴于点，连接， 如答图①所示，则， ． ，则． 又 ． ， 直线的解析式为． ， 直线的解析式为． 联立解得 ． （3）解： 将绕点逆时针旋转得到， 为等腰直角三角形， ， 如答图②所示． 又点是第四象限内抛物线上的一点，， 点为延长线与抛物线的交点． 由旋转可知，，故点的坐标为． 由待定系数法可得，直线的解析式为， 联立与， 整理可得， 解得或0（含去）， 故点的坐标为． （4） 由题意知，四边形为矩形，． 连接，交于点，如答图③所示， 故， ， ， ． 作于点，如答图③所示， ， ， ， ， 故． 取中点，连接． ， 根据斜边中线定理可得， 故，当且仅当共线时取等号． 易知点的坐标为，， 故， 则． 当点与点重合时，点与点重合，此时最大，即． 综上所述，的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求解析式，三角形面积等积变形，角的转化策略，函数与方程的联系，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，斜边中线定理，勾股定理，三角形的三边关系等，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习05实际问题与二次函数复习通关讲义 期末必备 知识点梳理 1.建模流程与函数性质 2.四大高频题型+解题密钥 3.易错点与避坑指南 4.特殊场景与综合应用 5.模型拓展:期末复习建议 常考题型 精讲精炼 1.二次函数应用:图形基础问题 2.二次函数应用:图形运动问题 3.二次函数应用:拱桥模型问题 4.二次函数应用:销售实际问题 5.二次函数应用:投球轨迹问题 6.二次函数应用:喷水轨迹问题 7.二次函数应用:其他实际问题 8.二次函数综合:面积最值问题 9.二次函数综合:线段周长问题 10.二次函数综合:其他综合问题 期末备考 压轴通关 压轴题(10) 【知识点01.建模流程与函数性质】 （一）建模五步法（通用且规范） 1.审题：拆解已知量、未知量，明确变量关系（如利润与销量、边长与面积），锁定自变量 x 与因变量 y。 2.设元：设 x 为核心变量（如涨价金额、矩形边长），用含 x 的代数式表示关联量（如销量、另一边长）。 3.列函数式：依据等量关系（面积、利润、物理公式等）列表达式，整理为一般式 y=ax²+bx+c（a≠0）或顶点式 y=a (x−h)²+k（a≠0）。 4.求解： *一般式：用 x=−b/(2a) 求对称轴，代入得最值； *顶点式：由顶点 (h,k) 直接得最值； *严格限定自变量取值范围（如边长 > 0、销量≥0、价格≥成本），判断最值有效性。 5.检验作答：验证结果符合实际，规范书写结论。 （二）二次函数最值核心性质 条件 开口方向 最值类型 最值位置 备注 a>0 向上 最小值 顶点 (h,k) 的纵坐标 k 无最大值，自变量范围影响实际取值 a<0 向下 最大值 顶点 (h,k) 的纵坐标 k 无最小值，自变量范围影 （三）表达式转化技巧 1.一般式转顶点式：配方法，如 y=−2x²+8x+5=−2 (x−2)²+13。 2.顶点式转一般式：展开整理，如 y=3 (x−1)²−4=3x²−6x−1。 3.关键作用：配方法便于快速找顶点与最值；公式法适合复杂系数计算，期末解题可灵活切换。 【知识点02.四大高频题型+解题密钥】 (一）面积最值问题（几何类） 1.核心场景：靠墙围矩形、矩形内截矩形、矩形与三角形组合等。 2.解题密钥 *设变量：优先设与边长相关的量，如靠墙围矩形设垂直墙的边长为 x。 *表边长：用总长度或已知边长表示另一边长（如总长 L，靠墙围矩形则平行墙边长为 L−2x）。 *列函数：按面积公式列二次函数，结合边长为正确定 x 范围。 3.进阶变式：矩形中挖去小矩形、三角形与矩形拼接求面积最值，核心仍是 “用 x 表边长→列函数→求最值”。 4.示例：用 30m 篱笆靠墙围矩形，设垂直墙边长 x m，平行墙边长 (30−2x) m，面积 y=x (30−2x)=−2x²+30x，x∈(0,15)，当 x=7.5 时，最大面积 56.25m²。 （二）利润最值问题（经济类，期末大题高频） 1.核心公式（必背） *单件利润 = 售价−进价； *总利润 = 单件利润 × 销售量 = 总售价−总进价； *销量规律：涨价时销量减少，降价时销量增加，按题干比例表销量。 2.解题密钥 *区分涨价 / 降价场景，销量表达式不同（如涨价 x 元，销量 = 原销量−kx；降价 x 元，销量 = 原销量 + kx）。 *自变量范围：x≥0 且销量≥0，价格≥进价。 3.示例：商品进价 50 元，售价 80 元时卖 100 件，每涨价 2 元少卖 5 件，设涨价 x 元，总利润 y=(30+x)(100−2.5x)=−2.5x²+25x+3000，x∈[0,40]，当 x=5 时，最大利润 3062.5 元。 （三）抛物线型实际问题（轨迹类，如拱桥、运动轨迹） 1.核心思路：建平面直角坐标系，用待定系数法求二次函数解析式，再求解。 2.坐标系设定技巧（简化计算） *优先以顶点为原点（如拱顶、最高点），对称轴为 y 轴，解析式为 y=ax²； *若顶点不在原点，设为 y=a (x−h)²+k，代入两点求 a、h、k。 3.常见场景 *拱桥：求水面宽度、水位高度； *抛体运动：求最大高度、落地时间、水平射程； *隧道 / 门洞：求通过高度、宽度。 4.示例：抛球时，球的高度 y (m) 与时间 x (s) 满足 y=−5x²+10x+1，顶点 (1,6)，最大高度 6m，当 y=0 时，x=1+（舍去负根），落地时间 1+s。 （四）费用最值问题（拓展高频） 1.核心场景：用料最省（如制作容器、管道）、成本最低（如生产调配）。 2.解题关键：根据用料 / 成本公式列函数，结合自变量范围求最值（如容器体积固定，求表面积最小）。 【知识点03.易错点与避坑指南】(期末提分关键) （一）自变量取值范围易错点 1.常见错误：忽略范围，导致顶点值无效（如边长为负、销量为负）。 2.避坑方法： *利润问题：x≥0，销量 = 原销量 ±kx≥0，售价 = 原价 ±x≥进价； *面积问题：边长 > 0，总长−2x>0； *轨迹问题：时间 x≥0，高度 y≥0。 （二）公式与计算易错点 *公式混淆：误将总利润 = 售价 × 销量，正确为总利润 = 单件利润 × 销量。 *计算失误： *顶点公式 x=−b/(2a) 中，b 为负时漏负号； *配方时，常数项计算错误（如 y=−x²+6x+3=−(x²−6x)+3=−(x−3)²+12，易错算为−(x−3)²+3）。 （三）坐标系设定错误 建系时未选最优位置，导致解析式复杂、计算出错，优先以顶点为原点简化计算。 【知识点04.特殊场景与综合应用】 （一）分段二次函数问题 1.场景：价格分段调整、销量分段变化，需分区间列函数，分别求最值，再综合比较。 2.解题关键：明确分段节点，各区间内独立建模，最后整合结果。 （二）二次函数与一次函数 / 方程综合 1.场景：利润问题中销量与价格为一次函数关系，先求一次函数解析式，再列二次函数2.求最值；求抛物线与直线交点，转化为解一元二次方程。 3.解题关键：先处理一次函数，再衔接二次函数，利用方程根的判别式判断交点个数。 【知识点05.期末复习建议】 1.重点练利润问题和抛物线型问题，这两类是期末大题核心； 2.每道题严格按 “建模五步法” 书写，规范步骤，避免步骤分丢失； 3.整理错题本，标注易错点（如取值范围、公式错误），针对性强化； 4.训练 “快速建系” 能力，提高抛物线型问题解题效率。 【题型1.二次函数应用:图形基础问题】 【典例】如图，四边形的两条对角线，互相垂直，． (1)当时，四边形的面积为______． (2)当的长为多少时，四边形的面积最大？ 【跟踪训练1】如图，要在屋前的空地上围一个矩形花圃，花圃的一边靠墙（墙足够长），另三边用篱笆围成，篱笆总长，在与墙平行的一边开一个宽的门．设垂直于墙的一边为． (1)用含有的代数式表示边的长为______m； (2)当矩形花圃的面积最大时，求边的长，并求出矩形花圃面积的最大值． 【跟踪训练2】某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 【题型.二次函数应用:图形运动问题】 【典例】如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问： (1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？ (2)经过几秒时，五边形的面积最小?最小值是多少？ 【跟踪训练1】如图，在中，，，，点P从点A出发沿以的速度向点B移动，同时点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为秒，阴影部分的面积为． (1)的长为______cm（用含t的代数式表示）； (2)写出S与t的函数解析式及t的取值范围； (3)当t为何值时，阴影部分的面积最小？ 【跟踪训练2】已知：与中，，，，，．现将与按图1的方式摆放，使点与点重合，点、（E）、在同一条直线上，并按如下方式运动． 运动一：如图2，从图1的位置出发，以的速度沿方向向右匀速运动，与相交于点Q，当点Q与点D重合时暂停运动； 运动二：在运动一的基础上，如图3，绕着点C顺时针旋转，与交于点Q，与交于点P，此时点Q在上匀速运动，速度为，当时暂停旋转； 运动三：在运动二的基础上，如图4，以的速度沿向终点F匀速运动，直到点C与点F重合时为止．设运动时间为t（s），中间的暂停不计时，解答下列问题∶ (1)在从运动一到最后运动三结束时，整个过程共耗时 s； (2)在整个运动过程中，设与的重叠部分的面积为S（），求S与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在整个运动过程中，是否存在某一时刻，点Q正好在线段的中垂线上，若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型3.二次函数应用:拱桥模型问题】 【典例】如图，单孔拱桥的形状近似抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，在正常水位时，水面宽度为，拱桥的最高点B到水面的距离为．求抛物线的表达式． 【跟踪训练1】今年夏天，桨板这一水上运动成为“夏日新宠”，这项小众的运动从竞技场走向了大众视野，丰富了人们的生活．如图1，人们可以坐在、跪在或者站在桨板上，通过划桨实现前进、转弯，穿梭在城市的河道之间，感受夏日的清凉并欣赏宁波这座城市的夜景．若现在在这个划行的河道之上，有一座桥，其示意图如图2，正常水位时水面宽为24米，此时桥拱最高点C到水面的高度为5米，桥拱可以看成抛物线． (1)若以所在直线为x轴，的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，求此时的函数表达式； (2)已知小兰的身高是，桨板厚度为，在正常水位时，若小兰要笔直的站在桨板上通过这座桥，则其在河道中可通行的安全范围是多少米？（为保证安全，要求头顶距离桥拱至少） 【跟踪训练2】龙舟比赛起源于古代，主要与屈原的传说和越民族的图腾祭祀有关，经过历史演变成为中国传统文化的重要组成部分．某地城际龙舟赛事的航道宽度有，，三种类型．该地龙舟比赛的河道上有一座抛物线形拱桥．以拱桥最高点为原点，以抛物线的对称轴为轴建立平面直角坐标系，则该抛物线为．已知水面两端点的距离． (1)求拱桥最高点到水面的距离； (2)龙舟行进时，龙舟的最高点距离水面2m，若龙舟的最高点上方3m内无障碍物，方能保证龙舟安全行驶．为保证所有龙舟赛道的龙舟能够安全行进，且要设计4道航道，应设置哪种宽度的航道？ 【题型4.二次函数应用:销售实际问题】 【典例】.年广州“十五运”期间，吉祥物“喜洋洋”与“乐融融”受到人们的广泛喜爱，某网店以每个元的价格购进了一批吉祥物，由于销售火爆，销售单价上涨到每个元，此时每天可售出个吉祥物．经过市场调查发现：销售单价每降价元，每天多卖出个，网店每个应降价多少元，才能使每天利润达到最大，最大利润为多少元？ 【跟踪训练1】销售公司购进某种商品，购进价格为50元/千克．物价部门规定其销售单价不得高于80元/千克，也不得低于50元/千克．公司经过市场调查发现：销售单价定为80元/千克时，每天可销售200千克；单价每降低 1元，每天可多销售20千克．单价定为多少元时，商场每天可获得最高利润？ 【跟踪训练2】某民宿有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天180元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高15元，就会有1间客房空闲，对有游客入住的客房，民宿还需要对每个房间支出每天30元的维护费用，设每间客房的定价提高了x元（x是15的倍数）． (1)填表（无需化简）： 入住的客房数量（间） 每间客房的定价（元） 每间客房的纯收入（元） (2)若该民宿希望每天纯收入为18000元，且能让利于民吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入-维护费用） (3)求该民宿每天纯收入y的最大值以及此时每间客房的定价． 【题型5.二次函数应用:投球轨迹问题】 【典例】一次铅球训练中，某运动员的铅球运动路线呈抛物线，铅球落地前运动的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数表达式是，铅球运动路线如图所示． (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到3米． 【跟踪训练1】某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线．已知跳板长为2米，跳板与水面相距3米，在离起跳点（点A）水平距离1米时达到距水面最大高度4米． (1)请在图2中建立合适的直角坐标系，并求出这条抛物线的函数表达式． (2)求运动员落水点E与点C的距离． 【跟踪训练2】综合与实践 根据以下素材，完成探究任务：城墙建多高才能抵御敌方的进攻？ 【素材1】图1是古代一种攻城器械“发石车”，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分． 【素材2】如图2，防守方的护城墙垂直于地面，墙高，进攻方把“发石车”放置在距B处的O处，石块从O处竖直方向上的C处被投出，当石块在空中飞行到与的水平距离为时，石块离地面的高度最高，最高高度为． 【解决问题】 (1)当时． ①参照图2所建立的坐标系，直接写出两点的坐标，并求抛物线（石块运动轨迹）的解析式； ②进攻方的石块能飞进防守方的城墙吗？若能，城墙应加建多高以上，才能让进攻方的石块飞不进防守方城墙；若不能，请说明理由． (2)设点C与O的距离为，直接写出t在什么范围内时，防守方无须加高城墙？【注：不考虑刚好经过点D的情况】 【题型6.二次函数应用:喷水轨迹问题】 【典例】2025年东盟博览会聚焦“AI赋能，共创未来”主题，南宁国际会展中心外设置了一台由AI智能控制的艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线．如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为米，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10米时，达到最大高度6米． (1)求水流运行轨迹的函数解析式； (2)若在距喷水装置15米处有一棵融入AI科技元素的4米高的景观树，水流是否会碰到这棵景观树？请通过计算说明． 【跟踪训练1】某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在喷水池的周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为．如图，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系．若要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物应设计为多少高度？ 【跟踪训练2】某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【题型7.二次函数应用:其他实际问题】 【典例】某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离s（单位：m）与行驶时间t（单位：s）的函数解析式是，则该车需要刹车时，它从开始刹车到停下来一共前进了多少m？ 【跟踪训练1】如图为生活中常见的多功能锅，锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成封闭图形，不妨简称为“锅线”，若某食堂有一口锅，其锅口直径为，锅深，锅盖高（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线记为，把锅盖纵断面的拋物线记为． (1)写出和的解析式：__________； (2)如果烹饪时锅内的水位高度是，则此时水面的直径为__________； (3)如果将一个底面直径为，高度为的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请通过计算说明理由． 【跟踪训练2】某校科技活动小组利用信息技术模拟火箭运行过程如图所示：在以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴的平面直角坐标系内，火箭的运行路径包括一、二两级运行路线：火箭第一级运行路径形为抛物线，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级，火箭第二级沿直线运行． 若火箭第二级的引发点的高度为． (1)求两段路径所在函数解析式； (2)火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． 【题型8.二次函数综合:面积最值问题】 【典例】如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点，求的面积． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，且对称轴为直线． (1)求的值； (2)已知点在抛物线上，点的横坐标为，点的横坐标为．过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线交直线于点．当时，求四边形面积的最大值． 【跟踪训练2】过点的抛物线与轴的另一交点为，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当和最小时，求点P的坐标； (3)若Q是抛物线上一个动点，设Q的横坐标为m（），连接，当的面积等于面积的2倍时，求m的值． 【题型9.二次函数综合:线段周长问题】 【典例】如图，二次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点的坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点C，使得最小，并求出C点的坐标； 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点． (1)若，求点的坐标； (2)如图，矩形的边在线段上，点、在抛物线上，则矩形周长的最大值为________． 【跟踪训练2】如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上是否存在一点，使得的面积等于，若存在求出点坐标，若不存在说明理由； (3)点在第一象限内，过点作轴，交于点，作轴，交抛物线于点，点在点的左侧，以线段，为邻边作矩形，当矩形的周长为时，求线段的长． 【题型10.二次函数综合:其他综合问题】 【典例】.在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【跟踪训练1】在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线经过点，点A、B是该抛物线上的两点，横坐标分别为、，点C的横坐标为；点C的纵坐标与点A的纵坐标相同，连结、． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)当A，C两点关于该抛物线的对称轴对称时，求点B的坐标； (3)当时，设抛物线在A、B两点之间的部分（含A、B两点）为图象G，若图象G的最高点与最低点到x轴的距离比为时，求m的值； (4)以、为邻边作平行四边形，当此抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围． 【跟踪训练2】【定义初窥】已知是自变量的函数，当时，称函数为函数.的“升幂函数”；在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． 例如：函数，当时，则函数是函数的“升幂函数”函数的图象上任意一点，点为点“关于的升幂点”，点在函数的“升幂函数”的图象上． （1）的“升幂函数”的函数表达式为_____． （2）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点，当时，求点的坐标． 【解构探微】 （3）点在函数的图象上，其横坐标为，点“关于的升幂点”为点，点在的“升幂函数”的图象上，其横坐标为． ①当点，点所在直线与轴平行时，求的值（用含有的代数式表示）； ②函数的对称轴为直线，它的图象上有两点，，若对于且，都有，直接写出的取值范围为_____． 1．抛物线交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时点的坐标； (3)在抛物线对称轴上找一点，使以点、、为顶点的三角形为等腰三角形，直接写出点的坐标． 2．在建设全国文明典范城市的过程中，为推进节能减排，发展低碳经济，我市某公司投资20万元购得某项节能产品的生产技术后，再投资85万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调查发现，该产品的销售单价定为元，在时才合理，并且该产品的年销售量（万件）与销售单价（元）之间的函数关系式为．（年获利年销售收入生产成本投资成本） (1)当销售单价定为28元时，该产品年销售量为多少万件？ (2)求该公司第一年的年获利（万元）与销售单价（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损了？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？ (3)第二年，该公司决定给希望工程捐款万元，该项捐款由两部分组成：一部分是10万元的固定捐款；另一部分则是每销售一件产品，就抽出一元作为捐款．若除去第一年的最大获利（或是最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年底，两年的总盈利不低于73万元，请你确定此时销售单价的范围． 3．根据以下的素材，制定方案，设计出面积最大的花圃： 素材：有一堵长米（）的围墙，利用这堵墙和长为的篱笆围成矩形花圃，设花圃面积为y，甲、乙、丙三人讨论如何设计一个面积最大的花圃． 素材：甲的设计方案，利用墙面作为矩形花圃的一边（如图），求解决过程如下： 设平行于墙面的篱笆长为米，则垂直于墙面的篱笆长为 依题意得： ∵函数开口向下，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大 ∴时，的最大值为 素材：受甲的方案的启发，乙、丙各自有了新的设计方案．乙的方案：利用全部围墙作为矩形一边的一部分（如图）；丙的方案，利用部分围墙作为矩形一边的一部分（如图） 设墙左端篱笆长为米，解决下列问题： 任务：当时，对于乙的方案，则可知 （用含的代数式表示），花圃面积 （用含的代数式表示），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：对于丙的方案，设所用墙的长度为米（），求该方案对应的花圃面积的最大值． 任务：比较甲、乙、丙三种方案，判断哪种方案设计出的花圃面积更大？并说明理由． 4．某企业在2024年1-4月的净利润见下表．经调查后发现，企业的利润数是经过月数的二次函数．（注：净利润数单位为万元；初始宣发资金可单独计算入总利润） XX企业2024年1-4月净利润表 经过月数（x） 1 2 3 4 净利润数（y） -9 -16 -24 (1)求y关于x的函数解析式（无需写定义域）； (2)补全表中的空格处并填空：本公司1-4月平均每月亏损________万元；通过技术改革，到2024年________月起，公司当月不再亏损；理论上到2025年的________月份公司可以把之前的亏损全部赚回来； (3)新年伊始，为使创新产品销量增加，政府决定资助此企业宣发资金，从2025年初启动宣发程序．已知从2025年1月起初始宣发资金是上表亏损的金额的20％，每月使用k万元进行宣发，如初始宣发资金用完，用去金额将从净利润中扣除．若因宣发每月净利润数提升k％，请直接写出k取不同值时由2024年初至2025年第一季度末的总盈亏情况．（计算时保留一位小数） 5．如图1，一辆灌溉车正为绿化带浇水，喷水口离地而竖直高度为，建立如图所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的一部分，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度．若下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到绿化带的距离． (1)求上边缘抛物线的函数解析式； (2)此时，距喷水口水平距离为的地方正好有一个行人经过，试通过计算判断行人是否会被灌溉车淋到水？ (3)求下边缘抛物线与轴交点的坐标； (4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写出的取值范围． 6．如图，直线与轴，轴分别交于点，点，经过两点的抛物线与轴的另一个交点为，顶点为． (1)求该抛物线的解析式以及顶点的坐标； (2)当时，在抛物线上存在点，使的面积有最大值，求点的坐标； (3)连接，点在轴上，是否存在以为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 7．抛物线（b，c为常数）经过点，与轴的交点是点、，（点在点的左边），对称轴为直线．点在抛物线上，横坐标为． (1)______，______． (2)若点在上方，当为何值时，的面积最大； (3)点是轴正半轴上一点，点关于直线的对称点恰好在直线上时，求点的坐标： (4)点是直线上的一点，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在中，，，，于，点在的延长线上，连接，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度匀速运动，到达点时停止．连接，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，以正方形的面积为，探究与的关系． (1)如图1，当点由点运动到点时． ①当时，______． ②关于的函数解析式为______． (2)如图2，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图3所示的图像．请根据图像信息，求关于的函数解析式及线段的长． 9．实践与探究 为了适应广东新中考，我校成立了九年级数学兴趣学习小组，参与同学集思广益，兴趣盎然，同时也成果斐然．以下是一次学习小组研究二次函数问题的集体智慧结晶，他们经历了实践——应用——探究的过程，下面请同学们尝试解决一下他们的设置问题． 【实践】（1）他们对惠州南山快速路的某段抛物线形隧道进行测量，测得隧道的路面宽12米，隧道顶部最高点离地面7.2米，并画出了隧道截面图，建立了如图1所示的平面直角坐标系，请你求出该抛物线的解析式． 【应用】（2）如图2，若计划在隧道上方安装一块高度为0.6米，宽度为3米的长方形电子显示屏，为确保行车安全，要求电子显示屏距地面至少5.5米，并且距左右墙需各留至少0.5米的安全距离，试通过计算说明能否满足安装设计要求． 【探究】（3）该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，并过原点作一条的直线，交抛物线于点，交抛物线对称轴于点，提出了以下两个问题，请予解答： ①如图3，为直线上方抛物线上一动点，过作垂直于轴，交轴于，交直线于，过点作垂直于直线，交直线于，求的最大值； ②如图4，为线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，点在坐标平面内．问：是否存在以、、、为顶点的四边形是正方形？若存在，直接写出点的坐标：若不存在，请说明理由． 10.．综合与探究 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线下方抛物线上的点，连接，，当时，求点的坐标； (3)点是第四象限内抛物线上的一点，连接，若，则点的坐标为 ； (4)如图②，作点关于轴的对称点，过点作轴的平行线，过点作，垂足为点，动点分别从点同时出发，动点以每秒1个单位长度的速度沿射线方向匀速运动，动点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动（当点到达点时，点都停止运动），连接，过点作的垂线，垂足为点，连接，则的取值范围是 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $