期末复习01一元二次方程期末冲刺通关讲义(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

该初中数学讲义通过表格与知识框架系统梳理一元二次方程的核心内容，涵盖基本概念、解法、根的判别式及根与系数关系，按“定义-解法-应用”逻辑构建知识脉络，突出二次项系数不为0、解法选择技巧等重难点，用对比表格归纳直接开平方法配方法等适用场景。 讲义亮点在于分层设计14类常考题型，如换元法解复杂方程根与系数关系的代数式转化，融入数学思维中的推理意识与运算能力培养，每个题型配典例与跟踪训练，基础题巩固概念压轴题提升综合应用，助力学生自主复习为教师提供精准教学依据。

期末复习01一元二次方程期末冲刺通关讲义 期末必备 知识点梳理 1.一元二次方程的基本概念 2.一元二次方程的解法 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义与识别 2.一元二次方程的一般形式转化 3.由方程的解确定参数的值 4.一元二次方程解的估算方法 5.由定义确定一元二次方程的参数 6.直接开平法解一元二次方程 7.配方法解一元二次方程 8.配方法的实际应用技巧 9.用判别式判断一元二次方程根的情况 10.由根的情况确定方程的参数 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解复杂一元二次方程 14.一元二次方程的根与系数的关系 期末备考 压轴通关 压轴(16题) 【知识点01.一元二次方程的基本概念】 1.定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为 2 的方程，叫做一元二次方程。需同时满足三个条件：整式方程、单未知数、最高次为 2，且二次项系数不为 0。 2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。确定系数前要先化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数。 注意事项：确定系数前必须先将方程化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数（如：方程-2x² + 3x - 1 = 0需转化为2x² - 3x + 1 = 0再确定系数）。 3.特殊形式（根据系数为0的情况分类） *c=0：ax2+bx=0（可提公因式x）； *b=0：ax2+c=0（适合直接开平方法）； *b=0且c=0：ax2=0（根为x=0）。 4.方程的根（解）：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。检验方法是将数值代入方程，看两边是否相等。 【知识点02.一元二次方程的解法】 （一）直接开平方法 1.适用场景：形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（m≠0，p≥0）的方程。 2.解法：x2=p的解为x=±；(mx+n)2=p的解为mx+n=。进而解出x,若p<0，方程无实数根。 （二）配方法 1.核心思想：通过配方将方程化为(x+h)2=k的形式，再用直接开平方法求解。 2.步骤 (1)化二次项系数为 1：方程两边同时除以二次项系数a； (2)移项：把常数项移到方程右边； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开方：将方程化为(x+h)2=k的形式，再开平方求解； (5)解出x：得到两个一元一次方程，求解即可。 （三）公式法 1.求根公式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ=b2−4ac≥0时， 根为​​ 2.步骤 (1)化为一般形式，确定a、b、c的值； (2)计算判别式Δ=b2−4ac； (3)若Δ≥0，代入求根公式求解；若Δ<0，方程无实数根。 （四）因式分解法 1.核心原理：若AB=0，则A=0或B=0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 2.步骤 (1)移项：使方程右边为 0； (2)因式分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化求解：令每个一次因式为 0，解两个一元一次方程，得到方程的根。 3.常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 (五）解法选择技巧 方程形式 优先解法 缺少一次项（b=0） 直接开平方法 缺少常数项（c=0） 因式分解法 二次项系数为 1，一次项系数为偶数 配方法 所有类型 公式法（万能解法） 【知识点03.一元二次方程根的判别式】 1.作用：判断一元二次方程根的情况，也可用于求参数取值范围等。 2.根的情况判定 *Δ>0：方程有两个不相等的实数根； *Δ=0：方程有两个相等的实数根； *Δ<0：方程无实数根。 3.逆用：已知根的情况，可确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围。 【知识点04.一元二次方程根与系数的关系】 1.定理内容：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1、x2​，则x1+x2=−，x1x2=（前提是Δ≥0）。 2.常见应用 *已知一根求另一根及参数值； *求关于两根的代数式的值（如x12+x22​、+​等，可通过配方转化为含x1+x2和x1x2​的形式）； *构造以x1、x2为根的一元二次方程（x2−(x1+x2)x+x1x2=0）。 【题型1.一元二次方程的定义与识别】 【典例】方程是关于的一元二次方程的条件是（） A． B． C． D．且 【跟踪训练1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么 ． 【跟踪训练2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型2.一元二次方程的一般形式转化】 【典例】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【跟踪训练1】将一元二次方程化为一般形式为： ． 【跟踪训练2】把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【题型3.由方程的解确定参数的值】 【典例】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A． B．4 C．2 D． 【跟踪训练1】已知a是方程的一个实数根，则的值为 ． 【跟踪训练2】若a，b，c满足，则关于x的方程的根为（    ） A．1，0 B．，0 C．1， D．， 【题型4.一元二次方程的估算方法】 【典例】．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【跟踪训练1】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 【跟踪训练2】根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【题型5.由定义确定一元二次方程的参数】 【典例】一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C． D．1 【跟踪训练1】关于的方程是一元二次方程，则 ． 【跟踪训练2】若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【题型6.直接开平法解一元二次方程】 【典例】若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为 ． 【跟踪训练1】已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【跟踪训练2】有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 【题型7.配方法解一元二次方程】 【典例】把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为 ． 【跟踪训练2】老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【题型8.配方法的实际应用技巧】 【典例】将方程转化为的形式，则 ． 【跟踪训练1】材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【跟踪训练2】如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【题型9.用判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】判断一元二次方程的根的情况 ． 【跟踪训练1】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】关于的一元二次方程给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是 ． 【题型10.由根的情况确定方程的参数】 【典例】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C． D．0 【跟踪训练1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练2】若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型11.公式法解一元二次方程】 【典例】以为根的一元二次方程是 ． 【跟踪训练1】用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【跟踪训练2】已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【题型12.因式分解法解一元二次方程】 【典例】解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【跟踪训练1】定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ． 【跟踪训练2】已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【题型13.换元法解复杂一元二次方程】 【典例】我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【跟踪训练1】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【跟踪训练2】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于的一元二次方程的两个实数根为 ． 【题型14.一元二次方程的根与系数的关系】 【典例】已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【跟踪训练1】萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是 ． 【跟踪训练2】若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 一.单选题 1．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 2．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 4．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知整式M：，其中为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M只有；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 二.填空题 6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知“凤凰”方程有两个相等的实数根，则下列结论：①②，③，④，⑤当时，方程有两个不相等的实数根．正确的有 （填序号） 7．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 8．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ． 9．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 10．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 三.解答题 11．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 12．已知关于的方程． (1)试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 13.．已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 14．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 16．定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习01一元二次方程期末冲刺通关讲义 期末必备 知识点梳理 1.一元二次方程的基本概念 2.一元二次方程的解法 3.一元二次方程根的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系 常考题型 精讲精炼 1.一元二次方程的定义与识别 2.一元二次方程的一般形式转化 3.由方程的解确定参数的值 4.一元二次方程解的估算方法 5.由定义确定一元二次方程的参数 6.直接开平法解一元二次方程 7.配方法解一元二次方程 8.配方法的实际应用技巧 9.用判别式判断一元二次方程根的情况 10.由根的情况确定方程的参数 11.公式法解一元二次方程 12.因式分解法解一元二次方程 13.换元法解复杂一元二次方程 14.一元二次方程的根与系数的关系 期末备考 压轴通关 压轴(16题) 【知识点01.一元二次方程的基本概念】 1.定义：等号两边都是整式，只含一个未知数，且未知数最高次数为 2 的方程，叫做一元二次方程。需同时满足三个条件：整式方程、单未知数、最高次为 2，且二次项系数不为 0。 2.一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）。其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。确定系数前要先化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数。 注意事项：确定系数前必须先将方程化为一般形式，且习惯将二次项系数化为正数（如：方程-2x² + 3x - 1 = 0需转化为2x² - 3x + 1 = 0再确定系数）。 3.特殊形式（根据系数为0的情况分类） *c=0：ax2+bx=0（可提公因式x）； *b=0：ax2+c=0（适合直接开平方法）； *b=0且c=0：ax2=0（根为x=0）。 4.方程的根（解）：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（解）。检验方法是将数值代入方程，看两边是否相等。 【知识点02.一元二次方程的解法】 （一）直接开平方法 1.适用场景：形如x2=p（p≥0）或(mx+n)2=p（m≠0，p≥0）的方程。 2.解法：x2=p的解为x=±；(mx+n)2=p的解为mx+n=。进而解出x,若p<0，方程无实数根。 （二）配方法 1.核心思想：通过配方将方程化为(x+h)2=k的形式，再用直接开平方法求解。 2.步骤 (1)化二次项系数为 1：方程两边同时除以二次项系数a； (2)移项：把常数项移到方程右边； (3)配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (4)开方：将方程化为(x+h)2=k的形式，再开平方求解； (5)解出x：得到两个一元一次方程，求解即可。 （三）公式法 1.求根公式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当Δ=b2−4ac≥0时， 根为​​ 2.步骤 (1)化为一般形式，确定a、b、c的值； (2)计算判别式Δ=b2−4ac； (3)若Δ≥0，代入求根公式求解；若Δ<0，方程无实数根。 （四）因式分解法 1.核心原理：若AB=0，则A=0或B=0，将一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。 2.步骤 (1)移项：使方程右边为 0； (2)因式分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化求解：令每个一次因式为 0，解两个一元一次方程，得到方程的根。 3.常用因式分解方法：提公因式法、公式法（平方差公式、完全平方公式）、十字相乘法。 (五）解法选择技巧 方程形式 优先解法 缺少一次项（b=0） 直接开平方法 缺少常数项（c=0） 因式分解法 二次项系数为 1，一次项系数为偶数 配方法 所有类型 公式法（万能解法） 【知识点03.一元二次方程根的判别式】 1.作用：判断一元二次方程根的情况，也可用于求参数取值范围等。 2.根的情况判定 *Δ>0：方程有两个不相等的实数根； *Δ=0：方程有两个相等的实数根； *Δ<0：方程无实数根。 3.逆用：已知根的情况，可确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围。 【知识点04.一元二次方程根与系数的关系】 1.定理内容：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实数根为x1、x2​，则x1+x2=−，x1x2=（前提是Δ≥0）。 2.常见应用 *已知一根求另一根及参数值； *求关于两根的代数式的值（如x12+x22​、+​等，可通过配方转化为含x1+x2和x1x2​的形式）； *构造以x1、x2为根的一元二次方程（x2−(x1+x2)x+x1x2=0）。 【题型1.一元二次方程的定义与识别】 【典例】方程是关于的一元二次方程的条件是（） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，一元二次方程的定义要求二次项系数不为零，即，其他系数不影响方程的次数． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴． 故选：A． 【跟踪训练1】新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据“同族二次方程”的定义，两个方程具有相同的和，因此将第二个方程化为与第一个方程相同的形式，通过比较系数求解和的值即可． 【详解】解：由第一个方程得，． 第二个方程应等价于． 展开右边：． 比较系数：一次项系数：，常数项：． 由常数项得，代入一次项系数得，解得． 因此． 故答案为：． 【跟踪训练2】下列方程中，是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义判断即可，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、是一元二次方程，故选项符合题意； B、不是一元二次方程，故选项不符合题意； C、不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、不是一元二次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 【题型2.一元二次方程的一般形式转化】 【典例】一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的标准形式 ，其中 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项． 【详解】∵ 方程 对应标准形式， ∴ 二次项系数 ，一次项系数 ，常数项 ． 故选： 【跟踪训练1】将一元二次方程化为一般形式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，通过去括号、移项、合并同类项，将方程化为（其中）的形式． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 故答案为：． 【跟踪训练2】把方程化成一般形式，下列判断正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，将原方程展开并整理成一般形式 ，通过比较系数确定 和 的值． 【详解】解： 原方程为 ， 化为一般式可得：， 与一般形式 对比， 可得：，， 故选：B． 【题型3.由方程的解确定参数的值】 【典例】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为（） A． B．4 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值成为解题的关键． 将代入方程得到关于a的方程求解即可． 【详解】∵是方程的根， ∴将代入得，即，解得：． 故选B． 【跟踪训练1】已知a是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 根据方程根的定义，将已知条件代入表达式求解． 【详解】解：∵a是方程的一个实数根， ∴， 即， ∴ ． 故答案为：． 【跟踪训练2】若a，b，c满足，则关于x的方程的根为（    ） A．1，0 B．，0 C．1， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根及二元一次方程组，通过解给定的方程组求出b和c与a的关系，然后代入二次方程求解根 【详解】∵ 将两方程相加： 得：， ∴， ∴， ∴， 将两方程相减： 得， ∴， ∴， 代入二次方程 ： ∴ ∴ ∵，两边除以a： 得， ， ∴或 ， 故根为1和 故选：C 【题型4.一元二次方程的估算方法】 【典例】．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 【跟踪训练1】根据下列表格的对应值： x 1 1.1 1.2 0.84 由此可判断方程必有一个解x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断有一个根满足． 【详解】解：∵时，， 时，， ∴，在内有一个解， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 【跟踪训练2】根据关于的二次函数，可列表如下： 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3 0.84 2.29 方程的正数解满足（    ） A．解的整数部分是0，十分位是5 B．解的整数部分是0，十分位是8 C．解的整数部分是1，十分位是1 D．解的整数部分是1，十分位是2 【答案】C 【分析】观察表格得：一元二次方程的解位于与之间，故其正数解的整数部分是，十分位是即可求解． 【详解】解：观察表格得：一元二次方程的解位于与之间（不包括与）， 方程的正数解满足解的整数部分是，十分位是 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根据表格得到方程的解位于1.1与1.2之间是解题的关键． 【题型5.由定义确定一元二次方程的参数】 【典例】一元二次方程的常数项是（   ） A．3 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程，a叫作二次项系数，b叫作一次项系数，c叫作常数项． 根据一元二次方程的一般式即可求解． 【详解】解：一元二次方程的常数项是． 故选C． 【跟踪训练1】关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴且， ∴且， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练2】若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c是常数且）是解题的关键． 根据一元二次方程的定义列出关于m的等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， ． 故答案为：B． 【题型6.直接开平法解一元二次方程】 【典例】若，是方程为常数的两个实数根．若，则p的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解与根的关系，熟练掌握对一元二次方程根的推到能力是解题的关键． 首先需要将给定的方程展开，转化为一般形式，再利用直接开平方法求出方程的两个根，最后根据两根之差的绝对值建立等式，从而求出p的值． 【详解】解：将方程用直接开平方法求解： 对等式两边开平方，得， 由此可求出方程的两个根： ，， 接下来计算两根之差的绝对值： ， 已知， ， 解得． 故答案为：． 【跟踪训练1】已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（    ） A．9 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键． 【详解】解：∵对于所有实数，， ∴当时，方程没有实数解， 故选：D． 【跟踪训练2】有一元二次方程（）的两根分别是与，则这两根分别是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直接开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，灵活运用一元二次方程的两根互为相反数是解题的关键．根据一元二次方程的解互为相反数，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其分别代入与，中即可求出结论． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别是与， ∴， 解得：， ∴，． 故答案为：． 【题型7.配方法解一元二次方程】 【典例】把方程配方，化成的形式可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，解题的关键步骤是添加一次项系数一半的平方． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即． 故选：B． 【跟踪训练1】定义：如果存在一个数i，使时，有，从而是方程的两个根．据此可知的两根为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，再利用定义中i的性质求解． 【详解】解：方程移项得， 配方得， 即， ∵是方程的两个根， ∴， 即， 则将开平方得， 解得，． 故答案为：，． 【跟踪训练2】老师设计了接力游戏，以合作的方式完成配方法求解一元二次方程，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后解出方程．过程如图所示．接力中，自己负责的计算出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程． 根据配方法解一元二次方程判断作答即可． 【详解】解：甲：应化为，甲错误； 乙：应化为，乙正确； 丙：应化为，丙错误； 丁：应化为，丁正确； 可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙． 故选：C． 【题型8.配方法的实际应用技巧】 【典例】将方程转化为的形式，则 ． 【答案】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又． 解得． 故， 故答案为：． 【跟踪训练1】材料阅读：∵，由，得；∴代数式的最小值是4．仿照上述方法求代数式的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查配方法的应用．理解题意，并掌握配方法是解题关键． 仿照上述方法将所求式子变形为，从而即得出，即代数式的最小值为． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 【跟踪训练2】如果正实数，满足，那么的最小值为（   ） A．0 B． C．41 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，再变形为，结合非负数的性质即可得解． 【详解】解：∵正实数，满足， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为1， 故选：D． 【题型9.用判别式判断一元二次方程根的情况】 【典例】判断一元二次方程的根的情况 ． 【答案】当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根 【分析】本题考查根据一元二次方程根的判别式，计算判别式并判断其符号，从而确定根的情况． 【详解】解：， ， ∴当 时，，方程有两个不相等的实数根； 当 时，，方程有两个相等的实数根． 故答案为：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根． 【跟踪训练1】下列方程中，有两个不相等的实数根的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】逐项计算一元二次方程的判别式，判断实数根的情况即可，若，则有两个不相等的实数根； 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式和根据判别式判断一元二次方程根的情况是解题的关键． 【详解】解：选项A：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等的实数根； 选项B：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程无实数根； 选项C：方程化为标准形式， ∵，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 选项D：方程， ∵，，， ∴， ∴方程有两个相等实数根． 故选：C． 【跟踪训练2】关于的一元二次方程给出下列说法：①若，则方程必有两个实数根；②若，则方程必有两个实数根；③若，则方程有两个不相等的实数根；④若，则方程一定没有实数根，其中说法正确的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查一元二次方程，在条件变化下确等方程的根情况，掌握利用条件将判别式变形，化为非负是解题关键．①若，，，判断b2+4c2的值即可；②若，，方程变为，把方程左边因式分解，即可确定方程的根；③若，判别式变形，，讨论，与时，看判别式的符号即可；④若，，判别式变为，无法确定的值， 【详解】解：①若，， ∴，则方程必有两个实数根，①正确； ②若，， 变为， ， ， ， ， 则方程必有实数根，②正确； ③若， ， ， ， ，当， ， 当时 ， 则方程有两个不等的实数根，③正确； ④若，， ， 无法确定的值，故④错误． 故答案为：①②③． 【题型10.由根的情况确定方程的参数】 【典例】若关于的一元二次方程有两个实数根，则的值可以是（   ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，通过计算判别式并求解不等式，得到a的取值范围，再结合选项判断． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴； 选项A、B、C均大于1，不满足；选项D为0，满足条件； 故选D． 【跟踪训练1】若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴二次项系数，即， 且判别式， 解得， 故实数的取值范围是且． 故答案为：且． 【跟踪训练2】若非零实数，，满足，且有，，，则关于、、取值的说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程判别式的应用．将已知方程展开并整理成关于a的一元二次方程，结合判别式分析得出的比例关系，代入的表达式比较大小即可． 【详解】解：原方程展开并整理为：， 将方程视为关于a的一元二次方程：， ， 由题可知方程有解，故判别式非负，故， 此时方程的解为， 设，则，则： ， ， ， 因此，， 故选：B． 【题型11.公式法解一元二次方程】 【典例】以为根的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 【跟踪训练1】用公式法解一元二次方程时，的值为（   ） A． B．8 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根的判别式，先将方程化为标准形式，再计算判别式的值，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴， ∴，，， ∴ ， 故选：C． 【跟踪训练2】已知是关于的方程（是有理数，）的一个根，则该方程的另外两个根分别是 ， ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据中或，再根据是关于的方程的根，从而得出的另一个根，关键是掌握一元二次方程解的情况． 【详解】解：关于的方程（是有理数，）中，或， 即或， ，且 是有理数， ，中的一个为， 也是关于的方程（是有理数，）的一个根， 该方程的另外两根分别是2和． 故答案为：2，． 【题型12.因式分解法解一元二次方程】 【典例】解方程的适当方法是（   ） A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，方程两边均含有表达式，通过移项后因式分解，可简化为两个一次方程求解，因此因式分解法最适当． 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：或， 解该方程的适当方法是因式分解法， 故选：D． 【跟踪训练1】定义新运算：．例如：，则关于x的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查新定义运算以及一元二次方程的求解．解题的关键在于根据新定义运算的规则，将方程转化为一元二次方程，再通过因式分解的方法求解方程． 【详解】解：由新运算定义，，则， 由题意，， 整理得， 解得，． 故答案为：，． 【跟踪训练2】已知实数，满足，，且，则的值是（    ） A．4 B．12 C．0 D．4或12 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程． 通过求解两个二次方程得到p和q的可能值，排除的组合后，计算的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或； ∵， ∴， ∴或； 又∵， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 若，则， 若，则， ∴． 故选：C． 【题型13.换元法解复杂一元二次方程】 【典例】我们知道方程的解是，，现给出另一个方程，它的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程及一元二次方程的解，熟知换元法解一元二次方程的步骤是解题的关键．根据已知方程的解，通过整体代换求解新方程． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程中，或， 解得或． 故答案为，． 【跟踪训练1】关于的方程的解是，（，，均为常数，），则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查换元法解方程，根据题意，得到方程的解为或，进行求解即可． 【详解】解：关于的方程的解是，， 方程的解是或， 解得，； 故选A． 【跟踪训练2】已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，则关于的一元二次方程的两个实数根为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，熟练掌握换元法是解此题的关键． 关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，可求出关于的一元二次方程的两个实数根，即可得解． 【详解】解：在关于的一元二次方程中， 令代入已知方程得， 方程与方程的根互为倒数， 即， ， ， 或， 解得：或， 故答案为：或． 【题型14.一元二次方程的根与系数的关系】 【典例】已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，利用一元二次方程的根与系数的关系得到，，，再通过公式 ，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 方程 的两根分别为 、， ∴ ，， ∴ ， 故选：D． 【跟踪训练1】萱萱和小杰一起写作业，在解一道一元二次方程时，萱萱在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和，小杰在化简过程中写错了一次项的系数，得到方程的两个根是和，则原方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，设原一元二次方程为，由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ；由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即，则原方程为，即，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设原一元二次方程为， 由萱萱写错常数项，得到根和，故一次项系数正确，故有 ，即 ； 由小杰写错一次项系数，得到根和，故常数项正确，故有，即， 因此原方程为， 所以， 故答案为：． 【跟踪训练2】若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 方程有两个实数根，且，可转化为二次函数与直线的交点问题，通过分析函数性质，由于，抛物线开口向下，且在和处函数值为负，两个根均位于区间内，因此满足． 【详解】解：对于二次函数，令得，， 由于，则令或， 解得或， 即二次函数与轴的交点坐标为和， 由于，在内，，且顶点在处，顶点值， 函数大致图象如下： 为使有两个实根，需二次函数顶点值大于， 即， 解得（满足）， 因此，一元二次方程的两个实数根在到之间，即， 故选：A． 一.单选题 1．如表是某同学求代数式（a，b为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于x的方程的实数根是（   ） x … 0 1 2 … … 6 2 0 0 2 … A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与代数式值的关系，熟练掌握“方程的根是使方程左右两边相等的未知数的值”是解题的关键． 根据方程的含义，直接从表格中找出使代数式的值为2对应的值，即为方程的实数根． 【详解】∵当时，； 当时，， ∴方程的实数根为，, 故选： A． 2．两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方租的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 3．若方程是关于x的一元二次方程，则a的值为（    ）． A．1 B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的判定条件是未知数的最高次数为2且二次项系数不能为零． 根据一元二次方程的判定条件列式求解即可． 【详解】解：∵ 方程是关于的一元二次方程， ∴的最高次数为2，即， ∴，即． 又∵ 二次项系数 ， 当时，，不符合条件； 当时，，符合条件． ∴ ． 故选B． 4．根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 5．已知整式M：，其中为正整数，且．下列说法：①满足条件的所有整式M中没有单项式；②当时，满足条件的整式M只有；③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个．其中正确的个数是（   ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题综合考查了整式与配方法，理解题意、分类讨论、找出规律是解题的关键． 根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，， ∵为正整数， ∴整式M一定含有常数项和一次项，即整式M不可能是单项式， ∴满足条件的所有整式M中没有单项式，即①正确； 当时，， ∵为正整数， ∴当时，满足条件的整式M只有，即②正确； ∵多项式为二次三项式， ， ∴， ∵多项式为三项式，为正整数， ∴当时，，则有两种， ，， ∴两种都满足条件， 当时，，则有一种， ， ∴满足条件， 当时，，与为正整数矛盾， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 综上，正确的个数是3个． 故选：D． 二.填空题 6．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知“凤凰”方程有两个相等的实数根，则下列结论：①②，③，④，⑤当时，方程有两个不相等的实数根．正确的有 （填序号） 【答案】①⑤ 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，根据“凤凰”方程有两个相等的实数根，可得，再结合得到，从而推出，再判断方程的根的判别式即可解答，熟知根的判别式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ， 即， ， ，故①正确； ， 或， 当时，与矛盾， 不成立 ，，故②③④错误； ， ， ∴， ， ，即， 故当时，方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的有①⑤， 故答案为：①⑤． 7．新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算和配方法求最小值问题，解决此题的关键是正确理解题目中新定义；由题中新定义得到的值，再把配方得到最小值即可； 【详解】解：∵一元二次方程与是“同族二次方程”， 即一元二次方程与是“同族二次方程”， 由新定义可知：此两个方程是一样的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴代数式的最小值是2025． 8．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为 ． 【答案】或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 先根据，可得，分情况进行讨论：（1）时；（2）时；（3）；（4）时；（5）同理可知4 时，方程无解；即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， （1）时，，解得：； （2）时，，解得：或（舍）； （3）时，，解得：（舍）或（舍）； （4）时，，解得：（舍）； （5）同理可知时，方程无解； 综上所述：方程的解为或， 故答案为：或． 9．关于x的一元二次方程下列说法：①若c是方程的一个根，则一定有成立；②当时，则关于x的方程必有实数根；③若，则方程一定有两个不相等的实数根；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的是 （填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和判别式的性质。对于每个说法，通过代入根的定义、分析判别式或代数变形进行判断即可． 【详解】解：①若c是方程的一个根，将代入方程得：，即，这意味着或，并非“一定有”，因此说法①错误； ②由，则， 所以，， 所以，方程必有实数根，说法②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，说法③正确； ④若是方程的根，则，即， 而， 因此，说法④正确． 故答案为：②③④． 10．若一个四位数各个数位上的数字互不相等且均不为零，且满足千位数字与百位数字的和的平方等于这个四位数去掉千位与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“和方数”．例如：四位数6149，因为，所以6149是“和方数”；又如：四位数3562，因为，所以3562不是“和方数”．最小的“和方数”为 ；已知为“和方数”，A去掉千位数字后所得的三位数记为，记，，在能被11整除的情况下，当取得最大值时，满足条件的“和方数”A等于 ． 【答案】 1425 2781 【分析】本题考查了实数的新定义运算，因式分解，解一元二次方程，根据“和方数”的定义计算即可求解，理解新定义运算是解题的关键．设为“和方数”，可知 ，，即，要使得越小，只需，，，越小即可，再根据定义即可求解；由题意可知，则，由能被11整除，得能被33整除，结合定义可知，进而求得，可知 ，，由，可知当时，取得最大值，此时，即可求解． 【详解】解：设为“和方数”， 则 ，，即， 要使得越小，只需，，，越小即可， 当时， 若时，，不符合题意， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时，，则，， 即：最小的“和方数”为1425； ∵为“和方数”，则， ∴， 则， ∵能被11整除，即：能被33整除， ∴能被33整除， ∵， ∴， 令，则为33的倍数，，则， 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，不符合题意； 当时，解得，符合题意（不符合题意，舍去）； ∴，， ∴，， 则， 当时，取得最大值，此时， 则此时“和方数”等于2781， 故答案为：1425，2781． 三.解答题 11．阅读一元二次方程的新解法，思考并完成相应的任务． 一元二次方程的新解法 对于任意的一元二次方程，都可以用配方法将原方程转化为（，为常数）的形式，当时，两边开平方即可求出原方程的解． 下面我们讨论一种新解法——消去未知数的一次项，将原方程转化为可以开平方的形式． 【特例分析】 以课本37页例题为例， 设（为常数）， 则原方程化为．① 整理，得．② 为使方程②不含的一次项，令，解得：． 则 所以，方程②化为． 解，得，． 所以， ， ． 【类比推广】 按这种思路，可以求解任意一元二次方程，还能推导出求根公式． 任务： (1)直接写出材料中“特例分析”部分方程的解 ， ； (2)按照材料中“特例分析”的方法，求解一元二次方程． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用和的值写出和的值即可； （2）设，原方程化为，整理得，令，解得，则，所以方程化为，利用直接开平方法解方程，然后计算出对应的x的值即可． 【详解】（1）解：，，， ，， 故答案为：，． （2）解：设（为常数）， 则原方程化为① 整理，得② 为使方程②不含的一次项，令， 解得：， 则， 所以，方程②化为， 解得：，， 所以，，． 12．已知关于的方程． (1)试说明：无论取什么实数值，方程总有实数根； (2)若等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根，求的周长 【答案】(1)理由见解析 (2)5 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式， 【详解】（1）解： ∵，，， ∴ ∴无论取什么实数，方程总有实数根. （2）解：∵等腰的一边长为1，另两边，恰好是这个方程的两个实数根， 当时，把代入方程得：， 解得：， 此时方程为， 解得，，即，， ∵， ∴，，时，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则方程有两个相等的实数根， ∴，解得， 原方程为，解得，即， 周长， ∴的周长为5． 13.．已知关于的一元二次方程（为实数）． (1)求证：无论取何实数，该方程总有两个不相等的实数根； (2)设方程的两个实数根为，，且满足，求的值； (3)在方程有两个整数根的情况下，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)、、 【分析】本题考查一元二次方程的判别式、根与系数的关系以及整数根问题． （1）通过计算判别式并完成平方，证明其恒大于零； （2）利用根与系数的关系结合给定条件列方程求解； （3）根据整数根的条件，推导根与系数的整数关系，求出所有可能的m值． 【详解】（1）证明：， ∵， ∴， 故无论取何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两个实数根为、， 则，， ∵， ∴， 即， 又∵， 代入，得， 即， 两边乘以4，得， 整理得， 解得， ∴或； （3）解：设方程的两个整数根为、， 则，． 由，得， 代入，得， 即， 两边加1，得， ∴． ∵、为整数， ∴、为整数，且乘积为， 可能情况如下：①，，得，，； ②，，得，，； ③，，得，，； ④，，得，，； ⑤，，得，，； ⑥，，得，，； 综上，的值为、、． 14．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根、，小普发现对于这个方程的两根，有，．假设、在数轴上对应的点分别为、，点、之间的距离为2，的中点表示的数是p． (1)当时，_____________； (2)根据小普的结论，求m、n；（结果用含p的代数式表示） (3)如果n是一个正整数的平方，现保持的中点不变，、之间的距离变为8，对应的方程中也是一个正整数的平方，求的中点表示的数． 【答案】(1) (2)， (3)或或或 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式变形求值，因式分解的应用，求一个数的平方根等知识点． （1）根据数轴上中点坐标公式求解； （2）根据，即可表示；由题意得，再由代入化简即可； （3）当时，（为正整数），则当时，（为正整数，且），则 ，即，再分类讨论求解． 【详解】（1）解：∵的中点表示的数是p， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴； 由题意得， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，（为正整数）， 当时，（为正整数，且）， ∴ 两式相减得， 即． ∴ 或 解得或， ∴或 ∴ ，，，， (3)若函数的图象经过点，函数的图象经过点，且，求的值． 【答案】(1)，， (2)①不成立，②成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）联立与，得，整理得，由题意得，于是可得，即，将代入方程，得，解方程即可求出的值，进而可求出相对应的值，于是可得切点的坐标； （2）由（1）得，则，，要使成立，则，整理得，由可得，进而可得，据此对、的两组值进行验证，即可得出答案； （3）由“函数的图象经过点，函数的图象经过点”可得，，再结合，可得，由（1）得，将代入并整理，得，由可得，进而可得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：联立与，得： ， 整理，得：， 由题意得：， 即： ， ， ， 将代入方程，得： ， 整理，得：， ， ， ，即：， 将代入，得： ， 切点的坐标为， 故答案为：，，； （2）解：①不成立，②成立，理由如下： 由（1）得：， ， ， 要使成立，则： ， 整理，得：， ， ， ， ， ①当，时， ，不满足， 不成立； ②当，时， ，满足， 成立； （3）解：函数的图象经过点，函数的图象经过点， ，， ， ， 即：， 由（1）得：， 将代入，得：， 整理，得：， ， ， ， 解得：或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），一元二次方程的解法（直接开平方法，因式分解法），不等式的性质，完全平方公式等知识点，根据相切函数的定义推出是解题的关键． 16．定义：若关于的一元二次方程的两根都为整数，则称方程为“全整根方程”．通过计算发现，任何一个“全整根方程”的根的判别式的值一定为完全平方数．现规定：代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”．例如“全整根方程”的“最值码”为． (1)关于的一元二次方程是一个“全整根方程”． ①当时，该方程的“最值码”是__________； ②若为整数，且，求该方程的其“最值码”． (2)若关于的一元二次方程与都是“全整根方程”，且其“最值码”相等，设，求的最小值． 【答案】(1)①0；②． (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程、平方的非负性，解决本题的关键是根据“全整根方程”、“最值码”的定义探索、之间的关系． （1）①根据“最值码”的定义计算，即可得到结果； ②因为关于的一元二次方程是“全整根方程，可得：是完全平方数，且为整数，且，计算可知，继而求解； ； （2）因为两个方程的“最值码”相等，所以有，整理可得：，整体代入，可得，即可得到结论． 【详解】（1）解：①当时，方程为中，，，， “最值码”， 故答案为：； ②关于的一元二次方程是“全整根方程， ， 其中是完全平方数，且为整数，且， ， 当时，，“最值码”， 综上所述：该方程的其“最值码”为． （2）解：一元二次方程的判别式，最值码， 一元二次方程的判别式是，最值码为， 两个方程的最值码相等， ， 整理得：， ， ∴ 当，有最小值，最小值为， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $