函数奇偶性与对称性期末复习讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理函数奇偶性与对称性的核心内容，从奇偶性概念、判断步骤、常用方法到性质及对称性，用层级结构呈现内在逻辑，突出定义域对称性、图象特征等重难点，帮助学生构建完整知识网络。 讲义亮点在于典例分类精准，按“定义判断-性质应用-对称性”设题，包含多选、解答题等题型，如奇偶性与单调性结合的不等式求解，通过定义法、图象法培养学生推理能力和抽象能力。基础题巩固概念，综合题提升思维，支持学生自主复习，助力教师分层教学。

函数奇偶性与对称性 一．重点知识梳理 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数. 2.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 3.判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）奇偶性的运算 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；=偶函数； 4.奇偶函数的图象与性质 （1）是奇函数且在有定义，则有； （2）在关于原点对称的两个单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。 （3）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （4）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 5.函数的对称性 （1）轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①；② ③ （2）点对称中心 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ （3）拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 二．典例分类分析 （一）、奇偶性的定义及判断 1.函数的图像关于（ ） A．y轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【详解】：由，得，且， 所以的定义域为，关于原点对称， 所以. 又，所以是奇函数.所以图像关于原点对称，故选C 2.设是定义在上的偶函数，则（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于在上的偶函数，故定义域关于原点对称，即：，得. 又由于为偶函数，即：，化简得：=0. 则. 故选：C. 3．（多选）已知函数，，则下列结论中正确的是（　　） A．f（x）+g（x）是奇函数 B．f（x）⋅g（x）是偶函数 C．f（x）+g（x）的最小值为4 D．f（x）⋅g（x）的最小值为2 【答案】BC 【详解】因为f（x）+g（x）＝+， 所以f（﹣x）+g（﹣x）＝+， 所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x）， 所以f（x）+g（x）是偶函数，故A错误； 因为f（x）•g（x）＝（）， 所以f（﹣x）•g（﹣x）＝（）， 所以f（x）•g（x）＝f（﹣x）•g（﹣x）， 所以f（x）•g（x）为偶函数，故B正确； f（x）+g（x）＝+=4， 当且仅当且，即x2＝1时等号成立，故C正确； f（x）•g（x）＝+， 令t＝，t≥2，则y＝f（x）•g（x）＝t（t2﹣2）＝t3﹣2t， 可知：t≥2时，函数y＝t3﹣2t为增函数， 所以当t＝2时，y＝f（x）•g（x）取得最小值为4，故D错误． 故选：BC． 4.（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 【答案】BCD 【详解】由题意可知，，所以，所以为偶函数，A项错误； 由，得，所以为奇函数，B项正确； 因为，所以为偶函数，C项正确； 因为，所以为偶函数，D项正确. 故选：BCD. 5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可. 【详解】由题意可得， 对于A，不是奇函数； 对于B，是奇函数； 对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B 6.已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1）1；（2）偶函数，证明见解析. 【详解】（1）依题意，. （2）由（1）知， ∴，即， ∴， 又因为的定义域为，所以函数为偶函数. （二）、奇偶性性质及应用 1.已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 【答案】C 【详解】函数的定义域为R， 令函数，显然， 即函数是R上的奇函数，因此，即，而， 所以. 故选：C 2.设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，奇函数在和上都为单调递增函数， 且，函数图像示意图如图所示：    故不等式，即，即， 结合的示意图可得它的解集为或 故选：D． 3.已知定义在R上的偶函数f (x)在区间 单调递增，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】 【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以， 所以， 即， 故答案为：D 4．（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 【答案】BC 【详解】由已知，，， 所以，即， 所以在上单调递减，又是定义在上的奇函数， 所以在上单调递减，故A错误； 因为，所以， 所以， 所以在上单调递减，故B正确； 因为时，恒成立， 所以令，代入上式得，即， 又因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，故选项C正确，选项D错误. 故选：BC. 5．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，是偶函数， 所以，解得， 由， 当时，则，所以， 同理：当时，， 以此类推，可以得到的图象如下： 由此可得，当时，， 由，得，解得或， 又因为对任意的，恒成立， 所以，所以实数的最大值为. 故选：B. 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵函数为奇函数，则有： 当时，则，故； 当时，则； 所以在上的解析式为. （2）当时，则， 对，且，则，故， ∴，即， 故在上为增函数， 且，则， 所以当时，的值域为. 7．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 【详解】（1）定义域为，令，得，再令，得， 所以，故是奇函数； （2）因为，所以， 所以 又因为函数是单调函数，所以在R上单调递增 因为 所以 即： 即： 即：对任意恒成立 当时，的最小值为-1，所以。 8．已知是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性（不用证明），并求使成立的实数t的取值范围； (3)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增， (3) 【详解】（1），且，所以为奇函数， 将代入可得，即，所以， 即，因为，所以，代入可得， 解得，故； ，，函数为奇函数，满足，故. （2）设，则， ，，，即， 故函数在上单调递增，因为为奇函数， 所以，即， 根据单调性及定义域可得：，解得，即. （3）只要，函数在上单调递增，最小值为. 法一：在上恒成立，只要， 在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故当时，，所以. 法二：，， 当时，，，解得，舍去； 当时，，，解得，因此， 综上所述：. （三）、对称性 1.(多选)已知函数的定义域为R，则下列命题中,其中正确的命题是( ) A.若是偶函数，则函数的图象关于直线对称； B .若，则函数的图象关于原点对称； C .函数与函数的图象关于直线对称； D .函数与函数的图象关于直线对称． 【答案】AD 【详解】 因为是偶函数，所以图像关于对称，将图像向左平移2个单位得到的图像，所以图像关于对称，A正确。 因为，所以，所以，所以，所以周期为8，B错误。 令，则，C错误，同理可得D正确。 2.已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的图象关于点对称，的图象关于点对称，是定义在上的奇函数， 对任意的，，，满足，在上单调递减，所以在上也单调递减， 又所以，且， 所以当时，；当时，， 所以由可得或或， 解得或，即不等式的解集为． 故选：C. 3.已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】B 【详解】∵，∴以为对称中心，且； ∵即， ∴为偶函数，以轴为对称轴； ∴，即， 由知，， ∴，， 从而，即， ∴的周期为4，∴的周期为4； 故． 故选：B. 4．对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】如图，在同一个坐标系中做出两个函数与的图象， 则函数的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分， 根据图象令，解得， 分析可得其图象关于直线对称， 要使函数的图象关于直线对称，则t的值为， 当时，函数的图象关于直线对称， 所以“”是“函数的图象关于直线对称”的充分必要条件. 故选：C 5.已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为，则 （ ） A．0 B．m C．2m D．4m 【答案】B 【详解】试题分析：因为的图像都关于对称，所以它们图像的交点也关于对称，当为偶数时，其和为；当为奇数时，其和为，因此选B. 6.（多选）已知函数f(x)定义域为R，且，，，则（ ） A. f(x)的图象关于直线x＝2对称 B. C. f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 D. 为偶函数 【答案】BCD 【详解】对于A，假设f(x)的图象关于直线对称，则， 因为，故，即2为函数的一个周期， 则，由，可得，矛盾， 故f(x)的图象不关于直线对称，A错误； 对于B, 函数f(x)定义域为R，且，则， 由得，则， ，故，故B正确； 对于C，由B的分析可知，，即， 所以， 即，故的图象关于点中心对称，C正确； 对于D，由可得， 由得， 故，即为偶函数，D正确. 故选：BCD. 7.证明:函数关于点(1，-1)中心对称 证明：因为 即： 所以函数关于点(1，-1)中心对称 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数奇偶性与对称性 一．重点知识梳理 1．函数奇偶性的概念 偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数. 奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数. 2.用定义判断函数奇偶性的步骤 （1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步； （2）结合函数的定义域，化简函数的解析式； （3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性. 3.判断函数奇偶性的常用方法 （1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. （2）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称. （3）奇偶性的运算 奇函数奇函数=奇函数；偶函数偶函数=偶函数；偶函数偶函数=偶函数； 奇函数奇函数=偶函数；奇函数偶函数=奇函数；=偶函数； 4.奇偶函数的图象与性质 （1）是奇函数且在有定义，则有； （2）在关于原点对称的两个单调区间内，奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性。 （3）是偶函数，且在上单调，则在上有相反的单调性，此时函数的最大（小）值相同； （4）是奇函数，且在上单调，则在上有相同的单调性，此时函数的最值互为相反数； 5.函数的对称性 （1）轴对称： 设函数的定义域为，且是的对称轴，则有： ①；② ③ （2）点对称中心 设函数的定义域为，且是的对称中心，则有： ①； ② ③ （3）拓展： ①若，则关于对称； ②若，则关于对称； 二．典例分类分析 （一）、奇偶性的定义及判断 1.函数的图像关于（ ） A．y轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 2.设是定义在上的偶函数，则（ ） A．0 B．2 C． D． 3．（多选）已知函数，，则下列结论中正确的是（　　） A．f（x）+g（x）是奇函数 B．f（x）⋅g（x）是偶函数 C．f（x）+g（x）的最小值为4 D．f（x）⋅g（x）的最小值为2 4.（多选）已知是定义在上不恒为0的偶函数，是定义在上不恒为0的奇函数，则（    ） A．为奇函数 B．为奇函数 C．为偶函数 D．为偶函数 5.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A． B． C． D． 6.已知定义在上的函数，满足： ①； ②任意的，，. （1）求的值； （2）判断并证明函数的奇偶性. （二）、奇偶性性质及应用 1.已知，则等于（    ） A．8 B． C． D．10 2.设奇函数在上为单调递增函数，且，则不等式，的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知定义在R上的偶函数f (x)在区间 单调递增，则使得成立的的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（多选）已知是定义在上的奇函数，当时，恒成立，则（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C． D． 5．已知函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，设函数．若对任意恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)当时，求的值域. 7．定义在上的函数是单调函数，满足，且，. (1)判断的奇偶性，并证明； (2)若对于任意，都有成立，求实数的取值范围. 8．已知是定义在上的奇函数，且. (1)求的解析式； (2)判断函数在上的单调性（不用证明），并求使成立的实数t的取值范围； (3)设函数，若对任意，都有恒成立，求m的取值范围. （三）、对称性 1.(多选)已知函数的定义域为R，则下列命题中,其中正确的命题是( ) A.若是偶函数，则函数的图象关于直线对称； B .若，则函数的图象关于原点对称； C .函数与函数的图象关于直线对称； D .函数与函数的图象关于直线对称． 2.已知函数的定义域为，的图象关于点对称，，且对任意的，，满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数，的定义域均为，且，，若为偶函数，且，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．0 4．对于两个实数，设则“”是“函数的图象关于直线对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为，则 （ ） A．0 B．m C．2m D．4m 6.（多选）已知函数f(x)定义域为R，且，，，则（ ） A. f(x)的图象关于直线x＝2对称 B. C. f(x)的图象关于点(－2,0)中心对称 D. 为偶函数 7.证明:函数关于点(1，-1)中心对称 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $