精品解析：黑龙江省大兴安岭地区漠河市两校联考2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年九年级上学期12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的运算（幂的乘方、合并同类项、单项式乘法、完全平方公式），熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 依次对每个选项，根据幂的乘方、合并同类项、单项式乘法、完全平方公式的运算法则进行计算，判断其正确性． 【详解】解：A ．，选项A正确． B．，选项B错误． C．，选项C错误． D．，选项D错误． 故选：A． 2. 纸艺术是中国传统文化宝库中的优秀瑰宝，每一个作品设计独特，都体现文化传承和艺术之美，下列关于鱼的剪纸中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，理解并掌握中心对称图形和轴对称图形的性质是解题关键．如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐一进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 3. 一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数的定义． 根据众数是4和6，可知，使4和6的出现次数均为3次，然后排序数据求中位数即可． 【详解】解：∵众数是4和6， ∴4和6的出现次数相等且最多． 当前数据中，3出现1次，4出现2次，6出现3次，7出现1次， ∴x必须为4，使4出现3次， ∴数据为：3，4，6，4，4，7，6，6． 排序后：3，4，4，4，6，6，6，7． ∵数据个数为8，是偶数， ∴中位数为第4和第5个数据的平均值，即． 故选：B． 4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了已知三视图求最多或最少的小正方体的个数，先分析主视图和俯视图，得出最少小正方体个数是个；最多小正方体个数是个，然后结合四个选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：俯视图最少如图所示： 最少小正方体个数是（个）； 俯视图如图所示： 最多小正方体个数是（个）； 观察四个选项，所需的小正方体个数不可能是， 故选：A． 5. 九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． 由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． ∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56， ∴， 解得：或（舍去）． 故选：B． 6. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 7. 为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（ ）种． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解应用，解题的关键是通过方程化简分析未知数的取值特征，确定符合条件的方案数． 设男生、女生人数为、，列方程化简后，根据为非负整数确定的偶数特征，进而找出所有方案． 【详解】解：设安排男生名，女生名， 由题意得：， 化简为， 则． 为非负整数，为非负偶数，即为非负偶数． 设（为非负整数），代入得． 由得，故取0，1，2，3，4， 对应5种方案：；；；；． 故选：D． 8. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，原抛物线的顶点为，平移后顶点需在坐标轴（x轴或y轴）上，通过计算各选项平移后的顶点坐标，判断是否满足条件即可． 【详解】解：∵ 抛物线 的顶点为． 选项A：向上平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项B：向下平移3个单位，新顶点坐标为，在x轴上； 选项C：向左平移3个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上； 选项D：向右平移4个单位，新顶点坐标为，不在坐标轴上． ∴ 只有选项B使顶点在坐标轴上，故这个平移的过程可能是向下平移3个单位． 故选：B． 9. 如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（        ） A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形判定、三角形中位线定理．构造全等三角形，将转化为中位线是解题关键． 延长交于F，可证明，进而证明，再由E为中点，可根据三角形中位线定理求得的长度． 【详解】解题：如图，延长交于F， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 10. 如图，于点，且，若点是三角形的角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用点是三角形的角平分线的交点，得到，，结合，再利用三角形内角和定理可判断①；通过证明和，得到，分析可知需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，可判断②；延长至点使得，连接，先证明，进而推出，可判断③；延长交于点，由得到，结合可判断④，即可得出结论． 【详解】解：， ， ， 点是三角形的角平分线的交点， 平分，平分， ，， ， ，故①正确； ，，， ， ，， ， 同理可得：， ，， ， ， 若需证明，则需证明是等腰直角三角形，而题目条件无法判断，故②不正确； 如图，延长至点使得，连接， 点是的中点， ， 又，， ， ，，， ，，， ， ， ， 又，， ， ， ，故③正确； 如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，掌握全等三角形的性质与判定，学会结合图形添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 从2024年12月21日至2025年2月4日，哈尔滨冰雪大世界运营46天，累计接待游客数量突破266万人次．其中266万人用科学记数法表示为___________人． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 先将“万人”转换为“人”，再根据科学记数法作答即可． 【详解】解：266万人人． 故答案为：． 12. 函数中，自变量x的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：且且， 解得：且且， 即且． 故答案为：且． 13. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤．两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定方法作答即可． 【详解】解：添加条件：， 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：（答案不唯一）． 14. 长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化分别用A、B、C、D表示， 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中选择B巴蜀文化和C荆楚文化的结果数为2， 选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是． 故答案为：． 15. 关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式组无解问题． 分别解不等式组中的两个不等式，得到和．不等式组无解的条件是两个不等式的解集没有公共部分，即，解此不等式即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； 不等式组无解，则， 即， 所以． 故答案为：． 16. 是的切线，为切点，连接，点在上，，连接并延长，交于点，连接．，若⊙O的半径是2，则的长为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，平行线的判定和性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定及性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．证明，求出，证明是等边三角形，可得结论． 【详解】解：是切线， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ． 故答案为：2． 17. 若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是___________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图与扇形的关系，解题的关键是利用圆锥底面周长等于扇形弧长，结合勾股定理求出母线长． 先由弧长公式得底面半径与母线的关系，再结合勾股定理求母线长，最后计算侧面积． 【详解】解：设圆锥母线长为，底面半径为， 由底面周长等于扇形弧长得：，化简得， 结合勾股定理，代入得：， 解得，则． 圆锥侧面积为． 故答案为：． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加合适的辅助线构造全等三角形是解题的关键．作，且，连接，作，证，得，推出，故当三点共线时，有最小值，且最小值为线段的长度； 【详解】解：作，且，连接，作，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故当三点共线时，有最小值，且最小值为线段的长度； 由题意得：， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 19. 已知：点是正方形的边所在直线上的点，过点作交于点，连接，，若的周长为，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，分为如图，当在上时，由勾股定理得，所以，则或（舍去），然后通过正方形性质和勾股定理即可求解；如图，当在延长上时，由勾股定理得，所以，则（舍去）或，然后通过正方形性质和勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当在上时， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 如图，当延长线上时， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴； 综上可得：的长为或． 20. 如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则 的长是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数图象与几何的变换规律的综合，解直角三角形，理解等边三角形的性质，一次函数图象的性质和特点，找到点的变换规律是解题的关键．设直线与轴交于点，求出点、的坐标，可得，推出，，然后求出，，，，进而可得，，再求出即可． 【详解】解：如图所示，设直线与轴交于点， 当时，；当时，， ，， ，， ， ， △是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， 同理，，，， ，， ， 故答案为：． 三、解答题（本题满分60分） 21. 先化简，再求值： 其中 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． （1）画出平移后的图形 ； （2）将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查平移作图，旋转作图，勾股定理和扇形的面积公式，掌握平移的性质，旋转的性质和扇形面积公式是解题关键． （1）根据平移的性质，先描点后连线即可； （2）根据旋转的性质，先描点后连线即可； （3）先用勾股定理求出和的长，扫过的面积可以看作一个以为内径，为外径的的扇环的面积，运用扇形面积公式计算出扇形和扇形的面积，作差即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 如图，即为所求．由图可知，坐标为； 小问3详解】 ∵，， ∴，， ∴线段 所扫过的面积为扇形的面积减去扇形的面积， ∴． 23. 如图，抛物线 过点和点，与y轴交于点 C，过点C作轴交抛物线于点 D，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点A 的直线交于点E，直线将四边形分成两部分，且这两部分的面积之比为，请直接写出点E的坐标． 【答案】（1） （2）点E的坐标是或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式以及与面积的综合问题，正确求出解析式是解题关键． （1）由题意得抛物线的解析式为：； （2）根据轴，推出是抛物线上的对称点，求出；求出直线的解析式，分类讨论若，若两种情况即可求解； 【小问1详解】 解：∵抛物线 过点和点， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：令，则 ∴； ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵轴， ∴是抛物线上的对称点， ∴； 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 四边形的面积， ∵过点A 的直线交于点E， ∴， 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 若，则，解得：； ∴（符合题意）； ∴ 综上所述，点E的坐标为或 24. 为了贯彻落实国家“双减”政策，明德中学在课后延时服务里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动，为了了解学生对社团活动的喜爱情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中 B所在扇形圆心角的度数是多少？ （4）请根据调查结果估计全校1800名学生中有多少名学生喜欢书法 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4）估计全校1800名学生中有360名学生喜欢书法 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，列表法或画树状图法求概率； （1）根据D组的人数除以占比得出总人数； （2）根据总人数求得A组的人数，进而补全统计图即可； （3）根据B组的占比乘以，即可求解； （4）根据样本估计总体，用组的占比乘以即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有人； 故答案为：． 【小问2详解】 解：组的人数为：，补全条形统计图如图． 【小问3详解】 扇形统计图中 B 所在扇形圆心角的度数为 【小问4详解】 （名）． 答：估计全校1800名学生中有360名学生喜欢书法． 25. “低碳出行，绿色环保”已深入人心．周六，小明和爷爷分别从一条笔直的公路上的A，B两地同时出发，相向而行，小明骑自行车从A地匀速前往B地；爷爷骑电动车从B地匀速前往A地，行驶了一段时间后停留了，接着继续以原速度前往A地，到达A 地停留了后按原路匀速返回B地，结果比小明晚到．小明和爷爷与A地的距离）与小明出发后经过的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）A，B两地之间的距离为 ，小明的速度为 ； （2）求爷爷返回时 与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）请直接写出小明出发后多长时间和爷爷相距． 【答案】（1）9600；300 （2） （3）或 或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用行程问题，解题的关键是结合函数图象提取关键点坐标，利用路程、速度、时间的关系和待定系数法求解函数解析式与未知量． （1）从图象提取爷爷行程的关键点，用“路程速度时间”计算爷爷的速度，进而得A、B距离；再用“速度路程时间”求小明的速度． （2）确定爷爷返回时的函数图象线段，取两点坐标，用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （3）分“相遇前、相遇后小明未到A地、小明到B地后”三种情况，根据“路程和（差）总距离”列方程求解时间． 【小问1详解】 解：根据题意可得，，， ∴爷爷的速度为， ∴A，B两地的距离为， 小明的速度为． 故答案为：9600；300； 【小问2详解】 解：由题意可得爷爷返回时，关于x的函数图象为线段 ，，． 设爷爷返回时与x之间的函数解析式为， 则 解得， ∴． 【小问3详解】 解：①在爷爷、小明相遇前相距，则 ， ∴． ②在爷爷、小明相遇后且乙未到达A地时，二者相距，则， ∴． ③小明到达B地后，爷爷、小明相距， 则，解得． 综上所述：小明出发后和爷爷相距的时间为或或． 26. 中，为中线，点E在直线上，直线交直线于点F， （1）当点E在线段上时，如图①，求证：； （2）当点E在的延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不用证明； 【答案】（1）见解析 （2）如图②时，；如图③时， 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边对等角，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作交的延长线于点M，证明，可得，再证明，利用线段的和差即可解答； （2）作与（１）相同辅助线，证明，同理通过线段的和差分别求解即可． 【小问1详解】 证明：如图，过点B作交的延长线于点M， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点E在的延长线上时，如图，过点B作交的延长线于点M， 同（1）可得， ， ， ， ， ， ， ； 当点E在的延长线上时，如图，过点B作交的延长线于点M， 同（1）可得， ， ， ， ， ， ， ； 综上，如图②时，；如图③时，． 27. “散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 【答案】（1）每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元 （2）有3种方案如下：①购进 A 种凉席个，B种凉席个；②购进 A 种凉席个，B种凉席个；③购进 A 种凉席个，B种凉席个 （3）赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，一元一次不等式，二元一次方程的实际应用，难度较大，解题时务必理解题意，得到相应的等量关系和不等关系. （1）设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元，由题意得：，即可求解； （2）设购进A种凉席个，则购进B种凉席个，由题意得：，即可求解； （3）设获利元，则，可推出当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大；设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 即可求解； 【小问1详解】 解：设A种凉席每个进价是元，则B种凉席每个进价是元， 由题意得：， 解得：； 经检验，是原方程的解； ∴； ∴每个A种凉席的进价为元，每个B 种凉席的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进A种凉席个，则购进B种凉席个， 由题意得：， 解得：； ∴有3种方案如下：①购进A种凉席个，B种凉席个；②购进A种凉席个，B种凉席个；③购进A种凉席个，B种凉席个； 【小问3详解】 解：设获利元，则， ∵， ∴当购进A种凉席个，B种凉席个时，获利最大； 设赠送的凉席中， A种凉席有个，样品中A种凉席有个，则赠送的凉席中，B种凉席有个，样品中B种凉席有个， 由题意得： 整理得：； ∵两种凉席均有样品， ∴且； ∴， ∴， 即：赠送的凉席中 B种凉席有4个，样品中B种凉席有2个； 28. 如图，矩形在平面直角坐标系中如图所示，边， 的长是一元二次方程 的两个根，直线l经过点A，交x轴于点D，． （1）求直线l的函数解析式； （2）将直线l以每秒1个单位长度的速度向右平移，在平移过程中直线l扫过矩形ABCO的面积为S，设运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式； （3）P是边上的一点，在（2）的条件下，当时，平移后直线l在第一象限上是否存在点M，使以A，M，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点M坐标为 或或 【解析】 【分析】（1）解出方程的两个根后，按照题意求出点A和点D的坐标，用待定系数法求出函数的解析式； （2）以点O和点B和点C作为分界点，扫过部分的面积有4种形状，分类讨论，逐一计算即可； （3）先结合题意求出直线l平移后的函数解析式，用未知数表示出点M和点P的坐标，再根据点A，M，P依次为直角顶点进行分类讨论，结合“一线三等角”模型构造全等三角形来计算点M 的坐标． 【小问1详解】 解：， 因式分解得，， 解得，，， ∵， ∴，， ∴点A坐标为，点C坐标为， ∵， ∴点D坐标为， 设直线l的函数解析式为， 将，；，，代入解析式得， ， 解得，， ∴直线l的函数解析式为； 【小问2详解】 由函数平移的性质可得，平移后的直线l的函数解析式为， ∵四边形是矩形， ∴点B坐标为， 当直线l过点O时，代入，，解得， 当直线l过点B时，代入，，解得， 当直线l过点C时，代入，，解得， 当时，如图，设直线l与交于点E，与交于点F， 此时扫过部分为， 当时，， ∴，， 同理，， ∴， 当，如图，设直线l与交于点G，与交于点F， 此时扫过部分为梯形， 当时，， ∴，， ∴， 当时，如图，设直线l与交于点G，与交于点H， 此时扫过的部分为五边形，其面积等同于矩形的面积减去的面积， 当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 当时，扫过的部分为整个矩形， ∴， 综上所述，； 【小问3详解】 当时，；当时，， ∵， ∴，则， ，解得，， ∴此时直线l的函数解析式为， 设点M坐标为，点P坐标为， 当点A为直角顶点时，如图， 作轴于点I，轴于点J， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，， 整理得，， 解得，，与点P在边上矛盾，不符合题意； 当点M为直角顶点时，如图， 过点M作y轴的平行线，分别交、于点I、J， 类比①可得，， ∴，， ∵，，，， ∴， 解得，或，此时点M坐标为或， 当点P为直角顶点时，如图， 过点P作x轴平行线，交y轴于点I，作于点J， 类比①可得，， ∴，， ∵，，， ∴， 解得，，此时点M坐标为， 综上所述，点M坐标为或或． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，一次函数的图象与性质，平移的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质，灵活运用分类讨论和数形结合是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期12月月考 数学试题 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 纸艺术是中国传统文化宝库中优秀瑰宝，每一个作品设计独特，都体现文化传承和艺术之美，下列关于鱼的剪纸中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据3、4、6、4、x、7、6、6的众数是4和6，则这组数据的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 如图是由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图，则所需的小正方体个数不可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1个主干，主干上长出x个枝干，每个枝干又长出个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 为了弘扬雷锋精神，增强青少年的社会责任感和奉献精神，明远中学组织一批学生到老年公寓参加志愿活动，活动时间累计56个小时，每名男生工作6小时，每名女生工作4小时，则可以安排学生参加活动的方案有（ ）种． A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 8. 将抛物线进行平移后，其顶点在坐标轴上，则这个平移的过程可能是（ ） A. 向上平移4个单位长度 B. 向下平移3个单位长度 C. 向左平移3个单位长度 D. 向右平移4个单位长度 9. 如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（        ） A. 6 B. 3 C. 1.5 D. 5 10. 如图，于点，且，若点是三角形角平分线的交点，点是的中点．下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）． A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题（每小题3分，共30分） 11. 从2024年12月21日至2025年2月4日，哈尔滨冰雪大世界运营46天，累计接待游客数量突破266万人次．其中266万人用科学记数法表示为___________人． 12. 函数中，自变量x的取值范围是___________． 13. 如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，请你添加的一个条件是___________，使四边形是平行四边形． 14. 长江是中华文明的重要摇篮，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选两种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”和“荆楚文化”的概率是____． 15. 关于x的不等式组无解，则a的取值范围是___________． 16. 是的切线，为切点，连接，点在上，，连接并延长，交于点，连接．，若⊙O的半径是2，则的长为___________． 17. 若圆锥的高是，它的侧面展开后扇形的圆心角是，则这个圆锥的侧面积是___________（结果保留）． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，点D，E分别为边上的动点，且，当的最小值为______ ． 19. 已知：点是正方形的边所在直线上的点，过点作交于点，连接，，若的周长为，则的长为______． 20. 如图，，，，…是等边三角形，直线经过它们的顶点，，，，，点，，，在轴上，则 的长是_______． 三、解答题（本题满分60分） 21 先化简，再求值： 其中 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，将向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度． （1）画出平移后图形 ； （2）将绕点O顺时针旋转 ，画出旋转后的图形 并写出点 的坐标； （3）在（2）的条件下，求线段所扫过的面积（结果保留）． 23. 如图，抛物线 过点和点，与y轴交于点 C，过点C作轴交抛物线于点 D，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）若过点A 的直线交于点E，直线将四边形分成两部分，且这两部分的面积之比为，请直接写出点E的坐标． 24. 为了贯彻落实国家“双减”政策，明德中学在课后延时服务里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动，为了了解学生对社团活动的喜爱情况，从该校学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成两幅统计图： （1）本次调查的学生共有 人； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中 B所在扇形圆心角的度数是多少？ （4）请根据调查结果估计全校1800名学生中有多少名学生喜欢书法 25. “低碳出行，绿色环保”已深入人心．周六，小明和爷爷分别从一条笔直的公路上的A，B两地同时出发，相向而行，小明骑自行车从A地匀速前往B地；爷爷骑电动车从B地匀速前往A地，行驶了一段时间后停留了，接着继续以原速度前往A地，到达A 地停留了后按原路匀速返回B地，结果比小明晚到．小明和爷爷与A地的距离）与小明出发后经过的时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）A，B两地之间的距离为 ，小明的速度为 ； （2）求爷爷返回时 与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）； （3）请直接写出小明出发后多长时间和爷爷相距． 26. 中，为中线，点E在直线上，直线交直线于点F， （1）当点E在线段上时，如图①，求证：； （2）当点E在延长线上时，如图②；当点E在的延长线上时，如图③，之间又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不用证明； 27. “散发乘夕凉，开轩卧闲敞．”炎炎夏日，为了消暑贝贝佳商场准备购进A，B两种凉席，每个A种凉席比B种凉席的进价少元，用 元购进A种凉席和用元购进B种凉席的数量相同，A种凉席每个售价是元，B种凉席每个售价是元．请解答下列问题： （1）A，B两种凉席每个进价各是多少元？ （2）若该商场购进B种凉席的个数比A种凉席的2倍还多5个，购进A，B两种凉席的总费用不少于元且不超过元，则该商场有哪几种进货方案？ （3）该商场按（2）中获利最大的方案购进凉席，在销售前拿出5个凉席赠送给泰乐老年公寓，剩余的凉席全部售出，其中两种凉席有4个样品（两种凉席均有样品），每个样品都打五折销售，售完后商场仍获利元．请直接写出赠送的凉席和样品凉席中，B种凉席各有几个． 28. 如图，矩形在平面直角坐标系中如图所示，边， 的长是一元二次方程 的两个根，直线l经过点A，交x轴于点D，． （1）求直线l的函数解析式； （2）将直线l以每秒1个单位长度的速度向右平移，在平移过程中直线l扫过矩形ABCO的面积为S，设运动的时间为t秒，求S与t的函数关系式； （3）P是边上的一点，在（2）的条件下，当时，平移后直线l在第一象限上是否存在点M，使以A，M，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $