精品解析：安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三上学期数学统一作业（五）

2026届合肥八中高三上学期数学统一作业五 命题人：金启富 审题人：操瑞康 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性、对数的运算性质可得、，即可求解. 【详解】， 由，得，则，即； ， 所以. 故选：D 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象. 【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误； 当时，，选项B错误. 故选：A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项． 3. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案． 【详解】由题，当数列为时，满足， 但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件． 故选：B． 【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程． 4. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数为奇函数，由代入计算可得，由代入计算可得，计算即可求解. 【详解】因为函数定义域为且， 所以函数是奇函数且， 即，所以， 又，所以，所以，即. 故选：A． 5. 设为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由函数的单调性和时，，可证明充分性；取特值可证明不必要性. 【详解】若，由函数在上为增函数， 所以，令，则在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，则， 所以在区间上恒成立，又与互为反函数，关于对称， 所以当时，，所以， 则，故“”是“”的充分条件， 反之，若，当时，， 但，所以“”不是“”的必要条件， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平移思想，结合正切函数平移都是奇函数，可得的取值可能，从而可得最小值. 【详解】函数的图象向左平移个单位， 得到函数, 由为奇函数，则， 因为，所以的最小值是， 故选：B. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 8. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围. 【详解】由题意，当时，， 因为函数，若在上有且只有个零点， 则，解得． 又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为， 而函数的最小正周期为，则，解得， 综上，的取值范围是. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，采用降幂公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于B，根据特殊角三角函数，结合正切的和角公式，可得答案； 对于C，根据辅助角公式，结合特殊角三角函数，可得答案； 对于D，根据积化和差公式，结合特殊角三角函数，可得答案. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D正确； 故选：ABD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 有4个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据对称性，利用公式，可得A，B的正误，根据函数的图象变换，构造新的函数，利用奇偶性的定义，可得C的正误，根据零点的定义，三角函数与对数函数的性质，可得D的正误. 【详解】对于A， ，故错误； 对于B， ，故正确； 对于C， ，令， 则 ，故错误； 对于D，由，则，解得， 则有两个解，因为，，， 令，则，， 由，则在内有两个根， 故正确. 故选：BD. 11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用赋值法再结合偶函数即可求解；对B，先推出的周期，再结合中心对称的结论即可求解；对C，利用周期性即可求解；对D，利用函数的奇偶性，单调性，再结合函数的对称性即可求解. 【详解】对A，满足， 令， 则，即， 又为偶函数，，故A对； 对B，， ， 故的周期， 再根据，即， 的图象关于点成中心对称，故B对； 对C，由B知：的周期， 故， ， 令， 则， 又当时， ， 即， 即， ， 故，故C错误； 对D，满足， 关于中心对称， 又当时， 在上单调递增； 当时，， 当时，为偶函数， ， ， 当且仅当时，即时等号成立， ，故D对. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解答此类有关函数性质的题目，关键点在于要结合函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 13. 若，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角公式和二倍角公式化简等号左边，再结合诱导公式，即可求解. 【详解】， ， 则，，所以， 所以. 故答案为： 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先可得的周期为，方程的解，即为与的交点横坐标，画出与的图象，数形结合即可判断. 【详解】由函数满足，则，所以的周期为， 由，则， 可得的图象如图， 方程的解，即为与的交点横坐标， 且当时， 由图可知两图象交点个数为，即方程的实数解的个数为. 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的零点个数； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1）两个； （2）证明如下： 即， ，∵， 当时，，所以，在上单调递增， 所以， 当时，对恒成立. 【解析】 【分析】（1）求导得，易知在上单调递减，在上单调递增，然后求出、和的值，并利用零点存在定理即可得解． （2）构造函数，，原问题可转化为证明，而通过求导易推出在，上单调递增，故，从而得证． 【详解】（1），当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又，， 所以的零点有两个； （2）略 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题、恒成立问题，运用零点存在定理和将恒成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，． （1）求的面积； （2）求AB边上的高的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角求出，再利用三角形面积公式计算即得. （2）由（1）及余弦定理，结合基本不等式求出的最小值即可求出AB边上的高的最大值. 【小问1详解】 在中，由，得，解得， 由及正弦定理，得， 即，则，而，解得， 所以的面积. 【小问2详解】 由余弦定理，得，即， 当且仅当时取等号， 设h为AB边上的高，则，即， 所以AB边上的高的最大值为. 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合面积公式、正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，进而求解即可； （2）在中由正弦定理可得，在中，可得，进而得到，结合三角恒等变化公式化简可得，进而结合正弦函数的图象及性质求解即可. 【小问1详解】 ， ，即， 由正弦定理得，， ， ， ，， 由，得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为，所以，， 在中，由正弦定理得， 即， 在中，， ， ，, ， ，，， 所以的取值范围为. 18. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 【答案】（1） （2）和 （3）当时，由（2）知，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以的极大值等于， 令，所以， 在上在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以故， 综上所述，. 【解析】 【分析】（1）利用导数求解函数的单调性求解出函数的极值即可 （2）当时，利用导数求解函数的单调性求解出函数的单调递增区间 （3）分和讨论求解即可. 【小问1详解】 由题意知. 若，则，所以. 令，得. 当时，当时， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值等于. 【小问2详解】 因为，所以， 由，即，解得或， 所以在和单调递增， 由，即，解得， 所以在单调递减， 故的单调增区间为和. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届合肥八中高三上学期数学统一作业五 命题人：金启富 审题人：操瑞康 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 4. 已知定义域为的函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 5. 设为正实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若为奇函数，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 7. 设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的图象关于点对称 B. 的图象关于直线对称 C. 是奇函数 D. 有4个零点 11. 已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点成中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，且，则的最小值为_________． 13. 若，，则的值为______． 14. 已知函数满足，且，则方程的实数解的个数为______． 四、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的零点个数； （2）若，证明：当时，. 16. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，． （1）求的面积； （2）求AB边上的高的最大值. 17. 在中，内角所对的边分别是，三角形面积为，若为边上一点，满足，且. （1）求角； （2）求的取值范围. 18. 已知函数（）. （1）若，求的极小值； （2）当时，求的单调递增区间； （3）当时，设的极大值为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $