精品解析：安徽省合肥市第八中学2025-2026学年高三上学期数学统一作业12

2026届合肥八中高三上学期数学统一作业12 命题人：武维 审题人：张钰茹 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式化简集合，从而得集合，即可得集合的并集. 【详解】集合， 所以， 则. 故选：B. 2. 已知随机变量，则“”是“”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性，结合充要条件的定义进行求解判断即可. 【详解】因为， 则等价于，解得， 因此“”是“” 充要条件， 故选：A 3. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由，求得，进而得，再结合三角函数的性质，求得，，即可求解. 【详解】因为，即，所以， 又因为，所以，所以， 函数的图象向右平移个单位得到， 的图象关于直线对称，，， 即，，令，得. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 5. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的性质与题目条件得到数列为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解. 【详解】由题意：，则公差，得， 又，两式相减得， 易知，所以，所以，故前10项和为 6. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断是增函数，由奇偶性的定义可得是奇函数，由此可将不等式转化为，即可求得实数的取值范围. 【详解】令函数，则恒成立，所以是增函数. 又，且，所以是奇函数. 由，得， 即, 所以，解得. 故选：A. 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将两个等式分别平方，然后相加，进行化简即可求得结果. 【详解】由得， 同理可得， 两式相加得， 即，所以， 因为，所以，得，所以. 故选：B. 8. 对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】将与相乘，展开后利用基本不等式以及绝对值的性质可得出结论. 【详解】因为 ，即， 当且仅当且时，上述不等式中的两个等号同时成立，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 【答案】BD 【解析】 【分析】运用二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 10. 给出下列四个命题，正确的有（ ） A. 已知复数满足，则复数的虚部为 B. 在展开式中，常数项为15 C. 当实数时，的最小值为16 D. 甲乙丙等5人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有16种 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据复数的定义判断A选项，对于B选项可根据二项展开式的通项公式判断其常数项即可，使用基本不等式判断C选项，根据分步乘法计数原理判断D选项. 【详解】对于A选项，，则，虚部是，A选项错误； 对于B选项，，即，常数项为，B选项正确； 对于C选项，因为， 当且仅当时取等，故C选项正确； 对于D选项，先安排乙和丙则有共4种方案， 甲不在两端所以甲只能在乙和丙之间，种选择， 剩下两个位置给安排给余下两人有种排法，则不同的排法共有种，D选项正确. 故选：BCD 11. 已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 平面 C. 恰有一个点，满足 D. 与平面所成的角的正弦值的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面垂直、面面垂直、线面平行、面面平行的判定和性质进行逐项判断即可. 【详解】对于A选项， 根据正方体的特性和性质可知，， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 根据正方体的特性和性质可知，，又平面， 平面，因为，为底面内一动点， 所以点在对角线上，即点的轨迹的长度为选项错误； 对于B选项， 因为平面，而不在平面内， 所以平面，同理，平面， 又平面， 所以平面平面，又平面，所以平面选项正确； 对于C选项， 因为平面， 所以平面，由选项A知点在上， 所以当且仅当为的中点时，满足，C选项正确； 对于D选项， 因为平面，所以与平面所成的角即为， 因为，所以要使得取最大值，则取最小值， 所以当为的中点时，取得最大值， 此时，D选项错误. 故选：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的体积公式求出答案. 【详解】解：由题意得，扇形的弧长， 所以该圆锥的底面圆的半径， 所以该圆锥的高． 设该圆锥内的球的最大半径为，圆锥的轴截面如图所示： 则依题意得，所以， 所以该球的体积的最大值是． 故答案为： 13. 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】依题意，列出不超过20的自然数中的素数有8个，其中“孪生素数”有4对，利用缩小样本空间的方法求出条件概率的值，然后利用对立事件的概率即可求得. 【详解】依题意，在不超过20的自然数中，素数有：2，3，5，7，11，13，17，19共有8个， 其中“孪生素数”有：3和5，5和7，11和13，17和19共有4对， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先画出函数的图象为函数在上的图象不断向右、向下平移1个单位可得函数的图象，在区间上恰有个零点，即函数的图象与在区间上恰有个交点，即函数的图象与在区间上都有两个交点，所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可，利用导数的几何意义求解切线即可. 【详解】根据题意，函数 将函数在上的图象向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 再向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象， 继续向右、向下平移1个单位可得函数在时的图象 如图可得函数的图象， 令，即， 因为在区间上恰有个零点， 即函数的图象与在区间上恰有个交点， 即函数的图象与在区间上都有两个交点， 所以只需函数的图象与在区间上有两个交点即可， 当时，函数的图象与在区间上有1个交点 再求函数斜率为的切线， 导数为，令，得，则切点为， 代入，可得， 所以时，函数的图象与在区间上有两个交点， 这样函数的图象与在区间上恰有个交点. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角满足，且的外接圆的周长为. （1）求角； （2）若为边上的高，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简计算可得； （2）利用平面向量共线定理可知，再利用勾股定理以及余弦定理计算求出高，即可求出的面积. 【小问1详解】 易知在中，所以, 因此由可得， 整理可得，又，可知， 所以， 因为，可得. 【小问2详解】 由为边上的高可知三点共线，设， 因此可得， 所以，即, 记角所对的边分别为， 又的外接圆的周长为，所以外接圆的半径为，， 因此，，如下图所示： 设，由勾股定理计算可知， 在中由余弦定理可得， 整理可得，即，解得， 所以. 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关 （2）学生甲选择方案一晋级的可能性更大 【解析】 【分析】（1）根据已知列联表，计算的值并作出判断； （2）根据相互独立概率计算，求得两种方案晋级的概率，从而作出判断． 【小问1详解】 零假设：设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关， 根据列联表可得： ， 能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关． 【小问2详解】 记这4个问题为，，，，学生甲答对，，，的事件分别记为，，，， 分别记按方案一、二晋级的概率为，， 则 ， ， 因为，学生甲选择方案一晋级的可能性更大． 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）取的中点O，连接，，． 因为E为中点，O为中点，所以． 在三棱柱中，，则四边形是菱形，得， 则，又，，，平面， 所以平面．又因为平面，所以． 因为是等边三角形，O为中点，所以． 又因为，，平面， 所以平面．又因为面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）如图，由题意可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，根据和空间向量的坐标表示求得，利用空间向量法求解线面角即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． 因为，，所以是等边三角形，所以． 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面．由平面，得，又， 如图，以O为原点，、、分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则，，，，． 设，又，即，得， 所以，则， 易知平面的一个法向量，所以， 设直线与平面所成角为θ，则． 18. 已知数列的首项. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求满足的的最小值. 【答案】（1） 由得 ， 又，所以数列是首项为1公差为1的等差数列. （2）11 【解析】 【分析】（1）根据已知递推关系计算，根据等差数列的定义，即可得证； （2）由（1）求得，继而得到，通过裂项相消求，进而得不等式，求解即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：，所以. 所以 由已知得，即. 因为，当时，显然，不满足条件； 当时，记，显然在时单调递增， 且，所以. 故的最小值为11. 19. 设函数． （1）试求函数的极值； （2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）极小值，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，令，求得，得出函数的单调性，进而求得函数的极值； （2）由函数，求得，结合，分和，两种情况讨论，得出函数的单调区间，即可求解； （3）根据题意，转化为在上恒成立，设，求得，再令，得到，得出在上单调递增，根据零点存在定理知，存在唯一，使得，得出得到单调性，得到，再由，结合对数的运算性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数，可得， 令，可得， 当故当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数在处取得极小值，无极大值. 【小问2详解】 解：因为函数， 所以函数， 可得， 由，可得，且在上单调递增，故有， ①当时，可得，函数在上单调递增，故不存在单调减区间； ②当时，存在且满足， 当，有，函数在上递减， 当，有，函数在上递增， 所以当时，函数在存在单调减区间. 【小问3详解】 解：由在上恒成立，即在上恒成立， 即在上恒成立 设，可得， 记，则， 所以在上单调递增， 因为， 根据零点存在定理知，存在唯一，有，即， 且在上有；在上有； 由，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 对于两边取对数得， 因为函数在上单调递增，则有，即， 所以，即． 所以，即的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届合肥八中高三上学期数学统一作业12 命题人：武维 审题人：张钰茹 考试时间：120分钟 试卷分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，则“”是“”（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若m,n为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知函数（，），满足，将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的取值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知等差数列满足，数列的前项和满足，则数列的前10项和为（ ） A. 2046 B. 3069 C. 6138 D. 6144 6. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，，则（ ） A. B. C. D. 8. 对于问题：若正数、满足，求的最小值.有一种常规解法：，当且仅当且时，即且时，等号成立.请运用上述方法，解决下列问题：若实数、、、满足，设，，则、的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不确定 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 10. 给出下列四个命题，正确的有（ ） A. 已知复数满足，则复数的虚部为 B. 在展开式中，常数项为15 C. 当实数时，的最小值为16 D. 甲乙丙等5人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有16种 11. 已知正方体的棱长为为底面内一动点，且，则（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 平面 C. 恰有一个点，满足 D. 与平面所成的角的正弦值的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________． 13. 质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7，…，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件“这两个数都是素数”，事件“这两个数不是孪生素数”，则_______. 14. 设函数，若在区间上恰有个零点，则实数的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，角满足，且的外接圆的周长为. （1）求角； （2）若为边上的高，且，求的面积. 16. 中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ （2）为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 如图，在所有棱长都为2的三棱柱中，点E是棱的中点，． （1）求证：平面平面； （2）若，点P满足，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知数列的首项. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求满足的的最小值. 19. 设函数． （1）试求函数的极值； （2）若函数在上存在单调减区间，求实数的取值范围； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $