精品解析：安徽省阜阳市临泉县第五中学2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级数学 上册21.1~22.3 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列一定是相似多边形的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个等腰三角形 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 5. 下列各组线段（单位：）中，是成比例线段是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，8 C. 2，4，6，8 D. 3，6，6，12 6. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（ ） A B. C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 我们知道黄金数为，如图，C是线段的黄金分割点（）．若，则的长为______． 12. 将二次函数化成的形式，则的和为______． 13. 如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 14. 如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图象经过顶点，与反比例函数的图象交于点D． （1）k的值是______． （2）点D的坐标是______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a，b，c满足，且，求a，b，c的值． 16. 已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，，求四边形的面积． 五、（本大题共2小题；每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． （1）求的值． （2）若，求的面积． 20. 天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 六、（本题满分12分） 21. 【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． （1）任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． （2）任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． （3）任务三：问当日该菜品生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． （1）如图1，当时，求的值． （2）如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． （3）如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）求抛物线与轴的交点的坐标． （2）点和分别在抛物线和（，为常数，）上． （ⅰ）若，，当，，时，求的最大值． （ⅱ）已知，两点与原点不重合，当时，若是一个定值，求出与满足关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学 上册21.1~22.3 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列一定是相似多边形的是（ ） A. 两个直角三角形 B. 两个正方形 C. 两个矩形 D. 两个等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．根据相似图形的定义，结合选项，用排除法求解． 【详解】解：A．两个直角三角形，只有一个直角相同，锐角不一定相等，故不符合题意； B．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意； C．两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意； D．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意． 故选：B． 2. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数的点的坐标特征是解题的关键．反比例函数图象上点的坐标特征为横纵坐标之积等于比例系数k． 【详解】解：∵反比例函数解析式为 ， ∴ ， ∴点 在图象上需满足 。 选项A：，此选项不符合题意； 选项B：，此选项不符合题意； 选项C：，此选项不符合题意； 选项D：，满足条件，此选项符合题意； 故选：D． 3. 若，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质）是解决问题的关键．利用内项之积等于外项之积进行判断． 【详解】解：， ，， 故A，B，D错误，C正确； 故选：C． 4. 已知抛物线，下列结论正确的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 开口向上 C. 对称轴是直线 D. 当时，随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，包括顶点坐标、开口方向、对称轴和增减性．根据二次函数的性质求解即可． 【详解】∵抛物线解析式为，是顶点形式，其中，，， ∴顶点坐标为，故A正确． ∵，∴抛物线开口向下，故B错误． 对称轴是直线，故C错误． ∵，开口向下，对称轴， ∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 选项D中当时，随的增大而增大，所以时，随增大而增大，故D错误． 因此，正确答案是A． 5. 下列各组线段（单位：）中，是成比例线段的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，8 C. 2，4，6，8 D. 3，6，6，12 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比例线段，根据成比例线段的定义，若四条线段a、b、c、d满足，则它们是比例线段，据此解答即可． 【详解】解：A、，不是成比例线段； B、，不是成比例线段； C、，不是成比例线段； D、，是成比例线段； 故选：D． 6. 在反比例函数中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 7. 如图，点在的边上，添加下列一个条件不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断即可． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； C．当时，无法判定，故此选项符合题意； D．当，即时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选：C． 8. 已知菱形的面积为5，菱形的两条对角线的长分别为，，则关于的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，反比例函数，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，根据面积公式列出方程，解出y关于x的关系式解答即可． 【详解】解：∵ 菱形的面积 ， ∴ ， ∴ ， 故选：C． 9. 如图，抛物线与轴相交于，两点，点的横坐标为4，点的横坐标在和0之间，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的图象，判断式子的符号，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据图象和二次函数的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可得，抛物线开口向下，故， 与y轴交于正半轴，故， 对称轴在轴右侧，故， 又∵， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵点B在到之间，且在点B的左边， ∴，故B选项错误，不符合题意； 由题意得，当时， ， ∵是抛物线与x轴交点， ∴，故C选项错误，不符合题意； ∵点的横坐标在和0之间， ∴， ∵， ∴ ，故D选项正确，符合题意． 故选D． 10. 如图，在正方形中，点在对角线上，且，过点作与的延长线交于点，与交于点．若，则的长为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定，根据正方形的性质和勾股定理求出，证明，结合，得出，则．证明，则，根据，即可求解． 【详解】解：∵在正方形中，， ∴，， ， ∵， ， ， ． ， ， ， ， ． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 我们知道黄金数为，如图，C是线段的黄金分割点（）．若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割，根据黄金比值是计算即可． 【详解】解：∵C是线段的黄金分割点（），， ∴， 故答案为：． 12. 将二次函数化成的形式，则的和为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了二次函数一般式化为顶点式，通过配方法将二次函数化为顶点形式，确定h和k的值，然后求和． 【详解】解：． 所以， 因此． 故答案为0． 13. 如图，，，，CD平分，平分．若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边上高线的比、对应角平分线的比等于相似比解答即可． 【详解】解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 如图，已知菱形，顶点C在x轴上，反比例函数的图象经过顶点，与反比例函数的图象交于点D． （1）k的值是______． （2）点D的坐标是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由得，又因为四边形是菱形，则，得到，从而求出直线的解析式为，然后联立，即可求解． 【详解】解：（1）把代入，得， 故答案为：； （2）， ， 四边形是菱形， ， ， 设直线解析式为， 把代入得， ， 直线的解析式为， 点是反比例函数与正比例函数的交点， 联立解析式， 解得或， ， ， 故答案为：． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 已知线段a，b，c满足，且，求a，b，c的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查的是比例运算，解题的关键是根据题意列出方程．设，则，，，构建方程即可解决问题． 【详解】解：设， 则，，． 又， ， 解得， ，，． 16. 已知抛物线（为常数）的顶点在直线上，求抛物线的函数表达式． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的性质，根据题意，抛物线的顶点坐标为，把代入，求出的值即可，掌握二次函数和一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，抛物线的顶点坐标为， 将代入， 得，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，在的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长为1，与的顶点均在格点上，求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，勾股定理与网格问题，利用三边对应成比例判定相似等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．利用三边对应成比例证明两个三角形相似． 【详解】证明：由图可知，，，，，，， ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． （1）求反比例函数的表达式． （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得的值，即可求得反比例函数解析式； （2）由、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求得点的坐标为；点在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点的横坐标，利用四边形的面积等于， 面积的和即可求解． 【小问1详解】 解：∵点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即， ∴反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 设直线的表达式为， 将，两点的坐标代入，得，解得 直线的表达式为． 令，得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为， ， 解得，即点的横坐标为． 由题意知，， ． 五、（本大题共2小题；每小题10分，满分20分） 19. 如图，在中，，平分，是边上的中线，与交于点，过点作交于点． （1）求的值． （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】主要考查知识点等腰三角形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中线的性质、三角形面积公式相关知识点，解题的关键在于利用等腰三角形三线合一性质：准确识别等腰三角形中角平分线、中线和高的关系，从而得出线段相等和垂直关系，这是后续计算的基础， 熟练运用平行线分线段成比例定理，准确把握三角形中线与面积的关系：理解中线将三角形面积平分以及同高三角形面积比与底边比的关系，对于计算三角形各部分面积至关重要． （1）根据等腰三角形三线合一性质得到．利用平行线分线段成比例定理得到线段成比例，根据中线性质进行等量代换即可求解 ； （2）先根据等腰三角形三线合一求出的面积（已知底和高），再由中线性质得到，由第一问得到的比例关系推出．最后根据同高的三角形面积比等于底边的比即可求出． 小问1详解】 解：∵，平分， ∴． ∵， ∴，． ∵是边上的中线， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：∵，平分， ∴，， ∴． ∵是中线， ∴． ∴， ∴， ∴． 20. 天舟九号货运飞船与中国空间站实现“太空牵手”，为空间站送去了宝贵的“太空快递”．快递中有一个给食物加热的餐具．该餐具给食物加热的时间与食物的温度之间的函数图象如图所示．该餐具4分钟就可以将的食物加热到，此后停止加热，食物温度开始下降．已知食物温度下降过程中食物温度y（单位：）与时间x（单位：）成反比例关系． （1）求食物温度下降过程中y与x的函数关系式．（无需写出自变量x的取值范围） （2）若食物需要从加热到，然后降温到方可食用．问食物从开始加热，到可以食用需要等待多长时间？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实际问题与反比例函数，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值，即可得出结果． 【小问1详解】 解：食物温度下降过程中y与x成反比例关系，设． 反比例函数的图象过点， ，解得， ． 【小问2详解】 令，得，解得． 答：食物从餐具开始加热，到可以食用需要等待． 六、（本题满分12分） 21. 【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题． 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业．综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集． 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x（单位：千克）的范围是． 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系如下表所示． 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为（其中）． 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量）． 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x（单位：千克）之间是一次函数关系．若小敏绘制的图中． （1）任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式． （2）任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量． （3）任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润． 【答案】（1）， （2）30千克 （3）当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据题意列方程，即可解答； （3）设该菜品日销售利润为元．．，根据二次函数的性质即可解答． 小问1详解】 解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 与x之间的函数关系式为． 当时，设与x之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：根据题意，得，即， 解得，（不合题意，舍去）． 答：当日该菜品的生产量为30千克． 【小问3详解】 解：设该菜品日销售利润为元． ． ， 当时，有最大值，最大值为1350． 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在正方形中，对角线与相交于点，是边上的一个动点，连接，交于点． （1）如图1，当时，求的值． （2）如图2，当平分时，过点作，垂足为，连接．求证：四边形是菱形． （3）如图3，当是的中点时，过点作，垂足为，求的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、正方形的性质等知识点，理解正方形的性质是关键． （1）由四边形是正方形，得到，，再证明，最后由相似三角形的性质求解即可； （2）由平分得到，再证得，从而得出四边形是平行四边形，再证得，最后得到结论． （3）由及是的中点得出，从而可得，再证得，最后由相似三角形的性质可得结论． 【小问1详解】 解：在正方形中，，， ， ． 【小问2详解】 证明：四边形是正方形， ，． 平分，，， ，，， ， ， ． ，， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是菱形． 【小问3详解】 由（1）得， ， 是的中点，， ， ． ， ， ， ， ，即， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线（，为常数，）的对称轴为直线． （1）求抛物线与轴交点的坐标． （2）点和分别在抛物线和（，为常数，）上． （ⅰ）若，，当，，时，求的最大值． （ⅱ）已知，两点与原点不重合，当时，若是一个定值，求出与满足的关系式． 【答案】（1）和 （2）（ⅰ）48；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，所以有，令，得，解方程即可求解； （2）（ⅰ）由得，由，得，由得，将，两点的坐标分别代入和中，得到，，从而求得，即可求得答案； （ⅱ）由题意得，，从而得到，推出，变形得到，所以，由是一个定值即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意，， ∴， ∴， 令， ∵， ∴，解得， ∴抛物线与轴的交点的坐标为和； 【小问2详解】 （ⅰ）， ，即， ∵，， ∴， ， ， 将，分别代入和中， 得，， ∴， ， ∴当时，取最大，最大值为48； （ⅱ）将和分别代入和中， 得，， ， ， 又∵，两点与原点不重合，即k， ， ， ， ， 是一个定值， ， 与满足的关系式为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线与坐标轴的交点，求二次函数的最值，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $