5.4 角平分线的性质 第二课时 同步分层练习 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学 八年级上册5.4 角平分线的性质 第二课时 同步分层练习 一、夯实基础 1．三角形中到三条边距离相等的点是（　　） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2．的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A． B． C． D． 3．如图，为给金源学子提供良好的阅读环境，金源学校有一块三角形小树林，需要在小树林里建一图书角供同学们使用，要使图书角到小树林三条边的距离相等，图书角的位置应选在（　　） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三边的中垂线的交点 4．如图，点是内一点，于点，于点，于点，，则（　　） A．点在的平分线上 B．点在的平分线上 C．点在的平分线上 D．点是，，平分线的交点 5．如图，是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M、N重合，则过角尺顶点C的射线就是的平分线，其依据是（　　） A．角平分线上的点到角两边距离相等 B．角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 C．三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 D．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等 6．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知平分，，，于点D，于点E．如果点M是的中点，则的长是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，一个加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，若加油站到公路的距离是，则它到公路的距离是　 　． 9．如图，平分，于点，点是射线上的一个动点，若．则的最小值为　 　． 10．点到的三边，，的距离相等，则点的位置在　 　． 11．如图，在中，是角平分线，，分别为，上的点，且与有何数量关系请说明理由． 二、能力提升 12．如图，直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（　　） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 13．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 14．东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路、的距离相等，且使得，则凉亭H是（　　） A．的角平分线与边上中线的交点 B．的角平分线与边上中线的交点 C．的角平分线与边上中线的交点 D．的角平分线与边上中线的交点 15． 如图，在中，和的平分线相交于点P，连接PA，PB，PC，若，，的面积分别为，，，则有（　　） A． B． C． D． 16．如图，在中，，平分交于点，作，垂足为，连接，若，，，则的长为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与AC的垂直平分线相交于点D，过点D作DF⊥BC，DG⊥AB，垂足分别为 F、G．若BG＝5，AC＝6，则△ABC 的周长是　 　． 18．如图，在中，平分，，的面积为45，的面积为20，则的面积等于　 　． 19．如图，，平分于点D，交于点C，若，则的长为　 　． 20．如图，平分交于点为的中点，已知，则　 　． 21．如图，是内部的一条射线，P是射线上任意一点，．下列条件：，其中能判定是的平分线的有　 　．（填序号） 22．点在的角平分线上，点到边的距离等于10，点是边上的任意一点，则的取值范围是　 　 23．如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于过点作于，下列四个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是　 　．（填写正确的序号） 24．如图，是的角平分线，，，点P是上一动点． （1）连接，求的最小值； （2）若，求的面积． 25．如图，，分别是，的平分线，，分别是，的平分线． （1）填空：当，时， ， ； （2）当时，求，的度数； （3）请你猜想，当的大小变化时，的值是否变化？请说明理由． 三、拓展创新 26．如图，平分，P为上的一点，的两边分别与相交于点M、N． （1）如图1，若，，过点P作于点E，作于点F，请判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若，，求证：． 27．综合与实践 背景 【直角三角形中角平分线与垂直平分线的探究与发现】 南南和北北两位同学对几何学习非常感兴趣，在八年级上册的几何学习后，他们俩相约着对直角三角形背景下的角平分线与垂直平分线进行了一番探究，有了一些有意思的发现． 素材 如图1，是直角三角形，． 操作：南南和北北画出的角平分线与的垂直平分线，与交于点． 发现：当长度不变，长度变化时，点的位置也会随之变化．当点位于某个特殊位置时，的度数、一些线段之间的长度关系会存在一定的特殊性． 问题解决 任务1 在如图2所示的直角三角形中，南南发现：点正好落在边上． （1）请利用尺规作图帮助南南找出点的位置．（保留作图痕迹，不要求写作法） 任务2 （2）点在图2的位置时，南南和北北发现： ① ； ②，请证明这一发现． 任务3 （3）继续探索发现，如图3所示，、、三点共线，此时，南南和北北又有了新的发现： ① ； ②若已知，，则能用含字母、的式子表示线段的长度．请写出的长度，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点， 故选：D 【分析】本题主要考查三角形角平分线的性质定理。该定理指出：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等。因此，三角形内到三条边距离均相等的点，必然位于三角形的内角平分线上，即三条角平分线的交点。 2．【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线， ∴， ∵Q是上任一点， ∴， ∴． 故选：A． 【分析】过点P作于E，根据角平分线性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴使图书角到小树林三条边的距离相等，则图书角的位置应选在三条角平分线的交点， 故答案为：． 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：，于点，于点， 点在的平分线上， 但从现有条件无法推导出点在的平分线上，点在的平分线上， 故选：B． 【分析】根据角平分线判定定理即可求出答案. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：由题意得， ∵， ∴， ∴， 故过角尺顶点C的射线就是的平分线， 故选：C． 【分析】根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角平分线判定定理即可求出答案. 6．【答案】B 【解析】【解答】解：过点B作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ∴， 故选：B． 【分析】过点B作，垂足为点F，根据线段中点可得，再根据角平分线性质即可求出答案. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：∵平分，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴． 故答案为：D。 【分析】本题首先根据角平分线上的点到线段两边的距离相等，得出；30度角对应的直角边等于斜边的一半，得出，最后得出． 8．【答案】80​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵加油站恰好位于两条公路，所夹角的平分线上，且加油站到公路的距离是， ∴加油站到公路和公路的距离是相等的，即它到公路的距离是． 故答案为：． 【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可. 9．【答案】2 【解析】【解答】解：如图， 过点P作，根据题意得，当时，的值最小. ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴点到的距离为， ∴的最小值是2． 故答案为：． 【分析】过点P作，根据题意得，当时，的值最小，根据平分，，得即可得的值最小是2． 10．【答案】的平分线和的平分线的交点上 【解析】【解答】解：点到，的距离相等， 平分， 点到，的距离相等， 平分， 点的位置在的平分线和的平分线的交点上． 故答案为：的平分线和的平分线的交点上． 【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断求解即可. 11．【答案】解：． 理由：如图，过点作于点，于点． 平分， ． ，， ． 在和中， ， ． 【解析】【分析】根据与可知，根据是角平分线 可知，再根据即可证明 ，即可证明． 12．【答案】D 【解析】【解答】解：∵中转站要到三条公路的距离都相等， ∴货物中转站必须是三条相交直线所组成的三角形的内角或外角平分线的交点， 而外角平分线有3个交点，内角平分线有一个交点， 如图， ∴货物中转站可以供选择的地址有4处． 故答案为：D. 【分析】利用角平分线的定义和性质（角平分线平分角，角平分线上的点到角两边的距离相等）分析求解即可. 13．【答案】B 【解析】【解答】解：由作图方法可知，平分，， 又∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵， ∴，故A不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B符合题意； 故选B． 【分析】由作图方法可知，平分，，根据角平分线性质可判断C，根据全等三角形判定定理及性质可判断D，根据角之间的关系可判断A，B. 14．【答案】A 【解析】【解答】解：如图： ∵平分，点H在上， ∴点H到、的距离相等， ∵是边上的中线， ∴，， ∴， ∴， ∴凉亭H是的角平分线与边上中线的交点， 故答案为：A． 【分析】利用角平分线的性质可得点H到、的距离相等，再利用三角形的中线平分三角形的面积可得，，再证出，从而可得凉亭H是的角平分线与边上中线的交点，最后得解. 15．【答案】A 【解析】【解答】解：过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC， ∵和的平分线相交于点P， ∴PD=PE=PF=h， ∵，，， ∴ S2+S3=12AC·PF+12BC·PE=12h(AC+BC) ， ∵AC+BC>AB， ∴ S1<S2+S3 . 故答案为：故选：A. 【分析】过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，根据角平分线的性质可得PD=PE=PF=h，再根据三角形三边关系即可得出答案. 16．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，作交的延长线于点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵平分，且，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 平分 ∴， ∴， 故选：． 【分析】 由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D作BC的垂线段交BC延长线于点H，则DH＝DA＝4，由于垂直于同一条直线的两条直线平行，则可利用ASA证明，则，即，再由直角两三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，则由对顶角相等可得，即有，则． 17．【答案】16 【解析】【解答】解：连接AD、DC． ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG＝DF． ∵D在AC的中垂线上， ∴DA＝DC． 在Rt△DGA与Rt△DFC中， ∵DG＝DF，DA＝DC， ∴Rt△DGA≌Rt△DFC（HL）． ∴AG＝CF． 又∵BD＝BD，DG＝DF． ∴Rt△BDG≌Rt△BDF（HL）． ∴BG＝BF． 又∵AG＝CF， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝BG﹣AG+BF+FC+AC＝2BG+AC＝2×5+6＝16． 故答案为：16． 【分析】连接AD、DC，由角平分线上的点到角两边的距离相等得DG=DF，由垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出DA=DC，从而利用HL证明Rt△DGA≌Rt△DFC，由全等三角形的对应边相等得AG＝CF，再利用HL证明Rt△BDG≌Rt△BDF，由全等三角形的对应边相等得BG＝BF，进而根据三角形周长计算公式及线段和差将△ABC的周长转化为2BG+AC，从而代值计算可得答案. 18．【答案】25 【解析】【解答】解：延长交于，如下图， ∵平分，垂直于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：25． 【分析】延长交于，由证明，得出，可得BD、CD分别是△ABE、△ACE的中线，根据中线平分面积可得出，，进一步即可得出的面积 ． 19．【答案】6 【解析】【解答】解：如图， 过P作于E ， ∵，平分， ∴， ∴， ∵交于点C， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴ 故答案为：6． 【分析】过P作于E ，根据，平分得，再根据交于点C，得，，进一步得即可得答案. 20．【答案】7 【解析】【解答】解：如图， 过点D作于，于， 平分， 为的中点，， ， ， ， ， ， . 故答案为：7 【分析】过点D作于，于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的中线及三角形面积公式计算即可． 21．【答案】①②③④ 【解析】【解答】 ∵，∴是的平分线，故①正确； ∵， ∴是的平分线，故②正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故③正确； ∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的平分线，故④正确； 故答案为：①②③④． 【分析】根据角平分线的定义，由①可直接得出是的平分线 ；根据角平分线的判定定理可直接由②判定是的平分线 ；根据HL可证得，即可得出是的平分线；由④可根据AAS证明，进一步即可得出是的平分线，综上即可得出答案。 22．【答案】 【解析】【解答】解：过作于， ，，平分， ， 点到边的距离等于10， ， ， 故答案为：． 【分析】过作于，根据角平分线的性质得出，再根据垂线段最短确定PQ的取值范围． 23．【答案】①②③ 【解析】【解答】解：①∵在中，， ∴， ∵和是和的平分线， ∴， ∴， ∴结论正确； ②在上截取， ∵是的角平分线， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论正确； ③作于于， ∵和的平分线，相交于点，， ∴， ∵， ∴， ∴结论正确； ∴正确的序号为①②③； 故答案为①②③． 【分析】①根据三角形的内角和定理及角平分线的性质可判断求解； ②在上截取，用边角边可证，由全等三角形的对应角相等可得∠BOH=∠BOE，结合已知，根据角边角可证，由全等三角形的对应边相等可得AF=AH，然后根据线段的和差AB=BH+AH可判断求解； ③作于于，根据角平分线的性质及三角形的面积可判断求解． 24．【答案】（1）解：如图所示，过点D作于H，∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为； （2）解：在中，，∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 【解析】【分析】（1）由垂线段最短知，当时最小，此时再应用角平分线的性质知； （2）由直角三角形两锐角互余可得，由角平分线的概念可知，则由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可求出AD的长，再应用勾股定理可得AC，则AB可求，再利用三角形面积公式计算即可． （1）解：如图所示，过点D作于H， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 25．【答案】（1）， （2）解： ， ，分别是，的平分线；，分别是，的平分线 ， ， （3）解：当的大小变化时，的值不变化，理由如下： 由（2）可知： 当的大小变化时，的值不变化． 【解析】解：（1），， ， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线 ， ， 故答案为：【第一空】；【第二空】. 【分析】本题主要考查三角形内角和定理以及角平分线的性质；解题关键是熟练运用三角形内角和为这一性质，结合角平分线将角分成相等两部分的特点，通过设未知数等方法进行角度的计算和推导． （1）先根据已知条件求出和，再根据角平分线的定义，求出，，，，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （2）先根据已知条件求出，，再根据角平分线的性质求出和，最后利用三角形的内角和定理求出答案； （3）由（2）把和都用表示出来，然后求出即可判断． （1）解：（1），， ，， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，； 故答案为：，； （2）， ， ，， ， ， ，分别是，的平分线，，分别是，的平分线， ，， ，， ，； （3）当的大小变化时，的值不变化，理由如下： 由（2）可知： ， ， ， 当的大小变化时，的值不变化． 26．【答案】（1）解：，理由为： ∵平分，，， ∴，， ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：过点P作作于点E，作于点F， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵平分，， ∴ ∴ ∴ ∴ 【解析】【分析】（1）根据角平分线性质可得，，再根据角之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案. （2）过点P作作于点E，作于点F，根据角平分线性质可得，，再根据角之间的关系可得，由全等三角形判定定理可得，则，即，再根据角平分线定义可得则，根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案. 27．【答案】（1）解：作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上，如图2所示： （2）①； ②证明：在中，， ， ， ； （3）①； ②解：线段的长度为，理由如下： 过点作于点，如图3所示： 平分，，， ， 设， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ∴， ， ， ， ． 【解析】【解答】（2）①解：平分， ， 是的垂直平分线， ， ， 在中，， ，即 ， 故答案为：； （3）①解：的垂直平分线为，、、三点共线， ， 是等腰直角三角形 ， 故答案为：； 【分析】（1）根据题意作的角平分线，作的垂直平分线，与相交于，点正好落在边上， （2）①根据角平分线的定义设，根据垂直平分线的性质可得，则，根据直角三角形中两个锐角互余得出，解方程，即可求解；②根据含度角的直角三角形的性质得出，进而结合，即可得证； （3）过点作于点，根据角平分线的性质设，进而根据等面积法列出方程，即可求解． 学科网（北京）股份有限公司 $