5.4 角平分线的性质 第2课时 角平分线的性质定理的逆定理-【学海风暴】2025-2026学年新教材八年级上册数学同步备课（湘教版2024）

第2课时角平分线的性质定理的逆定理 要点提园 角平分线的性质定理的逆定理（角平分线的判定）：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 注意：根据角平分线的判定作图时，一教先作角平分线，再在这条平分线上根据需要取点。 课内基础练 知识点① 角平分线的判定 1.如图，DB⊥AB于点B,DC⊥AC于点C, BD=DC,∠BAC=110°，则∠BAD的度数 为 知识点② 三角形内角的平分线 4367890 5.在△ABC中，将两块完全一样的三角板按如 D 图所示的方式摆放，它们的一组对应直角边 第1题图 第2题图 分别在AB,AC上，且三角板的顶点重合于 2.如图，一把直尺压住射线OB,另一把直尺压 点M,则点M一定在 ) 住射线OA并且与第一把直尺交于点P,作 A.∠A的平分线上 射线OP.小明说：“射线OP就是∠BOA的 B.AC边的高上 平分线.”他这样说的依据是 C.BC边的垂直平分线上 D.AB边的中线上 3.如下图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为 第5题图 BC上一点，作DF⊥AB,垂足为F,同时 6.按要求用尺规作图，无须写出作法，但要保 AD恰好垂直平分CP.求证：AD平 留作图痕迹 分∠BAC. (1)如图①，现要在三角形土地ABC上建一 中心医院，使医院到A,B两个居民小区的 距离相等，并且到AB和AC的距离也相等. 请确定这个中心医院Q的位置， (2)如图②，电信部门要修建一座电视信号发 射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A,B 的距离必须相等，到两条高速公路OM,ON 4.如右图，F,G是OA上两 的距离也必须相等，请确定发射塔P的位置 点，M,N是OB上两点， 且FG=MN,△PFG和 A △PMN的面积相等.试判 B 断点P是否在∠AOB的平分线上，并说明 理由 ① 图② 106 八年级数学划版 已课外拓展练 (2)若AB=7,AD=4,CD=8,S△AcD=15, 7.如图，已知点P到AE,AD, 求△ABE的面积. BC的距离相等，有下列说法： ①点P在∠BAC的平分线上； ②点P在∠CBE的平分线上； 第7题围 ③点P在∠BCD的平分线上：④点P在 ∠BAC,∠CBE,∠BCD的平分线的交点 上，其中正确的是 A.①②③④ B.①②③ C.④ D.②③ 8.(教材变式)如右图，四边形ABCD 已核心素养练 中，∠B=∠C=90°，E是BC的中 点，且AE平分∠BAD.求证： 10.几何直观如图，在△ABC中，∠ABC和 (1)DE平分∠ADC. ∠ACB的平分线交于点O,∠BAC=a. (2)AB+CD=AD. (1)如图①，连接AO.求证：AO平 分∠BAC (2)如图②，P为B0廷长线上一点，连接 CP.若OC⊥CP,求∠P的度数（用含a的 式子表示). 图② 9.(2025余姚期末改编)如下图，△ABC中，点 D在BC边上，∠ABC的平分线交AC于点 E,AE平分∠FAD,过点E作EF⊥AB,垂 足为F,且∠AEF=50°，连接AD,DE (1)求证：DE平分∠ADC. 上册第5章5.4角平分线的性质 第1课时角平分线的性质 1.C2.A3.30变式题B4.16.8 5.正明：因为AC平分∠BAD,CE⊥AB,CF⊥AD, 所以∠F=∠CEB=90°，CE=CF 在R△BCE和R△DCF中，CE-CF, IBC=DC 所以Rt△BCE2Rt△DCF(HL),所以BE=DF 6.D7.C8.B9.3.6 10.解：(1)证切：因为PC=OC,所以∠AOP=∠CPO 因为OP平分∠AOB,所以∠AOP=∠BOP, 所以∠BOP-∠CPO,所以PC∥OB. (2)因为OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB, 所以AP=BP,因为BP=2PC, 所以AP-名PC 因为在Rt△ACP中，∠CAP=90°， 所以∠ACP=30 因为PC∥OB,所以∠AOB=∠ACP=30° 因为∠AOP=∠BOP=∠CPO, 所以∠CP0=是×30=1 11.解：如图，点P即为所求 12.解：(1)AD十AB=AC 证明：因为AC平分.∠MAN,∠MAN=120°， 所以∠CAD=∠CAB=60°. 又因为∠ADC=∠ABC=90°， 所以∠ACD-∠ACB=30, 所以AD=AB=之AC,所以AD+AB=AC (2)仍成立. 证明：如图，过点C分别作AM,AN 的垂线，垂足分别为E,F。 因为AC平分∠MAN,所以CE -CE. 因为∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180 所以，∠CDE=,∠ABC. 又因为∠CED=∠CFB=90°， 所以△CED2△CFB(AAS), 所以ED=FB,所以AD十AB=AE一ED十AF十FB AE+AF. 由(1)知，AE+AF=AC,所以AD十AB=AC 第2课时角平分线的性质定理的逆定理 1.55”2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 3.证明：因为AD垂直平分CF, 所以CD=FD 因为DF⊥AB,∠ACB=90°， 所以AD平分∠BAC. 4.解：点P在∠AOB的平分线上 理由：如图，分别过点P作PD⊥OA于点D,PE⊥OB于 点E 198 八年级数学X划版 因为5oe=专FG·PD, Saew=N·PE, S△Pe=S△rw: 所以2PG·PD=2N·PE 又因为FG=MN,所以PD=PE, 所以点P在∠AOB的平分线上. 5.A 6.解：1)如图①，点Q即为这个中心医院的位置. (2)如图②，点P,或P,即为发射塔的位置. 0 器① 留@ 7.A 8.证明：(1)如图，过点E作EF⊥AD于点F 因为∠B=90°，AE平分∠BAD, 所以BE=EF 因为E是BC的中点， 所以BE=CE,所以CE=EF, 又因为∠C=90°，EF⊥AD,所以DE平分∠ADC. (2)因为AE=AE,BE=EF, 所以Rt△ABE≌R△AFE(HL), 所以AB-AF,同亚可得CD-FD, 所以AB十CD=AF十FD=AD 9.解：(1)证明：如图，过点E作EM⊥AD于点M,EN⊥BC于 点N 因为BE平分∠ABC,EF⊥AB,所以EF=EN. 因为AE平分∠DAF, 所以FE=EM,所以EM=EN 因为EM⊥AD,EN⊥CD, 所以DE平分∠ADC. (2)因为S△Am=S△PR十S△cDe=15, 所以2AD,EM+CD·EN=15, 所以(AD+CD)·EM=15, 所以号×(+8》·EM-15, 5 5 所以EM=2,所以EF=2 所以So-号A通，BR-号×7X号-空 10.解：(1)证明：如图，过点O作OD⊥BC,OE⊥AB,OF⊥ AC,垂足分别为D,E,F 因为∠AC和∠ACB的平分线交于点O,所以OD=OE, OD=OF, 所以OE=OF, 所以AO平分∠BAC (2)因为OC⊥CP, 所以∠BCO十∠PCD■90°， 所以∠PCD=90°-，∠BCO 因为∠ABC和∠ACB的平分线交于点O, 所以∠PBC+∠B00-2180'-∠A=90 2 所以∠PBC=90-7-∠B00, 所以∠P=∠PCD-∠PBC=90-∠ECO-（90 ∠0)-2 实践应用专题直角三角形中的“项目” (中考热点) 1.解：如图，莲接AC. 在△ABC中，∠ABC=90',AB=2,BCD =2W3, 由勾股定理，得AC=√AB十BC=4. 因为在△ACD中，AC2十AD2=32,CD =32, 所以AC2十AD2=CD2. 所以△ACD是直角三角形，∠CAD=90 所以S季=SAD-SAx=2AD·AC-2AB,BC=8 -23 故该模型零件平面图的面积为8一2√3. 2.解：投AB=xm,则AE=(x-1)m,AC=(x+2)m. 在Rt△ACE中，CE=9m, 由勾股定理，得AC=AE十CE, 所以(z十2)2=(x-1)十9°，解得x=13. 故学校族杆AB高度为13m 单元整合训练等腰（直角）三角形中全等的 判定与性质的运用（跨单元） 1.解：1)正明：如图，连接AD,BD 因为DG是AB的垂直平分线， 所以BD=AD 因为CD平分∠BCA,DE⊥BC,DF ⊥AC, 所以DE=DF 在Rt△DFA和Rt△DEB中， (AD=BD, DF=DE, 所以R△DFA2R△DEB(HL), 所以AF=BE (②在R△CDE和R△CDF中，DE=DF, CD-CD, 所以Rt△CDE2Rt△CDF(HL), 所以CE=CF 设BE=AF=x. 因为BC=24,AC=10, 所以CE=CB-BE=24-x,CF=AC+AF=10十x, 所以24一x=10十x,解得x=7, 所以BE的长为7. 2.证明：(1)因为AB=AC,D是BC的中点， 所以DB=CD,AD⊥BC,∠BAD=∠CAD, 所以∠ADB=∠ADC=90,所以90°-∠BAD=90 -∠CAD 因为EF⊥AC,所以∠AFE■∠CFE■90° 因为∠B=90°-∠BAD,∠DGE=∠AGF=90°-∠CAD, 所以∠B=∠DGE. 因为DE平分∠ADB. 所以∠BDE=∠GDE ∠B=∠DGE, 在△BDE和△GDE中，∠BDE=∠GDE, DE=DE, 所以△BDE2△GDE(AAS), 所以DB=DG,所以DG=CD (2)如图，作DP⊥DF交AC的延长线于 点P,则∠FDP=∠ADC=∠AFE =90°， 所以∠PDC=∠FDG=90°-∠CDF, ∠ACD=∠AGF=90°-∠CAD, 所以∠PCD=180°-∠ACD=180° ∠AGF=∠FGD. ∠PCD=∠FGD, 在△PCD和△FGD中，CD=GD, ∠PDC=∠FDG, 所以△PCD2△FGD(ASA), 所以PD=FD, 所以∠DFC=∠P=45°， 所以∠DFE-90°-∠DFC-45, 所以∠DFE=∠DFC, 所以FD平分∠EFC 章末对点导练 1.B2.B3.3 4.部：因为∠ADB=30,∠C=15', 所以∠CAD=∠ADB-∠C=15. 所以∠C=∠CAD, 所以AD=CD=20m. 又因为∠ABD=90°， 所以AB-号AD=10B,断树的高度为10口 5.C6.等腰直角三加形7908号 9.傑：(1)1032(2)10(20+45) (3)因为AD=BD,所以设DC=xm,则AD=BD=(6+ z)m.在Rt△ADC中，根据勾股定理，得DC2+AC=AD, 即2+8-(6+x),解得x-子，因为AC-8,BC 6m,所以根据勾股定理，得AB=√AC+BC=√/8十6 =10(m).故当DA=DB时，△ABD的周长为AD+BD+ AB=2x(得+o)+10=2m. 10.40 11.证明：因为AB LAD,BC⊥CD,所以∠BAD=∠BCD=90°， 「BD=BD, 在R△ABD和R:△CBD中，AB=CB, 所以△ABD≌△CBD(HL),所以AD=CD 12.C13.150°14.3 15.解：(1)证明：如图，过点D分别作DM⊥BF于点M,DN⊥ 44444 上册参考答案 1199