精品解析：湖南省永州市冷水滩区永州市第十六中学2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题

2025年下期永州市第十六中学八年级数学期中试卷 时间：120 满分：120 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可． 【详解】解：A．，是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； B．，等式右边不是乘积形式，不是因式分解，不符合题意； C．，右边不是整式，不是因式分解，不符合题意； D．，右边是整式的积，是因式分解，符合题意； 故选：D． 2. 在，，，，，中分式的个数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，，的分母中含有字母，是分式，共有个． 故选C． 【点睛】本题主要考查分式的定义，解答本题的关键是：要注意分式是形式定义，只要是分母中含有字母的式子即为分式． 3. 若分式存在，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式存在，即有意义， ∴， 解得：， 故选：A 4. 下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若，则．其中真命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断命题真假，掌握分式有意义的条件、全等三角形的性质、平方根的概念和不等式的性质是关键． 逐一判断命题真假：①分母为0分式无意义；②全等三角形对应角相等正确；③x²=2的解包括正负根；④不等式两边乘负数不等号方向改变． 【详解】解：①分母等于0的分式无意义，故①是假命题； ②全等三角形对应角相等，故②是真命题； ③若，则，故③是假命题； ④若，则，故④是假命题． 综上，真命题有1个． 故选：A． 5. 已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ） A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N 【答案】A 【解析】 【分析】用M与N作差，然后进行判断即可． 【详解】解：M=3x2-x+3，N=2x2+3x-1， ∵M-N=(3x2-x+3)-(2x2+3x-1) =3x2-x+3-2x2-3x+1 =x2-4x+4 =(x-2)2≥0， ∴M≥N． 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解答题的关键． 6. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握提取公因式和平方差公式是解题关键． 通过提取公因式和平方差公式进行因式分解，找出三个连续因子即可． 【详解】解：∵ ∴ 能被2024、2025、2026整除， 故选：B． 7. 在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意根据题中的新定义将所求式子化为普通运算，去分母转化为整式方程，求出方程的解得到x的值，代入检验即可得到原分式方程的解． 【详解】解：根据题意列得：， 去分母： 移项合并： 化系数为1： 经检验方程的解为：． 故选：C. 【点睛】本题考查解分式方程，注意掌握解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．弄清题中的新定义是解本题的关键． 8. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系列出方程是解题的关键． 设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷，根据题意列出分式方程即可求解． 【详解】解：设原来平均每天绿化荒山公顷，则实际绿化时，平均每天绿化荒山公顷， 根据题意得，， 故选：A． 9. 如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】分别求解分式方程和不等式组，根据解的情况确定参数的取值范围即可． 【详解】解：解分式方程得：， ∵分式方程有整数解， ∴为的倍数，且，即 解不等式组得： ∵不等式组有且只有四个整数解 ∴ 解得： 综上所述：符合条件的整数为： 故选：A 【点睛】本题考查了根据分式方程和不等式组解的情况求解参数的取值范围．正确的计算是解题关键． 10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ） A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，通过提取公因式和平方差公式将表达式因式分解，得到四个因式，分别对应给定的汉字，组合后得到密码即可． 【详解】解： ， 对应汉字：爱，我，化，怀， ∴组合后的密码为“爱我怀化”， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若多项式可分解为，则的值为_______________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；通过整式的乘法展开，并比较系数，求出a和b的值，再求和即可． 【详解】解：由得，与多项式比较系数，得： ， 解得：， ∴； 故答案为3． 12. 若关于x的方程无解，则m的值是______． 【答案】0或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解的条件是关键．先把分式方程化为整式方程，再根据原方程无解，可得或，然后把的值代入整式方程，即可求出的值． 【详解】方程两边都乘， 得 ∵原方程无解， ∴最简公分母， 解得或， 当时，， 当时，， ∴的值是0或． 故答案为：0或． 13. 若,则的值为______. 【答案】1 【解析】 【详解】∵， ∴． 故答案为：1． 14. 如果对于任意自然数a都成立，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得． 【详解】， 由题意可知： ，， 故答案为，． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则． 15. 若，都是实数，且，则的值为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，熟知二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出a的值，进而求出b的值，最后代值计算即可． 【详解】解：∵要有意义， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 已知分别是的整数部分和小数部分，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，利用夹逼法求出的范围，确定出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别是的整数部分和小数部分， ∴，， ∴ ， ， ， ， 故答案为：． 17. 小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为_______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则，清楚运算顺序是解题的关键． 根据二次根式的混合运算法则，求出m，n，即可得答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 18. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 【答案】609 【解析】 【分析】本题主要考查了分解因式及其应用，根据定义，智慧优数可表示为 ，进而可求出第100个智慧优数． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即智慧优数为 ，， ∴第100个智慧优数为 ． 故答案为：609． 三、解答题（共66分） 19. 简便计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、平方差公式、乘法运算律等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）利用因式分解进行计算即可； （2）利用平方差公式进行计算和乘法运算律求解即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 20. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可； （2）方程两边同乘，将方程转化为整式方程，求解并检验即可 【小问1详解】 解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， ∴是该分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】现将每项进行因式分解，然后进行化简得到，再将代入化简后的式子计算即可．本题考查因式分解，分式的计算，代入求值．能够进行准确的因式分解，分式的加减运算是解题的关键． 【详解】解： ， 当时，则 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？ 【答案】（1）甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元 （2）学校购进甲种点茶器具套装8套，购进乙种点茶器具套装6套 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设学校购进甲种点茶器具套装套，则购进乙种点茶器具套装套，根据题意列出一元一次方程并求解，即可获得答案． 【小问1详解】 解：设甲种点茶器具套装的单价为元，则乙种点茶器具套装的单价为元， 根据题意可得， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：甲种点茶器具套装的单价为148元，乙种点茶器具套装的单价为178元； 【小问2详解】 设学校购进甲种点茶器具套装套，则购进乙种点茶器具套装套， 根据题意，可得 ， 解得， ∴． 答：学校购进甲种点茶器具套装8套，购进乙种点茶器具套装6套． 23. 在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 （1）化简： （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化，乘法公式等知识点． （1）分子分母都乘，利用平方差公式计算化简即可； （2）将a的值的分子、分母都乘以得，将其配方代入计算可得答案． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴． 24. 用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： （1）填空：______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值，分式的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据完全平方公式进行计算即可求解； （）根据（）的方法进行计算即可求解； （）根据题意得出，再由，从而可得，然后进行求倒数即可求解； 【小问1详解】 解： ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， ∴． 25. 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；；；；；． 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立） 【证明结论】 ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立） 【应用结论】 （1）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【答案】（1）时，函数的值最小，最小值为； （2）时，函数的值最小，最小值为． 【解析】 【分析】（）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，即可求出最值； 本题考查了完全平方公式、算术平方根，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴ ∴当且仅当，即时，函数的值最小，最小值为； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当，且，即时，函数的值最小，最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下期永州市第十六中学八年级数学期中试卷 时间：120 满分：120 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 在，，，，，中分式的个数有（    ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 若分式存在，则x的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 下面命题：①分母等于0的分式有意义；②全等三角形对应角相等；③若，则；④若，则．其中真命题有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知M＝3x2－x＋3，N＝2x2＋3x－1，则M、N的大小关系是（ ） A. M≥N B. M＞N C. M≤N D. M＜N 6. 小李在计算时，发现其计算结果能被三个连续整数整除，则这三个整数是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 在正数范围内定义一种运算☆，其规则为☆＝，根据这个规则☆的解为（ ） A. B. C. D. 8. 为了践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某地计划将30公顷的荒山进行绿化，实际绿化时，工作效率是原计划的1.5倍，进而比原计划提前3天完成绿化任务，设原来平均每天绿化荒山公顷，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如果关于的分式方程有整数解，且关于的不等式组有且只有四个整数解，那么符合条件的整数的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 10. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别表示下列六个字：化，爱，我，怀，游，美．现将因式分解，结果呈现的密码可能是（ ） A. 我爱美 B. 怀化游 C. 美我怀化 D. 爱我怀化 二、填空题（每题3分，共24分） 11. 若多项式可分解为，则的值为_______________． 12. 若关于x的方程无解，则m的值是______． 13. 若,则的值为______. 14. 如果对于任意自然数a都成立，则______，______． 15. 若，都是实数，且，则的值为_______________ ． 16. 已知分别是的整数部分和小数部分，则的值为______． 17. 小荣在中的“”内填入运算符号“×”得到的结果为，小德在中的“”内填入运算符号“ ”得到的结果为，则的值为_______ ． 18. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，当，时，，15是一个智慧优数，若将智慧优数从小到大排列，第100个智慧优数是_______________． 三、解答题（共66分） 19. 简便计算： （1）； （2） 20. 解分式方程： （1）； （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 宋代是茶文化发展的第二个高峰，宋代的饮茶主要以点茶为主，煎茶为辅，在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏．某网店销售两种点茶器具套装，已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元，花1480元购进甲种点茶器具套装的数量是花890元购进乙种点茶器具套装数量的2倍． （1）求甲、乙两种点茶器具套装的单价． （2）某学校社团开展茶文化学习活动，从该网店购进甲、乙两种点茶器具套装共花了2252元，甲种点茶器具套装比乙种点茶器具套装多2套，则学校购进甲、乙两种点茶器具套装各多少套？ 23. 在解决问题“已知求的值”，小明是这样分析与解答的: 请你根据小明的分析过程，解决如下问题 （1）化简： （2）若，求的值． 24. 用数学的眼光观察 ①等式：． ②若，求代数式的值． 解：因为，所以，所以，所以． 用数学的思维思考并表达： （1）填空：______； （2）若，求的值； （3）已知，求的值． 25. 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 ；；；；；． 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立） 【证明结论】 ∵， ∴①当且仅当，即时，，∴； ②当，即时，，∴． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立） 【应用结论】 （1）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数（），当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $