3.2.1双曲线及其标准方程 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2.1 双曲线及其标准方程 (一) 认识双曲线 巴西利亚大教堂 法拉利主题公园 北京摩天大楼 广州塔－小蛮腰 (一) 认识双曲线 实验(拉链绘制双曲线): 1. 取一条拉链，拉开一部分； 2. 在拉链的两边，按一长一短固定在点 F1、F2处； (注意：拉链两边的长度之差小于|F1F2|) 3. 将笔尖放在拉链张开处 P 点，随着拉链的拉开 或闭拢，使笔尖慢慢移动，画出一条曲线. 4. 再把拉链两边交换位置分别固定在 F1和 F2处， 用同样的方法可以画出图形的另一部分. (一) 认识双曲线 通过刚才的实验画出的图像就是双曲线，它由两条曲线组成， 其中一条叫作双曲线的一支． 整个实验过程，我们可以发现细绳两端始终固定在两个定点 F1、F2 上，而且动点 P 到两定点 F1、F2 的距离之差始终保持不变，等于拉链原长短边的长度之差． 我们根据这个几何性质来得出双曲线的定义． 双曲线由这两支共同组成． (二) 双曲线的定义 定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于非零常数 的点的轨迹叫作双曲线． F2 F1 P (小于|F1F2|) 通常把焦距记为2c (c＞0)，常数记为2a (a＞0)， 则双曲线定义还可以描述为： 若满足 |PF1|－|PF2| ＝2a＜2c， 则点 P 的轨迹为双曲线. ★ 这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距. (二) 双曲线的定义 思考1 如果定义中去掉“绝对值”三个字会有什么影响？ 如果不加“绝对值”，得到的轨迹只是双曲线的一支 当|PF1|－|PF2| ＝2a 时，表示靠近 F2 的一支，即双曲线的右支 当|PF2| －|PF1|＝2a 时，表示靠近 F1 的一支，即双曲线的左支 P F1 F2 P F1 F2 (二) 双曲线的定义 思考2 定义中为什么要求“常数2a＜2c且2a＞0”？ ①若常数2a＝2c： ②若常数2a＞2c： ③若常数2a＝0： 此时轨迹不存在 此时轨迹为线段 F1F2 的垂直平分线 此时轨迹为以 F1、F2 为端点的两条射线. F1 ● F2 ● F1 F2 ● ● 例1 已知两定点 F1(-5，0)、F2(5，0)，动点 P 满足|PF1|－|PF2| ＝2a， 则当 a＝3 时，P 点的轨迹为(　　) A．双曲线 B．一条射线 C．双曲线的一支 D．轨迹不存在 【答案】C. 例题讲解 练1 若动点 P 到点 M(1，0)，N(-1，0)的距离之差的绝对值为 2，则点 P 的轨迹是(　　) A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线 【答案】C. 变式训练 (三) 双曲线的标准方程 根据双曲线的定义，如何用坐标法来探究双曲线的标准方程呢？ ①建立平面直角坐标系：如图，以F1、F2所在直线为 x 轴，线段F1 F2的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系。 由于双曲线的焦距 |F1F2|＝2c， 所以F1、F2的坐标分别为(－c，0)、(c，0) (三) 双曲线的标准方程 ②设点：设双曲线上任意一点的坐标为P(x，y) ③限制：动点满足的几何条件 |PF1|－|PF2|＝±2a， ④代点：由两点间的距离公式可得 ⑤化简： 将左边的一个根式移到右边，得 两边平方得 两边平方并整理得 整理得 (三) 双曲线的标准方程 设c2－a2＝b2 ，则b2 x2－a2 y2＝a2 b2 两边同时除以a2 b2，得 ⑤化简：式子 表示的双曲线焦点在 x 轴上，焦点坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0) (三) 双曲线的标准方程 此时，焦点坐标分别为 F1(0，－c)，F2 (0，c) 如果焦点在 y 轴上，则双曲线的方程为： ★ 焦点在 x 轴上： ★ 焦点在 y 轴上： 左边是两个分式的平方差，右边是1； 三个参数 a、b、c 满足c²＝a²＋b²； 如果 x2 的系数是正的，则焦点在 x 轴上，该项的分母就是a²； 如果 y2 的系数是正的，则焦点在 y 轴上，该项的分母就是a²。 (三)双曲线的标准方程 例2 双曲线 的两个焦点分别是 F1、F2，双曲线上一点 P 到 F1的距离是12，则点 P到 F2 的距离是(　　) A. 17 B. 7 C. 7或17 D. 2或22 例题讲解 ∴||PF1|－|PF2| |＝2×5＝10 又 |PF1|＝12， ∴|PF2|＝2或22 【解析】由双曲线方程 得 a＝5， D 【答案】 【答案】17 变式训练 练2 设 P是双曲线 上一点，F1、F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝_______. 【解析】c²＝a²＋b²＝16＋20＝36，∴c＝6，∵双曲线上一点到两焦点距离之差的绝对值为2a，则|PF1|－|PF2| ＝±8，∴|PF2|＝17或1. 当P在右顶点时，|PF2|取最小值 c－a ＝6－4＝2 ∴|PF2|≥2，舍去1，故|PF2|＝17 例题讲解 例3 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点为(－4，0)和(4，0)，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于 6； (2)焦点为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，-2)． (1)解：由于双曲线的焦点在 x 轴上， 因此，所求双曲线的标准方程为 由双曲线的定义知 2a＝6， 又因为c＝4，所以 b²＝c²－a²＝16－9＝7． 所以 a＝3． 例题讲解 例3 求适合下列条件的双曲线的标准方程： (2)焦点为(0，－2)和(0，2)，且经过点(3，-2)． (2)法一： 由于双曲线的焦点在 y 轴上， 因此所求双曲线的标准方程为 由双曲线的定义知 因此a = 1．又因为 c = 2，所以 b² = c² －a² = 4－1=3． (2)法二：由于双曲线的焦点在 y 轴上，故可设它的标准方程为 因为双曲线经过点 P(3，－2)，所以 又因为 c＝2，所以 a²＝c²－b²＝4－b² ， 因此，所求双曲线的标准方程为 化简得 b4＋9b²－36＝0，即(b²＋13)(b²－3)＝0， 解得 b²＝3，因此 a²＝4－b² ＝1． 练3 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的 距离之差的绝对值： (1)解：依题意，可知双曲线的焦点在 x 轴上， 且 a² = 4，b² = 5，所以 c² = a² ＋ b² = 9，即c = 3． 因此双曲线的焦点坐标为(－3，0)、(3，0)． 双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a = 4． 变式训练 练3 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的 距离之差的绝对值： (2)解：依题意，可知双曲线的焦点在 y 轴上， 且 a² = 1，b² = 3，所以 c² = a² ＋ b² = 4，即c = 2． 因此双曲线的焦点坐标为(0，－2)、(0，2)． 双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2a = 2． 变式训练 练3 求下列双曲线的焦点坐标，以及双曲线上任一点到两个焦点的 距离之差的绝对值： (3)解：双曲线的方程可化为： 可知双曲线的焦点在 y 轴上，且 a² =b² =8，所以c²=a²＋b² =16， 即c = 4．因此双曲线的焦点坐标为(0，－4)、(0，4)． 双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值为 变式训练 解：设双曲线的方程为mx² ＋ny²=1（mn < 0） 例4 已知双曲线经过点 ， ，求该双曲线的标准方程． 因为双曲线经过点 ， ， 所以 ， 解得 ， 例题讲解 所以双曲线的标准方程为 . 变式训练 练4 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(-5，0)，(5，0)且双曲线上的点与两焦点距离之差的绝对值等于8. (2)焦点在 x 轴上，a=2，经过点A(-5，2). (3)经过两点 A(-7，-6)，B (2，3). (1)解：由已知得c＝5，2a＝8，∴a＝4，b2＝c2－a2＝9， ∵焦点在 x 轴上，∴所求方程为 . 变式训练 练4 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (2)焦点在 x 轴上，a=2，经过点A(-5，2). (2)解：由题设所求方程为 ， 又a=2，且点A(-5，2)在双曲线上，∴ ， 解得b2＝16， ∴双曲线的标准方程为 . 变式训练 练4 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (3)经过两点 A(-7，-6)，B (2，3). (3)解：设双曲线方程为mx2＋ny2＝1， 则有 ， 解得 ， ∴双曲线的标准方程为 . (1)解：设|MF1|＝16，根据双曲线的定义知||MF1|－16|＝6， 即|MF1|－16＝±6，解得|MF2|＝10或|MF2|＝22 例5 若F1、F2是双曲线 的两个焦点. (1)若双曲线上一点 M 到它的一个焦点的距离等于16，求点 M 到另一个焦点的距离； (2)若点 P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例题讲解 例5 若F1、F2是双曲线 的两个焦点. (2)若点 P是双曲线上的一点，且∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积. 例题讲解 (2)解：由 ，得a＝3，b＝4，c＝5 由定义和余弦定理得，|PF1|－|PF2| ＝±6 |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2| · cos60° ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2| ∴|PF1|·|PF2| ＝64 ∴S△ ＝ |PF1|·|PF2| ·sin∠F1PF2＝ 例6 如图，点A、B的坐标分别是(-5，0)、(5，0)，直线AM、BM 相交于点M，且它们的斜率之积是 ，试求点 M 的轨迹方程. 同理，直线BM的斜率 解：设点M的坐标为(x，y)，因为点A的坐标为(-5，0)， 由已知，有 所以点M的轨迹是除去(-5，0)，(5，0)两点的双曲线. 化简，得点M的轨迹方程为 例题讲解 所以直线AM 的斜率 1. 判断下列方程是否是双曲线，焦点位置在哪个轴上？ 当堂检测 【答案】C 2. 已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为( ). A. B. C. 或 D. 或 当堂检测 3. 若双曲线的一个焦点坐标为(0，－2)，且经过点(3，2)，则双 曲线的标准方程为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 当堂检测 平面上到两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫作双曲线．两个定点F1、F2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|叫作焦距． $