3.2.2 第2课时 双曲线的标准方程及性质的应用（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

该高中数学课件聚焦双曲线的标准方程及性质应用，系统涵盖直线与双曲线的位置关系、弦长问题、中点弦问题等核心知识点。课堂导入通过类比直线与椭圆的位置关系，结合“能否用公共点个数区分位置关系”等问题链，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生建立知识脉络。 其亮点在于以问题驱动和分层训练为特色，通过直观想象（如双曲线图形观察）引导学生抽象位置关系，借助数学运算（韦达定理、弦长公式）解决弦长及中点弦问题，在分类讨论（直线斜率存在与否、二次项系数是否为0）中培养逻辑推理。例题与变式题结合，学生能深化知识理解，教师可通过结构化内容提升教学效率，有效落实核心素养培养。

第二课时　双曲线的标准方程及性质的应用 1 1.理解判断直线与双曲线位置关系的方法（直观想象）. 2.会求解有关弦长问题（数学运算）. 3.会解决直线与双曲线的综合问题（逻辑推理、数学运算）. 课标要求 知识点一　直线与双曲线的位置关系 01 知识点二　双曲线的弦长及中点弦问题 02 提能点　直线与双曲线的综合问题 03 课时作业 04 目录 3 01 PART 知识点一 直线与双曲线的位置关系 目 录 问题1　（1）类比直线与椭圆的位置关系，可知直线与双曲线有几种位置 关系？ 提示：三种.分别为相交、相切、相离. （2）画出一条双曲线，观察并探索我们可否用公共点个数来区分三种位 置关系？ 提示：不能.当直线与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但并 非相切关系，所以不能用公共点个数来区分三种位置关系. 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 直线与双曲线位置关系的判断 设直线l：y＝kx＋m（m≠0），　① 双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），　② 将①代入②， 得Ax2＋Bx＋C＝0. （1）当A＝0时，直线l与双曲线的 平行，直线与双曲线C相交 于一点. 渐近线　 数学·选择性必修第一册 目 录 ②Δ＝0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相切； （2）当A≠0时， ①Δ＞0，直线与双曲线有 公共点，此时直线与双曲线相交； 两个　 ③Δ＜0，直线与双曲线 公共点，此时直线与双曲线相离. 　　提醒：（1）相交时可能有一个或两个公共点；有一个公共点时，直 线与双曲线可能相切或相交；（2）消元后注意二次项的系数，二次项系 数可能为0，此时，直线与双曲线的渐近线平行. 一个　 没有　 数学·选择性必修第一册 目 录 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0. 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）（－k2－4）＝4（4 －3k2）. 由 得－ ＜k＜ 且k≠±1， 故直线l与双曲线有两个不同的交点时，实数k的取值范围为{k｜ ＜k ＜ ，且k≠±1}. 【例1】已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k（x－1），直线l与双曲线 有两个不同的交点，确定满足条件的实数k的取值范围. 数学·选择性必修第一册 目 录 变式　在本例条件不变的情况下，若直线l与双曲线有且只有一个公共 点，确定满足条件的实数k的取值范围. 解：联立 消去y得（1－k2）x2＋2k2x－k2－4＝0.（*） 当1－k2≠0，即k≠±1时，Δ＝（2k2）2－4（1－k2）·（－k2－4）＝4 （4－3k2）. 由 得k＝± ，此时方程（*）有两个相同的实数解， 即直线l与双曲线有且只有一个公共点； 数学·选择性必修第一册 目 录 当1－k2＝0，即k＝±1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程（*）化 为2x＝5， 故方程（*）只有一个实数解，即直线l与双曲线相交，有且只有一个 公共点. 故当k＝± 或±1时，直线l与双曲线有且只有一个公共点. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 1. 解决直线与双曲线的交点问题，不仅要考虑判别式，更要注意二次项系 数为0时，直线与渐近线平行的特殊情况. 2. 双曲线与直线只有一个交点的题目，应分两种情况讨论：直线与双曲线 相切或直线与双曲线的渐近线平行. 3. 注意对直线的斜率是否存在进行讨论. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练1　（1）已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点， 若A，B在双曲线的同一支上，则a的取值范围是 ⁠ ⁠； 解析：由 消去y得（3－a2）x2－2ax－2＝0.当a≠± 时，Δ＝24－4a2.由Δ＞0得－ ＜a＜ 且a≠± ，此时有两解，直 线与双曲线有两个交点.若A，B在双曲线的同一支上，需x1x2＝ ＞ 0，所以a＜－ 或a＞ ，故当－ ＜a＜－ 或 ＜a＜ 时， A，B在双曲线的同一支上. （－ ，－ ）∪ （ ， ） 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P（1，2），讨论过点P的直线l的 斜率的情况，使l与双曲线C分别有一个公共点、两个公共点、没有公 共点. 解：①当l垂直于x轴时，直线l与双曲线C相切，有一个公共点. ②当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－2＝k（x－1）， 代入双曲线C的方程，得（2－k2）x2＋2（k2－2k）x－k2＋4k－6＝0. 当k2＝2，即k＝ 或－ 时，方程有一个解. 数学·选择性必修第一册 目 录 当k2≠2时，Δ＝48－32k， 令Δ＝0，可得k＝ ；令Δ＞0，可得k＜ 且k≠± ；令Δ＜0，可得k＞ . 综上所述，当直线l的斜率k∈{ ，－ ， }或直线l的斜率不存在时， 直线l与双曲线C有一个公共点； 当直线l的斜率k∈（－∞，－ ）∪（－ ， ）∪（ ， ）时， 直线l与双曲线C有两个公共点； 当直线l的斜率k∈（ ，＋∞）时，直线l与双曲线C没有公共点. 数学·选择性必修第一册 目 录 02 PART 知识点二 双曲线的弦长及中点弦问题 目 录 问题2　（1）双曲线的弦长公式与椭圆的弦长公式一样吗？ 提示：一样. （2）若过双曲线焦点的弦与双曲线同支相交，则弦长有没有最小值？ 提示：有.过焦点且与焦点轴垂直的弦长最短，最短为 . 数学·选择性必修第一册 目 录 （3）类比椭圆，已知A（x1，y1），B（x2，y2）为双曲线C： － ＝ 1（a＞0，b＞0）上两点，AB的中点为M（x0，y0），直线AB的斜率为 k，你能求出k·kOM（O为坐标原点）的值吗？ 提示：由 － ＝1， － ＝1， 两式相减得 － ＝0， 即 ＝ ，所以k·kOM＝ . 数学·选择性必修第一册 目 录 【知识梳理】 1. 弦长公式：若斜率为k（k≠0）的直线与双曲线相交于A（x1，y1）， B（x2，y2），则｜AB｜＝ ⁠. 2. 已知弦AB的中点为P（x0，y0），若双曲线方程为 － ＝1，则直线 AB的斜率为k＝ · ；若双曲线方程为 － ＝1，则直线AB的斜率为 k＝ · . 　 数学·选择性必修第一册 目 录 【例2】已知双曲线的方程是 －y2＝1. （1）直线l的倾斜角为 ，被双曲线截得的弦长为 ，求直线l的方程； 解：设直线l的方程为y＝x＋m， 代入双曲线方程， 得3x2＋8mx＋4（m2＋1）＝0， Δ＝（8m）2－4×3×4（m2＋1）＝16（m2－3）＞0， ∴m2＞3. 设直线l与双曲线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点， 数学·选择性必修第一册 目 录 则x1＋x2＝－ m，x1x2＝ . 由弦长公式得｜AB｜＝ ｜x1－x2｜ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 即m＝±5，满足m2＞3， ∴直线l的方程为y＝x±5. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）过点P（3，1）作直线l'，使其被双曲线截得的弦恰被点P平分，求 直线l'的方程. 解：设直线l'与双曲线交于A'（x3，y3），B'（x4，y4）两点，点P（3， 1）为A'B'的中点， 则x3＋x4＝6，y3＋y4＝2. 由 －4 ＝4， －4 ＝4， 两式相减得（x3＋x4）（x3－x4）－4（y3＋y4）（y3－y4）＝0， ∴k'＝ ＝ ， ∴l'的方程为y－1＝ （x－3），即3x－4y－5＝0. 把此方程代入双曲线方程，整理得5y2－10y＋ ＝0，满足Δ＞0， 即所求直线l'的方程为3x－4y－5＝0. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　双曲线中有关弦长问题，解决方法与椭圆中类似.解决中点弦问题常用 判别式法和点差法，注意所求参数的取值范围. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练2　（1）已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A， B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为（　D　） A. 3 B. 4 C. 6 D. 6 D 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：双曲线C： － ＝1，则c2＝4，∴右焦点为F（2，0），根据题 意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k（x－2），A（xA，yA），B （xB，yB），联立 化简得（1－k2）x2＋4k2x－4k2－2＝ 0，∴xA＋xB＝ ，xAxB＝ .∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋ xB＝ ＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝ ＝10，则（xA－xB）2＝（xA ＋xB）2－4xAxB＝82－4×10＝24，则｜AB｜＝ ＝ ＝6 . 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）（2025·金华月考）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0），过 点P（3，6）的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB的中点为Q （12，15），则双曲线C的离心率为（　B　） A. 2 B. C. D. B 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），由线段AB的中点为Q（12， 15），得x1＋x2＝24，y1＋y2＝30.由 两式相减得 ＝ ，则 ＝ ＝ .由 直线l的斜率k＝ ＝1，得 ＝1，则 ＝ .则双曲线C的离心率e＝ ＝ ＝ .故选B. 数学·选择性必修第一册 目 录 03 PART 提能点 直线与双曲线的综合问题 目 录 【例3】已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1 （－2，0），F2（2，0），点P（5， ）在双曲线C上. （1）求双曲线C的方程； 解：依题意，c＝2，所以a2＋b2＝4，则双曲线C的方程为 － ＝1 （0＜a2＜4）， 将点P（5， ）代入上式，得 － ＝1，解得a2＝50（舍去）或a2 ＝2， 故所求双曲线的方程为 － ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）记O为坐标原点，过点Q（0，2）的直线l与双曲线C交于不同的两 点A，B，若△OAB的面积为2 ，求直线l的方程. 解：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1－k2）x2－4kx－6＝0. 因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B， 所以 解得 （*） 数学·选择性必修第一册 目 录 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ， x1x2＝－ ，所以｜AB｜＝ · ＝ · . 又原点O到直线l的距离d＝ ， 所以S△OAB＝ d·｜AB｜＝ × × · ＝ .又 S△OAB＝2 ， 即 ＝1，所以k4－k2－2＝0，解得k＝± ，满足（*）.故满足 条件的直线l有两条， 其方程分别为y＝ x＋2和y＝－ x＋2. 数学·选择性必修第一册 目 录 【规律方法】 　解决综合问题时，可以仿照椭圆的处理思路，借助于方程思想，将问题 进行化归，然后利用直线与双曲线相交时的有关性质进行求解. 数学·选择性必修第一册 目 录 训练3　已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝ ± x，右顶点为（1，0）. （1）求双曲线C的标准方程； 解：由渐近线方程为y＝± x， 所以b＝ a，右顶点为（1，0），所以a2＝1，b2＝3， 故双曲线C的标准方程为x2－ ＝1. 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）过点E（0，2）的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求 · 的取值范围. 解：如图所示，根据题意易知，直线l的斜率存在，设直线l 的方程为y＝kx＋2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立直 线和双曲线方程 消去y可得（3－k2）x2－ 4kx－7＝0， 因为直线与双曲线一支交于M，N两点， 数学·选择性必修第一册 目 录 所以 解得3＜k2＜7， 因此 · ＝（x1，y1－2）·（x2，y2－2） ＝x1x2＋（y1－2）·（y2－2） ＝x1x2＋k2x1x2＝（k2＋1）x1x2 ＝7× ＝7×（1＋ ）. 因为3＜k2＜7，所以0＜k2－3＜4， 所以 ＞1，所以 · ＝7×（1＋ ）＞14， 故 · 的取值范围是（14，＋∞）. 数学·选择性必修第一册 目 录 1. 直线y＝ x＋3与双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的交点个数是（　） A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 0 解析：　因为直线y＝ x＋3与双曲线的渐近线y＝ x平行，所以它与双 曲线只有一个交点，故选A. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. 若直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16有两个公共点，则实数k的取值范围 为（　　） A. （－2，2） B. [－2，2） C. （－2，2] D. [－2，2] 解析：　易知k≠±2，将y＝kx代入4x2－y2＝16得关于x的一元二次方 程（4－k2）x2－16＝0，由Δ＞0可得－2＜k＜2. √ 数学·选择性必修第一册 目 录 3. （2025·开封月考）经过双曲线x2－y2＝8的右焦点且斜率为2的直线被双 曲线截得的线段的长为 ⁠. 解析：双曲线x2－y2＝8的右焦点为（4，0），经过双曲线x2－y2＝8的右 焦点且斜率为2的直线方程为y＝2（x－4），代入x2－y2＝8并整理得3x2 －32x＋72＝0，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝ ，x1x2 ＝24，所以直线被双曲线截得的线段的长为 × ＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 过点M（2，1）作斜率为1的直线，交双曲线 － ＝1（a＞0，b＞ 0）于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为 ⁠. 解析：设点A（x1，y1），B（x2，y2），则有 两式作差后 整理得 · ＝ ，由已知得 ＝1，x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，所 以 ＝ ，又c2＝a2＋b2，所以 ＝ ，得 ＝ . ​ 数学·选择性必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）直线与双曲线的位置关系； （2）双曲线的弦长及中点弦问题； （3）直线与双曲线的综合问题. 2.应体会 （1）要注意设而不求点差法在双曲线的弦长、中点弦问题中的应用； （2）直线与双曲线的综合问题要注意数形结合思想的应用. 3.避易错 判断直线与双曲线交点个数时，方程联立消元后，切记要对含参数的二 次项系数进行分类讨论. 数学·选择性必修第一册 目 录 04 PART 课时作业 目 录 1. “直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解析：　直线与双曲线有唯一公共点时，直线与双曲线不一定相切（也 可能直线与双曲线的渐近线平行）；直线与双曲线相切时，直线与双曲线 一定有唯一公共点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第一册 目 录 2. （2025·周口月考）直线y＝x－1被双曲线2x2－y2＝3所截得的弦的中点 坐标是（　　） A. （1，2） B. （－2，－1） C. （－1，－2） D. （2，1） 解析：　将y＝x－1代入2x2－y2＝3，得x2＋2x－4＝0，由此可得弦的 中点的横坐标为 ＝ ＝－1，纵坐标为－1－1＝－2，即中点坐标为 （－1，－2）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 3. 已知F是双曲线C：x2－ ＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴 垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（　　） A. B. C. D. 解析：　由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），将x＝2代入x2－ ＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐标是（1，3），故△APF的面 积为 ×3×（2－1）＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 4. 已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，与直线y＝ x交于 A，B两点，若｜AB｜＝2 ，则该双曲线的方程为（　　） A. x2－y2＝6 B. x2－y2＝9 C. x2－y2＝16 D. x2－y2＝25 解析：　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝ x联立， 得 x2－a2＝0.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝0，x1·x2＝－ ，∴｜AB｜＝ × a＝2 ，∴a＝3，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 5. （2025·扬州月考）若直线y＝kx与双曲线x2－y2＝1的两支各有一个交 点，则实数k的取值范围是（　　） A. （－1，0） B. （0，1） C. （－1，1） D. （1，＋∞） 解析：　直线y＝kx过原点，且与双曲线x2－y2＝1 的两支各有一个交点，如图.因为双曲线的渐近线方程 为y＝±x，所以k∈（－1，1）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知双曲线C： － ＝1过点（3， ），则下列结论正确 的是（　　） A. C的焦距为4 B. C的离心率为 C. C的渐近线方程为y＝± x D. 直线2x－ y－1＝0与C有两个公共点 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由双曲线C： － ＝1过点（3， ），可得m＝1，则双 曲线C的标准方程为 －y2＝1.所以a＝ ，b＝1，c＝ ＝2， 因为双曲线C的焦距为2c＝4，所以选项A正确；因为双曲线C的离心率为 ＝ ＝ ，所以选项B不正确；因为双曲线C的渐近线方程为y＝± x，所以选项C正确；将直线2x－ y－1＝0与双曲线 －y2＝1联立，消 去y可得3x2－4x＋4＝0，Δ＝（－4）2－4×3×4＝－32＜0，所以直线2x － y－1＝0与双曲线C没有公共点，所以选项D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 7. 〔多选〕已知直线l经过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左焦 点，且与C交于A，B两点，若存在两条直线，使得｜AB｜的最小值为 4，则下列四个点中，C经过的点为（　　） A. （4，2 ） B. （－2 ，2） C. （－2 ，－2 ） D. （3，－ ） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：若直线l与C的两支交于顶点A，B，则｜AB｜min＝2a，若直线l与C的一支交于A，B两点，则通径最短，｜AB｜min＝ ，由题意得 ＝2a＝4，解得a＝b＝2，故双曲线C的方程为 － ＝1，把选项A，B，C，D中点的坐标分别代入方程，得B选项表示的点不在双曲线上，A、C、D选项表示的点在双曲线上.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 8. 若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）与直线y＝2x无交点，则离心率e 的取值范围是 ⁠. 解析：由题意可得， ≤2，所以e＝ ≤ .又e＞1，所以离 心率e的取值范围是（1， ]. （1， ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 9. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2，直线y＝kx与C交于P，Q两点， · ＝0，且△PF2Q的面积为 4a2，则C的离心率为 ⁠. 解析：如图，若点P在第一象限，因为 · ＝0，所 以PF1⊥QF1，由图形的对称性知四边形PF1QF2为矩形， 因为△PF2Q的面积为4a2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝ 8a2，又因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a，在Rt△PF1F2中，（4a）2＋（2a）2＝（2c）2，解得e＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 10. 双曲线的两条渐近线的方程为y＝± x，且经过点（3，－2 ）. （1）求双曲线的方程； 解：因为双曲线的两条渐近线方程为y＝± x， 所以可设双曲线的方程为2x2－y2＝λ（λ≠0）. 又因为双曲线经过点（3，－2 ），代入方程可得λ＝6， 所以所求双曲线的方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）过双曲线的右焦点F且倾斜角为60°的直线交双曲线于A，B两点， 求｜AB｜. 解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 过F且倾斜角为60°的直线方程为y＝ （x－3）， 联立 消去y得x2－18x＋33＝0，因为Δ＞0， 由根与系数的关系得x1＋x2＝18，x1x2＝33， 所以｜AB｜＝ ·｜x1－x2｜＝ · ＝ 2 ＝16 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 11. 已知双曲线E： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，直线l的 斜率为－ ，且过点M（a，b），直线l与x轴交于点C，点D在E的右支 上，且满足 ＝λ ，则λ＝（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：　由题意知e＝ ＝ ，所以a＝2b，所以M（2b，b）， 故直线l的方程为y－b＝－ （x－2b）.令y＝0，得x＝4b，所以C （4b，0）.又因为 ＝λ ，所以D（（2λ＋2）b，（1－λ） b），代入 － ＝1，化简得4（λ＋1）2（ ）2－（1－λ）2＝1，解得 λ＝ .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 12. 〔多选〕在平面直角坐标系Oxy中，动点P与两个定点F1（－ ， 0）和F2（ ，0）连线的斜率之积等于 ，记点P的轨迹为曲线E，直线 l：y＝x－2与E交于A，B两点，则（　　） A. E的方程为 －y2＝1（x≠± ） B. E的离心率为 C. E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切 D. ｜AB｜＝2 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：设点P（x，y），由直线PF1与PF2的斜率之积为 ，可得 · ＝ ，整理得 －y2＝1，即曲线E的方程为 －y2＝1（x≠± ），所以A正确；曲线E的离心率e＝ ＝ ，所以B不正确；由圆（x－2）2＋y2＝1，可得圆心为（2，0），可得圆心到曲线E的渐近线y＝± x的距离d＝ ＝1，又由圆的半径为1，所以曲线E的渐近线与圆（x－2）2＋y2＝1相切，所以C正确；联立方程组 整理得2x2－12x＋15＝0，则x1＋x2＝6，x1x2＝ ，所以｜AB｜＝ · ＝ × ＝2 ，所以D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 13. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直 线l：y＝ x＋2 与双曲线C的一条渐近线平行，过点F2作MF2⊥l， 垂足为M，则△MF1F2的面积为 ⁠. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 解析：由题意可知 所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4， 即c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0），直线l：y＝ x＋2 ，令y＝0，得x＝－2，故直线l过点F1，因为 直线l的斜率为 ，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝ ＝2 ，所以△MF1F2的面积为 ｜MF2｜·｜F1F2｜· sin 30°＝2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 14. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为 ，点A（2，2），且△AF1F2的面积为2 . （1）求双曲线C的标准方程； 解：由题知 解得 ∴双曲线C的标准方程为 － ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）直线l：x＝my＋1交x轴于点B，与双曲线C的左、右两支分别交于 点E，F（不同于点A），记直线AE，AF分别与直线x＝1交于点M， N，证明：B是MN的中点. 解：证明：将l：x＝my＋1代入双曲线C： － ＝1，得（2m2－1）y2＋4my－2＝0. 设E（x1，y1），F（x2，y2），则2m2－1≠0，Δ＝32m2 －8＞0， y1＋y2＝－ ，y1y2＝－ . 直线AE的方程为y＝ （x－2）＋2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 令x＝1，得yM＝ ＋2； 直线AF的方程为y＝ （x－2）＋2， 令x＝1，得yN＝ ＋2. ∵ ＋ ＝ ＝－4， ∴yM＋yN＝0， 又B（1，0），∴｜BM｜＝｜BN｜，即B是MN的中点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 15. （2025·郑州月考）祖暅，祖冲之之子，是我国南宋时期的数学家.他提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异”.意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得两个几何体的截面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.已知双曲线C的焦点在y轴上，离心率为 ，且过点（ ，2 ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （1）求双曲线的标准方程； 解：∵双曲线C的离心率e＝ ＝ ，∴c ＝ a，∴c2＝a2＋b2＝ a2，∴b2＝ a2， ∴双曲线的方程为 － ＝1，过点（ ，2 ），即 － ＝1，a2＝3，b2＝1， ∴双曲线方程为 －x2＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 （2）若直线x＝0，x＝1在第一象限内与C及其渐近线围成如图阴影部分 所示的图形，求阴影图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积. 解：由（1）知双曲线的渐近线方程为y＝± x，取直线x＝m（0≤m≤1），代入 －x2＝1，得y＝ ，代入y＝ x，得y＝ m， ∴直线x＝m与阴影部分旋转一周所得圆环的面积S＝（3＋3m2）π－3m2π＝3π. 又高度为1，故根据祖暅原理，该图形绕x轴旋转一周所得几何体与底面半 径为 ，高为1的圆柱“幂势相同”，故它绕x轴旋转一圈所得几何体的 体积为3π. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第一册 目 录 65 THANKS 演示完毕 感谢观看 $