3.2 3.2.1 第2课时 双曲线及其标准方程的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 第三章 圆锥曲线的方程 3 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 41 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3．2　双曲线 3．2．1　双曲线及其标准方程 第2课时　双曲线及其标准方程的应用 学习目标　1.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单问题，以培养数学运算能力．(重点)　2.感受双曲线在实际生活中的应用，以提升数学建模能力．(重点、难点) 　双曲线的定义的应用 问题1　如果动点M(x，y)满足到F1，F2距离之差的绝对值为常数2a，那么它的轨迹一定为双曲线吗？ 提示：不一定，需要满足该常数2a小于F1，F2间的距离2c. 求解与双曲线有关的点的轨迹问题，常见的方法有两种：(1)列出等量关系，化简得到方程；(2)寻找几何关系，由双曲线的定义得出对应的方程． 角度一　与双曲线有关的轨迹问题 例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________. 解析：设动圆M的半径为r， 因为动圆M同时与圆C1及圆C2外切， 所以|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3， 所以|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6， 所以动点M的轨迹是以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点的双曲线的左支， 则2a＝2，a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8. 因此所求动圆圆心M的轨迹方程为x2－ eq \f(y2,8)＝1(x≤1). 答案：x2－ eq \f(y2,8)＝1(x≤1) (2)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M与圆C1外切，且与圆C2内切，则动圆圆心M的轨迹方程为________． 解析：设动圆M的半径为r， 因为圆M与圆C1外切，且圆M与圆C2内切， 所以|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r－3， 所以|MC1|－|MC2|＝4<|C1C2|＝6， 所以点M的轨迹是以C1(－3，0)，C2(3，0)为焦点的双曲线的右支， 则2a＝4，a＝2，c＝3，所以b2＝c2－a2＝5. 所以点M的轨迹方程是 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2). 答案： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2) eq \x(,(1)注意双曲线的焦点所在的坐标轴；(2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．) 名师点睛 　 (1)注意双曲线的焦点所在的坐标轴； (2)检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支. 【迁移运用】 1.(1)设P为双曲线 eq \f(x2,4)－y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程为________． 解析：设M(x，y)，P(x0，y0)，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(x0,2)，,y＝\f(y0,2)，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x0＝2x，,y0＝2y，)) 又2,0) eq \f(x,4) －y eq \o\al(2,0)＝1，则 eq \f((2x)2,4)－(2y)2＝1， 整理得x2－4y2＝1，即点M的轨迹方程为x2－4y2＝1. 答案：x2－4y2＝1 (2)在平面直角坐标系中，动点M(x，y)与定点F(5，0)的距离和M到定直线l：x＝ eq \f(16,5)的距离的比是常数 eq \f(5,4)，设动点M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程． 解：由题设得 eq \f(\r((x－5)2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(16,5))))＝ eq \f(5,4)(x≠ eq \f(16,5))， 即(x－5)2＋y2＝，整理得 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1， 所以曲线C的方程为 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1. 角度二　利用双曲线的定义解决最值问题 例2　已知A(－4，0)，B是圆(x－1)2＋(y－4)2＝1上的点，点P在双曲线 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,7)＝1的右支上，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　 ) A．9 B．2 eq \r(5)＋6 C．10 D．12 解析：选C．设点C(1，4)，点B在圆上， 则|PB|≥|PC|－r＝|PC|－1， 由点P在双曲线右支上，点A为双曲线左焦点， 设A′为双曲线右焦点， 所以由双曲线定义知|PA|＝|PA′|＋2a＝|PA′|＋6， 所以|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＋6≥|PA′|＋|PC|＋6－1 ≥|A′C|＋5＝5＋5＝10. eq \x(,求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决．) 名师点睛 　 求解与双曲线有关的长度和最值问题，都可以通过相应的双曲线的定义去解决.　 【迁移运用】 2.P为双曲线x2－ eq \f(y2,15)＝1右支上一点，M，N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值是________． 解析：如图，双曲线的两个焦点F1(－4，0)，F2(4，0)为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1， |PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为|PF1|＋2－|PF2|＋1＝|PF1|－|PF2|＋3＝5. 答案：5 　双曲线的实际生活应用 问题2　在生产实际中，冷却塔通常被设计成双曲线型，请查阅资料，并说明原因． 提示：冷却塔被设计成双曲线型，主要基于以下几个核心原因： (1)提高冷却效率：双曲线形的设计有助于加强通风，使循环水温度降低． (2)结构稳定性：高大的圆筒状结构在高度增加时会变得很不稳定，且成本高昂．双曲线形的壳状曲面结构，由于其高斯曲率非0，具有高强度和抗变形能力． (3)经济性：双曲线形的冷却塔可以采用薄壁结构，用相同的材料能够获得最大的容积，从而降低了建造成本． 利用双曲线解决实际问题的基本步骤 (1)建立适当的坐标系； (2)求出双曲线的标准方程； (3)根据双曲线的方程及定义解决实际应用问题(注意实际意义). 例3　(链接教材：人A版教材P120例2)北京时间2024年11月4日1时24分，神舟十八号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A，B，C)，A在B的正东方向，相距6 km，C在B的北偏西30°方向，相距4 km，P为航天员着陆点．某一时刻，A接收到P的求救信号，由于B，C两地比A距P远，在此4 s后，B，C两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1 km/s，求在A处发现P的方位角． 解：如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴 建立平面直角坐标系，则A(3，0)，B(－3，0)，C(－5，2 eq \r(3)). ∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上， 又易知kBC＝－ eq \r(3)，线段BC的中点D(－4， eq \r(3))， ∴直线PD的方程为y－ eq \r(3)＝ eq \f(1,\r(3))(x＋4)　①， 又|PB|－|PA|＝4＜6＝|AB|， ∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上， 设双曲线方程为 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则a＝2，c＝3， ∴点P的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2)　②， 联立①②，得P点坐标为(8，5 eq \r(3))， ∴kPA＝ eq \f(5\r(3),8－3)＝ eq \r(3)，因此在A处发现P的方位角为北偏东30°. 类题通法 　 关于实际问题中的双曲线方程 双曲线在实际生活中有着广泛的应用，解答该类问题时，要从实际问题中挖掘出要求的曲线上的点或者动点满足的条件，考查与两定点距离的差或者差的绝对值是否为定值，即是否满足双曲线的定义．将实际问题转化为求双曲线的标准方程的问题． 提醒：实际问题中动点的轨迹可能是双曲线的一支或一部分，要根据实际条件确定并在轨迹方程中标注. 【迁移运用】 3.(1)(体育生活)2024年10月22日晚，福建省2024年和美乡村篮球大赛(村BA)的决赛在莆田市秀屿区智慧体育公园篮球场举行．从某个角度观察篮球(如图1)，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分．若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，AB＝BC＝CD＝2，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为(　　 ) A．x2－ eq \f(7y2,9)＝1 B．2x2－y2＝1 C．x2－ eq \f(9y2,7)＝1 D．x2－ eq \f(3y2,4)＝1 解析：选A．依题意，设双曲线方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 因为BC＝2，则a＝1， 显然圆O的半径为3，又因为坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O 的周长八等分，双曲线与圆O交于第一象限内的点为( eq \f(3,\r(2))， eq \f(3,\r(2)))， 于是＝1，解得b2＝ eq \f(9,7)，所以双曲线的方程为x2－ eq \f(7y2,9)＝1. (2)许多建筑融入了数学元素后更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致．已知图1是单叶双曲面(由双曲线旋转形成的立体图形)型建筑，图2是其中截面最细处附近的部分图形，上、下底面与地面平行．现测得下底面直径AB＝20 eq \r(10) m，上底面直径CD＝20 eq \r(2) m，AB与CD间的距离为80 m，与上、下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为(　　 ) A．10 m B．20 m C．10 eq \r(3) m D．10 eq \r(5) m 解析：选B．取DC的中点E，以EG所在直线为y轴，EG的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示． 易知D(10 eq \r(2)，20)，B(10 eq \r(10)，－60). 设双曲线的标准方程为 eq \f(x2,a2) － eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(200,a2)－\f(400,b2)＝1，,\f(1 000,a2)－\f(3 600,b2)＝1，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＝100，,b2＝400，)) 所以最细部分处的直径为2a＝20(m). 1．相距4k m的A，B两地，听到炮弹爆炸的时间相差2 s，若声速为每秒k m，则满足条件的炮弹爆炸点P连成的轨迹可能是(　　 ) A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 解析：选D．由已知条件可得||PA|－|PB||＝2k<4k＝|AB|，根据双曲线的定义可知，点P在以A，B为焦点的双曲线上． 2．(多选)若F1，F2是双曲线8x2－y2＝8的两焦点，点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，则△PF1F2的周长可能为(　　 ) A．16 B．17 C．18 D．20 解析：选AD．双曲线8x2－y2＝8可化为标准方程x2－ eq \f(y2,8)＝1，所以a＝1，c＝3，|F1F2|＝2c＝6.因为点P在该双曲线上，且△PF1F2是等腰三角形，当以PF1，PF2中较长边为腰时，则△PF1F2的周长为6＋6＋(6－2a)＝16；当以PF1，PF2中较短边为腰时，△PF1F2的周长为6＋6＋(6＋2a)＝20. 3．已知F1，F2分别为双曲线C： eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,2)＝1的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos ∠F1PF2＝________． 解析：由题意可得， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|PF1|－|PF2|＝2\r(2)，,|PF1|＝2|PF2|，)) 解得|PF1|＝4 eq \r(2)，|PF2|＝2 eq \r(2)， 因为|F1F2|＝2 eq \r(2＋2)＝4， 所以cos ∠F1PF2＝ eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2| ) ＝ eq \f(32＋8－16,2×4\r(2)×2\r(2))＝ eq \f(3,4). 答案： eq \f(3,4) 4．已知F是双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________． 解析：对于双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1，则a＝2，b＝2 eq \r(3)，c＝4，如图所示， 设双曲线的右焦点为M，则M(4，0)， 由双曲线的定义可得|PF|－|PM|＝4，则|PF|＝4＋|PM|， 所以|PF|＋|PA|＝|PM|＋|PA|＋4≥|AM|＋4＝ eq \r((1－4)2＋(4－0)2)＋4＝9， 当且仅当A，P，M三点共线时，等号成立． 因此，|PF|＋|PA|的最小值为9. 答案：9 【基础巩固】 1．已知F1，F2是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，△PF1F2是等腰三角形且底角的余弦值为 eq \f(3,4)，则a与b的关系为(　　 ) A．b＝a B．b＝ eq \r(2)a C．b＝ eq \r(3)a D．b＝2a 解析：选C．F1，F2是双曲线 eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，点P在双曲线上，不妨设点P在第一象限，由 △PF1F2是等腰三角形，可得|PF2|＝2c，|PF1|＝2c＋2a，又该三角形底角的余弦值为 eq \f(3,4)，则有 eq \f((2c＋2a)2＋(2c)2－(2c)2,2(2c＋2a)·2c)＝ eq \f(3,4)，即c＝2a，又c2＝a2＋b2，∴ b＝ eq \r(3)a. 2．(易错题)在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A的运动轨迹方程是(　　 ) A． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1 B． eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1(x>3) C． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1 D． eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1(x>3) 解析：选B．以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立平面直角坐标系(图略)，则B(－5，0)，C(5，0).因为|AB|－|AC|＝c－b＝6<10，所以点A的轨迹是双曲线的右支，其轨迹方程为 eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,16)＝1(x>3). 3．(2025·海南期末模拟)已知双曲线C：x2－ eq \f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在C的右支上，且|PF1|＝1＋ eq \r(7)，则△PF1F2的面积为(　　 ) A． eq \r(7)－1 B．6 C．3 D． eq \r(7)＋1 解析：选C．点P在双曲线右支上，a＝1，b＝ eq \r(3)，c＝2，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|＝1＋ eq \r(7)，两式联立得|PF2|＝ eq \r(7)－1.又|F1F2|＝4，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16，即△PF1F2为直角三角形，所以＝ eq \f(1,2)|PF1||PF2|＝3. 4．已知双曲线的两个焦点为F1(－ eq \r(10)，0)，F2( eq \r(10)，0)，M是此双曲线上的一点，且满足·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是(　　 ) A． eq \f(x2,9)－y2＝1 B．x2－ eq \f(y2,9)＝1 C． eq \f(x2,3)－ eq \f(y2,7)＝1 D． eq \f(x2,7)－ eq \f(y2,3)＝1 解析：选A．因为·＝0，所以⊥，即MF1⊥MF2，所以|MF1|2＋|MF2|2＝40， 则(|MF1|－|MF2|)2＝|MF1|2－2|MF1|·|MF2|＋|MF2|2＝40－2×2＝36， 故||MF1|－|MF2||＝6＝2a，即a＝3.又c＝ eq \r(10)，所以b2＝c2－a2＝1，则该双曲线的方程是 eq \f(x2,9)－y2＝1. 5．已知定点A(3，1)，F是双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,12)＝1的右焦点，P是双曲线右支上的动点，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　 ) A． eq \r(2) B．5 eq \r(2)＋4 C．5 eq \r(2)－4 D． eq \r(2)＋4 解析：选C．设F1是双曲线的左焦点， 根据双曲线的定义及P是双曲线右支上的动点 可得|PF1|－|PF|＝2a， 所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF1|－2a＝|PA|＋|PF1|－4， 结合图形可得|PA|＋|PF1|≥|AF1|＝ eq \r([3－(－4)]2＋(1－0)2)＝5 eq \r(2)， 当且仅当P，A，F1三点共线时取得等号， 即图形中点P在P′处取得最小值， 所以|PA|＋|PF1|－4≥5 eq \r(2)－4，所以|PA|＋|PF|的最小值为5 eq \r(2)－4. 6．已知点P在曲线C1： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1的右支上，点Q在曲线C2：(x＋5)2＋y2＝1上，点R在曲线C3：(x－5)2＋y2＝1上，则|PQ|－|PR|的最大值是(　　 ) A．6 B．8 C．10 D．12 解析：选C．双曲线 eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1的两个焦点分别是F1(－5，0)与F2(5，0)，且|PF1|－|PF2|＝8， 而这两个焦点恰好是两圆(x＋5)2＋y2＝1和(x－5)2＋y2＝1的圆心， 且两圆的半径分别是r2＝1，r3＝1， 所以|PQ|max＝|PF1|＋1，|PR|min＝|PF2|－1，所以|PQ|－|PR|的最大值为(|PF1|＋1)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋2＝8＋2＝10. 7．如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点D到A的距离比到B的距离远2 km，则曲线PQ的轨迹方程是________；现要在曲线PQ上选一处M建一座码头向B，C两地转运货物，那么这两条公路MB，MC的路程之和最短是________km. 解析：如图所示，以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(－2，0)，B(2，0)， |DA|－|DB|＝2，根据双曲线定义知轨迹为双曲线的右支． 故2c＝4，c＝2，2a＝2，a＝1，b2＝c2－a2＝4－1＝3， 故轨迹方程为x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≥1). 根据题意知C(3， eq \r(3))，|MB|＋|MC|＝|MA|＋|MC|－2≥|AC|－2＝2 eq \r(7)－2， 当且仅当A，M，C三点共线时等号成立． 答案：x2－ eq \f(y2,3)＝1(x≥1)　2 eq \r(7)－2 8．在△ABC中，已知|AB|＝4 eq \r(2)，内角A，B，C满足2sin A＋sin C＝2sin B，建立适当的平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程． 解：以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴， 建立平面直角坐标系，则A eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(2)，0))，B eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，0)). 设△ABC的外接圆半径为R， 由正弦定理得sin ∠CAB＝ eq \f(|CB|,2R)，sin ∠CBA＝ eq \f(|CA|,2R)，sin C＝ eq \f(|AB|,2R). ∵2sin ∠CAB＋sin C＝2sin ∠CBA， ∴2|CB|＋|AB|＝2|CA|，∴|CA|－|CB|＝ eq \f(1,2)|AB|＝2 eq \r(2)＜|AB|， 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支． ∵a＝ eq \r(2)，c＝2 eq \r(2)，∴b2＝c2－a2＝6， ∴顶点C的轨迹方程为 eq \f(x2,2)－ eq \f(y2,6)＝1 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＞\r(2))). 9．已知动点P到点F(2，0)的距离与到直线l：x＝ eq \f(1,2)的距离之比为2. (1)求点P的轨迹C的方程； (2)直线l的方程为x＋y－2＝0，l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长． 解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则由题意得 eq \f(\r((x－2)2＋y2),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))))＝2， 化简得x2－ eq \f(y2,3)＝1，即为点P的轨迹C的方程． (2)将y＝－x＋2代入x2－ eq \f(y2,3)＝1中，并化简得2x2＋4x－7＝0， 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 由韦达定理可得x1＋x2＝－2，x1x2＝－ eq \f(7,2)， 故|AB|＝ eq \r(2) eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝6. 【综合运用】 10．(五育并举)如图为陕西历史博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体．若该金杯主体部分的上口外直径为 eq \f(10\r(3),3)，下底座外直径为 eq \f(2\r(39),3)，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为(　　 ) A．2 eq \r(2)π B．3π C．2 eq \r(3)π D．4π 解析：选C．由题意可设M，N(m>0)， 代入双曲线方程可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\f(25,3),a2)－\f(4m2,b2)＝1，,\f(\f(13,3),a2)－\f(m2,b2)＝1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(\f(25,12),a2)－\f(m2,b2)＝\f(1,4)，,\f(\f(13,3),a2)－\f(m2,b2)＝1，)) 作差可得 eq \f(\f(27,12),a2)＝ eq \f(3,4)，解得a＝ eq \r(3)， 所以杯身最细处的周长为2 eq \r(3)π. 11．双曲线的光学性质是：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．已知双曲线C： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线射向C上的点P(8，y0)后，被C反射出去，则入射光线与反射光线夹角的余弦值是(　　 ) A． eq \f(13,14) B．－ eq \f(11,14) C． eq \f(11,14) D．－ eq \f(13,14) 解析：选C．设F1(－5，0)，F2(5，0)，P(8，y0)在第一象限， eq \f(64,16)－2,0) eq \f(y,9) ＝1⇒y0＝3 eq \r(3)， |PF2|＝ eq \r((8－5)2＋(3\r(3))2)＝6， |PF1|＝6＋8＝14，|F1F2|＝10，cos ∠F1PF2＝ eq \f(142＋62－102,2×14×6)＝ eq \f(11,14). 12．过椭圆 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,m－9)＝1(m>9)右焦点F的圆与圆O: x2＋y2＝4外切，该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C．若P为曲线C上的一动点，则|FP|长度最小值为(　　 ) A．0 B． eq \f(1,2) C．1 D．2 解析：选C．椭圆 eq \f(x2,m)＋ eq \f(y2,m－9)＝1(m>9)，c＝ eq \r(m－(m－9))＝3， 所以F(3，0).设以FQ为直径的圆圆心为O1，如图所示， 因为圆O与圆O1外切，所以|OO1|－|O1F|＝2， 因为|QF1|＝2|OO1|，|QF|＝2|O1F|， 所以|QF1|－|QF|＝2(|OO1|－|O1F|)＝4<|F1F|， 所以Q的轨迹为以F1，F为焦点，2a＝4的双曲线的右支． 即a＝2，c＝3，b＝ eq \r(9－4)＝ eq \r(5)，曲线C： eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≥2). 又P为曲线C上的一动点，则|FP|长度的最小值为c－a＝1. 13．(信息科技)某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线C： eq \f(x2,64)－ eq \f(y2,36)＝1的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为F(10，0)，Q(30，9).为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为______．(填写坐标即可) 解析：如图，设E(－10，0)，F(10，0)分别为双曲线C的左、右焦点，连接EQ，与双曲线C的右支交于点P，则点P即为港口所在位置． 由双曲线的定义可得，|PE|－|PF|＝2a＝16，即|PF|＝|PE|－16，则|PQ|＋|PF|＝|PQ|＋|PE|－16≥|EQ|－16，当且仅当Q，P，E三点共线时，|PQ|＋|PE|取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小， 又E(－10，0)，Q(30，9)，则直线EQ的方程为y＝ eq \f(9,40)x＋ eq \f(9,4)，联立 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x2,64)－\f(y2,36)＝1，,y＝\f(9,40)x＋\f(9,4)，))化简可得91x2－180x－7 300＝0，解得x＝10或x＝－ eq \f(730,91)(舍)，将x＝10代入直线方程y＝ eq \f(9,40)x＋ eq \f(9,4)可得y＝ eq \f(9,2)，故点P的坐标为. 答案： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(9,2))) 14．设声速是a m/s，在相距10a m的A，B两哨所，听到一炮弹的爆炸声，爆炸声的时间相差6 s，已知声强与距离的平方成反比．试建立适当的坐标系． (1)求点P所在曲线的方程； (2)若哨所B处的声强是哨所A处声强的9倍，试求炮弹爆炸点P的坐标． 解：(1)以A，B所在直线为x轴，AB的中点为原点，建立平面直角坐标系， 设A(－5a，0)，B(5a，0)，则点P满足||PA|－|PB||＝6a<|AB|， 故点P在以A，B为焦点的双曲线上，设其方程为 eq \f(x2,m2)－ eq \f(y2,n2)＝1， 则2m＝6a，m2＋n2＝25a2，解得m2＝9a2，n2＝16a2， 故点P所在曲线的方程为 eq \f(x2,9a2)－ eq \f(y2,16a2)＝1. (2)根据题意可得：9|PB|2＝|PA|2，即|PA|＝3|PB|， 又|PA|－|PB|＝6a ，故可得|PB|＝3a，设点P坐标为(x，y)， 由点P在双曲线上，故可得 eq \f(x2,9a2)－ eq \f(y2,16a2)＝1，则y2＝ eq \f(16,9)x2－16a2， 由|PB|＝3a，故可得(x－5a)2＋y2＝9a2，即(x－5a)2＋ eq \f(16,9)x2－16a2＝9a2， 整理得5x2－18ax＝0，解得x＝0(舍)或x＝ eq \f(18a,5) ， 此时y2＝ eq \f(176a2,25)，y＝± eq \f(4\r(11),5)a，故点P的坐标为( eq \f(18,5)a，± eq \f(4\r(11),5)a). 【创新探索】 15．在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵(此时舰艇可视作静止的点)，如图中的点A，B，C，且OA＝OB＝OC＝3.假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早 eq \f(4,v0) s(注：v0为信号传播速度)，C处舰艇保持静默． (1)建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； (2)在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的距离最小是多少？ 解：(1)如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系． 设敌舰艇的位置为P(x，y), 由题意可知|PB|－|PA|＝v0· eq \f(4,v0)＝4<6＝|AB|. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且2a＝4，c＝3，所以b＝ eq \r(5). 所以敌舰艇的轨迹方程为 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≤－2). (2)设方程 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,5)＝1(x≤－2)上一点M(x0, y0)， 由题意知2,0) eq \f(x,4) －2,0) eq \f(y,5) ＝1(x0≤－2)，即x eq \o\al(2,0)＝4＋ eq \f(4,5)y eq \o\al(2,0)， 又C(0，3)，所以|MC|＝2,0) eq \r(x＋(y0－3)2) ＝2,0) eq \r(4＋\f(4,5)y＋(y0－3)2) ＝2,0) eq \r(\f(9,5)y－6y0＋13) ＝(y0∈R)， 所以当y0＝ eq \f(5,3)时，|MC|min＝2 eq \r(2)，即无人机飞行的距离最小是2 eq \r(2). $