精品解析：辽宁省鞍山市台安县2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

八年级（上）十二月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据把一个多项式分解为几个整式的乘积的形式的过程为因式分解，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； B、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； C、属于因式分解，故该选项符合题意； D、，原式不属于因式分解，故该选项不符合题意； 故选：C 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，6cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm D. 5cm，6cm，7cm 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边进行分析即可． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，不能构成三角形，符合题意； D、，能构成三角形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系，是解题的关键．解题时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． 3. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国电信 C. 中国网通 D. 中国联通 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方，熟练掌握它们的运算法则是解答本题的关键． 根据同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法、幂的乘方的运算法则，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，错误，故A选项不符合题意； B、，正确，故B选项符合题意； C、，错误，故C选项不符合题意； D、，错误，故D选项不符合题意； 故选：B． 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等； ∴左边那副图中，边长为b的边的对角等于第二个图的； ∴； 故选：C. 6. 下列因式分解正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．利用提公因式法，公式法进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A．，故A符合题意； B．，故B不符合题意； C．，故C不符合题意； D．，故D不符合题意； 故选：A． 7. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由图可知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 8. 下列计算错误的是（） A. B. C. D. ( 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式，整式的除法，熟练掌握运算法则和乘法公式是解题的关键．根据平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式的法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D 9. 已知，且，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EFAB交BC于点F，已知AE=5，则△EFC的周长为（　　） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据含30°角的直角三角形的性质求得AD的长，继而求得等边△ABC的边长，然后求得EC的长，根据平行线的性质得出∠EFC=∠B=60°，∠FEC=∠A=60°，即可证得△EFC是等边三角形，从而求得△EFC的周长． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°， ∵DE⊥AC， ∴∠ADE=30°， ∴AD=2AE=2×5=10， ∵D为AB的中点， ∴AB=2AD=20， ∴AC=AB=20， ∴EC=AC﹣AE=15， ∵EF∥AB， ∴∠EFC=∠B=60°，∠FEC=∠A=60°， ∴△EFC是等边三角形， ∴△EFC的周长=3EC=3×15=45． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由分式有意义，可得再解不等式即可得到答案． 【详解】解： 分式有意义， 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握“分式的分母不为0”是解本题的关键． 12. 已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__． 【答案】(-2,-1) 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】点P（﹣2，1），则点P关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，﹣1）， 故答案是：（﹣2，﹣1）． 【点睛】考查了关于x轴对称的对称点，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键． 13. 用简便方法计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．利用平方差公式将原式转化为两数差与两数和的乘积． 【详解】解：． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由作图过程可知，，射线为的平分线，可得，进而可证明，则．由等腰三角形的性质可得，进而得到，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，，射线为的平分线， ． ， ， ． ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 15. 如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质， 作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小，最小值，求出即可，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， 如图，作点Q关于的对称点，连接，则， 当点P，E，共线时，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 利用乘法公式进行计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式的应用，解题的关键是准确识别公式结构并正确运用公式展开计算． （1）利用完全平方公式展开，利用平方差公式展开，去括号后合并同类项； （2）将看作整体，利用平方差公式展开，再利用完全平方公式展开并整理． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，综合提公因式和公式法分解因式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）用平方差公式分解因式； （2）先提取公因式，再用完全平方公式分解因式． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算（多项式除以单项式、平方差公式）及代数式求值，解题的关键是正确运用运算法则化简代数式． 先对多项式除以单项式展开运算，再用平方差公式展开另一部分，合并同类项化简代数式，最后代入、的值计算． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式． 答：化简结果为，代数式的值为． 19. 如图，，，E，F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再根据证明即可得出结论； （2）根据三角形内角和定理得出即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 20. 在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． （1）如图①，若，，求的度数； （2）试求与的数量关系． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 在中，设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、角的和差运算，通过角的和差运算，建立与的数量关系是解题关键． （1）根据、，先由等腰三角形性质得，再由可得，进而求得，再由结合外角性质可求得的度数． （2）设，，则，由得，进而得到，再根据得到，将和相加后求出，与比较即可得出结果． 【小问1详解】 解：在中，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 答：的度数为． 【小问2详解】 略 21. 【问题背景】在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了．某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式分解因式的结果为，若取，则有，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）． 【实际应用】 （1）根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，若取，请问小明该软件的登录密码是多少？ （2）根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出对多项式分解因式后得到的密码． 【答案】（1）小明该软件的登录密码是060912； （2）对多项式分解因式后得到的密码是010509． 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，二元一次方程的应用． （1）直接分解因式后根据题干解密方法作答即可； （2）根据等腰三角形的定义列出二元一次方程，再找出符合要求的解，因式分解后根据题干解密方法作答即可． 【小问1详解】 ， 若取，则有， ∴小明该软件的登录密码是060912； 【小问2详解】 ∵一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数 ． 都为整数， （不合题意的已舍去）． ， 当时，， ∴对多项式分解因式后得到的密码是010509． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）； （2）或； （3）10． 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值，然后根据平方根的定义求出的值即可； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【小问1详解】 解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴或． 【小问3详解】 解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ＝10． ∴阴影部分的面积为10． 23. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （1）如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； （2）如图2，若点E是的中点，求证：； （3）如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 【答案】（1） （2） 证明：延长至F点，使得，连接， ∵点E为的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点C作轴，证明，得到，即可得到C点坐标； （2）延长至F点，使得，连接，证明，得到，证出，求出，再证明，推出，即可得到 （3）在的延长线上截取，连接，过点C作，证得是等边三角形，得到，证明，推出，求出，得到由（1）得，进而得到，由此求出B点坐标． 【小问1详解】 解：过点C作轴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵点A为，点B为， ∴， ∴， ∴C点坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在的延长线上截取，连接，过点C作， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 由（1）得， ∴， ∵A点坐标为， ∴， ∴， ∴B点坐标为 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记全等三角形的判定和性质定理进行推理论证是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级（上）十二月学情调查 数学 （考试时间：90分钟；试卷满分：120分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有（ ） A. B. C. D. 2. 在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（　　） A. 2cm，3cm，4cm B. 3cm，6cm，6cm C. 2cm，4cm，6cm D. 5cm，6cm，7cm 3. 以下四大通讯运营商的企业图标中，是轴对称图形的是（ ） A. 中国移动 B. 中国电信 C. 中国网通 D. 中国联通 4. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知图中的两个三角形全等，则等于（（　　） A. B. C. D. 6. 下列因式分解正确的是（） A. B. C. D. 7. 如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（ ） A. B. C. D. 8. 下列计算错误的是（） A. B. C. D. ( 9. 已知，且，则式子的值为（ ） A. B. C. D. 2 10. 如图，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC于点E，EFAB交BC于点F，已知AE=5，则△EFC的周长为（　　） A. 60 B. 45 C. 30 D. 15 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 要使分式有意义，则的取值范围是________． 12. 已知点P(-2,1)，则点P关于x轴对称的点的坐标是__． 13. 用简便方法计算：_____． 14. 如图，在中，，，以点B为圆心，以为半径作弧交于点D，再分别以C，D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，连接，则的度数为________． 15. 如图，在等边中，D为中点，点P，Q分别为上的点，，，在上有一动点E，则的最小值为_____． 三、解答题（共75分，解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 利用乘法公式进行计算： （1） （2） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，，，E，F是上两点，且． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 20. 在中，已知点在上，且，点在的延长线上，且． （1）如图①，若，，求的度数； （2）试求与的数量关系． 21. 【问题背景】在如今信息快速发展的时代，“密码”与我们的生活已经紧密相连，密不可分，而诸如生日，连续数字等简单密码又容易被破解，密码过于复杂自己又容易忘记，因此设置一组便于记忆的密码就很有必要了．某班级同学们在经过思考后想出了不同的方法，其中有一种用因式分解产生的密码，方便记忆．其原理是将一个多项式分解因式，如将多项式分解因式的结果为，若取，则有，此时把由几个因式得到的数字按照从小到大的顺序排列得到数字密码091011（不足10的数字在其前补0）． 【实际应用】 （1）根据上述方法，小明同学设置了某软件登录密码：将多项式分解因式后利用x，y的数值设置密码，若取，请问小明该软件的登录密码是多少？ （2）根据上述方法，学校管理员设置了一个密码：一个等腰三角形的周长是12，其中腰长和底边长分别为不同的整数x，y，请你破解出对多项式分解因式后得到的密码． 22. 图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． （1）观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； （2）运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． （3）如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 23. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为 （1）如图1，若点B的坐标为，是等腰直角三角形，，，求C点坐标； （2）如图2，若点E是的中点，求证：； （3）如图3，是等腰直角三角形，，，是等边三角形，连接，若，求B点坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $