精品解析：江西省上高二中2025-2026学年高二上学期第三次阶段性练习数学试题

江西省上高二中2027届高二年级数学第三次阶段性练习 一、单选题 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的概念，可得答案. 【详解】易知点关于平面对称的点的坐标是. 故选：B. 2. 若直线与直线平行，则实数m的取值为（ ） A. 1或－1 B. －1 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与直线平行，由求解. 【详解】因为直线与直线平行，不合题意， 所以， 解得， 当时，直线与直线平行， 当时，直线与直线平行， 故选：A 3. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数. 【详解】由题设，抛物线标准形式为，则，可得. 故选：D 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律以及模长的坐标运算即可得出结果. 【详解】因为， 所以,， 则,所以, 故选：B 6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，将该渐近线与圆有公共点，转化为圆心到渐近线的距离小于或等于圆的半径，列出相应的关系式，求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】由，得. 记圆的圆心为，半径为. 设焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为：，即. 由题可知，，化简得：. 由，得. 化简，得，所以. 双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B. 7. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，点在圆弧上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用异面直线所成角的向量公式求解即可. 【详解】以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则，，，， ，， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：B 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则A,B,C三点共线. B. 已知，，则在上的投影向量为， C. 已知三棱锥，点P为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量共线的充要条件计算可判定A；根据投影向量的定义计算判断B；利用四点共面的推论可判定C；利用空间向量研究线面关系可判定D. 【详解】对于A，由，，因为，所以与不共线，即三点不共线，故A错误； 对于B，在上的投影向量为，故B正确； 对于C，因为为平面上的一点，所以四点共面，所以，即，故C正确； 对于D，由题易得，则，故D错误. 故选：BC. 10. 在直三棱柱 中， . 点 为线段 中点，点 为棱 上的动点. 则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知建系求出平面的法向量得出进而判断A；利用向量法求出线面角判断D，利用线面垂直得平面，求出四棱锥的高计算判断B；根据侧面展开图求出的最小值判断C. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 对于A，设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，，所以平面的一个法向量为. ，平面，所以平面，故A选项正确； 对于D，设直线 与平面所成角为， ，所以，故D正确； 对于B，过点作，垂足为，又因为平面，平面， 所以，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面距离相同， 因为，所以， 所以四棱锥的体积为，故B错误； 对于C，展开侧面得出矩形，当连接交于时， 的最小值为 ，故C正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：利用抛物线的定义和焦点弦的长度公式可得，再根据点的坐标可得，列式可得的值，可判断A的真假；对B：设直线的方程为，，，结合韦达定理和焦半径公式，可用表示出，再结合基本不等式，可求其最小值，判断B的真假；结合抛物线定义，取抛物线上一点，可得，进而求出周长的最小值，可判断C的真假；根据两三角形的面积关系，结合韦达定理，可求弦的长，判断D的真假. 【详解】对于A，如图，    分别过作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，， 由于圆的直径过焦点，则到准线的距离为 ， 又，所以，解得，故A正确； 对于B，设直线的方程为，，， 又抛物线：，由，可得， 则，，， （当且仅当时等号成立），故B错误； 对于C，由，，所以，设的周长为， 如图：    过点向抛物线准线作垂线，垂足为， 则， 周长最小值为，故C正确； 对于D，如图：      因为，所以， 又因为，则，解得或（舍）， 所以，即，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由椭圆方程定义即可求出的周长. 【详解】由椭圆可得，，由椭圆的定义可得， 所以的周长是 ， 故答案为：. 13. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 【答案】4 【解析】 【分析】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底，所以共面，由向量共面的条件求解即可. 【详解】因为三个向量不能作为空间向量的一组基底， 所以共面（只有不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底）， 则存在，使得，即， 所以,解得. 故答案为：4 14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】计算出原点到直线的距离，可得出圆的方程；利用三角形的面积公式可得出，不妨设点位于第一象限，则，，利用双曲线的焦半径公式以及三角形的面积公式可得出点，再利用可求出的值，由此可得出的值. 【详解】因为原点到直线的距离为， 所以，直线与圆心为原点，半径为的圆恒相切，故圆的方程为， 因为为的中点，则，则， 不妨设点位于第一象限，则，， 则 ，可得， 又因，可得，即点，其中， 因为，整理可得， 解得，则，故. 故答案：；. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于利用三角形的面积公式、双曲线的焦半径公式求出点的坐标，在利用两点间的距离公式求出、的值. 四、解答题 15. 已知正方体棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量坐标，通过计算数量积为，从而可证； （2）求得和平面的法向量，利用点面距离的向量公式即可求解. 【小问1详解】 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，为z轴建立如图所示的坐标系． 由正方体的棱长为2知， 则，， 因为，所以，所以； 【小问2详解】 ，， 设平面的法向量为，因为，，所以， 令，则，，所以， 设点到平面的距离为d，， 则. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】(1)利用弦的中垂线必过圆心，去求解圆心坐标，然后可求圆的标准方程； (2)利用斜率是否存在来分析直线方程，再由圆心到直线的距离公式可求解切线方程. 【小问1详解】 经过点和的中垂线方程为：， 再与联立解得:, 此时可知该圆的圆心坐标为， 再由，可知该圆的半径为， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 当过点的直线的斜率不存在时，即直线方程为， 此时圆心到直线的距离等于半径，即该直线与圆相切， 当过点的直线的斜率存在时，可设， 由直线与圆相切可知：，解得， 所以直线方程为， 综上可得：直线的方程为或. 17. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求的标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解； （2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解. 【小问1详解】 由题意得：，即则， 所以的标准方程为：. 【小问2详解】 由题意设， 联立，消去得：， 则， 则， 可得， 设直线与轴的交点为，且，则， 故，解得. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，证出四边形为平行四边形，即可得证. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由向量夹角公式即可求解； （3）求得平面的法向量以及，利用向量夹角公式即可求解． 【小问1详解】 在四棱锥中，取中点N，连接， 由为 的中点，且，， 得，， 则四边形为平行四边形，所以， 而平面，不在平面内， 所以平面. 【小问2详解】 取 的中点O，连接， 由为等边三角形，得， 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形， 于是，而，则，直线两两垂直， 以O为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 令，， ，， 设平面的法向量为， 则， 取，得， 平面的法向量为， 于是， 化简得，又，解得，即， 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析，（ii） 【解析】 【分析】（1）由已知渐近线方程，设设双曲线的方程为，代入点求解即可； （2）（i）设直线的方程为,联立直线与双曲线，由韦达定理代入关系式，化简整理得的关系，求得定点； （ii）由（2）得的关系，代入韦达定理，代入面积表达式，换元结合基本不等式求最值即可.. 【小问1详解】 设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）设直线的方程为，，， 又，， 所以 同理，， 所以，所以， 由消去得，， 所以， 所以， 整理，得， 即 整理，得， 解得或， 当时，直线过点，不合题意，舍去， 当时，直线过点，满足题意， 所以直线过点. （ii）因为， 又，所以， 由直线与双曲线的左支有两个交点，且与坐标轴不垂直， 得，令， 则，， 因为在上单调递减， 所以， 所以得的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省上高二中2027届高二年级数学第三次阶段性练习 一、单选题 1. 已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线与直线平行，则实数m的取值为（ ） A. 1或－1 B. －1 C. 1 D. 0 3. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5 已知，则（ ） A. 12 B. C. 8 D. 6. 已知焦点在轴上的双曲线的渐近线与圆有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆的直径，点在圆弧上，且，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A B. C. D. 二、多选题 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知，，则A,B,C三点共线. B. 已知，，则在上的投影向量为， C. 已知三棱锥，点P为平面上的一点，且，则 D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则 10. 在直三棱柱 中， . 点 为线段 中点，点 为棱 上的动点. 则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 11. 已知抛物线：（）与圆：相交于，两点，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，动直线过点且与抛物线交于两点，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. 的周长可以为14 D. 当时， 三、填空题 12. 若是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于两点，的周长为__________. 13. 已知，，，若三个向量不能作为空间向量的一组基底，则实数等于________． 14. 直线恒与圆相切，则圆的方程为_______，若过双曲线的左焦点，交双曲线的右支于点，双曲线的右焦点为，三角形的面积为，则_______． 四、解答题 15. 已知正方体的棱长为2. （1）证明：； （2）求点到平面的距离. 16. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程； 17. 已知椭圆，，且的离心率为. （1）求标准方程； （2）若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值. 18. 如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. （1）取线段中点M，连接，证明：平面; （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点E，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知双曲线的渐近线方程是，且过点. （1）求的标准方程； （2），分别为双曲线的左、右顶点，，分别为的左、右焦点，与轴不垂直的直线与双曲线的左支相交于，两点，记直线，，，的斜率分别为已知. （i）证明直线过定点，并求出该定点的坐标； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $