精品解析：云南昭通市实验中学2026-2027学年度九年级数学10月学情评估试卷

2026-2027学年度九年级数学10月学情评估试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形； C、是中心对称图形，不是轴对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【详解】图像位于第二、四象限． 3. 用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式中各系数的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的一般式求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其中为一次项的系数 ∴一元二次方程的一次项是，即一次项系数． 故选B． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． 【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴所得抛物线的解析式是， 故选：B． 5. 如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，从而得到，，，进而判断出为等腰直角三角形，求出，最后利用角的和差关系求解即可． 【详解】解：四边形是正方形，  ，  是由旋转得到的，  ，  ，，，  点在上，  ，  是等腰直角三角形，  ，  ． 6. 若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，熟练掌握图像上点的坐标特征是关键．根据解析式确定函数图像分布，再确定点的位置，比较函数值大小即可． 【详解】解：反比例函数的图像分布在第二、四象限，且， 点在第二象限，点在第四象限， ． 故选：A． 7. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 配方得， 即． 8. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：二次函数的顶点坐标为. 将变形为. ∴顶点坐标为. 9. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的定义，形如（为常数，）的函数是反比例函数，根据反比例函数的定义逐一分析各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，为一次函数，形如（），不符合反比例函数的形式； B：，可变形为，符合反比例函数的形式，其中； C：，直接符合的形式，其中； D：，可改写为，符合反比例函数的形式，其中； 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为0时，的取值应在所给的自变量两个值之间． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， 当时，；当时，， 当时，，只有选项C符合， 故选：C． 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围； 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得． 12. 抛物线的部分图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，与轴交点的横坐标为1，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 时，函数值 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由开口方向和与y轴交点位置即可判断A；由抛物线的对称轴公式即可判断B；根据二次函数的对称性得到抛物线与轴的另一个交点的横坐标，即可判断C；根据处的函数值大于处的函数值即可判断D． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，故B错误； ∵抛物线与轴交点的横坐标为1 ∴抛物线与轴的另一个交点的横坐标为3， ∴由图象得，当时，，故C错误； ∵当时， ∴ ∴，故D正确，符合题意． 13. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方形和等边三角形性质得出及度数，求出，结合计算即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， ， ． 14. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图像经过的象限判断 、的符号，进而确定 ​ 的符号，再验证正比例函数图像是否与之匹配． 【详解】解：选项中，一次函数图像过一、二、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，符合描述；  选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述； 选项中，一次函数图像过一、三、四象限，，，则 ，正比例函数应过二、四象限，但图中正比例函数过一、三象限，不符合描述；  选项中，一次函数图像过一、二、三象限，，，则 ，正比例函数应过一、三象限，但图中正比例函数过二、四象限，不符合描述． 15. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，把圆的面积和正方形水池的面积用含的代数式表示出来，两个图形的面积差即为可耕地的面积，根据相等关系列方程即可． 【详解】解：设正方形的边长是步，则圆的直径是步， 圆的半径为步， 圆的面积为平方步，正方形水池的面积为平方步， 可耕地的面积恰好平方步， 可列方程：． 故选：D． 二、填空题 16. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数，据此求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴. 17. 点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两个实数根，则k的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要运用一元二次方程根与系数的关系以及数轴上两点距离的概念来求解k值．先由点A对应的数是，点B对应的数是，以及A、B两点在数轴上的位置得到，再由一元二次方程根与系数的关系，建立关于k的方程，解方程即可． 【详解】解：∵点A对应的数是，点B对应的数是，， ∴， ∵，是方程的两个实数根， ∴且，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得，符合题意， 故答案为：3． 18. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 【答案】③④##④③ 【解析】 【分析】根据表格数据确定二次函数的对称轴和解析式，再逐一判断各结论. 【详解】解：∵和时，均为， ∴二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为; 设二次函数解析式为， 将代入得：，解得, 逐一判断各结论：① ，二次函数图象开口向下，故①错误; ② 顶点横坐标为，求解析式应设为，故②错误; ③ 当时，对应的为和，因此一元二次方程的两个根为或，故③正确; ④ ∵对称轴为直线，时， ∴关于对称轴的对称点是，即时, ∵开口向下， ∴当时，，故④正确. 综上：③④正确. 19. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出抛物线表达式为，及对称轴为直线，连接，当点三点共线时，最小，求出直线表达式为，进而求出结论． 【详解】解：∵抛物线与轴交于点， ， 解得：， ∴抛物线表达式为， 当时，， 解得：， ， ∴此抛物线对称轴为直线， 连接， ∵点在抛物线的对称轴上， ， ， ∴当三点共线时，最小， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ， 设直线表达式为，把，代入， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， ∴当时，， ∴点的坐标为． 三、解答题 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） , （2） , 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或 ∴，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ∴, ． 21. 探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 3 4 … 则__________，__________； （2）描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写一条函数的性质__________； （4）进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________； 【答案】（1）2；5 （2） 函数图象如下： （3）当时，随的增大而增大（答案不唯一，写出一条即可） （4） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键． （1）将和分别代入，即可求出a和b的值； （2）根据描点法即可画出图象； （3）结合图象，写出其一条性质即可； （4）结合图象，判断的图象在直线下方的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入，得， 将代入，得， 故答案为：2，5； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结合图象可知函数图象关于轴对称，当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 故答案为：当时，随的增大而增大；（其他答案合理即可） 【小问4详解】 解：将代入，得， 解得：或， 由图象可知，当时，自变量的取值范围是， 故答案为：． 22. 云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 【答案】该商场对释迦果两次调价的平均降价率为 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在降价率问题中的应用； 根据两次降价后的价格建立方程求解，需注意降价率的取值范围在0到1之间． 【详解】解：设该商场对释迦果两次调价的平均降价率为x， 根据题意，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该商场对释迦果两次调价的平均降价率为． 23. 已知抛物线（为负整数）与轴相交于两个不同的整数点．点与点都在该抛物线上，且，两点不重合． （1）求的值； （2）若，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 代数式的值为 【解析】 【分析】（1）求出抛物线与轴交点的横坐标，结合交点为整数、为负整数的条件确定的值； （2）利用抛物线上函数值相等的两点关于对称轴对称，推导与的数量关系，代入代数式化简求值． 【小问1详解】 解：令，则，解得，， ∵抛物线与轴交于两个不同的整数点， ∴为整数，且， ∵为负整数， ∴当时，，是整数，符合条件； 当时，，不是整数，不符合条件， ∴； 【小问2详解】 解：将代入抛物线解析式，得， ∴抛物线与轴的交点为和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，且点、不重合， ∴点、关于抛物线的对称轴对称， ∴， 化简得， ， 将代入得， 原式 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（点，的对应点分别为） （2）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或或 【解析】 【分析】（1）根据旋转方式和网格的特点找到点的位置，再连线画图即可； （2）分三种情况：当为对角线时，当为对角线时， 当为对角线时，根据平行四边形两条对角线的中点坐标相同列式求解即可． 【小问1详解】 解：画图见答案， 则点的坐标为； 【小问2详解】 解：设点C的坐标为， 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点C的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点C的坐标为； 当为对角线时，由平行四边形两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为或或． 25. 为支持西部贫困地区“希望工程”爱心捐款活动，某单位53名职工共捐款1760元，捐款情况如下表， 捐款数额（元） 10 20 50 100 人数 16     7 表中捐款20元和50元的人数不小心被墨迹掩盖已看不清楚，请你帮助确定表中被墨迹掩盖的数据，并说明理由． 【答案】捐款20元的人数为20人，捐款50元的人数10人，理由见解析 【解析】 【分析】设捐款20元的人数为人，则捐款50元的人数为人，根据共捐款1760元建立方程，解方程即可． 【详解】解：（人），（元）， 设捐款20元的人数为人，则捐款50元的人数为人， 由题意得：， 解得， 则， 答：捐款20元的人数为20人，捐款50元的人数10人． 26. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，比如：，．我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式． 例如：可变形为 请结合所学的数学知识解决下列问题： 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）已知点（）在抛物线上，求证：． 【答案】（1） （2）证明：∵点在抛物线上 ∴，且 ∴ ∴， ∴ ． 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求解； （2）将代入得到，，，然后代入逐步化简即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴； 【小问2详解】 略 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 【答案】（1） （2）最大值为 【解析】 【分析】（1）首先确定两点的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先确定为等腰直角三角形，进而可得，故当的值最大时，的值也最大；设，则，进一步可得，即可确定答案． 【小问1详解】 解：对于抛物线，令，得， ， 令，得， 解得， ∵点B在点A右侧， ， 设直线的表达式为， 将代入， 得，解得， 直线的表达式为． 【小问2详解】 解：， ， 为等腰直角三角形， ， ∵轴，轴，， ， ， ， 当的值最大时，的值也最大， 设，则， ， 当时，的值最大，最大值为， 的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度九年级数学10月学情评估试卷 本卷满分100分，考试时间120分钟． 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 反比例函数的图象位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一、二象限 D. 第三、四象限 3. 用公式法解关于的一元二次方程，则公式中的是（ ） A. 5 B. C. 1 D. 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在正方形中，点E为上一点，连接，是由旋转得到的，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若点在函数的图像上，且，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 的大小无法确定 7. 用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 下列函数不是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. 且 B. C. 且 D. 12. 抛物线的部分图象如图所示，该抛物线的对称轴为直线，与轴交点的横坐标为1，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 时，函数值 D. 13. 如图，四边形是正方形，以为边向右侧作一个等边，则（ ） A. B. C. D. 14. 一次函数与正比例函数在同一直角坐标系内的图像可能为（ ） A. B. C. D. 15. 我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好平方步，从水池边到圆周，每边相距步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是步，则列出的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 16. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则的值为______． 17. 点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是，点B对应的数是，，且，是方程的两个实数根，则k的值为_______． 18. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如表， … 0 1 2 … … 3 6 7 6 … 根据表格中的信息，得到如下结论： ①二次函数的图象开口向上； ②求该二次函数的表达式时，可设； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则． 以上结论正确的是______________． 19. 如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于点，（点在点左侧）．点在抛物线的对称轴上，当最小时，则点的坐标为_____． 三、解答题 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 探究一次函数的性质时，我们经历了“确定函数解析式，通过列表、描点、连线画出函数图象，利用函数图象研究函数性质，利用函数性质解决问题”的学习过程．以下是我们研究函数的图象和性质的部分过程，请按要求完成下列问题． （1）列表： … 0 1 2 3 … … 1 0 1 3 4 … 则__________，__________； （2）描点、连线，在所给坐标系中画出函数的图象； （3）结合函数图象，写一条函数的性质__________； （4）进一步探究函数图象，当时，自变量的取值范围是__________； 22. 云南因其独特的地理气候条件，孕育了丰富多样的特色水果资源，例如酸角、羊奶果、酸木瓜、人参果、蛋黄果、释迦果、百香果等，许多水果不仅在当地广受欢迎，还因品质优良而走向全国乃至国际市场．某水果商场专销云南特色水果，商场为了在春节期间扩大销量，将售价从原来每千克40元的释迦果经两次降价后调至每千克元．求该商场对释迦果两次调价的平均降价率． 23. 已知抛物线（为负整数）与轴相交于两个不同的整数点．点与点都在该抛物线上，且，两点不重合． （1）求的值； （2）若，求代数式的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． （1）画出将绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；（点，的对应点分别为） （2）在平面内有一点，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请写出点的坐标． 25. 为支持西部贫困地区“希望工程”爱心捐款活动，某单位53名职工共捐款1760元，捐款情况如下表， 捐款数额（元） 10 20 50 100 人数 16     7 表中捐款20元和50元的人数不小心被墨迹掩盖已看不清楚，请你帮助确定表中被墨迹掩盖的数据，并说明理由． 26. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，比如：，．我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式． 例如：可变形为 请结合所学的数学知识解决下列问题： 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）已知点（）在抛物线上，求证：． 27. 如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． （1）求直线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作轴，交于点，轴，交于点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $