专题3.4 探索与表达规律（高效培优讲义）数学北师大版2024七年级上册

专题3.4 探索与表达规律 教学目标 1. 知识技能：学会用代数式表示简单问题中的数量关系，能运用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。 2. 思维方法：经历从特殊到一般、再从一般到特殊的探究过程 ，体会代数推理的特点和作用，培养观察、分析、归纳、猜想等思维能力。 3. 情感态度：感受数学的趣味性，体会数学“从特殊到一般，从具体到抽象”的思维过程，激发探究热情和对数学的热爱。 教学重难点 1.重点 （1）学会在实际情景中探索并发现规律。 （2） 熟练掌握利用字母表示规律，并能用运算验证规律。 2.难点 （1）灵活运用观察、归纳、猜想等方法，从具体问题中抽象出一般规律。 （2）准确用字母、运算符号表示一般规律 ，并能清晰解释其含义和应用。 知识点01 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 【即学即练1-1】“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【即学即练1-2】观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 知识点02 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【即学即练2-1】化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【即学即练2-2】【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 题型1 数字类规律探索之排列问题 【典例1】一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【变式1】观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 【变式2】有一列数：，，，，，则第个数表示为 ． 【变式3】按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 题型2 数字类规律探索之末尾数字问题 【典例2】观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【变式1】计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【变式2】观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 【变式3】二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 题型3 数字类规律探索之新运算问题 【典例3】已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【变式1】已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ． 【变式2】a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ． 【变式3】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ． 题型4 数字类规律探索之等式问题 【典例4】观察下列算式： ① ② ③ …… 把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ． 【变式1】已知根据以上规律，可得，猜想： ．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）． 【变式2】观察下列式子： …探索以上式子的规律，请写出第n个等式： ． 【变式3】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 题型5 图形类规律探索之数字问题 【典例5】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【变式1】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 【变式2】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【变式3】观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 题型6 图形类规律探索之数量问题 【典例6】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【变式1】用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【变式2】如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 一、单选题 1．有一数列：．第9个数是（   ） A． B． C． D． 2．一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 3．如图，先将一个大正方形分割成4个小正方形．用同样的方法，再将每个小正方形分割成4个更小的正方形．这样连续分割8次后得到的最小正方形的个数是（　　） A． B． C． D． 分割次数 1 2 3 4 … 8 最小正方形个数 即 即 即 即 … … 即 4．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”．图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 6．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中的“竖式”，可计算出是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 二、填空题 7．观察下面一列数，则根据规律第2025个数是 ． 8．如图，按以下规律，在第4个正方形内填入的数是 ． 9．观察一组等式的规律：，，，…，则第n个等式为： ． 10．桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号(1，2，3，……6)，且每组相对面上的编号和为7，将其按顺时针方向滚动(如图)，每滚动算一次，则滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是 ． 11．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体木块． 12．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，…，依此规律，第n个图案中有 个圆片（用含n的代数式表示） 三、解答题 13．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 14．观察下列等式，并完成下列问题： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， (1)请你写出第个等式： ； (2)第（，且为整数）个等式可表示为： ； (3)运用上述结论，计算：． 15．观察下列各等式，并回答问题（是不小于2的正整数）： ；；；；⋯ (1)填空：_______； (2)计算：_______； (3)计算：_______． 16．观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 3 3 3 6 图② 四棱柱 4 4 4 8 图③ 六棱柱 6 6 6 12 17．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 18．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 19．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 20．已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.4 探索与表达规律 教学目标 1. 知识技能：学会用代数式表示简单问题中的数量关系，能运用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规律。 2. 思维方法：经历从特殊到一般、再从一般到特殊的探究过程 ，体会代数推理的特点和作用，培养观察、分析、归纳、猜想等思维能力。 3. 情感态度：感受数学的趣味性，体会数学“从特殊到一般，从具体到抽象”的思维过程，激发探究热情和对数学的热爱。 教学重难点 1.重点 （1）学会在实际情景中探索并发现规律。 （2） 熟练掌握利用字母表示规律，并能用运算验证规律。 2.难点 （1）灵活运用观察、归纳、猜想等方法，从具体问题中抽象出一般规律。 （2）准确用字母、运算符号表示一般规律 ，并能清晰解释其含义和应用。 知识点01 规律类：数字变化型 一、等差规律：前后两项差几写成几×n，令 n=1，在通过加减来凑第一个数。 例如：上面的第（3）列数，相差 3，则先得到 3n，而第 1 项是 4，当 n=1 时， 3n=3，3+1=4，所有第n项表示为 3n+1. 拓展延申： 【即学即练1-1】“一尺之锤，日取其半，万世不竭．”在如图的三角形中，一条中线将一个三角形分为面积相等的两部分，在此基础上再作一条中线，可得到原三角形一半面积的一半，即，已知，根据这个几何图形的规律求得…的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数字的规律，结合图形可知：，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】结合图形可知： ， ， ， …… ， 则： 故选：B． 【点睛】本题考查分数乘方的应用，根据题意得到规律，掌握有理数乘方的的运算是解题关键． 【即学即练1-2】观察下列等式：，，，，，，，，．回答下面问题：的末位数字是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字型规律的探究．2的个位数字为2；的个位数字为6；的个位数字为4；的个位数字为0；的个位数字为2；确定循环节为4，计算，确定末位数字即可． 【详解】解：2的个位数字为2； 的个位数字为6； 的个位数字为4； 的个位数字为0； 的个位数字为2； 所以循环节为4， 因为， 所以的末位数字是4． 故答案为：4． 知识点02 规律型：图形变化类 1.基本思想：图形规律 数字规律 2.基本方法： （1）从具体的实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律. （2）由此及彼,合理联想,大胆猜想 （3）善于类比,从不同事物中发现相似或相同点； （4）总结规律,得出结论,并验证结论正确与否; 【即学即练2-1】化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是…按照此规律，回答下列问题． (1)第6个结构式的分子式是________； (2)第n个结构式的分子式是________； (3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物． 【答案】(1) (2) (3)不属于，理由见解析 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解． （1）由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是，据此即可求解； （2）由（1）中的结论即可求解； （3）令，计算即可判断； 【详解】（1）解：由图可知：第n个结构式中有个C和个H，分子式是； ∴第6个结构式的分子式是， 故答案为： （2）解：由（1）可知：第n个结构式的分子式是， 故答案为： （3）解：令，则， ∴分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物 【即学即练2-2】【观察思考】 用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有____________个圆形棋子； （2）第n个图形中有____________个圆形棋子；（用含n的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2024个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）（2）（3）不能，理由见解析 【分析】本题主要考查数与形结合的规律，以及列代数式相关知识，发现每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个是解本题的关键． （1）观察得到每一个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得出答案； （2）根据（1）中规律表示出第n个图形中的棋子数，即可得解； （3）由（2）中的规律可知，，解方程并分析即可解题． 【详解】（1）解：由图知，第1个图形中有个圆形棋子， 第2个图形中有个圆形棋子， 第3个图形中有个圆形棋子， 第4个图形中有个圆形棋子， ，依此类推， 第6个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）中规律可知，第个图形中有个圆形棋子， 故答案为：． （3）解：不能，理由如下： 由题知，，解得，不为整数． 2024个圆形棋子不能按照题中的规律一次性摆放． 题型1 数字类规律探索之排列问题 【典例1】一列数第6项是 ，第2018项是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】观察不难发现，分子都是1，分母是以2为底数的幂，是第n项，2的指数就是，由此写出第6项和2018项即可． 本题主要考查通过分析数的变化总结归纳规律，解题的关键在于求出分母的变化规律． 【详解】解：第6项是； 第2018项是． 故答案为：；． 【变式1】观察下列一组有规律的数：，，，，，，，根据其规律可知：第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据所给数得出规律即可，正确得出规律是解此题的关键． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴第个数是， 故答案为：． 【变式2】有一列数：，，，，，则第个数表示为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字的变化规律，找出分子分母的联系，得出运算规律是解决问题的关键．通过观察分别找出分子分母的规律即可解答． 【详解】解：观察可得： 分母：，则则第个数的分母为， 分子：，则则第个数的分子为， 故第n个数为． 故答案为：． 【变式3】按一定规律排列的一组数据：，则按此规律排列的第个数是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了探究数字的规律问题，确定分子和分母变化的规律是解题的关键．通过观察：从符号看，正负相隔，奇数项为正数，偶数项为负数，从绝对值看，它们的分子是连续的正整数的平方，分母是连续的奇数．据此求解即可． 【详解】解：∵、、、、、 ∴按此规律排列的第个数是， 故答案为：． 题型2 数字类规律探索之末尾数字问题 【典例2】观察等式：，，，，，，，…．通过观察，用你发现的规律确定的个位数字是 ． 【答案】6 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察可知，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6，再根据即可得到答案． 【详解】解：，，，，，，，…， 以此类推可得，这一列数字每4个数为一个循环，其个位数字依次为2，4，8，6， ∵， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【变式1】计算，，，，，…归给计算结果中的个位数字规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查规律，熟练掌握规律是解题的关键．根据规律进行解题即可． 【详解】解：由题意可知，个位数字以为周期按照的顺序进行循环， ， 故猜测的个位数字是． 故答案为：． 【变式2】观察下列几个算式：；；；，……，结合你观察到的规律判断：的计算结果的末位数字为 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了多项式的乘法运算以及数字的变化规律，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据已知的式子的特点得出规律，求出式子的结果，再求出的末位数字，即可得解． 【详解】解：根据题意可知：， ， ， ， ，，，，，， 的乘方运算，其末位数字分别为，，，，每个为一组，依次循环， ， 的末位数字为， 的末位数字为， 即的计算结果的末位数字为， 故答案为：． 【变式3】二进制即“逢二进一”，如表示二进制，将它化为十进制数为，（注：），把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是 ． 【答案】5 【知识点】数字类规律探索、乘方的应用 【分析】本题考查了数字类规律探索、有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先利用二进制与十进制之间的转换公式、有理数乘方法则可得，再归纳类推出的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数），然后求出的个位数字，由此即可得． 【详解】解：由题意得： ， ∵，，，，，， ∴的个位数字是以为一个循环，（其中为正整数）， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同，即为6， ∴的个位数字为， 即把二进制数（注：里面有2024个1）化为十进制数后，此十进制数的个位数字是5， 故答案为：5． 题型3 数字类规律探索之新运算问题 【典例3】已知，其中表示当时代数式的值，如，则 ， ． 【答案】 /0.75 【知识点】多个有理数的乘法运算、数字类规律探索 【分析】根据题意求得代数式的值，然后根据有理数的乘法进行计算即可求解．本题考查了代数式求值，有理数的混合与运算，理解题意是解题的关键． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：，． 【变式1】已知．设为正整数，请用关于的等式表示这个规律 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据题干已有式子结构，得的等式表示这个规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴关于的等式表示这个规律为， 故答案为：． 【变式2】a是不为2的有理数，我们把称为a的“伴随数”，如3的“伴随数”是，的“伴随数”是，已知，是的“伴随数”，是的“伴随数”，是的“伴随数”，…，以此类推，则等于 ． 【答案】4 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字类的规律探究，实数的运算等知识点，解题的关键在于根据题意推导出一般性规律． 根据所给“伴随数”的定义，依次求出，，发现规律即可解决问题，能通过计算发现从开始，这列数按重复出现是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ， ， ， ， ， 由此可知，这列数按重复出现， ， ， 故答案为：4． 【变式3】定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数）…两种运算交替进行，例如，取，则…，有按此规律继续计算，第2025次“F”运算的结果是 ． 【答案】1 【知识点】数字类规律探索、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∴第2025次“F”运算的结果是1， 故答案为：1． 题型4 数字类规律探索之等式问题 【典例4】观察下列算式： ① ② ③ …… 把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查了数字类规律研所，根据已知算式发现规律是解题关键．观察所给算式可知，对于三个连续自然数，最大和最小的自然数的积与中间一个自然数平方的差等于，即可用含n的式子表示出来即可． 【详解】解：观察已知算式把这个规律用含字母（为正整数）的式子表示出来为， 故答案为：． 【变式1】已知根据以上规律，可得，猜想： ．经检验，猜想 （填“正确”或“错误”）． 【答案】 80 正确 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现为大于1的整数）是解题的关键．根据所给等式，发现其各部分的变化规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， ， ， ， 所以为大于1的整数）． 当时， ． 因为； ， 经检验，猜想正确． 故答案为：80，正确． 【变式2】观察下列式子： …探索以上式子的规律，请写出第n个等式： ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可知两个连续的奇数的乘积加上1等于较小的奇数加上1之后的平方，据此规律可得答案． 【详解】解：第一个式子为， 第二次式子为， 第三个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， 故答案为：． 【变式3】定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如∶，． 若，则称有理数a，b为“隔一数对”． 例如∶，，即，所以2，3就是一对“隔一数对”． 请同学们解答下列问题： (1)，1是“隔一数对”吗？请说明理由； (2)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”，计算： ． 【答案】(1)不是“隔一数对” (2) 【知识点】数字类规律探索、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算、数字的变化规律等知识点，理解“隔一数对”的定义并掌握有理数混合运算法则是解题关键． （1）根据“隔一数对”的新定义进行计算判断即可； （2）先根据新定义计算再根据有理数加减运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得∶，， ∴， ∴不是“隔一数对”． （2）解：由题意可得∶ ． 题型5 图形类规律探索之数字问题 【典例5】观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得 ． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出，则，再代值计算即可． 【详解】解：， ， ， 以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和， 观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第幅图，右上角的数为，左下角的数为，左上角的数为， 当时，解得， 把，代入得： ， ， ， 故答案为：． 【变式1】下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定的值为 【答案】819 【知识点】数字类规律探索 【分析】本题考查了数字规律，理解表格中数轴的变换规律是解题的关键． 根据题意，上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数，下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是，由此列式求解． 【详解】解：表格从左往右，从上往下， 上方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是的整数， 下方第一格的数值依次是的整数，第二格的数值依次是， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故答案为：819 ． 【变式2】我们知道，，那么如何求的值？ 【观察思考】请你仔细观察，找出下面图形与算式的关系： 【归纳猜想】 （1）______． （2）______． 【拓展应用】 （3）求的值． 【答案】（1）225；（2）；（3） 【知识点】含乘方的有理数混合运算、图形类规律探索 【分析】本题考查了有理数的混合运算，以及规律型：图形的变化类，得出规律并运用规律解决实际问题是解本题的关键． （1）根据前四个图直接推出结论，即可； （2）由（1）发现规律可得，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， ， ； 故答案为： 225 （2）解：由（1）发现： ； （2）解： ． 【变式3】观察下列图形．将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为，第2次对折后得到的图形面积为，第次对折后得到的图形面积为．    (1)继续观察图形填空：设，计算___________，并在上面某个图中将表示的区域涂成阴影； (2)请根据上面图形计算：___________（直接写出结果） (3)观察图形并探索（　　）中各式的规律：试写出第个等式___________，并说明第个等式成立． 【答案】(1) (2) (3)，详见解析 【知识点】图形类规律探索、数字类规律探索 【分析】本题主要考查了图形规律，列代数，有理数的乘方，正确找到图形的规律是解决此题的关键， （1）按题意计算画图即可得解； （2）由图找到数的规律进行计算即可得解； （3）由图找到数的规律进行计算即可得解； 【详解】（1）解：画图如下，    ， 故答案为：； （2）解：由图知，      第1次分割，把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为 ； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积继续二等分， …； 第2025次分割，把上次分割图中空白部分的面积最后二等分； 所有阴影部分的面积之和为 ， 最后空白部分的面积是 ， ∴， 故答案为：； （3）解：由图知，， ， ， ， ， ∴第个等式， 故答案为：． 题型6 图形类规律探索之数量问题 【典例6】下图是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律完成此题： 图形标号 第一个 第二个 第三个 第四个 涂有阴影的小正方形的个数 5 a 13 b (1)________，________； (2)第n个图形中涂有阴影的小正方形的个数为________个；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种规律下去，求第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)9；17 (2) (3)1601 【知识点】图形类规律探索 【分析】本题是图形的规律探究题，找到题目中的规律，并用代数式把规律表示出来是解决本题的关键． （1）观察图形规律，可知第1图涂有阴影的小正方形的个数为5个，第2图涂有阴影的小正方形的个数为个，第3个图涂有阴影的小正方形的个数为个，以此类推，可知第4图涂有阴影的小正方形的个数； （2）观察可知后面一个图形比前面一个图形多4个涂有阴影的小正方形，据此规律求解即可； （3）将代入计算求解即可． 【详解】（1）解：第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，即， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个，即 故答案为：9，17； （2）观察图形规律，可知： 第1个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第2个图形涂有阴影的小正方形的个数为个， 第3个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 第4个图形涂有阴影的小正方形的个数为7个 以此类推， 第n个图形涂有阴影的小正方形的个数为个，， 故答案为：； （3）解：将代入中得： 即第400个图形中涂有阴影的小正方形的个数为根． 【变式1】用火柴棒按图中的方式摆图形： 按图示规律填空： 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒的根数 5 9 13 (1)________，________； (2)按照这种方式搭下去，则搭第个图形需要火柴棒的根数为________；（用含的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求搭第2024个图形需要的火柴棒的根数． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】图形类规律探索、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】此题主要考查了图形的变化类，注意结合图形，发现蕴含的规律，找出解决问题的途径． （1）根据所给图形可得a，b的值； （2）根据（1）的结果可得出规律； （3）把n的值代入（2）的规律式中可求值． 【详解】（1）解：由图④可数出火柴棒的根数为17，故可得， 由图①②③④可得图⑤为：， 故； 故答案为：17；21． （2）解：由（1）可得第n个图形需要火柴棒的根数为， 故答案为：； （3）解：将代入中得：． 即第2024个图形需要的火柴棒根数为8097根． 【变式2】如图，将形状，大小完全相同的“●”和线段按照一定的规律摆成下列图形，第1个图案中“●”的个数为3，第2个图案中“●”的个数为8，第3个图案中“●”的个数为15，…，以此类推． (1)第5个图案中“●”的个数是________． (2)请用含n的代数式表示第n个图案中“●”的个数． (3)请用含n的代数式表示第n个图案中最长的线段上“●”的个数． 【答案】(1)35 (2)或个 (3)个 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索 【分析】本题考查了图形的变化规律． （1）根据每组图形规律列出点数即可求得； （2）根据第一问列出的点数特点总结规律即可； （3）根据每组图形规律列出每个图案中最长的线段上“●”的个数，即可得解． 【详解】（1）解：观察图形： 第1个图案中“●”的个数是个， 第2个图案中“●”的个数是个， 第3个图案中“●”的个数是个， 第4个图案中“●”的个数是个， ∴第5个图案中“●”的个数是个， 故答案为：35； （2）解：， ， ， ， …… 由上规律知，第n个图案中“●”的个数为或； （3）解：第1个图案中最长的线段上“●”的个数为2， 第2个图案中最长的线段上“●”的个数为3， 第3个图案中最长的线段上“●”的个数为4，…， ∴第n个图案中最长的线段上“●”的个数为． 一、单选题 1．有一数列：．第9个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，观察数列的分子和分母分别寻找规律．分子从第4项开始，每项为前两项之和，分母后一项比前一项大3． 【详解】解：，即， ∵分子为1、1、2、3、5、8、…，从第4项开始，每项等于前两项的和， ∴ 第7项，第8项，第9项， ∵分母为2、5、8、11、14、17、…，后一项比前一项大3， ∴第9项， ∴分子为34，分母为26，约分得， 故选A． 2．一列数，其中，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．2020 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字类规律问题，同时考查了有理数的加减乘除乘方的运算，注意观察总结规律，并能正确应用规律是解答此题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：， ， ， ， ……， 这列数是，，，，，， 发现这列数每三个循环， ，且， ， 故选：A． 3．如图，先将一个大正方形分割成4个小正方形．用同样的方法，再将每个小正方形分割成4个更小的正方形．这样连续分割8次后得到的最小正方形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形规律题，先写出前次分割得到的正方形的个数，找到规律即可得出答案． 【详解】解：列表找规律： 分割次数 1 2 3 4 … 8 最小正方形个数 即 即 即 即 … … 即 由表可知连续分割8次后得到的最小正方形的个数是， 故选：C． 4．我国南宋数学家杨辉发现了如图所示的三角形数表，我们称之为“杨辉三角”．图中两线之间的一列数：，，，，，…，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，…，第个数记为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，求代数式的值．解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．根据题意得出第个数记为，再代入求值，进而可得结果． 【详解】解：第一个数记为， 第二个数记为， 第三个数记为， ， 第个数记为， 故，，， ． 故选：C． 5．如图，数轴上，两点间的距离为12，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…（是正整数）处，经过这样2024次跳动后的点所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律是解题关键． 根据题意，第一次跳动到的中点处，离原点的长度为，第二次从处跳动到处，离原点的长度为，可推出跳动次距离原点的长度为，即点表示的数为，则点表示的数为，即可解答． 【详解】解：∵数轴上，A两点的距离为12， ∴点A表示的数为12， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ……， 表示的数为， ∴经过这样2024次跳动后的点表示的数为：， 故选：B． 6．在求两位数的平方时，可以用“列竖式”的方法进行速算，求解过程如图1所示．在图2中的“竖式”，可计算出是（   ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】本题考查了数字的规律探究．解题的关键在于根据题意推导一般性规律．由可知，，，；由可知，，，；由可知，，，；得到，，推出，即可解答． 【详解】解：由可知，，，； 由可知，，，； 由可知，，，； ∴，， ∴ ∴， 故选：A． 二、填空题 7．观察下面一列数，则根据规律第2025个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一列数的规律观察和归纳能力，重点考查了符号交替变化和分式通项公式推导. 分子为1，分母依次为从1开始的连续正整数，并且奇数项为正，偶数项为负，我们根据这个规律求解第2025个数. 【详解】解：2025为奇数，所以符号为正，并且分母为2025，所以这个数为. 故答案为：. 8．如图，按以下规律，在第4个正方形内填入的数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查的是多个有理数的乘法运算，由观察发现第二个和第三个小正方形内的数据等于顶点处的四个数据的乘积，从而可得答案． 【详解】解：∵， ， 即四个角的数字相乘所得乘积即为正方形内的数字， ∴第四个正方形内的数据为：， 故答案为：． 9．观察一组等式的规律：，，，…，则第n个等式为： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索．观察上面的等式，可以发现一个数乘以比它大2的数再加上1，结果等于比它大1的数的平方，根据此规律可得答案． 【详解】解：第1个等式为， 第2个等式为， 第3个等式为， ……， 以此类推，第n个等式为， 故答案为：． 10．桌面上有一个正方体，每个面均有一个不同的编号(1，2，3，……6)，且每组相对面上的编号和为7，将其按顺时针方向滚动(如图)，每滚动算一次，则滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查数字类规律探索，根据图示找出朝下一面的数字的变化规律，即可求解． 【详解】解：由题意知，每滚动4次为一个循环，正方体朝上一面的数字分别为：2，3，5，4， 又正方体每组相对面上的编号和为7， 则朝下一面的数字分别为：5，4，2，3， ， 所以滚动第2025次后，正方体朝下一面的数字是5， 故答案为：5． 11．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要 个正方体木块；第n个模型需要 个正方体木块． 【答案】 12 【分析】本题考查了图形的变化规律及代数式的表示，解题的关键是通过观察前几个模型中正方体木块的数量，找出数量与模型序号之间的关系． 观察模型规律，第1个模型需要3个正方体木块，第2个模型需要6个正方体木块，第3个模型需要9个正方体木块；发现每个模型所需正方体木块数量是模型序号的3倍；由此得出第4个模型需要的数量为个，第n个模型需要的数量为个． 【详解】解：观察可知，第1个模型需要正方体木块：个； 第2个模型需要正方体木块：个； 第3个模型需要正方体木块：个； 则第4个模型需要正方体木块：个； 第n个模型需要正方体木块：个． 故答案为：． 12．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图案中有5个圆片，第2个图案中有8个圆片，第3个图案中有11个圆片，第4个图案中有14个圆片，…，依此规律，第n个图案中有 个圆片（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，观察可知，后面一个图形比前面一个图形多3个圆片，据此规律求解即可． 【详解】解：第1个图案中有个圆片， 第2个图案中有个圆片， 第3个图案中有个圆片， ……， 以此类推可知， 第n个图案中有个圆片， 故答案为：． 三、解答题 13．定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 14．观察下列等式，并完成下列问题： 第个：， 第个：， 第个：， 第个：， (1)请你写出第个等式： ； (2)第（，且为整数）个等式可表示为： ； (3)运用上述结论，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据题中等式写出结果即可； （）由题中等式找出规律求解即可； （）利用（）中规律计算即可； 本题考查了数字类规律变化问题，由已知等式找出变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，第个等式为， 故答案为：； （2）解：∵第个：， 第个：， 第个：， 第个：， ， ∴第（，且为整数）个等式可表示为：， 故答案为：； （3）解：由（）得， ． 15．观察下列各等式，并回答问题（是不小于2的正整数）： ；；；；⋯ (1)填空：_______； (2)计算：_______； (3)计算：_______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知算式即可得结果； （2）结合（1）的规律进行计算即可； （3）结合（2）进行变式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ⋯ ∴， 故答案为：； （2） ， 故答案为：； （3） ． 故答案为：． 【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，有理数的混合运算，解题的关键是根据数字的变化寻找规律并运用规律解决问题． 16．观察如图所示的几何体，回答下列问题： (1)填写表格： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 图② 四棱柱 图③ 六棱柱 (2)根据（1）中的结果，猜想棱柱的侧面数、侧棱数、顶点数与棱柱的底面边数之间的关系． (3)根据（2）中的猜想，直接写出二十棱柱的侧面数、侧棱数和顶点数． 【答案】(1)见解析； (2)棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数×2； (3)20，20，40． 【分析】本题考查了多面体尤其是棱柱的基本概念和属性，包括底面边数、侧面数、侧棱数及顶点数之间的关系，以及通过观察具体实例归纳一般规律的能力．解题的关键在于准确识别和计算给定几何体的各项数值，进而发现并应用棱柱的底面边数与侧面数、侧棱数、顶点数之间的固定关系，即棱柱的侧面数和侧棱数均等于其底面边数，而顶点数则是底面边数的两倍． （1）通过观察几何体的特征来确定各项数值； （2）根据（1）的结果找规律； （3）利用（2）得出的规律计算． 【详解】（1）解：填表如下： 图形名称 底面边数 侧面数 侧棱数 顶点数 图① 三棱柱 3 3 3 6 图② 四棱柱 4 4 4 8 图③ 六棱柱 6 6 6 12 （2）棱柱的侧面数=棱柱的底面边数，棱柱的侧棱数=棱柱的底面边数，棱柱的顶点数=棱柱的底面边数 （3）二十棱柱的侧面数是20、侧棱数是20、顶点数是40． 17．数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题．下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用． 如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推． (1)图中阴影部分的面积为 ； (2)受此启发，得到＝ ； (3)迁移应用：得到＝ （直接写出答案即可）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据图中三角形面积之间的关系即可解决问题； （2）利用数形结合的思想即可解决问题； （3）根据（3）中的结论即可解决问题； 本题考查图形变化的规律，数形结合思想的巧妙运用是解题的关键； 【详解】（1）解：由题知， 正方形每次被分割的部分是前一部分面积的一半， 所以图中阴影部分的面积与部分⑥的面积相等． 又因为部分①的面积为：， 部分②的面积为：， 部分③的面积为：， …， 依次类图，部分n的面积为． 当时， ． 所以阴影部分的面积为． 故答案为：． （2）解：由（1）知， ， 所以． 故答案为：． （3）解：由题知， 原式． 令①， 则②， 得， ， 即， 所以原式 ． 故答案为：． 18．如图，在边长都为a的正方形内分别排列着一些大小相等的圆．    (1)根据图中的规律，第4个正方形内圆的个数是________，第n个正方形内圆的个数是________． (2)如果把正方形内除去圆的部分都涂上阴影 ①第1个正方形中阴影部分的面积为________，第n个正方形中阴影部分的面积为________（用含a的代数式表示，结果保留）． ②若，请直接写出第2 024个正方形中阴影部分的面积：________（结果保留）． 【答案】(1)16， (2)①；② 【分析】本题考查了图形类找规律，列代数式，代数式求值，整式的加减，找到规律是解题的关键． （1）分别求出前几个图形内圆的个数，发现规律进而求得第n个正方形中圆的个数； （2）①根据正方形的面积减去圆的面积求解即可；②同理可知第n个图中的阴影部分面积也是为，将代入中求解即可． 【详解】（1）解：第1个正方形内圆的个数是， 第2个正方形内圆的个数是， 第3个正方形内圆的个数是， 第4个正方形内圆的个数是， …… 第个正方形内圆的个数是． （2）①第1个正方形中，， 第个正方形中，． ②从以上计算看出各个正方形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关． 第个正方形中阴影部分的面积， 当时，第2024个正方形中阴影部分的面积为． 19．观察图，解答下列问题． (1)图中的小圆圈被折线隔开分成六层，第一层有1个小圆圈，第二层有3个圆圈，第三层有5个圆圈，…，第六层有11个圆圈．如果要你继续画下去，那么第9层有_______个小圆圈？ (2)数图中的圆圈个数可以有多种不同的方法． 比如：前两层的圆圈个数和为或，由此得，． 同样，由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：． 由前五层的圆圈个数和得：． 根据上述请你猜测，从1开始的n个连续奇数之和是______（用n的代数式表示）； (3)计算： _________； (4)计算：． 【答案】(1)17 (2) (3) (4) 【分析】本题考查图形类规律探究、数字类规律探究、有理数的混合运算，找到变化规律是解答的关键． （1）根据前几层的圆圈个数得到规律，进而可求解； （2）利用已知数据得出答案即可； （3）利用（2）中发现的规律得出答案即可； （4）利用（2）中发现的规律得出答案即可． 【详解】（1）解：第一层有1个小圆圈， 第二层有3个圆圈， 第三层有5个圆圈， …， 依此规律：每一层小圆圈个数是连续的奇数， 第n层有个小圆圈， ∴ ∴第9层有个小圆圈 故答案为：； （2）解：前一层的圆圈个数和得：， 前两层的圆圈个数和得：， 由前三层的圆圈个数和得：， 由前四层的圆圈个数和得：， 由前五层的圆圈个数和得：， ， 从1开始的n个连续奇数之和是， 故答案为：； （3）解：由上可得：， 故答案为：； （4）解： ． 20．已知图1中有1个等边三角形，记作；分别连接这个等边三角形三边中点得到图2，有5个等边三角形，记作；再分别连接图2中间的小等边三角形三边中点得到图3，有9个等边三角形，记作；…….按照此规律解答下列问题： (1)图4中有_______个等边三角形，记作_________； (2)图中有_______个等边三角形，记作_________；（结果用含的代数式表示，不用说理） (3)在求的值时，可令，则，∴，∴，按此方法计算；（结果用含的代数式表示） 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查了图形变化的一般规律问题，整式的乘法，能够通过观察，掌握其内在规律是解题的关键． （1）由第一个图中个三角形，第二个图中个三角形，第三个图中个三角形，每次递增个，即可得出第个图形中有个三角形； （2）根据（1）中的规律即可得出第个图形中有个三角形； （3）根据题意得到，然后整理求解即可． 【详解】（1）解：∵第一个图中个三角形， 第二个图中个三角形， 第三个图中个三角形， 每次递增个； ∴图4中有个三角形，记作； 故答案为：， （2）解：由（1）可得， 图中有个三角形，记作； 故答案为：； （3）解： ； 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$