等差数列的基本量运算及性质应用导学案-2026届高三数学一轮复习

等差数列的基本量运算及性质应用 【复习目标】 1.理解等差数列的概念并能用递推公式表示其关系. 2.掌握其通项公式与前n 项和公式基本量的运算，并学会利用性质优化运算. 3.理解等差数列与一次函数的关系. 【重点】 掌握等差数列通项公式与前n 项和公式的运算 【难点】 等差数列性质的应用 【导学流程】 一、知识梳理 等差数列 内容 性质（补充） 应用 定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的________都等于___________，那么这个数列就叫作等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示． 递推公式表达式为： ________________． 等差中项 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项， 且有A＝________． 递推公式表达式为： ______________________． 通项公式 an＝____________． 已知数列{an}的通项公式是an＝An＋B(其中A，B为常数)，则数列{an}是 数列，且公差为 前n项和公式 Sn＝___________ ＝_____________________. 已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝An2＋Bn(其中A，B为常数)，则数列{an}是 数列，且公差为 补充 1.若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 ________________． 2.若{an}为等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为________的等差数列． 3.等差数列{an}的前n项和为Sn，数列Sm，S2m－Sm， S3m－S2m，…(m∈N*)是 数列． 4.在Sn＝中， S2n-1= ; S2n= 5.若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列{}也为 数列． 请尝试完成补充性质3,5的证明,并归纳出证明数列的方法. 二、自主学习 1.[2025·新高考Ⅱ卷]记Sn为等差数列{an}的前n项和．若S3＝6，S5＝－5，则S6＝(　　) A．－20 B．－15 C．－10 D．－5 2. [2024·全国甲卷]已知等差数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. [2023·全国甲卷]记为等差数列的前项和，若,,则（ ） A. 25 B. 22 C. 20 D. 15 4. [2024·新高考Ⅱ卷]记为等差数列的前项和，若， ，则. 5. [2022·全国乙卷]记为等差数列的前项和，若,则公差_  _   6.[教材原题P23.3] 若S4＝6，S8＝20，则S16=_ __. 三、例题精讲 例题1：已知等差数列{an} ，其前n项和为Sn . （1）若S4=1, S8=4, 则a17+a18+a19+a20= . （2）若a1=1，S4=S9，求Sn ； 【变式探究】 若将“a1=1”，改为“a1>0”， 问：此时d会如何变化？数列项的符号是怎么变化的？ 追问：Sn的值又有什么特殊性？是否能求出对应的n值？ 思考:你是否还有其它发现?（提示：函数关系） 【变式探究】 【当堂诊学】 1.已知等差数列{an} ，其前n项和为Sn，若a1=1，d=2， Sn+2−Sn=24，则n= . 2.（多选题）若数列{an}为等差数列，Sn为其前n 项和，若a1>0,S4=S12 ，则下列说法正确的是( ). A.公差d<0 B.a7+a9<0 C.Sn的最大值为S8 D.使Sn<0的最小正整数n 为16 【课程总结】 （1）本节课复习了哪些知识？是按照怎样的过程学习的？ （2）领悟到了哪些思想方法？是在解决什么问题中领悟到的？ （3）学习中，对今后有启发借鉴意义的学习经验有哪些？ 【课后巩固】 1.(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于（ ） A.－2　　 　 B.4　　 　C.6　　 　D.8 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6= . 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36 ,则a7+a8+a9= ( ). A.63 B.45 C.36 D.27 4.（2023·新高考Ⅰ卷）记Sn为数列{an}的前n项和,设甲：{an} 为等差数列， 乙：{ } 为等差数列,则( ). A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5.(2025·甘肃庆阳模拟)为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明10月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运动的时长比前一天多2分钟，则从10月1日到10月的最后一天，小明运动的总时长为 ________分钟． 6.(多选)(2024·辽宁名校联考二模)设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5<S6，S6＝S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A．d≤0 B．a7＝0 C．S6与S7均为Sn的最大值 D．满足Sn<0的n的最小值为14 7.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，−＝6，则S2 025＝________． 8.有两个等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn． ①若，则________； ②若，则＝________． 9.开放性作业： 请同学们按照等差数列的相关条件，自主尝试命制题目，与同学交换完成。 1 学科网（北京）股份有限公司 $