3.1 椭圆 第2课时 教学设计-2025-2026学年高二上学期数学湘教版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦椭圆的简单几何性质及直线与椭圆位置关系，通过GGB软件展示椭圆图形回顾旧知，类比直线与圆位置关系的代数法，搭建知识迁移支架。 特色在于以例5由特殊到一般引导学生掌握联立方程组判断位置关系，练习2结合代数法与定点判断发展数学运算和逻辑推理，GGB软件辅助增强直观想象，为教师提供清晰流程，助力学生提升核心素养。

3.1 椭圆 第2课时 教学设计 一、内容分析 教科书关于椭圆安排了两节内容，第一节是椭圆及其标准方程，第二节是椭圆的简单几何性质.在研究圆锥曲线过程中，利用坐标法以及数形结合的思想统领全局，按照“曲线的几何特征-曲线的标准方程-通过方程研究曲线性质-应用”的过程展开，其中利用代数方法来研究椭圆的性质是重点，这对于后续学习双曲线、抛物线具有重要的示范作用. 本节课先通过用几何的眼光来直观感知椭圆图形的性质，明确几何图形的性质是什么，再利用椭圆的标准方程来研究几何图形的性质，即用坐标法进一步认识椭圆的性质以及它们的位置关系.利用椭圆的标准方程研究椭圆的范围、对称性、顶点，并由此得到刻画椭圆扁平程度的离心率.从而促进学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等素养的发展.本节课通过对例5的分析讲解，结合之前所学的用代数法直线与圆的位置关系的知识，即“通过联立方程组判断直线与圆的位置关系”，类比到椭圆中，证明通过联立方程组判断直线与椭圆的位置关系也成立，从而锻炼学生的逻辑推理能力、数学计算能力、数学抽象能力，提高学生数学核心素养. 课程标准对本节课内容提出具体要求，即在平面解析几何的教学中，应引导学生经历以下过程：首先，通过实例了解几何图形的背景；进而，结合情境清晰地描述图形的几何特征与问题；再结合具体问题合理地建立坐标系，用代数语言描述这些特征与问题；最后，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，并给出几何解释，解决问题.通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想. 2、 教学目的 了解椭圆的几何图形、标准方程，以及简单几何性质.通过对于椭圆的学习，借助几何图形的特点，形成解决问题的思路，通过直观想象和代数运算得到结果，进一步体会数形结合的思想. 三、重点难点 重点：椭圆的简单几何性质；通过联立方程组来确定直线与椭圆的位置关系. 难点：联立方程组的计算. 四、核心素养 ○直观想象、●数学运算、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模． 五、教学准备 课件. 六、教学流程 旧知回顾-> 情景引入-> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结 七、教学过程 教学环节 教学内容 师生活动 设计意图 时间分配 ㈠ 旧 知 回 顾 旧知回顾：观察GGB软件里的椭圆图形，复习椭圆定义和简单几何性质. 实验：观察图象并回答下列问题： 1.定义：（1）用文字表述椭圆的定义；（2）用符号表示椭圆的定义. 2.标准方程：分别写出焦点在轴和轴上的椭圆的标准方程. 3.范围：通过观察椭圆的图形回答. 4.对称性：通过观察椭圆的图形，回答椭圆图形关于轴、轴和原点对称. 5.顶点：分别写出椭圆的四个顶点. 6.离心率：写出离心率的表达式，并说明椭圆的离心率的范围. 1.展示GGB软件中的椭圆图象，拖动滑块改变的值. 2.学生观察GGB软件中的椭圆，思考椭圆的图象具有什么性质. 引导学生通过观察GGB软件中的椭圆，思考椭圆的图象具有什么性质.以达到巩固旧知的目的. 4分 钟 ㈡ 情 景 引 入 上一章我们利用代数法研究直线与圆的位置关系，即联立直线方程与圆的方程方程，通过求解方程组，进而确定它们是相交、相切还是相离，即讨论它们的公共点情况.这种研究方法，对研究直线与椭圆的位置关系完全适用. 通过提醒学生结合前面关于直线与圆的位置关系的相关知识点，类比到直线与椭圆的位置关系也应当具有类似性质，即通过联立方程组，方程组的解的组数对应直线与椭圆的公共点的个数. 通过联系前面所学利用代数法研究直线和圆位置关系的的相关性质，类比出直线和椭圆位置关系的相关性质，增强学生逻辑推理的数学素养. 4 分 钟 ㈢ 典 例 剖 析 例5：（1）试判断直线与椭圆的公共点的个数. （2）直线与椭圆，为何值时，直线与椭圆有两个公共点. （3）对不同的实数，讨论直线与椭圆的公共点的个数. 给出例5（1）：师生讨论分析一起完成。 给出例5（2）、（3）：引导学生思考任意一条直线与给定椭圆的交点个数的判断能否用上述代数法？ 显然，3个小题的研究方法是一致的，旨在让学生更好地掌握运用方程研究曲线问题的思路和方法。 通过例5的3个小题来由特殊归纳一般，借助具体的案例，来验证和巩固“通过联立方程组来确定直线与椭圆的位置关系”这一猜想，并总结出这类题型的解题思路. 15 分 钟 ㈣ 练 习 巩 固 练习1 试判断直线与椭圆的公共点的个数，并说明理由. 方法：代数法联立方程组 练习2 直线与焦点在轴上的椭圆总有公共点，则的取值范围是 法一：代数法联立方程组 法二：直线恒过定点，若定点在椭圆的边界或内部，则直线与椭圆必有公共点 分别给出练习1，练习2，学生在学案写出答题过程，利用授课助手，展示学生练习，其余学生点评纠正错误. 引导学生体会练习1及练习2的异同点. 引导学生观察图象，数形结合，利用方法二解决问题. （法二）直线恒过定点，椭圆的焦点在轴上，且椭圆的最高点为 若定点在椭圆的边界或内部，则直线与椭圆必有公共点，即， 练习1、2目的是再次巩固学生对于通过联立方程组来确定直线与椭圆的位置关系这一题型，锻炼学生数学计算能力和数形结合的思想，提高数学核心素养.. 14 分 钟 ㈤ 归 纳 小 结 1.本节课我们学习了利用代数法来研究直线与椭圆的交点个数，判断直线与椭圆的位置关系. 2. 利用数形结合的方法研究直线与椭圆的位置关系：直线恒过定点A，若定点A在椭圆的边界或内部，则直线与椭圆必有公共点. 系统梳理整节课所学内容. 3 分 钟 八、板书设计 大致板书如下： 椭圆的定义、标准方程、简单几何性质 例5：（3） 练习1,2 学科网（北京）股份有限公司 $