3.1.2 椭圆的简单几何性质（同步练习）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册（湘教版）

**基本信息** 高中数学椭圆几何性质同步练，分层设计科学，基础巩固与能力提升衔接紧密，覆盖从定义应用到综合问题的完整路径，培养数学抽象、逻辑推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础过关练|椭圆定义、标准方程、几何性质（焦点、离心率）、直线与椭圆位置关系基础应用|以选择填空为主，直接应用概念，如由方程求焦距、离心率比较，夯实运算能力| |能力提升练|椭圆性质综合应用、动态问题、存在性问题、直线与椭圆综合|含多选与解答题，如焦点三角形动态分析、直线过定点探究，培养逻辑推理与数学建模|

3.1.2　椭圆的简单几何性质 基础过关练 题组一　由椭圆的标准方程探究其几何性质 1.(2025陕西师范大学附属中学期中)已知椭圆C:+=1(m>4)的焦距为2,则C的长轴长为　　(　　) A.　　　　　B.2　　　　　C.2　　　　　D.4 2.(2025陕西西安第七十一中学期中)已知椭圆x2+2y2=2与2x2+y2=1,则两个椭圆(　　) A.有相同的长轴与短轴 B.有相同的焦距 C.有相同的焦点 D.有相同的离心率 3.(2025湖南长沙南雅中学入学考试)椭圆+=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=,则m=　　(　　) A.1　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D.2 4.(多选题)(2025辽宁大连滨城高中联盟期中)设椭圆C:+=1的上、下焦点分别为F1,F2,点M在椭圆上,则(　　) A.F1,F2的坐标分别为(3,0),(-3,0) B.|MF1|的最大值为7,最小值为1 C.|MF1|+|MF2|=8 D.使△MF1F2为直角三角形的点M有4个 题组二　由椭圆的几何性质求标准方程 5.(2025江苏无锡锡东高级中学期中)长轴长是短轴长的3倍,且过点(3,-1)的椭圆的标准方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1或+=1 D.+=1 6.(2024江西宜春宜丰中学调研)过点(2,),焦点在x轴上且与椭圆+=1有相同的离心率的椭圆方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+=1 C.+=1　　　　　D.+=1 7.以椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形,且椭圆C上的点到左焦点的最大距离为6,则椭圆C的标准方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+=1 C.+=1　　　　　D.+=1 8.(2025上海格致中学期中)若椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,焦距为2,椭圆C上的两点P,Q关于原点对称,|PF|-|QF|=a,且PF⊥QF,则椭圆C的方程为　　　　　.  题组三　椭圆的离心率 9.(2024河南许昌建安第一高级中学月考)设e是椭圆+=1的离心率,且e∈,则实数k的取值范围是(　　) A.(0,3)　　　　　B.　　　　　 C.(0,2)　　　　　D.(0,3)∪ 10.(2025湖南名校期中联考)已知某彗星的运行轨道是以太阳的中心为一个焦点的椭圆,测得轨道的近日点(距太阳最近的点)距太阳中心0.6天文单位,远日点(距太阳最远的点)距太阳中心35天文单位,且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上,则该椭圆的离心率约是(　　) A.0.017　　　　　B.0.25　　　　　 C.0.86　　　 　　D.0.97 11.(2025甘肃兰州一中期中)已知椭圆+=1(a>b>0)上存在点P,使得|PF1|=3|PF2|,其中F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,则该椭圆的离心率的取值范围是(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. 12.(2025四川宜宾三中教育集团期中)已知F1,F2为椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,过原点O的直线交椭圆C于A,B 两点,且|AF2|=2|BF2|,|AB|=|F1F2|,则椭圆C的离心率为(　　) A.　　　　　B.　　　　　C.　　　　　D. 题组四　直线与椭圆的位置关系 13.(2025辽宁葫芦岛期中)直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相交　　　　　B.相切　　　　　C.相离　　　　　D.无法判断 14.(2025重庆清华中学校阶段练习)椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,过左焦点F1的直线交椭圆C于A,B两点.若|AB|的最小值为3,且△ABF2的周长为8,则椭圆C的焦距等于(　　) A.1　　　　　B.2　　　　　C.　　　　　D.2 15.(2025河南许平汝名校月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆C于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则C的方程为(　　) A.+=1　　　　　B.+=1 C.+=1　　　　　D.+=1 16.(2025天津第一百中学期中联考)已知P是椭圆+y2=1上的动点,则P点到直线l:x+y-2=0的距离的最大值为　　　　.  17.(2025江苏连云港期中)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点A和点B(2,0). (1)求椭圆C的离心率; (2)过椭圆的右焦点F的直线l交椭圆C于M,N两点(点M在x轴的上方),且=λ,△BMN的面积为,求λ的值. 能力提升练 题组一　椭圆的几何性质及其应用 1.(2024浙江宁波鄞州中学期末)已知点P(x,y)(x≠0,y≠0)是椭圆+=1上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,O是坐标原点,若M是∠F1PF2的平分线上的一点(不与点P重合),且·=0,则||的取值范围为(　　) A.[0,3)　　　　　B.(0,2) C.[2,3)　　　　D.[0,4] 2.(2024浙江七彩阳光新高考研究联盟期中)已知焦点分别在x,y轴上的两个椭圆C1,C2,且椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点,设椭圆C1,C2的离心率分别是e1,e2,则(　　) A.<且+<1　　　　　B.<且+>1 C.<且+<1　　　　　D.<且+>1 3.(多选题)(2025陕西咸阳实验中学质量检测)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,长轴长为4,点P(,1)在椭圆内部,点Q在椭圆上,则以下说法正确的是(　　) A.离心率的取值范围为 B.当离心率为时,|QF1|+|QP|的最大值为2a+ C.存在点Q使得·=0 D.+的最小值为1 4.(多选题)(2025湖北武汉华中师大一附中期中)将圆x2+y2=16上所有点的横坐标不变,纵坐标变为原来的,得到椭圆C,若该椭圆的两个焦点分别为F1,F2,长轴的两个端点分别为A,B,则下列说法正确的是(　　) A.该椭圆的标准方程为+=1 B.若点M是椭圆C上任意一点(与A,B不重合),P在F1M的延长线上,MN平分∠PMF2,过F2作F2Q垂直于MN于点Q,则线段OQ的长为定值4 C.椭圆上恰有四个点M,使得∠F1MF2= D.若M是椭圆C上任意一点(与A,B不重合),则△MF1F2内切圆半径的最大值为4-6 5.(2024湖北荆州沙市中学月考)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).过F1且倾斜角为60°的直线交椭圆的上半部分于点A,以F1A,F1O(O为坐标原点)为邻边作平行四边形OF1AB,点B恰好也在椭圆上,则b2=　　　　　.  6.(2025天津实验中学滨海学校期中)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P 在椭圆上运动,|||| 的最大值为m,· 的最小值为n,且m≥2n,则该椭圆的离心率的取值范围为　　　　.  题组二　直线与椭圆的位置关系 7.(多选题)(2025浙江9+1高中联盟期中)已知椭圆C:+=1,直线l:3x-2y+m=0,则下列说法正确的是(　　) A.若直线l与椭圆C有公共点,则-6≤m≤6 B.若m=10,则椭圆C上的点到直线l的距离的最小值为 C.若直线l与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的长度可能为6 D.若直线l与椭圆C交于A,B两点,则线段AB的中点在直线3x+2y=0上 8.(2025甘肃定西期中)已知曲线C上任意一点P(x,y)满足+=2,则曲线C上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是(　　) A.　　　　　B. C.　　　 　　D. 9.(2025山东临沂部分县区期中)定义离心率e=的椭圆为“西瓜椭圆”.已知椭圆C:+=1(m>4)是“西瓜椭圆”,则m=　　　　.若“西瓜椭圆”E:+=1(a>b>0)的左焦点为F,O为坐标原点,直线y=kx与椭圆E交于A,B两点,以线段AB为直径的圆过点F,则k=　　　　.  10.()已知点P(0,1)为椭圆C:+=1(a>b>0)上一点,且直线x+2y-2=0过椭圆C的一个焦点. (1)求椭圆C的方程; (2)不经过点P(0,1)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,记直线AP,BP的斜率分别为k1,k2,若k1+k2=-2,则直线l是否过定点?若过定点,求出该定点的坐标;若不过定点,请说明理由. 11.()如图,已知动圆M过点E(-1,0),且与圆F:(x-1)2+y2=8内切,设动圆圆心M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程; (2)过点F的直线l交曲线C于A,B两点,在x轴上是否存在定点P,使得当直线l绕点F任意转动时,·为定值?若存在,求出点P的坐标和·的值;若不存在,请说明理由. 答案与分层梯度式解析 第3章　圆锥曲线与方程 3.1　椭圆 3.1.2　椭圆的简单几何性质 基础过关练 1.B　由椭圆C:+=1(m>4)的焦距为2,得2=2,解得m=5,故C的长轴长为2=2. 2.D　整理椭圆方程x2+2y2=2得+y2=1,其焦点在x轴上,a1=,b1=1,则c1==1,所以e1===. 整理椭圆方程2x2+y2=1得+y2=1,其焦点在y轴上,a2=1,b2=,则c2==,所以e2===. 所以两个椭圆有相同的离心率. 3.C　由题意得a=,b=m,c=1,∠F1AO=(O为坐标原点),则tan ===,所以m=. 4.BC　由椭圆C:+=1,可知a2=16,b2=7,且焦点在y轴上,则c2=a2-b2=16-7=9,所以F1,F2的坐标分别为(0,3),(0,-3),故A错误; 由椭圆的性质知,|MF1|的最大值为a+c=7,最小值为a-c=1,故B正确; 由椭圆的定义知,|MF1|+|MF2|=2a=8,故C正确; 因为c>b,所以以线段F1F2为直径的圆与椭圆有4个交点,当M在交点处时,△MF1F2为直角三角形,符合要求的点M有4个,当MF1或MF2垂直于y轴时,△MF1F2为直角三角形,符合要求的点M有4个,故使△MF1F2为直角三角形的点M共有8个,故D错误. 5.C　由题意可知a=3b. 若椭圆的焦点在x轴上,则椭圆的标准方程为+=1, 将(3,-1)代入椭圆方程,得+=1,解得b2=2, 此时椭圆的标准方程为+=1; 若椭圆的焦点在y轴上,则椭圆的标准方程为+=1, 将(3,-1)代入椭圆方程,得+=1,解得b2=, 此时椭圆的标准方程为+=1. 综上所述,椭圆的标准方程为+=1或+=1. 6.D　设所求椭圆方程为+=λ(λ>0),将(2,)代入,得+=λ,即λ=2,所以所求椭圆方程为+=1. 7.C　由题意可得所以所以椭圆C的标准方程为+=1. 8.答案　+=1 解析　设椭圆C的左焦点为F',则F'(-c,0),由椭圆的对称性可知|PF|-|QF|=|QF'|-|QF|=a,又因为|QF'|+|QF|=2a,所以|QF'|=,|QF|=, 由PF⊥QF得∠F'QF=90°,在Rt△F'QF中,由勾股定理得|QF|2+|QF'|2=|FF'|2,即+=(2c)2=20,解得a2=8, 又因为c=,所以b2=a2-c2=3,因此椭圆C的标准方程为+=1. 9.D　当椭圆的焦点在x轴上时,k>4,e=∈,∴∈,∴k∈;当椭圆的焦点在y轴上时,0<k<4,e=∈,∴k∈(0,3). 综上所述,实数k的取值范围是(0,3)∪. 10.D　设该椭圆的焦距为2c(c>0),长半轴长为a(a>0), 根据题意有a-c=0.6,a+c=35,解得a=17.8,c=17.2, 所以离心率e==≈0.97. 11.D　由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a, 又∵|PF1|=3|PF2|,∴|PF1|=a,|PF2|=a, 而|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立,即a-a≤2c,解得e=≥,所以e的取值范围是. 12.B　连接BF1,由|AB|=|F1F2|,O为F1F2的中点,可知|OF2|=|AB|,易得△ABF2是直角三角形, 由椭圆的对称性可知|AF2|=|BF1|=2|BF2|,又|BF1|+|BF2|=2a,故|BF2|=a,|AF2|=a, 在Rt△ABF2中,|AB|2=+,即4c2=a2+a2,即=,所以e=. 13.A　直线y=x+1过点(0,1),且0+<1,所以点(0,1)在椭圆内部,所以直线与椭圆相交. 14.B　当过焦点的弦长最小时,弦所在直线与x轴(即椭圆的长轴)垂直,易得最小弦长为=3,则=,由△ABF2的周长为8及椭圆的定义得4a=8,∴a=2,b2=3,∴c=1,∴椭圆C的焦距为2. 15.A　由题知直线AB的斜率k==,所以直线AB的方程为x=3y+4, 联立消去x得(9b2+a2)y2+24b2y+16b2-a2b2=0, 由AB的中点坐标为(1,-1),得-=-2,整理得a2=3b2,又a2-b2=c2=16,所以a2=24,b2=8, 所以C的方程为+=1. 16.答案　+ 解析　要使P点到直线l的距离最大,需要找到与l平行,且与椭圆相切的距离l最远的直线, 令与l平行且与椭圆相切的直线方程为x+y+m=0,m≠-2. 联立消去y得4x2+6mx+3m2-3=0, 由Δ=36m2-16(3m2-3)=0,解得m=2或m=-2, 当m=2时,对于直线x+y+2=0,它与直线l的距离为=+, 当m=-2时,对于直线x+y-2=0,它与直线l的距离为=-, 所以P点到直线l的距离的最大值为+. 17.解析　(1)由椭圆C过点B(2,0)知a=2, 将A的坐标代入椭圆方程,得+=1,解得b2=3,则c2=a2-b2=1,所以c=1, 所以椭圆C的离心率e==. (2)由(1)知椭圆C的标准方程为+=1,F(1,0), 当直线l的倾斜角为0时,点M在x轴上,不合题意. 当直线l的倾斜角不为0时,设l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2). 联立消去x得(3m2+4)y2+6my-9=0,Δ=144m2+144>0,所以y1+y2=,y1y2=, 则S△BMN=×|BF|×|y1-y2|===,解得m=±1. 由=λ,知λ>0,y1=-λy2. 当m=1时,由得7λ2-18λ+7=0,解得λ=或λ=. 同理,当m=-1时,解得λ=或λ=. 综上,λ=或λ=. 方法点睛　解答直线与椭圆的位置关系的题目时,常把它们的方程联立,消去x(或y)后得到一个一元二次方程,然后借助根与系数的关系以及题设条件建立有关参数的等量关系,涉及直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜率为0或不存在的特殊情况. 能力提升练 1.B　由·=0,得F1M⊥PM,如图,延长PF2,F1M交于点N,则△PF1N为等腰三角形,M为F1N的中点,所以||=||=|-|=|||-|||.当P在短轴的端点时,||取得最小值,||=0;当P在长轴的端点时,||取得最大值,||=2.又因为点P不能在坐标轴上,所以||的取值范围为(0,2). 2.A　不妨设椭圆C1的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a1,b1,c1,椭圆C2的长半轴长、短半轴长、半焦距分别为a2,b2,c2, 因为椭圆C2经过椭圆C1的两个顶点与两个焦点, 所以a2=b1,b2=c1, 故=1-,=1-=1-=2-, 因为a2>b2,即b1>c1,所以>=-,可得2>, 故<<1,即1<<2,故0<1-<,0<2-<1, 即0<<,0<<1.不妨令t=, 则+=3-=3-,t∈, 易知函数y=t+在上单调递减, 所以+=3-∈. 3.BD　由题意可得2a=4,所以a=2,由点P(,1)在椭圆内部可得+<1,所以2<b2<4,即2<4-c2<4,所以0<c<.对于A,e=∈,故A错误;对于B,当e=时,c=,F2,|QF1|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|≤2a+|PF2|=4+,故B正确;对于C,由A知0<e<,若e=,当Q在短轴端点时,∠F1QF2最大,cos∠F1QF2==0,则∠F1QF2=90°,由0<e<,可得∠F1QF2的最大值小于90°,所以不存在点Q使得·=0,故C错误;对于D,+==≥==1,当且仅当|QF1|=|QF2|=2时等号成立,故D正确. 4.BCD　设椭圆上的点的坐标为(m,n),则点(m,2n)在圆x2+y2=16上,故m2+4n2=16,所以椭圆C:+=1,A错误; 不妨令点A为C的左顶点,点F1为C的左焦点,假设P是直线F1M与F2Q的交点, 因为MN平分∠PMF2,F2Q垂直于MN于点Q, 所以Q为线段PF2的中点,且|MF2|=|MP|, 连接OQ.又O是线段F1F2的中点, 所以|OQ|=|PF1|=(|MF1|+|PM|)=(|MF1|+|MF2|)=a=4,为定值,B正确; 当M为椭圆的上、下顶点时,∠F1MF2最大, 此时cos∠F1MF2====-, 又∠F1MF2∈(0,π),所以(∠F1MF2)max=, 结合椭圆的对称性,知椭圆上有四个点M,使得∠F1MF2=,C正确; 设△MF1F2内切圆的半径为r,M(xM,yM), 则r(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)=|yM|·|F1F2|,即(a+c)r=c|yM|,所以r==, 要使r最大,只需|yM|最大, 又|yM|max=b=2,所以r的最大值为=4-6,D正确. 5.答案　2 解析　依题意可知c=2,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为四边形OF1AB为平行四边形,所以y1=y2,又因为+=1,+=1,所以x2=-x1,因为F1A∥OB,且直线F1A的倾斜角为60°,所以==,所以x1= -1,x2=1,y1=y2=,所以A(-1,),将其代入+=1,得+=1,又因为a2-b2=c2=4,所以a2=4+2,b2=2. 6.答案　 解析　由椭圆的定义得||+||=2a, ∴||=2a-||(a-c≤||≤a+c), ∴||·||=||(2a-||)=-+2a||=-+a2, ∵a-c≤||≤a+c,∴||·||的最大值为a2,即m=a2. 由题意得F1(-c,0),F2(c,0),设P(x,y),则·=(-c-x,-y)·(c-x,-y)=x2+y2-c2=x2+(a2-x2)-c2=x2+b2-c2,∵x∈[-a,a],∴x2∈[0,a2],∴·的最小值为b2-c2,即n=b2-c2, 由m≥2n,得a2≥2(b2-c2)=2(a2-2c2), ∴a2≤4c2,∴e=∈. 7.ABD　由椭圆的方程可知a=3,b=2,且焦点在y轴上,设椭圆C上一点为(2cos θ,3sin θ). 对于A,若直线l与椭圆C有公共点,则存在点(2cos θ,3sin θ)在直线l上, 则6cos θ-6sin θ+m=0,可得m=6sin∈[-6,6],故A正确; 对于B,若m=10,则直线l:3x-2y+10=0, 所以椭圆C上的点到直线l的距离d==≥=,所以椭圆C上的点到直线l的距离的最小值为,故B正确; 对于C,易知椭圆的最大弦长=长轴长=2a=6, 但直线l不可能与y轴重合,所以0<|AB|<6,故C错误; 对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点为M(x,y),则所以kOM==, 因为A,B在椭圆C上,所以 两式作差可得+=0,整理可得=-,即·=-,因为kAB==,所以kOM=-,所以kOM=-,即=-,可知点M(x,y)在直线y=-x上,即线段AB的中点在直线3x+2y=0上,故D正确. 8.B　原等式可化为+=2,设F1(0,-1),F2(0,1),则|F1F2|=2,∴|PF1|+|PF2|=2>|F1F2|=2,∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,且c=1,a=,∴b2=1,∴曲线C的方程是x2+=1, 设与直线2x-y-4=0平行且与曲线C相切的直线方程为2x-y+t=0(t≠-4). 联立消去y并整理得6x2+4tx+t2-2=0, 由Δ=16t2-24(t2-2)=0,得t=±, 易知当t=-时,切点到直线2x-y-4=0的距离最近,此时可求得x=,y=-,故所求点的坐标是. 9.答案　9;± 解析　∵椭圆C:+=1(m>4)是“西瓜椭圆”, ∴其离心率e==,解得m=9. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y并整理得(b2+a2k2)x2-a2b2=0. 显然Δ>0,∴x1+x2=0,x1x2=, ∴-=,即=,∴=k2=, ∴|OA|2=+=, 易知F(-c,0),又∵以线段AB为直径的圆经过点F,且由椭圆的对称性知O为线段AB的中点,即O为该圆的圆心,∴|OF|2=|OA|2,∴c2=(*), ∵e2=1-=,∴b2=a2,又c2=a2-b2, ∴化简(*)式可得k2=,解得k=±. 10.解析　(1)由题意知P(0,1)为椭圆C的上顶点,则b=1,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,即c=2, 所以a2=b2+c2=1+4=5, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)直线l过定点.当直线l的斜率不存在时, 设A(x0,y0),B(x0,-y0)(-<x0<且x0≠0), 则k1+k2=+=-2,解得x0=1,所以直线l的方程为x=1; 当直线l的斜率存在时,设直线方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立消去y并整理,可得(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,易知Δ>0,则x1+x2=,x1x2=, 所以k1+k2=+==-2,整理得(2k+2)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0, 所以(k+1)·=, 即(m-1)(k+m+1)=0, 因为直线l不过点P(0,1),所以m≠1, 所以k+m+1=0,即m=-k-1, 所以y=kx+m=kx-k-1=k(x-1)-1, 当x=1时,y=-1,所以直线l过定点(1,-1). 又因为直线x=1也过点(1,-1),所以直线l恒过定点(1,-1). 11.解析　(1)由圆F的方程知,其圆心为F(1,0),半径为2.设圆M和圆F内切于点D,则D,M,F三点共线,且|DF|=2. 因为圆M过点E,所以|ME|=|MD|,所以|ME|+|MF|=|MD|+|MF|=|DF|=2>|EF|=2,所以圆心M的轨迹是以E,F为焦点的椭圆. 因为2a=2,所以a=,又因为c=1,所以b2=a2-c2=1,所以曲线C的方程是+y2=1. (2)当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=ty+1,代入+y2=1,得(ty+1)2+2y2=2,即(t2+2)y2+2ty-1=0.易得Δ>0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-. 设点P(m,0),则=(x1-m,y1),=(x2-m,y2), ·=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(ty1+1-m)(ty2+1-m)+y1y2=(t2+1)y1y2+t(1-m)(y1+y2)+(1-m)2 =--+(1-m)2 =-+(1-m)2. 若·为定值,则=,解得m=,此时·=-+=-. 当直线l与x轴重合时,不妨设A在B的左侧,即点A(-,0),B(,0).令点P,则=--,0,=,此时·=-2=-. 综上所述,存在点P,使得·为定值,该定值为-. 方法技巧　在解决直线和椭圆的位置关系问题时,直线的方程可设为x=ty+m,这种设法避免了对斜率是否存在的讨论. 7 学科网（北京）股份有限公司 $