期末复习04二次函数期末冲刺必备讲义(2)(知识梳理+题型精析+备考压轴通关)2025-2026学年人教版九年级数学上册

期末复习04二次函数期末冲刺必备讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.二次函数综合题核心题型 2.二次函数与一元二次方程的内在联系 3.关键应用1:求抛物线上坐标轴的交点坐标 4.关键应用2:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 5.二次函数与一元二次不等式的关联 6.易错点与重难点突破 常考题型 精讲精炼 1.二次函数综合应用:线段周长问题 2.二次函数综合应用:面积问题 3.二次函数综合应用:特殊四边形 4.抛物线与x轴的交点坐标的求解方法 5.抛物线与y轴的交点坐标的求解方法 6.已知二次函数的函数值求自变量的值 7.抛物线与x轴的交点个数及位置分析 8.由二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况 9.图象法:确定一元二次方程的近似根 10.图象法:解一元二次不等式 11.利用不等式求二次函数中自变量或函数值的取值范围 12.结合抛物线交点,确定一元二次不等式的解集 期末备考 压轴通关 压轴题(14) 【知识点01.二次函数综合题核心题型】 1. 线段与周长问题 *核心考点：利用坐标求线段长度（勾股定理）、周长表达式转化为二次函数求最值。 *解题思路：用点坐标表示线段长度，结合二次函数性质求周长的最大 / 最小值。 2. 面积问题 *核心考点：割补法表示图形面积（如三角形、四边形面积）、面积表达式的二次函数最值。 *解题思路：通过坐标将面积表示为自变量的二次函数，利用顶点式求面积的最大 / 最小值。 3. 角度问题 *核心考点：直角、特殊角（30°/45°/60°）的判定（斜率乘积、三角函数）、角度关系转化为坐标关系。 *解题思路：通过坐标计算线段长度或斜率，结合几何定理（如勾股定理逆定理）判定角度，或构造特殊角的三角形。 4. 特殊三角形问题 *核心考点：等腰三角形（两边相等）、直角三角形（勾股定理）、等边三角形（三边相等）的存在性。 *解题思路：设动点坐标，利用距离公式表示边长，结合特殊三角形的边 / 角条件列方程求解。 5. 特殊四边形问题 *核心考点：平行四边形（对边平行且相等）、矩形（平行四边形 + 直角）、菱形（平行四边形 + 邻边相等）、正方形的存在性。 *解题思路：利用坐标表示边的长度与斜率，结合特殊四边形的判定条件（如平行四边形的中点坐标相等）列方程求解。 6. 相似三角形问题 *核心考点：相似三角形的判定（AA/SAS/SSS）、对应边成比例的坐标表达式。 *解题思路：确定已知三角形的边长 / 角度，设动点坐标表示对应边长度，根据相似比列方程求解。 7. 其他问题 *核心考点：动点轨迹、对称点、最短路径（将军饮马问题）等综合几何模型。 *解题思路：结合二次函数图象与几何模型（如轴对称），转化为函数最值或方程求解。 【知识点02.二次函数与一元二次方程的内在联系】 1.基础转化：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），令y=0，即得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 2.判别式决定交点个数：用根的判别式Δ=b2−4ac判断抛物线与 x 轴的位置关系，对应方程根的情况如下表： | 判别式Δ的值 | 抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴的交点 | 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 | |Δ>0| 两个不同交点 | 两个不相等的实数根 | |Δ=0| 一个交点（顶点在 x 轴上）| 两个相等的实数根 | |Δ<0| 无交点 | 无实数根 | 3.拓展关联：已知二次函数值为m，求自变量x，等价于解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之亦然。 【知识点03.关键应用1:求抛物线上坐标轴的交点坐标】 1.与 x 轴交点：令y=0，解ax2+bx+c=0，得根x1、x2，交点为(x1,0)、(x2,0)；Δ=0时，交点为(−,0)。 2.与 y 轴交点：令x=0，得y=c，交点恒为(0,c)。 3.交点式应用：若抛物线与 x 轴交于(x1,0)、(x2,0)，可表示为y=a(x−x1)(x−x2)（a≠0），便于快速求解析式。 【知识点04.关键应用2:利用二次函数图象求一元二次方程的近似解】 当方程无有理数根或求解困难时，可用图象法求近似解，步骤如下： 1.画出二次函数y=ax2+bx+c的清晰图象。 2.确定抛物线与 x 轴交点所在的大致区间（找函数值异号的相邻整数x值）。 3.逐步缩小区间（如将单位长度十等分），通过计算函数值，确定根的近似值（精确到指定位数）。 【知识点03.二次函数与一元二次不等式的关联】 结合抛物线开口方向和与 x 轴的交点，可快速确定一元二次不等式的解集： 1.若a>0，抛物线开口向上： *当y>0时，x<x1或x>x2（x1<x2）； *当y<0时，x1<x<x2​。 2.若a<0，抛物线开口向下： *当y>0时，x1<x<x2（x1<x2​）； *当y<0时，x<x1​或x>x2​。 若Δ=0，a>0时，y>0的解集为x≠−​，y<0无解；反之则相反 【知识点03.易错点与重难点突破】 1.易错点 *混淆a=0的情况：a=0时，函数不是二次函数，方程也不是一元二次方程。 *忽略判别式符号：判断交点个数时，需先确定a=0，再计算Δ。 *求近似解时区间划分过粗，导致误差过大。 2.重难点 核心难点：理解 “数”（方程根、判别式）与 “形”（抛物线与 x 轴位置）的双向转化，熟练运用数形结合思想解题。 突破方法：多画图、多对比，结合具体例题，反复练习判别式的应用和近似解的求解步骤。 【题型1.二次函数综合应用:线段周长问题】 【典例】如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【跟踪训练1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 【题型2.二次函数综合应用:面积问题】 【典例】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【跟踪训练1】如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 【跟踪训练2】如图，矩形绿地的长、宽分别为，现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为m，面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【题型3.二次函数综合应用:特殊四边形】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【跟踪训练2】如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【题型4.抛物线与x轴的交点坐标的求解方法】 【典例】由抛物线方程与轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则 ． 【跟踪训练2】如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【题型5.抛物线与y轴的交点坐标的求解方法】 【典例】二次函数的图象与轴的交点是 ． 【跟踪训练1】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【跟踪训练2】若二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【题型6.已知二次函数的函数值求自变量的值】 【典例】根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是 s． 【跟踪训练2】已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【题型7.抛物线与x轴的交点个数及位置分析】 【典例】已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 【跟踪训练1】二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则的值为（　　） A．或 B．5或 C．或3 D．以上都不对 【跟踪训练2】如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【题型8.由二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况】 【典例】如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【跟踪训练1】二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 2 3 5 … … 1 1 13 … 则一元二次方程的解为 ． 【跟踪训练2】小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 【题型9.图象法:确定一元二次方程的近似根】 【典例】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【跟踪训练1】如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【跟踪训练2】已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型10.图象法:解一元二次不等式】 【典例】如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 .【跟踪训练1】如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 【题型11.利用不等式求二次函数中自变量或函数值的取值范围】 【典例】若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是 ． 【跟踪训练1】已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2】若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【题型12.结合抛物线交点,确定一元二次不等式解集】 【典例】如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】已知二次函数的部分x、y的对应值如下表： 表格 x 0 1 2 3 … y 0 3 4 3 0 … 则当时，x的取值范围是 ． 【跟踪训练2】抛物线的部分图象如图所示，交x轴于，对称轴是直线，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 一.单选题 1．如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　） A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 2.．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 4．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 二.填空题 6．已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则 ； （2）若点在的异侧，则取值范围是 ． 7．已知，是二次函数上的两点， ①若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 ②当且时，都有，则a的取值范围为 8．抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论是 （填写序号） 9.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是 ． 10.如图，已知抛物线过点和点，与x轴的正半轴交于点C，点M是抛物线上一点且A，B两点到直线的距离相等，设点M的横坐标为x，且，则点M的坐标是 ． 三.解答题 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 13．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的和积点”，点在函数的“和积函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中．函数图象上任意一点，点为点“关于的和积点”，点在函数的“和积函数”上． (1)求函数的“和积函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的和积点”到轴的距离等于2，当点在轴上方时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点 “关于的和积点”为点，设点的横坐标为．点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式． 14．二次函数（）的图象交轴于原点及点． . (1)求点的坐标． (2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末复习04二次函数期末冲刺必备讲义(2) 期末必备 知识点梳理 1.二次函数综合题核心题型 2.二次函数与一元二次方程的内在联系 3.关键应用1:求抛物线上坐标轴的交点坐标 4.关键应用2:利用二次函数图象求一元二次方程近似解 5.二次函数与一元二次不等式的关联 6.易错点与重难点突破 常考题型 精讲精炼 1.二次函数综合应用:线段周长问题 2.二次函数综合应用:面积问题 3.二次函数综合应用:特殊四边形 4.抛物线与x轴的交点坐标的求解方法 5.抛物线与y轴的交点坐标的求解方法 6.已知二次函数的函数值求自变量的值 7.抛物线与x轴的交点个数及位置分析 8.由二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况 9.图象法:确定一元二次方程的近似根 10.图象法:解一元二次不等式 11.利用不等式求二次函数中自变量或函数值的取值范围 12.结合抛物线交点,确定一元二次不等式的解集 期末备考 压轴通关 压轴题(14) 【知识点01.二次函数综合题核心题型】 1. 线段与周长问题 *核心考点：利用坐标求线段长度（勾股定理）、周长表达式转化为二次函数求最值。 *解题思路：用点坐标表示线段长度，结合二次函数性质求周长的最大 / 最小值。 2. 面积问题 *核心考点：割补法表示图形面积（如三角形、四边形面积）、面积表达式的二次函数最值。 *解题思路：通过坐标将面积表示为自变量的二次函数，利用顶点式求面积的最大 / 最小值。 3. 角度问题 *核心考点：直角、特殊角（30°/45°/60°）的判定（斜率乘积、三角函数）、角度关系转化为坐标关系。 *解题思路：通过坐标计算线段长度或斜率，结合几何定理（如勾股定理逆定理）判定角度，或构造特殊角的三角形。 4. 特殊三角形问题 *核心考点：等腰三角形（两边相等）、直角三角形（勾股定理）、等边三角形（三边相等）的存在性。 *解题思路：设动点坐标，利用距离公式表示边长，结合特殊三角形的边 / 角条件列方程求解。 5. 特殊四边形问题 *核心考点：平行四边形（对边平行且相等）、矩形（平行四边形 + 直角）、菱形（平行四边形 + 邻边相等）、正方形的存在性。 *解题思路：利用坐标表示边的长度与斜率，结合特殊四边形的判定条件（如平行四边形的中点坐标相等）列方程求解。 6. 相似三角形问题 *核心考点：相似三角形的判定（AA/SAS/SSS）、对应边成比例的坐标表达式。 *解题思路：确定已知三角形的边长 / 角度，设动点坐标表示对应边长度，根据相似比列方程求解。 7. 其他问题 *核心考点：动点轨迹、对称点、最短路径（将军饮马问题）等综合几何模型。 *解题思路：结合二次函数图象与几何模型（如轴对称），转化为函数最值或方程求解。 【知识点02.二次函数与一元二次方程的内在联系】 1.基础转化：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），令y=0，即得一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）。抛物线与 x 轴交点的横坐标，就是对应一元二次方程的实数根。 2.判别式决定交点个数：用根的判别式Δ=b2−4ac判断抛物线与 x 轴的位置关系，对应方程根的情况如下表： | 判别式Δ的值 | 抛物线y=ax2+bx+c与 x 轴的交点 | 一元二次方程 ax2+bx+c=0的根 | |Δ>0| 两个不同交点 | 两个不相等的实数根 | |Δ=0| 一个交点（顶点在 x 轴上）| 两个相等的实数根 | |Δ<0| 无交点 | 无实数根 | 3.拓展关联：已知二次函数值为m，求自变量x，等价于解一元二次方程ax2+bx+c=m；反之亦然。 【知识点03.关键应用1:求抛物线上坐标轴的交点坐标】 1.与 x 轴交点：令y=0，解ax2+bx+c=0，得根x1、x2，交点为(x1,0)、(x2,0)；Δ=0时，交点为(−,0)。 2.与 y 轴交点：令x=0，得y=c，交点恒为(0,c)。 3.交点式应用：若抛物线与 x 轴交于(x1,0)、(x2,0)，可表示为y=a(x−x1)(x−x2)（a≠0），便于快速求解析式。 【知识点04.关键应用2:利用二次函数图象求一元二次方程的近似解】 当方程无有理数根或求解困难时，可用图象法求近似解，步骤如下： 1.画出二次函数y=ax2+bx+c的清晰图象。 2.确定抛物线与 x 轴交点所在的大致区间（找函数值异号的相邻整数x值）。 3.逐步缩小区间（如将单位长度十等分），通过计算函数值，确定根的近似值（精确到指定位数）。 【知识点03.二次函数与一元二次不等式的关联】 结合抛物线开口方向和与 x 轴的交点，可快速确定一元二次不等式的解集： 1.若a>0，抛物线开口向上： *当y>0时，x<x1或x>x2（x1<x2）； *当y<0时，x1<x<x2​。 2.若a<0，抛物线开口向下： *当y>0时，x1<x<x2（x1<x2​）； *当y<0时，x<x1​或x>x2​。 若Δ=0，a>0时，y>0的解集为x≠−​，y<0无解；反之则相反 【知识点03.易错点与重难点突破】 1.易错点 *混淆a=0的情况：a=0时，函数不是二次函数，方程也不是一元二次方程。 *忽略判别式符号：判断交点个数时，需先确定a=0，再计算Δ。 *求近似解时区间划分过粗，导致误差过大。 2.重难点 核心难点：理解 “数”（方程根、判别式）与 “形”（抛物线与 x 轴位置）的双向转化，熟练运用数形结合思想解题。 突破方法：多画图、多对比，结合具体例题，反复练习判别式的应用和近似解的求解步骤。 【题型1.二次函数综合应用:线段周长问题】 【典例】如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 【详解】解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 【跟踪训练1】如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，E，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出点，求出，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，，易证得四边形是平行四边形，于是可得，由轴对称的性质可得，于是得到，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小，利用待定系数法可求得直线的解析式，然后求得抛物线的对称轴，通过求解两条直线的交点即可得出答案． 【详解】解：令， 解得：， ， ， ， ， 如图，将点沿轴向下平移个单位，得到点，连接，，， 点沿轴向下平移个单位得到点， ， ， ， 抛物线的对称轴轴，且线段在抛物线的对称轴上，线段在轴上， ， 四边形是平行四边形， ， 抛物线是轴对称图形， ， ， 当、、三点共线，即点是直线与抛物线对称轴的交点时，的值最小， 在抛物线中， 令，则， ， 由平移的性质可得：点的纵坐标， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 在抛物线中，其对称轴为直线， 要使的值最小，则点的坐标应满足， 解得：， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称的性质，三角形三边之间的关系，求抛物线与轴的交点坐标，求抛物线与轴的交点坐标，因式分解法解一元二次方程，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，两直线的交点与二元一次方程组的解等知识点，巧妙添加辅助线并运用数形结合思想是解题的关键． 【跟踪训练2】抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，然后根据C点的横坐标为2代入二次函数解析式可得C点的坐标；运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：令，即， 解得：， ∴点， ∵C点的横坐标为2， 将代入， 得， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点E在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 【题型2.二次函数综合应用:面积问题】 【典例】如图，两抛物线的函数解析式分别为和，则阴影部分面积为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，图形的面积，根据二次函数的图象的性质得出阴影部分的面积等于三角形的面积，进而根据求得的坐标，即可求解． 【详解】解：如图所示， 解得：或， 则两抛物线的交点分别为原点和 设的顶点坐标为，与轴的另一个交点为， 又，则， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴ ∴三角形是等腰直角三角形 根据二次函数的性质，阴影部分的面积等于等腰三角形的面积， ∴阴影部分面积为， 故选：C． 【跟踪训练1】如图，平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于点A、B，与轴交于点．若点是二次函数图像上位于第一象限内的一点，且四边形的面积为4，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，先求出A、B、C的坐标，再根据求出点D的纵坐标，进而求出点D的坐标即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，矩形绿地的长、宽分别为，现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为m，面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解题的关键． 根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选A． 【题型3.二次函数综合应用:特殊四边形】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点A作y轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段上，分别过点C、D作x轴的垂线交抛物线于E、F两点．当四边形为正方形时，线段的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质以及正方形的性质是解题的关键．代入求得抛物线解析式为，设E点坐标为，进而表示出F、C点坐标，利用列出方程求解即可． 【详解】解：代入到抛物线，得， 解得：， 抛物线解析式为：， 设E点坐标为，由抛物线的对称性得F点坐标为， 轴， 点坐标为， 四边形为正方形， ， 即， 解得：（舍去）， ， ． 故选：D． 【跟踪训练1】如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪训练2】如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， 四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， 点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 【题型4.抛物线与x轴的交点坐标的求解方法】 【典例】由抛物线方程与轴的交点坐标，可以求出下列哪个方程的近似解（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意把求抛物线与x的交点问题转化为求一元二次方程解的问题是解答此题的关键． 抛物线与x轴的交点坐标由方程求得，即解．判断哪个选项与该方程等价． 【详解】解：抛物线与x轴的交点对应方程，即， ∴可以求出方的近似解． 故选：A． 【跟踪训练1】如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得到，交x轴于点；将绕点旋转得到，交x轴于点……如此进行下去，直至得到，若在第22段抛物线上，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出的值． 【详解】解：∵ ∴图象与轴交点坐标为：，， ∴， ∵将绕点旋转得，交轴于点； ∴，同理可得， ， ∴，，，， ∴第段抛物线解析式为， 则当时，，解得：，， ∵第段抛物线可以看作第向右平移个单位， ∴，向右平移个单位可得， ∴，， ∴的值为或． 故答案为：或． 【跟踪训练2】如图，已知二次函数的图象经过点，则关于的一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题。 可知二次函数的对称轴为直线，则点关于对称轴对称的点为，可知二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2，进而可得答案. 【详解】解: 二次函数的对称轴为直线， 点关于对称轴对称的点为， 二次函数的图象与直线的交点横坐标为0，2， 关于的一元二次方程的根为，. 故选：A. 【题型5.抛物线与y轴的交点坐标的求解方法】 【典例】二次函数的图象与轴的交点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的联系，关键是图象与轴交点的横坐标为； 求二次函数图象与轴的交点，令，代入函数解析式计算的值即可． 【详解】解：当时， ， ∴图象与轴的交点为． 故答案为：． 【跟踪训练1】抛物线与轴交于点，，与轴交于点，则的面积为() A．6 B．8 C．10 D．20 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标；通过求抛物线与坐标轴的交点坐标，确定三角形顶点位置，进而计算面积。 【详解】解：抛物线与轴交于点、， 令，得，解得， ，，。 抛物线与轴交于点， 令，得， 。 的底边，高为， ∴的面积为。 故选：C． 【跟踪训练2】若二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与坐标轴的交点，由二次函数与坐标轴只有一个公共点，可知其与x轴无交点，且与y轴的交点唯一，据此利用判别式求解. 【详解】解：二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点， 由于二次项系数为，函数始终与y轴有交点 若与x轴有交点，则会有多个公共点，故需与x轴无交点，即判别式小于零， 判别式，解得， 当二次函数的图象与坐标轴只有一个公共点，且是原点时，则， 故答案为： 【题型6.已知二次函数的函数值求自变量的值】 【典例】根据下列表格中的对应值： x 1.98 1.99 2.00 2.01 -0.06 -0.05 -0.03 0.01 判断方程（，a，b，c为常数）一个根x的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的联系即可得． 【详解】解：由表格可知，在内，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， 在内，必有一个x的值对应的函数值， 方程（，为常数）一个根x的范围是， 故选：D． 【跟踪训练1】某辆汽车在公路上行驶，它行驶的路程（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么这辆汽车行驶需要的时间是 s． 【答案】10 【分析】本题考查已知函数值求自变量的值，解一元二次方程．把代入关系式，得到关于的一元二次方程，解方程并取正值解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（不合题意，舍去）． 故这辆汽车行驶需要的时间是． 故答案为：10． 【跟踪训练2】已知抛物线，点，点，若抛物线与线段有且只有一个交点，则的取值范围为（   ） A．4或 B．4或 C．4或 D．4或 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据直线解析式为，根据选项令和，结合抛物线与线段有且只有一个交点利用排除法判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点坐标，与轴交点坐标，， ∵点，点， ∴直线解析式为， 当时，点，点，此时点即为抛物线与线段唯一交点，符合题意，故排除选项C、D； 当时，点，点， 联立，解得或，则抛物线与线段有两个交点和，不合题意，故排除选项B； 故选：A． 【题型7.抛物线与x轴的交点个数及位置分析】 【典例】已知二次函数(为常数且)，下列五个结论： 该函数图象过； ②当时，该函数与x轴有两个不同的交点； 若，且当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为； 若，且该二次函数与x轴负半轴交于，则； 其中正确的有 ． 【答案】/④② 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；对于结论①，将代入函数解析式计算y值，判断是否等于5；对于结论②，当时，计算判别式是否大于0；对于结论③，根据时开口向下，利用对称轴位置求m的取值范围，判断结论是否正确；对于结论④，利用函数值在和处的符号，结合开口方向判断交点的位置． 【详解】解：对于结论①：当时，，故该函数图象不过点，结论①不正确。 对于结论②：当时，函数为，所以，故该函数与x轴有两个不同的交点，结论②正确； 对于结论③：当时，二次函数开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，所以，解得，故结论③不正确； 对于结论④：当时，二次函数开口向上，当时，；当时，，故函数与x轴负半轴交点满足，结论④正确； 综上，正确结论为②④； 故答案为②④． 【跟踪训练1】二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点，则的值为（　　） A．或 B．5或 C．或3 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与x轴，轴的交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．由二次函数的图象坐标轴有两个交点，同时二次函数一定过，进而可得到二次函数与x轴有一个交点，再利用判别式进一步求解即可． 【详解】解：∵， 当时，， ∴二次函数与轴的交点为， 又∵二次函数的图象与坐标轴有且只有两个交点， 故二次函数与轴有且只有一个交点， 故， 解得或， 故选：B． 【跟踪训练2】如图，已知抛物线与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线，则一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，抛物线对称性，理解抛物线是轴对称图形是解题的关键．根据抛物线是轴对称图形，利用抛物线上对称的点到对称轴的距离相等得出方程的解． 【详解】解：与x轴的一个交点坐标为，它的对称轴为直线， 个到对称轴的距离是2， 抛物线与x轴另一交点到对称轴的距离也是2，所以交点坐标是 一元二次方程的解为， 故选：． 【题型8.由二次函数图象判断对应一元二次方程根的情况】 【典例】如图，抛物线（，，，为常数）的顶点坐标为，若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与直线的交点问题，解题的关键是将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题． 将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此分析解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线与直线有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． 【跟踪训练1】二次函数的部分对应值列表如下： … 0 1 2 3 5 … … 1 1 13 … 则一元二次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据表格信息，确定对称轴，求出时的两个自变量的值，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知：和时的函数值相同， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴和时的函数值相同，均为13， ∴一元二次方程的解为； 故答案为：． 【跟踪训练2】小兰画了一个函数的图象如图，则关于的方程的解是（   ） A．无解 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，二次函数图象与一元二次方程的关系，二次函数图象与直线交点的横坐标即为一元二次方程的解．由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为，从而得到抛物线的对称轴，进而利用抛物线的对称性得到关于对称轴的对称点的坐标，进而得解． 【详解】解：由图象可知，抛物线与轴的交点坐标分别为，，与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线， 关于对称轴的对称点为， 关于的方程的解是或． 故选：D． 【题型9.图象法:确定一元二次方程的近似根】 【典例】根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 【跟踪训练1】如表中列出了二次函数的一些对应值，则一元二次方程的解的范围是 ．（两相邻整数之间） … 0 1 … … 1 2 1 … 【答案】或 【分析】本题考查图像法求一元二次方程的解，解题的关键是理解函数和方程的关系．据此解答即可． 【详解】解：∵，， ∴根据函数的连续性可得在之间，存在一个数，使得， ∵和的函数值相等， ∴对称轴为：， ∴根据对称性可得：在之间，也存在一个数，使得， ∴一元二次方程的解的范围是或， 故答案为：或． 【跟踪训练2】已知，关于的一元二次方程的解为，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及直线与抛物线的交点问题，先把关于x的一元二次方程的解转化为直线和抛物线的交点，再结合图形进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴关于x的一元二次方程的解就是函数与的交点的横坐标， 如图所示： 又， ∴， 故选：A． 【题型10.图象法:解一元二次不等式】 【典例】如图，抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式，掌握数形结合思想的应用是解题的关键． 由函数图象得对称轴为，然后可得点关于的对称点的坐标，进而可得答案． 【详解】解：由函数图象得：二次函数的对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点的坐标为， ∴关于x的不等式的解集是 故选：C． 【跟踪训练1】如图抛物线与直线交于点，，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查利用图象解不等式，抛物线的性质，利用数形结合的思想是解题关键．根据题意可得出，设，即求抛物线位于一次函数的图象下方时，x的取值范围即可．根据抛物线的对称性，结合题意可得出抛物线与直线交于点，，进而即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 设， ∵抛物线与直线交于点，，直线与直线关于y轴对称，抛物线关于y轴对称， ∴抛物线与直线交于点，， ∴当或时，抛物线位于直线的下方，即此时， ∴不等式的解集是或． 故答案为：或． 【跟踪训练2】在平面直角坐标系中，两点，在抛物线上，则下列结论中正确的是（   ） A．当且时，则 B．当且时，则 C．当时，则 D．当时，则 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质（开口方向、对称轴、与坐标轴交点）及函数值的变化规律．熟练掌握二次函数的开口方向与增减性是解题的关键． 由，得出，结合可判断A；由，得出，结合可判断B；根据二次函数的增减性可判断C和D． 【详解】对于选项A：当时，∵，∴，若，则．∵且，∴，解得或，故不一定成立，A错误． 对于选项B：当时，∵，∴，若，则．∵且，∴，解得，故B正确． 对于选项C：∵，∴抛物线开口向下，对称轴是直线，当时，两点在对称轴右侧，y随x的增大而减小，∴，故C错误． 对于选项D：当时，两点在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴，故D错误． 故选B． 【题型11.利用不等式求二次函数中自变量或函数值的取值范围】 【典例】若对任意实数，抛物线在直线的上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质和不等式恒成立问题．根据题意，抛物线始终在直线上方，即二次函数值大于零，由判别式小于零求解即可． 【详解】解：由题意，对于任意实数，有， 即， ， 由于二次项系数为正，抛物线开口向上， 若恒成立，则其判别式小于零： ， 解得， 故答案为：． 【跟踪训练1】已知，是二次函数的图象上的两点，若，且，设，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴，根据，，结合抛物线开口方向利用抛物线的对称性可得，且，再根据即可解答． 【详解】解：∵二次函数图象的对称轴为，且， ∴二次函数的图象开口向下． ∵，且， ∴，且． ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【跟踪训练2】若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义、二次函数与一元二次方程、解一元二次不等式，理解“倍值点”的定义是解题的关键．设倍值点的坐标为，代入到二次函数整理得，由题意得恒成立，则有恒成立，推出，解不等式即可得出的取值范围． 【详解】解：设倍值点的坐标为， 代入到二次函数得，， 整理得：， 二次函数总有两个不同的倍值点， 恒成立， 恒成立， ， 解得：， 的取值范围是． 故答案为：． 【题型12.结合抛物线交点,确定一元二次不等式解集】 【典例】如图是二次函数和一次函数的图像，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据图像可以直接回答即可． 【详解】解：观察图像得：当时，二次函数的图像位于一次函数的图像的下方， ∴当时，的取值范围是， 故选：B． 【跟踪训练1】已知二次函数的部分x、y的对应值如下表： 表格 x 0 1 2 3 … y 0 3 4 3 0 … 则当时，x的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的性质． 通过表格数据确定二次函数的对称轴和与x轴的交点，结合二次函数图象开口方向求解即可． 【详解】由表格可知，当和时，， 即二次函数图象与x轴交于点和． 当时，为最大值， 故二次函数图象开口向下，对称轴为直线． 因此，当时，x的取值范围是或． 故答案为：或． 【跟踪训练2】抛物线的部分图象如图所示，交x轴于，对称轴是直线，若，则x的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点为，再结合函数图象即可得解，熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵抛物线交x轴于，对称轴是直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴由图象可得，若，则x的取值范围是， 故选：B． 一.单选题 1．如图，抛物线与x轴交于 A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P是抛物线上位于x轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点P从点A运动到点B的过程中，与的面积之和（　　） A．先增大后减小，最大面积为8 B．先减小后增大，最小面积为6 C．始终不变，面积为6 D．始终不变，面积为8 【答案】D 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，涉及到三角形全等、面积的计算等，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或3， 即点A、B的坐标分别为：、， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 故选：D． 2.．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可； 【详解】解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ， 的周长，且是定值，所以只需最小． 如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴ 此时三角形的周长； 同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，    设直线的解析式为：， 由点和点可得：， 解得， 故该直线的解析式为， 当时，，即， ∵，，， ∴， 此时三角形的周长； ∵，， ∴ ∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解． 3．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①当时，；②若且，则 ；③若，则④若，连接，点 P 在抛物线的对称轴上，且，则． 其中正确的有（    ） A．①③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数综合，二次函数图象的性质等等，由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点B的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点B的坐标为，据此可判断③；先求出，设，利用勾股定理得到，则，解得，据此可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴当时，，即，故①正确； 当且时，则直线和直线关于对称轴对称， ∴，故②错误； ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B的坐标为， 把代入抛物线解析式中得， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， ∴，故③正确； ∵， ∴， 设， ∴，， ， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，故④正确； 故选：A． 4．将二次函数配成顶点式后，发现其顶点的纵坐标比横坐标大．如图，在矩形中，点，点，则二次函数与矩形有交点时的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象，二次函数图象与线段的交点问题，二次函数图象的几何变换，先将二次函数的解析式化成顶点式，则可得出图象的形状不变，顶点在的直线上运动，当二次函数与矩形第一次相交时，二次函数的经过点，此时取最小值，当二次函数与矩形最后一次相交时，二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值，然后将已知点坐标分别代入函数式建立关于的方程求解，最后总结得出的范围即可，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：将配成顶点式为，此二次函数的顶点坐标是，，开口向上，开口大小一定，则此二次函数的顶点在直线的直线运动， 如图，当二次函数与矩形第一次相交时，此时二次函数经过点，此时取最小值， 将代入得，， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 如图，当二次函数与矩形最后一次相交时，此时二次函数的顶点为矩形与轴的交点，此时取最大值， 将代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴的最小值是； 综上，， 故选：． 5．如图，在第一象限内作射线，与轴的夹角为，在射线上取一点，过点作轴于点，得到．在抛物线上取点，在轴上取点，使得以，O，为顶点的三角形与全等，则不符合条件的的面积是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由于两三角形的对应边不能确定，故应分四种情况进行讨论： ①当A、P重合，∠时，此时，可联立直线和抛物线的解析式，即可得A点坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ②，即直线，联立抛物线的解析式可得P点坐标，进而可求出的长，由于，那么、，由此得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ③当时，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论； ④当，此时，得到点A的坐标，由三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：①如图1，当A、P重合，∠时，此时， ∵， ∴， 设，则，， ∴． 设直线， ∴， ∴， ∴直线，联立抛物线的解析式， ∴， 解得或 故， ∴； ②作轴于点Q，当∠时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴ ∴； ③如图3，当时，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，，解得或， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ④如图4，当，此时； 同理可求直线，联立抛物线的解析式， 得，解得或， ∴P， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到全等三角形的判定和性质以及函数图象交点坐标的求法，解题关键是一定要注意进行分类讨论． 二.填空题 6．已知直线，将直线向上平移个单位后得到． （1）若的解析式为，则 ； （2）若点在的异侧，则取值范围是 ． 【答案】 2 【分析】本题综合考查了一次函数图象的平移规律以及点与直线位置关系的应用．第一问直接运用平移的“上加下减”原则，较为基础；第二问将函数与点的位置关系转化为不等式求解，熟练掌握以上解题技巧是解题的关键． （1）对于一次函数（k，b为常数，）的图象平移，遵循“上加下减”原则，即图象向上平移m个单位时，函数解析式变为；向下平移m个单位时，函数解析式变为，已知直线向上平移个单位后得到：，可根据平移规律求解t的值． （2）若两点在直线（A、B不同时为0 ）的异侧，则．先将化为一般式，再把点，代入并根据异侧条件列不等式求解t的取值范围． 【详解】解：（1）直线向上平移t个单位后，根据“上加下减”原则，其解析式变为， ∵的解析式为， ∴可得方程． 方程两边可消去，得到，移项可得； 故答案为：2； （2）把移项化为一般式为． ∵点，在的异侧， ∴，即． 令，则． 对于二次函数，二次项系数大于0，图象开口向上，不等式的解集为． 故答案为：． 7．已知，是二次函数上的两点， ①若二次函数的图象与x轴只有一个交点，则a的值为 ②当且时，都有，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征． 【详解】解：①二次函数的图象与轴只有一个交点， ， 即， 是二次函数， ， ，解得， 故答案为：； ②，，，是该函数图象上的两点， ，， ， ， ， ， ， 要让对所有的情况成立， 需保证取最小值4时，不等式仍成立， 即：， 解此不等式：， ， 结合二次函数的符号： 若，则，不满足不等式； 若，则， ∴， 综上，的取值范围是． 故答案为：． 8．抛物线（a，b，c为常数，）经过，两点，下列结论： ①一元二次方程的根为，； ②若点，在该抛物线上，则； ③对于任意实数t，总有； ④对于a的每一个确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个． 其中正确的结论是 （填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程整数根，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：由于抛物线 （）经过点 和 ， 故方程 的两根为 ，，结论①正确． 抛物线的对称轴为 ，且开口向上． 点 到对称轴的距离为 ， 点 到对称轴的距离为 ， 距离越大函数值越大，故 ，结论②正确． 由题意可设抛物线解析式为 ， 即 ， 故 ，． 当 时，函数取得最小值 ， ∴对于任意实数 ，均有 ，结论③正确． 对于结论④，考虑方程 （）， 即 ． 设其两根为整数， 由于抛物线对称轴为 ， 故两根关于 对称． 设两根分别为 和 （ 且为整数），则 ， 由于 ， 故 ， 即 ， 对应 的值分别为 ，，，共有三个值，故结论④错误； 故答案为：①②③． 9.如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，抛物线经过C，D两点，点A在x轴上，连接．E，F分别是上的一点，且，若，，则点E的坐标是 ． 【答案】 【分析】连接，求出两点的坐标，证明为等腰三角形，得到，一线三等角，证明，得到，进而求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴当时，，当时，解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，点关于轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确地求出点的坐标，熟练掌握一线三等角的全等模型，是解题的关键． 10.如图，已知抛物线过点和点，与x轴的正半轴交于点C，点M是抛物线上一点且A，B两点到直线的距离相等，设点M的横坐标为x，且，则点M的坐标是 ． 【答案】 【分析】先求出抛物线解析式，，当时，B两点到直线的距离相等，求出直线的解析式为，联立方程组，即可求，不符合题意；②当直线经过的中点时，过点作交于点，过点作交于点，由，可得，直线经过的中点，则可求直线的解析式，联立方程组，即可求解． 【详解】解：∵已知抛物线过点， ∴， 解得：， ∴， 将代入得：， ∴ ①当时，A，两点到直线的距离相等， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 对于抛物线，当时，则， 解得：或， ∴， 设直线的解析式为， 则代入点得：， ∴， 直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ，不符合题意，舍去； ②当直线经的中点时，过点作交于点，过点作交于点， ∵， ， ，即点A，B到直线的距离相等， ，， 的中点H为， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及分类讨论的思想是解此题的关键． 三.解答题 11．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点E是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与点B，C重合），设点E的横坐标为x，过点E作轴，交直线于点P，交x轴于点F． （）连接，，求面积的最大值，并求此时点E的坐标； （）是否存在点P使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（）当时，面积的最大值为8，此时点E的坐标为；（）存在，点P的坐标为或，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）（）设，先求出，得到，可求得的面积为，再根据二次函数的性质求最大值即可； （）当时，证明，即可列方程求解；当时， 过点C作于点H，证明，即可列方程求解． 【详解】（1）解：把，的坐标代入，得， 解得， 该抛物线的解析式为； （2）解：（）设， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 将，的坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， ， ， 的面积为， ， 当时，的面积有最大值，最大值为8， 此时， 点E的坐标为； （）存在，点P的坐标为或．理由如下： 由（）知，， 在中，， ， ， 当时，如图， ， ， ， 解得或3， ； 当时， 过点C作于点H， 则， ， ， ， ， 解得或2， ； 综上所述，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与面积问题，二次函数与特殊三角形的综合问题，二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识，分类讨论两种情况是解题的关键． 12．在平面直角坐标系中，如果抛物线的顶点在直线上，那么称该抛物线是这条直线的关联抛物线．例如，抛物线的顶点为，且点P在直线上，那么抛物线是直线的关联抛物线． (1)判断抛物线是否是直线的关联抛物线，并说明理由； (2)如果抛物线是直线的一条关联抛物线，且经过点，求抛物线的表达式； (3)在（2）的条件下，记抛物线的顶点为B，将抛物线平移后成为直线的另一条关联抛物线，且抛物线的顶点为点M．当时，求：抛物线的顶点M的坐标． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标，代入直线解析式，进行判断即可； （2）根据抛物线过点，得到，进而得到顶点坐标为，代入直线的解析式求出的值，即可得出结果； （3）分点在点的上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∵，当时，， ∴在直线上， ∴抛物线是直线的关联抛物线； （2）∵过点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为：， ∵抛物线是直线的一条关联抛物线， ∴点在直线上， ∴， ∴， ∴； （3）解：（2）可知：， 当点在点下方时：取点， ∵， ∴， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴在直线上， 又由题意，可知：点在直线上， ∴点为直线与直线的交点， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 当点在点上方时，取点， 则：， ∴， ∴， 同理：点为直线与直线的交点， 同理可得：直线的解析式为：， 联立，解得：， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，理解新定义，利用数形结合的和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 13．已知是自变量的函数，当时，称函数为函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的和积点”，点在函数的“和积函数”的图象上． 例如，函数，当时，则函数是函数的“和积函数”．在平面直角坐标系中．函数图象上任意一点，点为点“关于的和积点”，点在函数的“和积函数”上． (1)求函数的“和积函数”的函数表达式； (2)点在函数的图象上，点“关于的和积点”到轴的距离等于2，当点在轴上方时，求点的坐标； (3)点在函数的图象上，点 “关于的和积点”为点，设点的横坐标为．点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点，以为邻边作矩形，设矩形的周长为，求关于的函数表达式． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【分析】（1）由“和积函数”，将代入化简即可得到答案； （2）由在平面直角坐标系中，对于函数图象上任意一点，称点为点“关于的和积点”，点在函数的“和积函数”的图象上．按照新定义求解即可得到答案； （3）由“和积函数”定义、“关于的和积点”定义求出相关点的坐标及函数表达式，结合点在点的上方，得到，在以为邻边作矩形，数形结合得到相关点的坐标，求出长即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，称函数为函数的“和积函数”， 函数的“和积函数”的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴设点坐标为，则点“关于的和积点”的坐标为， ∵点到轴的距离等于2，且点在轴上方， ∴，即，则， 解得或， ∴点的坐标为或； （3）解：∵点在函数的图象上，点的横坐标为， ∴点的坐标为， ∴点“关于的和积点”的坐标为， 函数的“和积函数”的表达式为， 的对称轴为直线， ∵点在点的上方， ，即， 令，解得，即二次函数与轴的两个交点横坐标为， ∴抛物线在轴下方图象对应的取值范围是， ∵过点作轴的平行线，与函数的“和积函数”的对称轴交于点，且以为邻边作矩形， ，， 矩形的四个顶点不能重合， ， ， 当时，； 当时，； 综上所述，． 【点睛】本题考查新定义函数、涉及待定系数法确定函数表达式、解一元二次方程、二次函数图象与性质、图象法解一元二次不等式等知识，读懂题意，理解新定义函数及其相关概念是解决问题的关键． 14．二次函数（）的图象交轴于原点及点． . (1)求点的坐标． (2)若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． (3)在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)；或；③ 或 【分析】（1）求二次函数与轴交点，二次函数，令对所得到的代数式进行因式分解，求解，即可得出结果； （2）将点代入到二次函数解析式，即可得出； （3）利用顶点关于对称，且开口大小相同，方向相反即可得到解析式； 分别讨论、和三种情况，然后，对等式去绝对值进行计算，即可得出结果； 点，横坐标相距单位长度，结合和的对称轴和分别讨论点的横坐标位置，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：令， 得， ． （2）二次函数（）的图象经过， ，解得， 该二次函数的解析式为． （3）① （或） 由（2）知，的函数解析式为， 的顶点坐标为． ∴由绕点旋转得到， ∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． ② 直线与有三个交点， 由图象可知． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于， 不妨记这三个点从左至右依次为 ， ． 由图象可知点，在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为， 与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为 ． ， 由图象可知点在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，易知， ，不符合题意，舍去． 综上所述，或． ③ 或 方法一：结合图象可知， 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向上， 点到直线的距离大于点到直线的距离， 且点在直线的左侧． 当点在直线的左侧时， 由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即． 当点在直线的右侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向下， 点到直线的距离小于点到直线的距离， 且点在直线的右侧， 当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时． 当点在直线的左侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 方法二：结合图象可知，当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的左侧， ，即． 当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的右侧， ，即． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题关键是掌握二次函数图象的特征，开口方向、对称轴、顶点和图象与轴交点，注意求解过程中运用分类讨论的方法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $