第四章 概率与统计（复习课件）数学人教B版2019选择性必修第二册

该高中数学单元复习课件系统梳理了概率与统计的核心内容，通过单元知识图谱将条件概率、随机变量（含二项分布、超几何分布等）、统计模型（一元线性回归等）串联成网，清晰呈现知识点间的逻辑脉络。 其亮点在于采用“考点串讲-题型剖析-针对训练”的递进式复习策略，如通过条件概率计算、二项与超几何分布辨析等例题及变式训练，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达规律的能力。分层设计让不同学生巩固提升，也为教师提供精准复习指导。

单元复习课件 第四章概率与统计 人教B版2019选择性必修第二册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.理解并掌握从条件概率、随机变量到一元线性回归与独立性检验的核心概念与公式。 3.在具体情境中，正确判断并选用 “二项分布” 还是 “超几何分布” 2. 掌握关键模型：条件概率的计算、离散型随机变量（特别是二项分布）的分布列与数字特征、理解核心思想：理解用概率刻画随机性，用统计从数据中推断总体规律的基本思想。 单元学习目标 概率与统计 统计模型 条件概率和事件独立性 条件概率 乘法公式和全概率公式 随机变量 离散型随机变量 典型分布模型 连续随机变量 一元线性回归模型 独立性检验 单元知识图谱 一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称＝ 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率. 变式：，其中 考点一、条件概率 考点串讲 知识点一 乘法公式 对任意两个事件A与B，若，则＝ 为概率的乘法公式. P(A)P(B|A) 考点二、乘法公式和全概率公式 设，则 (1)＝ . (2)如果B和C是两个互斥事件，则＝ . 1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 考点串讲 知识点二 全概率公式 一般地，设是一组两两互斥的事件，，且则对任意的事件， 有P(B)＝ ，我们称该公式为全概率公式. 考点二、乘法公式和全概率公式 考点串讲 知识点三 贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 考点二、乘法公式和全概率公式 考点串讲 1.概念：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω都有 的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 2.表示：用 表示随机变量，如X，Y，Z；用 表示随机变量的取值，如x，y，z. 3.特征：随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对应，随机变量有如下特征： (1)取值依赖于 . (2)所有可能取值是 . 知识点一　随机变量的概念、表示及特征 唯一 大写英文字母 小写英文字母 样本点 明确的 考点三、离散型随机变量及其分布列 可能取值为 或可以 的随机变量，我们称之为离散型随机变量. 知识点二　离散型随机变量 有限个 一一列举 考点串讲 1.定义：一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2,3，…，n为X的概率分布列，简称分布列. 2.分布列的性质 (1)pi≥ ，i＝1,2，…，n. (2)p1＋p2＋…＋pn＝ . 知识点三　离散型随机变量的分布列及其性质 0 1 考点三、离散型随机变量及其分布列 考点串讲 如果P(A)＝p，则，那么X的分布列为 知识点四　两点分布 X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0－1分布. 考点三、离散型随机变量及其分布列 考点串讲 1.离散型随机变量的均值的概念 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 知识点一　离散型随机变量的均值 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝ ＝ 为随机变量X的均值或 数学期望. x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn 考点四、离散型随机变量的均值 考点串讲 2.离散型随机变量的均值的意义 均值是随机变量可能取值关于取值概率的 ，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的 . 3.离散型随机变量的均值的性质 若Y＝aX＋b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且有E(aX＋b)＝ . 加权平均数 平均水平 aE(X)＋b 考点四、离散型随机变量的均值 知识点二　两点分布的均值 如果随机变量X服从两点分布，那么E(X)＝0×(1－p)＋1×p＝p. 考点串讲 证明如下：如果Y＝aX＋b，其中a，b为常数，X是随机变量，那么Y也是随机变量.因此P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n，所以Y的分布列为 Y ax1＋b ax2＋b … axi＋b … axn＋b P p1 p2 … pi … pn 于是有E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axi＋b)pi＋…＋(axn＋b)pn＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn)＋b(p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn)＝aE(X)＋b，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b. 考点四、离散型随机变量的均值 考点串讲 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 设离散型随机变量X的分布列如表所示. 知识点一　离散型随机变量的方差、标准差 我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度.我们称D(X)＝ 为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)， 并称为 随机变量X的标准差(standard deviation)，记为σ(X). (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－ E(X))2pn＝ (xi－E(X))2pi 考点五、离散型随机变量的方差、标准差 考点串讲 知识点二　离散型随机变量方差的性质 1.设a，b为常数，则D(aX＋b)＝ . 2.D(c)＝0(其中c为常数). a2D(X) 考点五、离散型随机变量的方差、标准差 考点串讲 1.n重伯努利试验的概念 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验. 2.n重伯努利试验的共同特征 (1)同一个伯努利试验 做n次. (2)各次试验的结果 . 知识点一　n重伯努利试验及其特征 重复 相互独立 考点六、二项分布 考点串讲 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝0,1,2，…，n. 称随机变量X服从二项分布，记作 . 知识点二　二项分布 X～B(n，p) 若X～B(n，p)，则E(X)＝ ，D(X)＝ . 知识点三　二项分布的均值与方差 np np(1－p) 考点六、二项分布 考点串讲 1.定义：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝ ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r. 其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 2.均值：E(X)＝ . 知识点　超几何分布 考点七、超几何分布 考点串讲 考点八、一元线性回归模型 称 为Y关于x的一元线性回归模型.其中Y称为_______ 或 ，x称为 或 ， 称为截距参数， 称为斜率参数；e是 与 之间的随机误差，如果e＝ ，那么Y与x之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述. 因变量 响应变量 自变量 解释变量 a b Y bx＋a 0 知识点一 一元线性回归模型 考点串讲 知识点二 最小二乘 考点串讲 题型一、条件概率的定义及计算 例1　现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求 (1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； 解　(1)设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B， 则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB.从6个节目中不放回地依次抽取2个，总的事件数.根据分步乘法计数原理，有， 所以 　(2)因为，所以. 题型剖析 变式1　从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽取两张，将其中一张放到验钞机上检验发现是假钞，求两张都是假钞的概率. 解　设A＝“抽到的两张都是假钞”， B＝“抽到的两张中至少有一张是假钞”， 则所求概率为P(A|B). 题型一、条件概率的定义及计算 针对训练 例2　集合A＝{1,2,3,4,5,6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率. 题型二、缩小样本空间求条件概率 解　将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)， 甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，共15个. 在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(5,6)，共9个， 所以所求概率 题型剖析 方法总结 利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来的基本事件全体Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的基本事件. 题型二、缩小样本空间求条件概率 题型剖析 变式2.若甲先取(放回)，乙后取，若事件A：“甲抽到的数大于4”；事件B：“甲、乙抽到的两数之和等于7”，求P(B|A). 解　甲抽到的数大于4的情形有：(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共12个， 其中甲、乙抽到的两数之和等于7的情形有：(5,2)，(6,1)，共2个. 所以 题型二、缩小样本空间求条件概率 针对训练 题型三、概率乘法公式 例3　一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次.求： (1)第一次取得白球的概率；(2)第一、第二次都取得白球的概率； (3)第一次取得黑球而第二次取得白球的概率. 解　设A＝“第一次取得白球”，B＝“第二次取得白球”， 则＝“第一次取得黑球”，由题意得：. . . 题型剖析 方法总结 概率的乘法公式 (1)公式P(AB)＝P(A)P(B|A)反映了知二求一的方程思想. (2)该概率公式可以推广P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2)，其中P(A1)>0，P(A1A2)>0. 题型三、概率乘法公式 题型剖析 变式3　已知某品牌的手机从1 m高的地方掉落时，屏幕第一次未碎掉的概率为0.5，当第一次未碎掉时第二次也未碎掉的概率为0.3，试求这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率. 解　设Ai＝“第i次掉落手机屏幕没有碎掉”，i＝1,2， 则由已知可得P(A1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.3， 因此由乘法公式可得P(A2A1)＝P(A1)P(A2|A1)＝0.5×0.3＝0.15. 即这样的手机从1 m高的地方掉落两次后屏幕仍未碎掉的概率为0.15. 题型三、概率乘法公式 针对训练 题型四、条件概率的性质和应用 例4　在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题即可通过，至少能答对其中5道题就获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率. 解　记事件A为“该考生6道题全答对”， 事件B为“该考生答对了其中5道题，另一道答错”， 事件C为“该考生答对了其中4道题，另2道题答错”， 事件D为“该考生在这次考试中通过”， 事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”， 则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B， 可知 题型剖析 条件概率的性质及应用 (1)利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”. (2)为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率. 题型四、条件概率的性质和应用 方法总结 题型剖析 变式4　有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或 黑色的概率为________. 解析　设事件A为“其中一瓶是蓝色”， 事件B为“另一瓶是红色”， 事件C为“另一瓶是黑色”， 事件D为“另一瓶是红色或黑色”， 则D＝B∪C且B与C互斥. 又 故 题型四、条件概率的性质和应用 针对训练 题型五、两个事件的全概率问题 例5　某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查.参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占 ，乙班中女生占 .求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率. 解　如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知， 且. 由全概率公式可知. 题型剖析 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如A1，A2(或A与 ). (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2). 题型五、两个事件的全概率问题 方法总结 题型剖析 变式5　某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06，乙厂每箱装120个，废品率为0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率. 解　(1)记事件A，B分别为甲、乙两厂的产品，事件C为废品，则Ω＝A∪B，且A，B互斥， 由题意，得. 由全概率公式，得. (2) ， 由全概率公式，得 题型五、两个事件的全概率问题 针对训练 题型六、多个事件的全概率问题 例6　假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率. 解　用A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B表示买到的是优质品的事件， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 依据已知可得P(A1)＝50%，P(A2)＝30%，P(A3)＝20%， 且P(B|A1)＝95%，P(B|A2)＝90%，P(B|A3)＝70%， 因此，由全概率公式有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝50%×95%＋30%×90%＋20%×70%＝88.5%. 题型剖析 “化整为零”求多事件的全概率问题 (2)已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i＝1,2，…，n)，事件B发生的可能性，就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能性的乘积之和. 题型六、多个事件的全概率问题 方法总结 题型剖析 变式6.甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率. 解 (1)从甲箱中任取2个产品的事件数为都是次品的事件数为 这2个产品都是次品的概率为. (2)设事件A为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件B1为“从甲箱中取出2个产品都是正品”，事件B2为“从甲箱中取出1个正品1个次品”，事件B3为“从甲箱中取出2个产品都是次品”，则事件B1、事件B2、事件B3彼此互斥. ， ， . 题型六、多个事件的全概率问题 针对训练 题型七、条件概率的应用 例7　设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占45%,35%,20%，各厂的产品的次品率分别为4%,2%,5%，现从中任取一件. (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率. 解　(1)记事件A1＝“该产品为甲厂生产的”，事件A2＝“该产品为乙厂生产的”， 事件A3＝“该产品为丙厂生产的”，事件B＝“该产品是次品”. 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥， 由题设，知P(A1)＝45%，P(A2)＝35%，P(A3)＝20%，P(B|A1)＝4%，P(B|A2)＝2%，P(B|A3)＝5%. 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得. 题型剖析 条件概率的内含 (1)公式P(A1|B)＝ 反映了P(A1B)，P(A1)， P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的互化关系. (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情A1发生的可能在各种可能原因中的比重. 题型七、条件概率的应用 方法总结 题型剖析 变式7　同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应.由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，混合在一起. (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解　(1)设事件A表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产. 则Ω＝B1∪B2∪B3，且B1，B2，B3两两互斥，由已知P(B1)＝0.2，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.5，P(A|B1)＝0.95，P(A|B2)＝0.9，P(A|B3)＝0.8. 由全概率公式得 (2)由贝叶斯公式得 丙厂生产的可能性最大，甲厂生产可能性最小 题型七、条件概率的应用 针对训练 题型八、求离散型随机变量的分布列 例8 一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球. (1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率； (2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列. 解　(1)一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球，有(种)情况. 设摸出的2个球中有1个白球和1个红球的事件为A， 　(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，X的所有可能取值为0,1,2. . 故X的分布列为 题型剖析 求离散型随机变量的分布列关键有三点 (1)随机变量的取值. (2)每一个取值所对应的概率. (3)用所有概率之和是否为1来检验. 题型八、求离散型随机变量的分布列 方法总结 题型剖析 变式8　袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取一个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止，求取球次数X的分布列. 解　X的可能取值为1,2,3,4,5，则第1次取到白球的概率为， 则第1次取到白球的概率为， 第2次取到白球的概率为， 第3次取到白球的概率为， 第4次取到白球的概率为， 第5次取到白球的概率为， 所以X的分布列为 题型八、求离散型随机变量的分布列 针对训练 题型九、分布列的性质及应用 例9　设随机变量的分布列. (1)求常数的值； (2)求. 解　(1)由题意，所给分布列为 由分布列的性质得，解得. (2) 题型剖析 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. 题型九、分布列的性质及应用 方法总结 题型剖析 变式3　若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 试求出离散型随机变量X的分布列. 解　由已知可得， . 检验：当时，； 当时，，（不适合，舍去）. 故. 故所求分布列为 题型九、分布列的性质及应用 针对训练 题型十、利用定义求离散型随机变量的均值 例10　袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值. 解　取出4只球颜色及得分分布情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5,6,7,8， ，，， ， 故X的分布列为 . 题型剖析 求随机变量X的均值的方法和步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值. (2)求出X取每个值的概率P(X＝k). (3)写出X的分布列. (4)利用均值的定义求E(X). 题型十、利用定义求离散型随机变量的均值 方法总结 题型剖析 变式10　某卫视综艺节目中有一个环节叫“超级猜猜猜”，规则如下：在这一环节中嘉宾需要猜三道题目，若三道题目中猜对一道题目可得1分，若猜对两道题目可得3分，要是三道题目完全猜对可得6分，若三道题目全部猜错，则扣掉4分.如果嘉宾猜对这三道题目的概率分别为，，，且三道题目之间相互独立.求某嘉宾在该“猜题”环节中所得分数的分布列与均值. 解　根据题意，设X表示“该嘉宾所得分数”，则X的可能取值为－4,1,3,6. ， ， ， . ∴X的分布列为 题型十、利用定义求离散型随机变量的均值 针对训练 题型十一、离散型随机变量均值的性质 例11　已知随机变量X的分布列为   若Y＝－2X，则E(Y)＝____. 解析　由随机变量分布列的性质，得 . 由Y＝－2X，得E(Y)＝－2E(X)，即. 题型剖析 求线性关系的随机变量η＝aξ＋b的均值方法 (1)定义法：先列出η的分布列，再求均值. (2)性质法：直接套用公式，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b，求解即可. 题型十一、离散型随机变量均值的性质 方法总结 题型剖析 变式2　已知随机变量ξ和η，其中η＝12ξ＋7，且E(η)＝34，若ξ的分布列如下表，则m的值为 . 解析　因为， 则， 即 所以， 又所以， 可解得. 题型十一、离散型随机变量均值的性质 针对训练 题型十二、均值的实际应用 例12　随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X. (1)求X的分布列； (2)求1件产品的平均利润(即X的均值)； 解　(1)X的所有可能取值有6,2,1，－2， ，， ， 故X的分布列为 (2)(万元). X 6 2 1 －2 P 0.63 0.25 0.1 0.02 题型剖析 解答概率模型的三个步骤 (1)建模：即把实际问题概率模型化. (2)解模：确定分布列，计算随机变量的均值. (3)回归：利用所得数据，对实际问题作出判断. 题型十二、均值的实际应用 方法总结 题型剖析 变式12　受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下： 品牌 甲 乙 首次出现故障时间x(年) 0<x≤1 1<x≤2 x>2 0<x≤2 x>2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率，解答下列问题： (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列； (3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该生产哪种品牌的轿车？说明理由. 题型十二、均值的实际应用 针对训练 解　(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则 　(2)依题意得，X1的分布列为 X2的分布列为 (3)由(2)得(万元) （万元） ∵E(X1)>E(X2)， ∴应生产甲品牌轿车. 题型十二、均值的实际应用 针对训练 题型十三、求离散型随机变量的方差 例13　袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号. (1)求ξ的分布列、均值和方差； (2)若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求a，b的值. 解　(1)ξ的分布列为 则. . (2)由D(η)＝a2D(ξ)，得a2×2.75＝11，得a＝±2. 又由E(η)＝aE(ξ)＋b，得1.5a＋b＝1， 所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2； 当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4. 所以 题型剖析 (1)求离散型随机变量方差的步骤 ①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值； ②求出X取每个值的概率； ③写出X的分布列； ④计算E(X)； ⑤计算D(X). (2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ). 题型十三、求离散型随机变量的方差 方法总结 题型剖析 变式13　已知随机变量ξ的分布列如下表： (1)求，，.(2)设η＝2ξ＋3，求E(η)，D(η). 解　(1) ，. (2). 题型十三、求离散型随机变量的方差 针对训练 题型十四、分布列、均值、方差的应用 例14　甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为 (1)求第三次由乙投篮的概率； (2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差. 解　(1) (2)由题意，得X的所有可能取值为0,1,2 ，， . 故X的分布列为 ， +. 题型剖析 处理综合问题的方法 第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立. 第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率. 第三步：列分布列，并计算均值及方差. 题型十四、分布列、均值、方差的应用 方法总结 题型剖析 变式14　有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；(2)随机变量X的均值与方差. 解　(1)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,4. “X＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率， “X＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率， “X＝2”是指两次取的卡片上一个标1，一个标2，其概率， “X＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率， 则X的分布列为 题型十四、分布列、均值、方差的应用 (2)， + 针对训练 题型十五、二项分布的应用 例15　一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 . (1)求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的均值； (2)求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列； (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 解　(1) 　(2)η的分布列为P(η＝k)＝P(前个是绿灯，第个是红灯)， k＝0,1,2,3,4,5， 故η的分布列为 (3)所求概率为 题型剖析 概率综合问题的求解策略 (1)定模型：准确地确定事件的性质，把问题归为古典概型、互斥事件、独立事件、n重伯努利试验中的某一种. (2)明事件：判断事件是A＋B还是AB. (3)套公式：选择相应公式求解即可. 题型十五、二项分布的应用 方法总结 题型剖析 变式15　某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心.且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数X的分布列，并求E(X). 解 根据题意， ∴X的分布列为 ∵， 题型十五、二项分布的应用 针对训练 题型十六、超几何分布的概率 例16　某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率； (2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列. 解　(1)由题意知，参加集训的男生、女生各有6人. 代表队中的学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为. 因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为. (2)根据题意，知X的所有的可能取值为1,2,3.， ,， 所以X的分布列为 题型剖析 求超几何分布的分布列的步骤 题型十六、超几何分布的概率 方法总结 题型剖析 变式16　现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. (1)求7名学生中甲班的学生数； (2)设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求ξ≥1的概率. 解　(1)设甲班的学生人数为，则 即，解得或(舍去). ∴7名学生中甲班的学生共有3人. (2)由题意可知，ξ服从超几何分布. ∴. 题型十六、超几何分布的概率 针对训练 题型十七、超几何分布和二项分布的关系 例17　某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490,495]，(495，500]，…，(510,515]，由此得到样本的频率分布直方图如图. (1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列，并求其均值； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解　(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件). (2)质量超过505克的产品数量为12件， 则质量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0,1,2，X服从超几何分布. X的分布列为 ∴X的均值为 题型剖析 (3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为. 从流水线上任取2件产品互不影响， 该问题可看成2重伯努利试验，质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2， 且， ， ， . ∴Y的分布列为 题型十七、超几何分布和二项分布的关系 题型剖析 二项分布与超几何分布的关系 在n次试验中，某事件A发生的次数X可能服从超几何分布或二项分布. 区别 ①当这n次试验是n重伯努利试验时(如有放回摸球)，X服从二项分布； ②当n次试验不是n重伯努利试验时(如不放回摸球)，X服从超几何分布 联系 在不放回n次试验中，如果总体数量N很大，而试验次数n很小，此时超几何分布可近似转化成二项分布如本例(3) 题型十七、超几何分布和二项分布的关系 方法总结 题型剖析 题型十七、超几何分布和二项分布的关系 变式17　(1)100件产品中有10件次品，从中有放回地任取5件，求其中次品数ξ的分布列； (2)某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续抽取5件，求其中次品数η的分布列. 解　(1)任取一件得到的次品概率为，有放回的取出5件，相当于5重伯努利试验，故， 所以ξ的分布列为 (2)由于商品数量较大，从中只抽取5件， 故η的分布列近似地为ξ的分布列. ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.590 49 0.328 05 0.072 9 0.008 1 0.000 45 0.000 01 针对训练 ✅ 知识构建：概率与统计 条件概率→随机变量→统计模型→综合运用 ✅ 思想方法： 用概率量化随机、用分布把握规律、用推断决策预测 今天，我们都有哪些收获？快来说说吧. 课堂总结 感谢聆听! (3)设和B互为对立事件，则P(|A)＝ .  (Ai)P(B|Ai) ipi   将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计，其中＝，＝ .  － (3)算：利用P(B|A)＝求得结果. 由全概率公式，得P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝×＋×＝.  ＝ X 0 1 2 P X 1 2 3 4 5 P X 1 P a 2a 3a 4a 5a X 0 1 P X 5 6 7 8 P X －4 1 3 6 P X －2 －1 0 1 2 P m ξ 1 2 3 4 P m n X2 1.8 2.9 P X1 1 2 3 P ξ 0 1 2 3 4 P ξ －1 0 1 P X 0 1 2 P X 0 1 2 4 P η 0 1 2 3 4 5 P X 0 1 2 3 P X 1 2 3 P X 0 1 2 P Y 0 1 2 P $